高等数学换元法
高等数学 重积分的换元法及含参变量的积分
( x ) f ( x , y ) d ( x) ( x ) ( x ) f ( x , y )dy ( x ) dy dx x f [ x , ( x )] ( x ) f [ x , ( x )] ( x ). (7)
v
柱面坐标 4. 三重积分换元法 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
x r cos , y r sin , z z.
x r sin cos , （2） 球面坐标的体积元素 2 dxdydz r sindrdd y r sin sin , z r cos . （3） 广义球面坐标的体积元素 x ar sin cos , 2 dxdydz abcr sindrdd y br sin sin , z cr cos .
当 x 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于 零. ( x ) 又 ( x x ) f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) ,
( x)
( x x )
f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) .
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y(u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
注意：
同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状，
《高等数学换元法》课件
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《高等数学换元法》PPT 课件
# 高等数学换元法PPT课件大纲
引言
换元法是一种在高等数学中常用的求解方法，它通过引入一个新的变量来简 化问题的求解过程。 我们将学习为什么需要换元法以及它在实际问题中的应用。
基本概念
函数
了解什么是函数及其性质，是掌握换元法 的基础。
复合函数
学习如何构造和计算复合函数，为换元法 提供更多的方法。
应用换元法解决有理函数的 复合函数问题。
常见的换元方法
1 常见的换元方法介绍
2 第一类换元法：代换法
了解常用的换元方法及其适用范围，为 问题求解提供更多的思路。
介绍使用代换法进行问题求解的具体步 骤和技巧。
3 第二类换元法：三角函数换元法 4 第三类换元法：指数函数换元法
探索利用三角函数进行变量替换的换元 方法，提高求解的便利性。
学习如何利用指数函数进行变量替换， 解决涉及指数函数的问题。
实例演示
实例1
实例2
实例3
$y = rac{sqrt[3]{x-1}}{(x-1)^2}$ $y = rac{2x-1}{sqrt{x^2+x+1}}$ $y = sqrt{ rac{1-x}{1+x}}$
小结ห้องสมุดไป่ตู้
通过本课程，我们学习了高等数学换元法的基本概念、常见的换元方法以及其在实例中的应用。 希望你对换元法有了更深入的了解，并可以在实际问题中应用这一求解方法。
变量
认识变量的含义和作用，为后续的复合函 数和反函数打下基础。
反函数
研究反函数的特性和性质，掌握反函数换 元法的应用技巧。
高等数学(大农类)4.2换元法
解:
∴ 原式 =
常用的几种配元形式:
万能凑幂法
例6. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
例8. 求
解: 原式 =
例9. 求
解法1
解法2
两法结果一样
例10. 求
解法1
解法 2
同样可证
或
(P123 例2(5) )
例11. 求
解: 原式 =
例12 . 求
解:
令
解: 原式
(P130 公式 (17) )
例20. 求
例21. 求
解:
(P130 公式 (20) )
例22. 求
解: 原式 =
(P130 公式 (19) )
例23. 求
解: 原式
(P130 公式 (19) )
例24. 求
解: 令
得
原式
例25. 求
解: 原式
令
例16
例26.
求Байду номын сангаас定积分
2. 求
提示:
法1
法2
法3
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 ,
证:
令
则
则有换元公式
例16. 求
解: 令
则
∴ 原式
例17. 求
解: 令
则
∴ 原式
例18. 求
解:
令
则
∴ 原式
令
于是
说明:
解：
令
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
自学考试高等数学第一类换元法(凑微分法)
1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式
1 a
arctan
x a
C;
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式 1 arctan x C;
a
a
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
1 3
x
3
1 4
2
1
d
x
3
4
1 3
arctan
x
3
4
C
.
完
例 8 求下列不定积分
(1)
1
1 e
x
dx
;
sin 1
(2)
x
x
2
dx
.
解 (1)
1
ex 1 ex
e
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
1
e
x
e
x
dx
dx
算的常用手段之一.
完
例 14 求下列不定积分
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨一、换元法的基本概念换元法是指将一个变量替换成一个表达式，从而使原有的方程式变形成一个更加容易求解的方程的方法。
通常情况下，采用换元法前后的未知量并不相同，因此可以通过选择合适的代换量，以便将方程转化成最简单的形式。
二、换元法的一般步骤（1）化简原方程，以便找到需要代换的变量。
（2）找到一个代换变量，将原方程中的变量全部替换为代换变量，并将原方程转化成带有新变量的方程。
（3）求解新方程，得到新变量的值。
（4）将新变量的值代入代换变量，得到原变量的值。
三、实际教学中如何进行换元法的解题（1）帮助学生掌握常见的代换方法对于换元法的教学来说，了解常见的代换方法是非常重要的。
例如，对于二次方程，可以通过配方法将其转化为完全平方数形式，从而进行方便的变量替换。
而对于三次方程，可以使用Tartaglia公式求解，从而将不易求解的三次方程转化为容易求解的算式形式。
（2）引导学生选择合适的替代变量不同的代换变量可能会导致不同的转换结果，因此在实际解题中需要根据题目的要求来选择合适的替代变量。
例如，某些题目需要进行逆变换，这时选择正弦或余弦的比值作为代换变量可能会更加适合。
（3）注重解题过程中的物理意义在高等数学的教学中，注重解题过程中的物理意义能够帮助学生更好地理解本质。
例如，在物理问题中，可能需要使用对数或指数来描述问题，在解题过程中注重对数或指数的物理含义可以更好地理解问题以及求解过程。
四、结束语在高等数学的教学中，换元法是重要的解题方法之一，不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，并且可以帮助学生更好地掌握解题思路。
因此，在高等数学的教学中，教师需要注重引导学生掌握常见的代换方法，引导学生选择合适的替代变量，并注重解题过程中的物理意义，从而帮助学生更好地掌握这一重要的解题方法。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中一种基本的解法方法，可以运用于微积分、线性代数等多个领域的问题解决。
本文就对高等数学中换元法的教学进行探讨，旨在让学生对换元法有更深入的理解与掌握。
一、换元法的基本概念换元法就是将一个或多个自变量用一个或多个新变量来代替，以便简化问题进一步求解。
在微积分中，通常情况下都是将一些复杂表达式中的函数用类似于反函数之类的方法进行换元化简，使其变成可进行进一步处理的形式。
例如，可以使用$x^2=\sin t$将$\sqrt{1-x^2}$转化为$\cos t$，方便进行计算。
换元法的一般步骤包括确定新变量、确定旧变量与新变量之间的关系、求解新方程、将得到的结果通过新旧变量之间的关系回代到原方程中。
其中，确定新变量的关键是要找到能够化简问题的合适变量。
以求解微积分中的曲线积分为例，根据问题不同，我们可以使用极坐标、参数方程等不同的变量来实现化简。
确定旧变量与新变量之间的关系，通常需要根据题目的要求，采用特定的变量替换方法。
有的换元法遇到的变量替换可能较复杂，学生可借助画图来理解和记忆。
例如常常遇到的三角换元法。
三、典型例题具体来看，下面结合具体的例子，进行探讨。
例1. 求$\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$解: 可以使用反三角函数中的$\arcsin$关系进行换元，设$x=\sin t$，则$\mathrm{d}x = \cos t\mathrm{d}t$，原式变为$\int\frac{\cost\mathrm{d}t}{\sin^2t\cos t} = \int\frac{\mathrm{d}t}{\sin t} =\ln|\tan\frac{t}{2}|+C$。
通过将$t$换回$x$来得到最终的答案，记得当$x$在区间$(-1,1)$之外时需加符号来保证得到的结果为正值，答案为$\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{1-x^2}\right|+C$。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨1. 引言1.1 引言在高等数学中，换元法是一种重要的解题方法，它在解决一些复杂问题时起到了至关重要的作用。
换元法的基本概念是通过引入新的变量或者函数，将原来的积分或者微分问题转化为容易求解的形式。
这种方法通常能够简化问题的结构，使得计算变得更加方便和高效。
换元法的原理与方法主要是通过进行代换，将原函数转化为另一种形式，进而简化问题的求解过程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择适合的换元方法，以达到最优的解题效果。
在不同类型的问题中，换元法都有着广泛的应用。
比如在求不定积分、解微分方程、计算面积和体积等方面，换元法都能够发挥巨大的作用，帮助我们解决各种复杂的数学难题。
当使用换元法时，需要注意一些技巧和注意事项，比如选择合适的代换变量、避免代换后引入无关的项等等。
只有在掌握了这些注意事项后，我们才能更好地运用换元法来解决问题。
为了更好地掌握换元法，我们还需要不断练习。
通过大量的练习，我们才能熟练掌握不同类型的换元方法，提高解题的效率和准确性。
换元法是高等数学中一个重要的解题工具，掌握了它，我们能够更加轻松地解决各种复杂的数学问题。
展望未来，我们可以通过不断地学习和实践，进一步提高换元法的运用能力，为解决更多更复杂的数学难题奠定更加坚实的基础。
2. 正文2.1 换元法的基本概念换元法是高等数学中常用的一种方法，它在解决复杂数学问题时具有重要的作用。
换元法的基本概念涉及到将复杂的问题转化为简单的形式，从而更容易解决。
换元法的核心思想是通过引入一个新的变量或函数，将原问题转化为一个容易求解的形式。
换元法的基本步骤包括确定新的变量或函数的取值范围，建立新旧变量之间的关系，然后将原问题转化为新变量或函数的形式，最终求解新问题。
在换元法中，选择合适的变量或函数是至关重要的。
通常情况下，我们会选择与原问题具有相关性的变量或函数作为新的代换变量，这样可以更好地反映原问题的性质。
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例1. 求
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注: 当
时
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例2. 求
解:
1 dx 2 x)2 a 1 (a x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
万能凑幂法
n 1 1 f (xn ) 1 d xn f (x ) x dx n x
n
n n f ( x ) d x f ( x n )x n 1 dx 1 n
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换ห้องสมุดไป่ตู้或配元
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思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
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a t
x
例17. 求
), , 解: 令 x a tan t , t ( 则 2 2
x 2 a 2 a 2 tan 2 t a 2 a sec t
dx a sec t d t a sec2 t d t sec t d t ∴ 原式 a sec t ln sec t tan t C1
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
则
(t ) f [ (t )] (t ) F ( x) [ 1 ( x) ] d dt 1 F ( x) f [ (t )] (t ) f ( x) d t dx (t ) f ( x) dx F ( x) C [ 1 ( x)] C
∴原式 =
1 (1 cos 8 x) 8
1 4
(1 cos 4 x) sin 2 2 x cos 2 x 1 8
1 cos 8 x d(8 x ) d x 64 2 1 cos 4 x d( 4 x ) 1 sin 2 x d (sin 2 x ) 2 32
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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例3. 求
解:
a
dx
x)2 1 (a
x) d (a x )2 1 (a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
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cos x dx
4 3 2
1 4
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) dx ( 2 2
1 cos 4 x d ( 4 x) cos 2 x d( 2 x ) d x 8
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例13. 求
2 解: sin 2 x cos 2 3x [ 1 (sin 4 x sin 2 x )] 2 2 1 2 sin 4 x sin 2 x 1 sin 2 2 x 1 sin 4 x 4 4 4
2
x a
2
2
ln
x2 a2 x
C 1 a
(C C1 ln a)
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t a
x
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例18. 求
则 解: 当x a 时, 令 x a sec t , t ( 0 , ) , 2
x 2 a 2 a 2 sec 2 t a 2 a tan t dx a sec t tan t d t
dx dx ( 2) (1) 4 x 4 x2 2 x d ( 4 x ) 1 (3) d x 2 2 4 x 4 x2 x2 (4) d x 4 x2 dx 1 1 (5) 2 2 x 2 x 4 x dx (6) 4x x2
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2
2
2
2
2
2 2 a cos a cos t a cos t d t ∴ 原式 t d t a2 x2 2 t sin 2t C a 2 4 x a2 x2 sin 2t 2 sin t cos t 2 a a x 1 a2 arcsin x a 2 x 2 C 2 a 2
f ( x) f ( x) d( ) f ( x) f ( x)
1 f ( x) 2 C 2 f ( x)
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小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
1 sin 2 x cos 2 x 等 (2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
a sec t tan t d t sec t d t ∴ 原式 a tan t ln sec t tan t C1
de
x
dln x
例6. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
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例7. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
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例14. 求
解: 原式=
ex
ex
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 xe x xe x 分析: x x xe (1 xe ) xe x (1 xe x )
f (sin x)cos xdx f (cos x)sin xdx
dsin x dcos x
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(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx
1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
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例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 ( 1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1 cos 4 x ) 1 ( 1 2 cos 2 x 4 2
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x) 1 ( 4 2 2
dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
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x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
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常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
d(a x b)
dx
n
1 n d x xn
万 能 凑 幂 法
(4) (5)
1 (t (C t )] )d t( tx) t [ft[] 1 ( x )
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例16. 求
), , 解: 令 x a sin t , t ( 2 2 则
a 2 x 2 dx (a 0) .
a x a a sin t a cos t dx a cos t d t
( x 1)e dx xe dx e dx
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x
x
x
例15. 求 解: 原式
f ( x) f ( x) f ( x) 1 f ( x) f 2 ( x)
dx
f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)