高一上数学期末测试卷【含答案】

高一上数学期末测试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,3，4，5，7}，B={2,3，5，6，7}，则A∪B=()A. {1,2，3，4，5，6，7}B. {1,2，4，6}C. {3,5，7}D. {3,5}【答案】A【解析】解：集合A={1,3，4，5，7}，B={2,3，5，6，7}，则A∪B={1,2，3，4，5，6，7}，故选：A．根据并集的意义，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合就是所求．本题属于集合并集的基础问题，属于容易题．2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为()A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】解：由弧长公式可得6=3r，解得r=2．×6×2=6．∴扇形的面积S=12故选：B．利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出．本题考查了扇形的面积计算公式、弧长公式，属于基础题．3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()A. f(x)⋅g(x)是偶函数B. |f(x)|⋅g(x)是奇函数C. f(x)⋅|g(x)|是奇函数D. |f(x)⋅g(x)|是奇函数【答案】C【解析】解：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，f(−x)⋅g(−x)=−f(x)⋅g(x)，故函数是奇函数，故A错误，|f(−x)|⋅g(−x)=|f(x)|⋅g(x)为偶函数，故B错误，f(−x)⋅|g(−x)|=−f(x)⋅|g(x)|是奇函数，故C正确．|f(−x)⋅g(−x)|=|f(x)⋅g(x)|为偶函数，故D错误，故选：C．根据函数奇偶性的性质即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4.sin20∘cos10∘−cos160∘sin10∘=()A. −√32B. √32C. −12D. 12【答案】D【解析】解：sin20∘cos10∘−cos160∘sin10∘=sin20∘cos10∘+cos20∘sin10∘=sin30∘=12．故选：D．直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．5.已知幂函数y=(m2−2m−2)x m2+m−1在(0,+∞)单调递增，则实数m的值为()A. −1B. 3C. −1或3D. 1或−3【答案】B【解析】解：幂函数y=(m2−2m−2)x m2+m−1在(0,+∞)单调递增，∴m2−2m−2=1，解得m=3或m=−1；又m2+m−1>0，∴m=3时满足条件，则实数m的值为3．故选：B．根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再判断m是否满足条件．本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题． 6.设a =20.1，b =ln 52，c =log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a【答案】A【解析】解：∵a =20.1>20=10=ln1<b =ln 52<lne =1c =log 3910<log 31=0 ∴a >b >c故选：A ．根据指数函数和对数函数的单调性判断出abc 的范围即可得到答案．本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减． 7.党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念；建设美丽中国，为人民创造良好生产生活环境，为全球生态安全作出贡献.某林业发展有限公司在2017年造林10000亩，若以后每年比前一年多造林20%，则该公司在2020年造林( )A. 14400亩B. 10600亩C. 17280亩D. 20736亩【答案】C【解析】解：由题设知该公司2018年造林：10000×(1+20%)=12000亩， 该公司2019三年造林：12000×(1+20%)=14400亩， 该公司2020年造林：14400×(1+20%)=17280． 故选：C ．根据题意可知，三年造林数恰好构成等比数列，只需求出首项与公比，就可求2020造林数． 本题考查数列在实际生活中的应用，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的灵活运用． 8.函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为( )A. y=2sin(2x+2π3)B. y=2sin(2x+π3)C. y=2sin(x2−π3)D. y=2sin(2x−π3)【答案】A【解析】解：由已知可得函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象经过(−π12,2)点和(−5π12,2)则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin(2x+ϕ)，将(−π12,2)代入得−π6+ϕ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=2π3+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=2π3此时y=2sin(2x+2π3)故选：A．根据已知中函数y=Asin(ωx+ϕ)在一个周期内的图象经过(−π12,2)和(−5π12,2)，我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin(ωx+ϕ)的解析式．本题考查的知识点是由函数y=Asin(ωx+ϕ)的部分图象确定其解析式，其中A=12|最大值−最小值|，|ω|=2πT，φ=L⋅ω(L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量)．9.已知函数f(x)=log0.5(x2−ax+3a)在[2,+∞)单调递减，则a的取值范围()A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [−4,4]D. (−4,4]【答案】D【解析】解：令g(x)=x2−ax+3a，∵f(x)=log0.5(x2−ax+3a)在[2,+∞)单调递减∴函数g(x)在区间[2,+∞)内单调递增，且恒大于0∴12a≤2且g(2)>0∴a≤4且4+a>0∴−4<a≤4故选：D．令g(x)=x2−ax+3a，则函数g(x)在区间[2,+∞)内单调递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求a的取值范围．本题考查复合函数的单调性，解题的关键是搞清内、外函数的单调性，同时应注意函数的定义域．10.f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A>0,ω>0)在[−3π2,−3π4]上单调，则ω的最大值为()A. 12B. 34C. 1D. 43【答案】C【解析】解：画出函数f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A> 0,ω>0)的图象，如图所示；令Asin(ωx+ωπ)=−A，得ωx+ωπ=−π2，解得x=−π−π2ω；∵函数f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A>0,ω>0)在[−3π2,−3π4]上单调，故−π−π2ω≤−3π2，∴ω≤1，∴ω的最大值是ωmax=1．故选：C．画出函数f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A>0,ω>0)的图象，利用图象得出f(x)在[−3π2,−3π4]上单调，在y轴左侧的最低点必须在对称轴的两侧，利用不等关系即可求出ω的范围，从而得到ω的最大值．本题考查了正弦函数的单调性，也考查了数形结合思想与转化法的应用问题，是基础题目．11. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f(x +4)=f(x)+2f(2)，且f(0)=3，则f(−8)的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f(x +4)=f(x)+2f(2)， ∴令x =−2得f(−2+4)=f(−2)+2f(2)， 即f(2)=f(2)+2f(2)， 得f(2)=0，即f(x +4)=f(x)+2f(2)=f(x)， 则函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(−8)=f(−8+4)=f(−4)=f(−4+4)=f(0)=3， 故选：C ．利用抽象函数的关系式，结合函数奇偶性的性质，利用赋值法进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系判断f(2)=0，以及求出函数的周期是解决本题的关键．12. 已知函数f(x)={|log 2x|,x >0(x+1)2,x≤0，若方程f(x)=a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3(x 1+x 2)+1x 32x 4的取值范围为( )A. (−1,+∞)B. (−1,1]C. (−∞,1)D. [−1,1)【答案】B【解析】解：作函数f(x)的图象如右，∵方程f(x)=a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4， ∴x 1，x 2关于x =−1对称，即x 1+x 2=−2， 0<x 3<1<x 4， 则|log 2x 3|=|log 2x 4|， 即−log 2x 3=log 2x 4， 则log 2x 3+log 2x 4=0 即log 2x 3x 4=0则x 3x 4=1；当|log 2x|=1得x =2或12， 则1<x 4≤2；12≤x 3<1；故x 3(x 1+x 2)+1x 32x 4=−2x 3+1x 3，12≤x 3<1；则函数y =−2x 3+1x 3，在12≤x 3<1上为减函数，则故x 3=12取得最大值，为y =1， 当x 3=1时，函数值为−1． 即函数取值范围是(−1,1]． 故选：B ．作出函数f(x)，得到x 1，x 2关于x =−1对称，x 3x 4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可． 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={log 12x,x ≥11−3x,x <1，则f(f(−1))=______．【答案】−2【解析】解：∵函数f(x)={log 12x,x ≥11−3x,x <1，∴f(−1)=1−3×(−1)=4， f(f(−1))=f(4)=log 124=−2．故答案为：−2．推导出f(−1)=1−3×(−1)=4，从而f(f(−1))=f(4)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，是基础题．14. 已知tanα，tanβ是方程3x 2−2x −5=0的两个根，则tan(α+β)=______． 【答案】14【解析】解：∵tanα，tanβ是方程3x 2−2x −5=0的两个根， ∴tanα+tanβ=23，tanαtanβ=−53，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=231−(−53)=14． 故答案为：14．由已知可得tanα+tanβ=23，tanαtanβ=−53，再由两角和的正切求解． 本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，考查两角和的正切，是基础题． 15.1tan20∘−1cos10∘=______．【答案】√3【解析】解：1tan20∘−1cos10∘=cos20∘sin20∘−1cos10∘=cos20∘−2sin10∘sin20∘=cos20∘−2sin(30∘−20∘)sin20∘=√3sin20∘sin20∘=√3．化切为弦，通分后利用两角差的正弦化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正弦，是基础题．16. 设函数f(x)={e −x (x <0)e x (0≤x ≤1)3−x(x >1)，若互不相等的实数a ，b ，c(a <b <c)满足f(a)=f(b)=f(c)，则af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范围______． 【答案】(2,94]【解析】解：函数f(x)={e −x (x <0)e x (0≤x ≤1)3−x(x >1)的图象如下图所示：若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)=f(b)=f(c)， 不妨令a <b <c ，则a ，b 互为相反数，即af(a)+bf(b)=0，c ∈(1,2)，则af(a)+bf(b)+cf(c)=cf(c) =c(3−c)=−(c −32)2+94，当c =32时，取最大值94，又由c =1或c =2时，c(3−c)=2， 故af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范围是(2,94]. 故答案为：(2,94].画出函数f(x)的图象，可得a +b =0，af(a)+bf(b)+cf(c)=cf(c)=c(3−c)，c ∈(1,2)，结合二次函数的图象和性质，可得答案．本题考查分段函数的图象和性质，注意运用数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知A ={x|2a ≤x ≤a +3}，B ={x|x <−1或x >5}．(1)若a =−2，求A ∩B ；(2)若A ∩B =⌀，求a 的取值范围．【答案】解：(1)若a =−2，集合A ={x|−4≤x ≤1}； B ={x|x <−1或x >5}．∴A ∩B ={x|−4≤x <−1}(2)由A ∩B =⌀，当A =⌀时，可得A ∩B =⌀， 则有2a >a +3， 解得：a >3；当A ≠⌀时，要使A ∩B =⌀， 如图所示： 则{2a ≥−1a +3≤52a ≤a +3， 解得：−12≤a ≤2；综上所述，a 的取值范围是{a|−12≤a ≤2或a >3}．【解析】(1)根据a=2，求解集合A，根据交集的定义可得答案；(2)根据A∩B=⌀，利用数轴即可求a的取值范围．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.注意空集的应用．18.已知α的终边过点P(3,m)，且sinα=45．(1)求tanα的值；(2)若sinβ=513，β∈(π2,3π2)，求cos(α+β)的值．【答案】(本题满分12分)解：(1)由题意可得sinα=45=√m2+9，∴解得m=4，…(2分)∴cosα=√32+42=35，…(4分)∴tanα=sinαcosα=43.…(6分)(2)∵sinβ=513，β∈(π2,3π2)，∴cosβ=−√1−sin2β=−1213，…(8分)∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ…(10分)=35×(−1213)−45×513=−5665.…(12分)【解析】(1)由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，即可得解；(2)利用同角三角函数基本关系式可求cosβ，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解cos(α+β)的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.已知函数f(x)=√2−x−√x+3+ln(3x−13)的定义域为M．(1)求M；(2)当x∈M时，求g(x)=4 x+12−2x+2+1的值域．【答案】解：(1)由已知可得{2−x ≥0x +3≥03x −13>0…(2分) ∴−1<x ≤2，∴M =(−1,2]…(5分)(2)g(x)=2(2x −1)2−1…(8分)∵−1<x ≤2，∴12<2x ≤4…(9分)所以，当2x =1，即x =0时，g(x)min =−1，当2x =4，即x =2时，g(x)max =17，所以g(x)的值域为[−1,17]…(12分)【解析】(1)根据二次根式以及对数函数的性质得到关于x 的不等式组，求出M 的范围即可；(2)结合二次函数以及指数函数的性质求出函数的值域即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及对数函数，指数函数，二次函数的性质，是一道中档题．20. 已知函数f(x)=√3sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)(−π2<φ<0,ω>0)为偶函数，且函数y =f(x)的图象相邻的两条对称轴间的距离为π2．(1)求f(π12)的值；(2)将y =f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)的图象，求y =g(x)在[−π3,5π6]上的最值．【答案】解：(1)∵函数f(x)=√3sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=2sin(ωx +φ−π6)(−π2<φ<0,ω>0)为偶函数，∴φ−π6=−π2，∴φ=−π3．又函数y =f(x)的图象相邻的两条对称轴间的距离为π2，∴12⋅2πω=π2， ∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x −π2)=−2cos2x ，故f(π12)=−2cos π6=−√3．(2)将y =f(x)的图象向右平移π6个单位后，可得y =−2cos(2x −π3)的图象；再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)=−2cos(12x −π3)的图象．在[−π3,5π6]上，12x −π3∈[−π2,π12]， 故当12x −π3=0时，g(x)取得最小值为−2；当12x −π3=−π2时，g(x)取得最大值为0．【解析】(1)利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再由题意利用三角函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，进而求得f(π12)的值．(2)利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得y =g(x)在[−π3,5π6]上的最值．本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．21. 定义在区间D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的界．(1)判断函数f(x)=lg 2x 10+2lg 1x +1，x ∈[110,1000]是否是有界函数，请说明理由．(2)若函数g(x)=a ⋅(12)x +(2−x +1)2−2在[0,+∞)上是以3为界的有界函数，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)f(x)=(lgx −1)2−2lgx +1=(lgx −2)2−2，当x ∈[110,1000]时，∴−1≤lgx ≤3，则−2≤f(x)≤7．则|f(x)|≤7．由有界函数定义可知：函数f(x)是有界函数．(2)由题意知，|g(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立，即−3≤g(x)≤3，亦即−3≤(a +2)(12)x +(14)x −1≤3，∴−2⋅2x −(12)x ≤a +2≤4⋅2x −(12)x 在[0,+∞)上恒成立∴[−2⋅2x −(12)x ]max ≤a +2≤[4⋅2x −(12)x ]min ，设2x =t ，ℎ(t)=−2t −1t ，p(t)=4t −1t ．由x ≥0得t ≥1，ℎ′(t)=−2+1t 2<0，p′(t)=4+1t 2>0，∴ℎ(t)在[0,+∞)上递减，p(t)在[0,+∞)上递增．∴ℎ(t)在[0,+∞)上的最大值为ℎ(1)=−3．p(t)在[0,+∞)上的最小值为p(1)=3．所以实数a 的取值范围为[−5,1]．【解析】(1)f(x)=(lgx −1)2−2lgx +1=(lgx −2)2−2，当x ∈[110,1000]时，可得−1≤lgx ≤3，可得f(x)范围.即可判断出函数f(x)是否是有界函数．(2)由题意知，|g(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立，可得−3≤g(x)≤3，亦即−3≤(a +2)(12)x +(14)x −1≤3，化简整理，通过换元，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元法、不等式的解法、有界函数的定义与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22. (1)计算：(log 23)2−log 23⋅lg6lg2+log 26.(2)若tanα=−13，求sin2α−cos 2α1+cos2α．【答案】解：(1)原式=(log 23)2−log 23log 26+log 26=log 23(log 23−log 26)+log 26=−log 23+log 26=1．(2)∵tanα=−13，∴sin2α−cos 2α1+cos2α=2sinαcosα−cos2α2cos 2α=2tanα−12=2×(−13)−12=−56． 【解析】(1)利用对数运算性质即可得出．(2)利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．本题考查了指数与对数运算性质、同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题。