有理数的历史定义
第一讲《有理数》《数轴》
第一讲《有理数》《数轴》引言有理数是我们常见的一类数，包括整数和分数。
它们在数学中具有重要的地位，因为它们可以覆盖我们日常生活中的绝大部分数量关系。
在本讲中，我们将介绍有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法。
一、有理数的定义和性质1.1 定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。
整数是有理数的特殊情况，可以看作分母为1的有理数。
有理数可以是正数、负数或零。
1.2 性质有理数有以下性质：•有理数的加法、减法和乘法运算仍然得到有理数。
•有理数的除法运算结果可能是有理数，也可能是无理数（不能表示为两个整数的比值）。
二、有理数的表示方法有理数可以用分数、整数或小数形式表示。
2.1 分数表示法分数是有理数最常见的表示形式，它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示总共的份数。
分数可以是正数、负数或零。
2.2 整数表示法整数是没有小数部分的有理数。
它可以是正整数、负整数或零。
2.3 小数表示法小数是有理数的一种特殊表示形式。
它可以有有限的数字部分和无限的循环部分，也可以是有限的数字部分。
三、数轴的概念和使用方法3.1 数轴的定义数轴是由一条直线和一个固定原点组成的图形，用来表示数的大小和位置关系。
原点通常表示零，正方向表示正数，负方向表示负数。
3.2 数轴的使用方法数轴可以用来表示有理数的位置和大小关系。
我们可以通过在数轴上画点、画线段等方式来表示有理数的位置。
数轴上两个数之间的距离，即两个数的差的绝对值，表示它们之间的差别大小。
有理数是我们日常生活中非常重要的数，它包括整数和分数。
有理数可以用分数、整数或小数形式表示，可以在数轴上表示它们的位置和大小关系。
了解和掌握有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法，对我们的数学学习和实际应用都非常有帮助。
参考文献：•《数学教学参考书》•《高中数学学科教学大纲》。
从有理数到实数的历史演进
处于当今信息化、大数据时代，我们每天都会迎来铺天盖地的数据，数学更是无时无刻不在服务于人类社会。作为数学最基本元素的数，其是从现实生活中经过多年的实践而来，我们看不见摸不着这些美丽的小精灵，但超越了虚拟世界和物质世界的局限，拥有着无穷无尽的魅力。然而诸如数的本质是什么？如何定义无理数？有理数一样无理数多吗？实数是什么等问题，即使今天回答起来也并非易事。正如英国哲学家、数理逻辑学家罗素（B. Russell，1872-1970）曾说：“人类了解到两只羊中的2和两天中的2是同一个概念，竟花了几千年时间。”同样人类从认识自然数、有理数，再到实数也用了两千多年的时间。
二、毕达哥拉斯学派发现无理数
“万物皆数”是古希腊毕达哥拉斯学派的基本信条。不过他们所说的“数”仅仅是指有理数。公元前500年左右，毕达哥拉斯学派主要成员之一希帕苏斯（Hippasus，约公元前470）发现了一个惊人事实：边长为1的正方形，其对角线长度不可公度（即不能用整数或整数之比来表示）。那这个数是什么，既不是整数，也非有理数。该发现很快引起了该学派的恐慌，认为其动摇了他们在学术界的统治地位。因毕达哥拉斯学派把抽象数作为万物本原，他们研究数之目的是试图通过揭示数的奥秘来探索宇宙永恒真理。“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的一种信念，是其宗教、哲学和数学思想的基础。而无理数的发现彻底击碎了其基本信念，致使整个学派失去了赖以存在的基础。对毕达哥拉斯学派来说，整数是一切的基础，认为任何事物皆可由整数表示出来。但无理数的发现使整数的原子地位受到了质疑，这就是该学派乃至整个希腊数学最为恐惧的科学事实。
三、戴德金分割
直到文艺复兴时期，如何定义无理数仍在探索之中。数学家斯蒂费尔（Michael Stifel，1486-1567）曾使用各种无理数，甚至还用过[a+bnm]这种在当时来说是新型的无理数。但他承认：“当我们想把它们数出来（用十进制小数的形式）时，却发现它们无止境地往远处跑，因而没有一个无理数实质上能被我们准确地掌握住。而本身缺乏准确性的东西，就不能称其为真正的数。故正如无穷大不是数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种迷雾后面的东西。”
数学论文 关于数的发展历史
目录1 引言 (3)2 计数法和自然数 (3)2.1 记数制度 (3)2.2 自然数 (4)3 有理数系 (8)3.1有理数的引入 (8)3.2分数和负数 (8)4 实数理论的完善 (9)4.1无理数的由来 (9)4.2 实数的发展 (10)5 复数的扩张 (11)5.1 复数的产生 (11)5.2 复数的历史意义 (11)6 结论 (12)参考文献 (13)致谢 (14)关于数的发展历史摘要：数系理论的历史发展表明，数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步，但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。
希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷，而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成。
负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识，然而，15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。
“四元数”的发明，打开了通向抽象代数的大门，同时也宣告在保持传统运算定律的意义下，复数是数系扩张的终点。
关键词：记数法；素数；有理数；实数理论；复数扩张1 引言数是数学中的基本概念，也是人类文明的重要部分。
数的概念的每一次扩展都标志着数学的巨大飞跃。
一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。
现在，我们所应用的数，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。
在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数的形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？2 记数法和自然数2.1 记数制度记数制度或计数法就是记录或表示数目的方法，主要指数字符号的表现形式以及技术工具的使用。
在文字生产之前，人类就已形成数的概念。
那时数目是用事物来记录的，如小石子,竹片，树枝，贝壳之类。
这些东西容易散乱，自然会想到用结绳的办法来记录。
我国《周易.系辞下》有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”的说法。
东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。
(完整版)有理数的历史定义
有理数的历史定义数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。
所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。
定义如下：有理数的小数部分有限或为循环。
不是有理数的实数遂称为无理数。
有理数在希腊文中称为λογος，原意是“成比例的数”。
英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语即是“可比数”。
对应地，无理数则为“不可比数”。
但并非中文翻译不恰当。
有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。
明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。
他们将这个词（“λογος”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。
日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。
日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。
后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。
当有理数从日本传回中国时又延续错误。
清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。
运算[编辑]有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。
有理数的加法和乘法如下：两个有理数和相等当且仅当有理数中存在加法和乘法的逆：时，古埃及分数[编辑]主条目：古埃及分数古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。
每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。
例如：对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。
形式构建[编辑]数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类，这里不为零。
我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：为了使，定义等价关系如下：这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：。
有理数为什么叫有理数
有理数为什么叫有理数
在数学的广阔天地中，有理数占据了一个特殊且核心的地位。
那么，为什么它们被称为“有理数”呢？这里的“有理”究竟蕴含了怎样的深意？
“有理数”的“有理”二字，源于它们可以表示为两个整数的比值。
换句话说，每一个有理数都可以被写成一个整数a与另一个非零整数b的商，即a/b的形式。
这种比值表示法为有理数提供了坚实的数学基础，并且确保了有理数在运算时的封闭性、结合性、交换性和分配性等基本性质。
是一个正有理数，有理数包括正数、负数以及零，它们都可以由整数经过除法运算得到。
例如，3
2则是一个负有理数。
零也可以视为一个有理数，因为它可以表示为任何整数与自身的比值。
而−3
5
有理数的命名不仅仅是一个数学概念，它也体现了数学的哲学思想。
在数学中，有理数代表着一种有序、有理有据的思维方式，它们是人类理性思维的产物。
有理数的存在使得我们可以进行精确的计算和推理，为解决各种实际问题提供了有力的工具。
总的来说，有理数之所以被称为“有理数”，是因为它们可以表示为两个整数的比值，这种比值表示法为有理数提供了坚实的数学基础，并体现了数学的理性与有序性。
有理数不仅在数学领域中有着广泛的应用，更是人类理性思维的结晶，为我们的日常生活和科学研究提供了重要的支撑。
有理数的发展史简介
《有理数的发展史简介》小朋友们，今天咱们来了解一下有理数的发展历史，可有趣啦！很久很久以前，人们在生活中要数数和计算。
比如，有几个苹果，几只羊。
慢慢地，就有了数字的概念。
后来呀，人们发现光有整数不够用啦。
比如说，把一个苹果分成两份，这时候就需要分数了。
分数就是有理数的一种哦。
再后来，人们做生意，计算买卖的东西，发现负数也很重要。
像冬天天气很冷，温度会降到零下，这时候负数就派上用场啦。
有理数的发展可不是一下子就完成的，是经过了很多很多人的努力。
就像盖房子一样，一块砖一块砖地积累起来，有理数的知识才越来越丰富。
《有理数的发展史简介》同学们，咱们来聊聊有理数的发展故事。
一开始，人们只会用简单的整数来计数。
比如1、2、3 这些。
但是后来，生活变得更复杂啦。
比如，一块地要平均分给几个人种，这时候就出现了分数。
想象一下，一个大蛋糕要分给几个小朋友，每个人能得到多少，这就要用分数来算啦。
还有呢，有时候东西不够分，或者欠别人东西，负数就出现了。
有理数的发展就像我们长大一样，一点点变得更厉害，能解决更多的问题。
《有理数的发展史简介》小朋友们，有理数的发展可有一段长长的历史哟！在古代，人们为了记录东西的数量，有了整数。
随着时间的推移，人们发现有些情况整数不够用。
比如说，测量一块布的长度，可能不是正好整数的长度，这就需要小数啦，小数也是有理数的一部分。
还有做生意的时候，赚了钱是正数，亏了钱就是负数。
有理数的发展是人们不断探索和发现的过程。
就像我们学习一样，不断进步，不断发现新的知识。
有理数的故事还在继续，等着我们去探索更多的奥秘呢！。
数学史上一共发生过三次危机,都是怎么回事
数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。
直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
初中数学 有理数的概念
有理数的概念一、正数和负数在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4︒C 和零上6︒C ，收入20元和支出30元，向东30米和向西100米等等．这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数：1．用正负数表示相反意义的量：我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数．【例】以上几个例子分别记为：4-︒C 和6+︒C ，20+元和20-元，30+米和100-米.2．正数：像30、+6、12、π这样的数叫做正数，正数都大于零；3．负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数，比如：20-、3.14-、0.001-、172-．【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“-”号一定不能省略；②数0既不是正数也不是负数．二、有理数的概念及分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类：⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数 （2）有理数按符号分类 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数（3）小数的分类【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数——不可化成分数，是无理数——可化成分数，是有理数三、数轴1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素；①原点：表示数0的点；②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度.2．数轴的画法（1）画一条水平直线；（2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方．【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误：①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 错误类型 错误示例三要素缺失单位长度不统一方向不统一3．数轴与有理数的关系①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如π． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系；②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 四、相反数&倒数1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0．【例】5+与5-互为相反数；5-是5+的相反数；【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“5-是相反数”是错误的. 2．相反数的性质：（1）代数性质：若a 与b 互为相反数，则0a b +=；反之，若0a b +=，则a 与b 互为相反数．（2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的．2-•1-012 021-010122-01 1231-01 20111- 11-3．倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数．【例】2与12，3-与13-，38-与83-．4．负倒数：乘积为1-的两个有理数互为负倒数．【例】2与12-，3-与13，38-与83．【注】①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 五、绝对值1．绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3．绝对值的性质： （1）非负性：||0a ≥；（2）双解性：若||||a b =，则a b =或a b =-．【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如，若||||||a b c ++=0，则a =0，b =0，c =0．（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局；②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元；④增加10%与减少20%．其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？【解析】（1）C ；[①③④具有相反意义]；模块一正数和负数例题1（2）①500-年，②向西走60m ，③130； （3）“(ml)600±30”表示每瓶饮料容量最小可以是()ml 600-30，最大可以是()ml 600+30，抽出的5瓶容量均在()ml 600-30与()ml 600+30之间，因此合格． 【提示】通过这道例题反复强调，正数和负数可以表示相反意义的量．（1）下列说法错误的是（ ）A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，.24，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；（3）在下表适当的空格里打上“√”号．整数 分数 正数 负整数正分数非负数非负整数无理数 0.-15-3.+062 14.031π98-【解析】（1）B ；（2）①正数：{32，227，327，π，.24，3.14159，2003}； ②负数：{5-，34-， 3.14-， 2.4-， 5.5-，311-}；③非负整数：{0，32，2003}； 模块二有理数的概念及分类例题2④分数：{ 3.14-， 2.4-，227，327， 5.5-，.24，311-，3.14159，34-}；⑤非正有理数：{5-，0， 3.14-， 2.4-， 5.5-，311-，34-}；（2）整数 分数 正数 负整数正分数 非负数 非负整数 无理数 0 √ √ √ .-15√ -3 √ √ .+062 √ √ √ √ 14 √ √ √ √ .031√ √ √ √ π√ √ √ 98-√【提示】能化成分数的小数一律视作分数。
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有理数的历史定义
数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。
所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。
定义如下：
有理数的小数部分有限或为循环。
不是有理数的实数遂称为无理数。
有理数在希腊文中称为λογος，原意是“成比例的数”。
英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语即是“可比数”。
对应地，无理数则为“不可比数”。
但并非中文翻译不恰当。
有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。
明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。
他们将这个词（“λογος”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。
日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。
日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。
后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。
当有理数从日本传回中国时又延续错误。
清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法
可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。
运算[编辑]
有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。
有理数的加法和乘法如下：
两个有理数和相等当且仅当
有理数中存在加法和乘法的逆：
时，
古埃及分数[编辑]
主条目：古埃及分数
古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。
每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。
例如：
对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。
形式构建[编辑]
数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类，这里不为零。
我们可
以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：
为了使，定义等价关系如下：
这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：。
例如：两个对(a, b)和(c, d)是相同的，
如果它们满足上述等式。
（这种构建可用于任何整数环，参见商域。
）
Q上的全序关系可以定义为：
当且仅当
1.并且
2.并且
有理数集是可数的
集合，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数的商域。
有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含的一个拷贝（即存在一个从到其中的同构映射）。
的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。
所有有理数的集合是可数的，亦即是说的基数（或势）与自然数集合相同，都是阿列夫数。
因为所有实数的集合是不可数的，从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。
有理数是个稠密的集合：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。
实数[编辑]
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。
一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。
依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。
有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上
的第三个拓扑。
幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。
有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。
这个空间也是完全不连通的。
有理数不构成完备的度量空间；
实数是的完备集。
p进数[编辑]
除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域：
设是素数，对任何非零整数设，这里是整除的的最高次幂；
另外。
对任何有理数，设。
则在上定义了一个度量。
度量空间不完备，它的完备集是p进数域。