《课题学习 最短路径问题》导学案
2022年初中数学精品导学案《课题学习最短路径问题学案》导学案
13.4《最短路径问题》导学案一、 学习目标①能利用轴对称解决简单的最短路径问题.②体会图形的变化在解决最值问题中的作用；③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容自学课本85页，完成以下问题： 追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试答复， 并互相补充，最后达成共识：〔1〕从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；〔2〕在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；〔3〕现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小〔如图〕．三、探究学习1、活动2：尝试解决数学问题问题2 ： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试答复，互相补充 〔2〕连接AB ′，与直线l 相交于点C ，那么点C 即为所求如果学生有困难，教师可作如下提示作法：〔1〕作点B 关于直线l 的对称点B ′；l B A l C B。
A l四、稳固测评(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，那么与该直线的交点即为所求．如下图，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，那么点C 是直线l 与AB ′的交点．2.如图，A 和B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？〔假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直〕〔二〕变式训练：.如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)假设要使厂部到A ，B 村的距离相等，那么应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO )，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b五、学习心得 。
课题学习：最短路径问题导学案
13.4课题学习：最短路径问题导学目标:1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。
2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。
3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。
导学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。
导学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。
导学过程：一、创设情景，引入新知。
(1)我们已经学习过“两点的所有连线中，。
”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等问题，我们称他们为最短路径问题。
(2)请画出点A关于直线L的对称点。
A．_______________________ L二、自主学习，探究新知。
1、探究问题：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？（I）两点在一条直线异侧：活动1: 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。
思考：（1）为什么这样做就能得到最短距离呢？（2）你如何验证PA+PB 最短呢？(Ⅱ) 两点在一条直线同侧活动2：如图，牧马人从A 地出发到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短？这个问题可以转化为;当点C 在什么位置时。
AC 与BC 的和最小。
BA思考：（1） 如何将点B “移”到l 的另一侧B ′处，满足直线l 上的任意一点C ，都保持CB 与CB ′的长度相等？（2）你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？（3）试证明你的结论。
作法：1.作点A 关于L 的对称点_____，2.连接_______,交直线L 与_______, 则点_______就是所要求作的点想一想：如果A 、B 处于小河的两侧，在河上建一座与两岸垂直的桥,你能找到所走最短路径吗？2、探究问题：造桥选址问题中的最短路径问题活动3，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思考：①怎样将实际问题转化为数学问题？②若直线重合，最短路径是什么？③若将直线平移开，怎样思考该问题？④怎样解决造桥选址问题？A B l作法：如图（2），将点A沿与和垂直的方向平移MN的距离到C.连接BC交河岸与点N，在此处造桥MN，所得路程AMNB就是最短路程。
初中数学最新版《课题学习最短路径问题 》精品导学案(2022年版)
13.4 课题学习最短路径问题学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.“两点之间，线段最短〞问题.重点：作轴对称图形难点：用轴对称知识解决相应的数学问题学习过程：一、复习旧知1、动一动：如图，△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
二、预习新课2、[探究1]如图〔1〕．要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？[探究2]为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明．：求作：证明过程：三、随堂练习1、任画一条直线L及直线L同旁两点M、N，画出从点M出发经过直线L上的某一点后，再到达N点的最短路线。
.N .M2、：两点A、B位于直线L的两侧，在直线L上求作一点C，使得AC-BC最大。
A ..B四、课时小结五、稳固提升1、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
2、 为保证2021北京奥运会顺利进行，奥组委在公路L 的同侧修建你A ，B 两个日用品供给站，要在过路边建一个转运站C ，使A,B 两站到转运站C 的距离之和最短，问这个转运站应建在公路的哪个位置上比拟合理？A .B . 垂径定理1．进一步认识圆是轴对称图形；2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；(重点)3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥〞，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究探究点一：垂径定理 【类型一】 利用垂径定理求边如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB ＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯穿，在解决问题时才能得心应手． 【类型二】 动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA △AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3cm ≤OP ≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP 最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．探究点二：垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，那么这段弯路的半径是________m.解析：此题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴ADR m ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．三、板书设计教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用．。
八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题导学案新版新人教版2
13.4 最短路径问题学习目标：体会利用作图解决最短路径问题学习重点：体会利用作图解决最短路径问题学习难点：体会利用作图解决最短路径问题一、自主学习1、如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？2、两点在一条直线异侧：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
二、合作探究与展示问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．作法：FEDCBA①②③三、课堂检测：（1题为必做题； 2题为选做题。
）1、要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。
修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。
2、某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到D处座位上，，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？总结反思：BC．D.OA张村李庄lAB八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在ΔABC中，∠BAC=120°，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将ΔACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠B等于( )A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】B【分析】由题意根据折叠的性质得出∠C=∠AED，再利用线段垂直平分线的性质得出BE=DE，进而得出∠B=∠EDB，以=以此分析并利用三角形内角和求解．【详解】解：∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，∴∠C=∠AED，∵BD的垂直平分线交AB于点E，∴BE=DE，∴∠B=∠EDB，∴∠C=∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=∠B+2∠B+120°=180°，解得：∠B=20°，故选：B．【点睛】本题考查折叠的性质和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记相关性质是解题的关键．2．下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．对各图形分析后即可得解A 、是轴对称图形，故不符合题意；B 、不是轴对称图形，故符合题意；C 、是轴对称图形，故不符合题意；D 、是轴对称图形，故不符合题意 3．四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是( ) A ．5，9，12 B ．5，9，13 C ．5，12，13 D ．9，12，13【答案】C【分析】当一个三角形中，两个较小边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形是直角三角形．据此进行求解即可．【详解】A 、52+92=106≠122=144，故不能构成直角三角形； B 、52+92=106≠132=169，故不能构成直角三角形； C 、52+122=169=132，故能构成直角三角形； D 、92+122=225≠132=169，故不能构成直角三角形， 故选C ．4．下列各式中计算结果为5x 的是（ ） A ．32x x + B ．32·x x C ．3x x ⋅ D ．72x x -【答案】B【分析】利用同底数幂的乘法运算公式即可得出答案． 【详解】A 、x 3和x 2不是同类项，不能合并，故此选项错误； B 、x 3·x 2=x 3+2=x 5，故此选项正确； C 、x ·x 3=x 1+3=x 4，故此选项错误；D 、x 7和-x 2不是同类项，不能合并，故此选项错误． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解决此题的关键． 5．下列图形中有稳定性的是（ ） A ．正方形 B ．长方形 C ．直角三角形 D ．平行四边形【答案】C【分析】根据三角形稳定性即可得答案.【详解】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；而四边形不具有稳定性，易于变形.四个选项中，只有C 选项是三角形，其他三个选项均为四边形，故答案为C.【点睛】本题考查的知识点是三角形稳定性. 6．已知关于x 的分式方程111k xx x+=--无解，则k 的值为 （ ） A ．2k =- B ．2k =C ．1k =-D ．1k =【答案】A【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程可得答案． 【详解】解：111k xx x+=--， 1,11k xx x +-∴=-- 1,k x ∴+=-方程的增根是1,x =把1x =代入1k x +=-得：2.k ∴=-故选A ． 【点睛】本题考查分式方程的增根问题，掌握把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣2，﹣3） B ．（2，﹣3）C ．（﹣2，3）D ．（2，3）【答案】C【分析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于y 轴的对称点的坐标是（﹣x ，y ），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【详解】解：点（2，3）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣2，3）． 故选C ． 【点睛】本题考查关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．8．如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件不能判定直线a 与b 平行的是（ ）A．∠1=∠3 B．∠2+∠4=180°C．∠1=∠4 D．∠3=∠4【答案】D【解析】试题分析：A．∵∠1=∠3，∴a∥b，故A正确；B．∵∠2+∠4=180°，∠2+∠1=180°，∴∠1=∠4，∵∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故B正确；C．∵∠1=∠4，∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故C正确；D．∠3和∠4是对顶角，不能判断a与b是否平行，故D错误．故选D．考点：平行线的判定．9．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【详解】解：A、22+32 52，不符合勾股定理的逆定理，故错误；B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故正确；C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故正确；D、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故正确．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．10．如图，下列条件不能判断直线a∥b的是（）A．∠1=∠4 B．∠3=∠5 C．∠2+∠5=180°D．∠2+∠4=180°【答案】D【解析】试题解析：A、能判断，∵∠1=∠4，∴a∥b，满足内错角相等，两直线平行．B、能判断，∵∠3=∠5，∴a∥b，满足同位角相等，两直线平行．C、能判断，∵∠2+∠5=180°，∴a∥b，满足同旁内角互补，两直线平行．D、不能．故选D．二、填空题11．到点P的距离等于4cm的点的轨迹是_____．【答案】以P为圆心4cm长为半径的圆【分析】根据到定点的距离等于定长的点都在圆上，反过来圆上各点到定点的距离等于定长，得出结论到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．【详解】到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．故答案为：以P为圆心，以4cm为半径的圆．【点睛】本题考查了学生的理解能力和画图能力，到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．12．生命在于运动，小张同学用手机软件记录了4月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图．在这组数据中，众数是_____万步．【答案】1.1【分析】根据众数的定义求解可得．【详解】因为1.1万步的人数最多为10人，所以这组数据的众数是1.1万步，故答案为：1.1．【点睛】考查的是众数的定义及其求法，牢记定义是关键．13．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．【答案】92°．【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C ，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C ，∠3=∠2+∠C'， 则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°， 则∠1﹣∠2=92°． 故答案为92°．【点睛】考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 14．如图，在菱形ABCD 中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD 的面积是____．【答案】1【详解】试题解析：∵菱形ABCD 的对角线AC=6，BD=8， ∴菱形的面积S=12AC•BD=12×8×6=1． 考点：菱形的性质．15．如图，ABC ∆中，12AB AC ==，10BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则CDE ∆的周长为_______________．【答案】2【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，CD=BD ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE 12=AC ，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，BC=10， ∴AD ⊥BC ，CD=BD 12=BC=1． ∵点E 为AC 的中点， ∴DE=CE 12=AC=6， ∴△CDE 的周长=CD+DE+CE=1+6+6=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解答本题的关键． 163825-=______. 【答案】3【分析】根据立方根和平方根的定义进行化简计算即可. 3825-=-2+5=3 故答案为：3 【点睛】本题考查的是实数的运算，掌握平方根及立方根是关键.17．在平面直角坐标系中，点()42P ，关于y 轴的对称点的坐标是__________． 【答案】()4,2-【分析】点P 的横坐标的相反数为所求的点的横坐标，纵坐标不变为所求点的纵坐标．【详解】解：点()42P ，关于y 轴的对称点的横坐标为-4；纵坐标为2；∴点()42P ，关于y 轴的对称点的坐标为()4,2-, 故答案为：()4,2-. 【点睛】用到的知识点为：两点关于y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 三、解答题18．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ABC ∆的顶点在格点．请选择适当的格点用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由． （1）如图1，作ABC ∆关于直线l 的对称图形111A B C ∆； （2）如图2，作ABC ∆的高CD ； （3）如图3，作ABC ∆的中线CE ；（4）如图4，在直线l 上作出一条长度为1个单位长度的线段MN M （在N 的上方），使AM MN NB ++的值最小．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析；（4）图见解析【分析】（1）分别找到A 、B 、C 关于直线l 的对称点111A B C 、、，连接11A B 、11B C 、11A C 即可； （2）如解图2，连接CH ，交AB 于点D ，利用SAS 证出△ACB ≌△CGH ，从而得出∠BAC=∠HCG ，然后利用等量代换即可求出∠CDB=90°；（3）如解图3，连接CP 交AB 于点E ，利用矩形的性质可得AE=BE ；（4）如解图4，找出点A 关于l 的对称点A 1，设点A 1正下方的格点为C ，连接CB ，交直线l 于点N ，设点B 正上方的格点为D ，连接A 1D ，交直线l 于点M ，连接AM ，根据平行四边形的性质和两点之间线段最短即可推出此时MN 即为所求．【详解】解：（1）分别找到A 、B 、C 关于直线l 的对称点111A B C 、、，连接11A B 、11B C 、11A C ，如图1所示，111A B C ∆即为所求；（2）如图2所示连接CH ，交AB 于点D ，在△ACB 和△CGH 中AC=CGACB=CGH=90CB=GH⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴△ACB ≌△CGH∴∠BAC=∠HCG∵∠BAC ＋∠ABC=90°∴∠HCG ＋∠ABC=90°∴∠CDB=90°∴CD 为△ABC 的高，故CD 即为所求；（3）如图3所示，连接CP 交AB 于点E由图可知：四边形ACBP为矩形∴AE=EB∴CE为△ABC的中线，故CE即为所求；（4）如图4所示，找出点A关于l的对称点A1，设点A1正下方的格点为C，连接CB，交直线l于点N，设点B正上方的格点为D，连接A1D，交直线l于点M，连接AM根据对称性可知：AM=A1M由图可知：A1C=BD=1个单位长度，A1C∥BD∥直线l∴四边形A1CBD为平行四边形∴A1D∥BC∴四边形A1CNM和四边形MNBD均为平行四边形∴A1M=CN，MN=BD=1个单位长度∴AM=CN∴AM＋NB=CN＋NB=CB，根据两点之间线段最短，此时AM＋NB最小，而MN=1个单位长度为固定值，++最小，故此时MN即为所求．∴此时AM MN NB【点睛】此题考查的是在网格中画对称图形、画三角形的高、中线和线段之和的最值问题，掌握对称图形的画法、全等三角形的判定及性质、矩形的性质和平行四边形的判定及性质是解决此题的关键．19．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合作完成这项工程所需的天数．【答案】（1）60 （2）24【分析】本题主要考查分式方程的应用. 等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率，根据题意可得出：甲队的总工作量+乙队的总工作量=1，由此可列出方程求解．【详解】解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x 天， 根据题意得：1011()20140x x ++⨯= 解之得：x=60，经检验：x=60是原方程的解．所以乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．（2）设两队合做完成这项工程所需的天数为y 天，根据题意得：(114060+)y=1， 解之得：y=24，所以两队合做完成这项工程所需的天数为24天．20．先化简再求值：22(2)(2)4x y x x y y --+-，其中14,2x y =-= 【答案】6xy -，12.【分析】先利用完全平方公式、多项式乘法去括号，再通过合并同类项进行化简，最后将x 和y 的值代入即可.【详解】原式22224424x xy y x xy y =-+--- 6xy =- 将14,2x y =-=代入得：原式116(4)241222=-⨯-⨯=⨯=. 【点睛】本题考查了多项式的乘法、整式的加减（合并同类项），熟记运算法则和公式是解题关键.21．小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个ACD △，其作法步骤是：①作线段AB ，分别以,A B 为圆心，取AB 长为半径画弧，两弧的交点为C ；②以B 为圆心，AB 长为半径画弧交AB 的延长线于点D ；③连结,,AC BC CD ．画完后小明说他画的ACD △的是直角三角形，你认同他的说法吗，请说明理由．【答案】同意，理由见解析【分析】利用等边对等角可得,A ACB D BCD ∠=∠∠=∠，再根据三角形内角和定理即可证明．【详解】同意，理由如下:解：∵AC=BC=BD ，∴,A ACB D BCD ∠=∠∠=∠，∵180A ACD D ∠+∠+∠=︒，∴2()180A ACB BCD D ACB BCD ∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，∴180ACB BCD ∠+∠=︒，∴∠ACD=90°，即△ACD 是直角三角形． 【点睛】本题考查等边对等角，三角形内角和定理．能利用等边对等角把相等的边转化为相等的角是解题关键． 22．如图，ABC ∆是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一动点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE AB ⊥于E ，连接PQ 交AB 于D ．（1）若1AE =时，求AP 的长；（2）当30BQD ∠=︒时，求AP 的长；（3）在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果发生变化，请说明理由．【答案】（1）2（2）2（3）DE ＝3为定值，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠A ＝60︒，根据三角形内角和定理得到∠APE ＝30︒，根据直角三角形的性质计算；（2）过P 作PF ∥QC ，证明△DBQ ≌△DFP ，根据全等三角形的性质计算即可；（3）根据等边三角形的性质、直角三角形的性质解答．【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝60︒，∵PE ⊥AB ，∴∠APE ＝30︒，∵AE ＝1，∠APE ＝30︒，PE ⊥AB ，∴AP ＝2AE ＝2；（2）解：过P 作PF ∥QC ，则△AFP 是等边三角形，∵P 、Q 同时出发，速度相同，即BQ ＝AP ，∴BQ ＝PF ，在△DBQ 和△DFP 中，DQB DPFQDB PDF BQ PF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBQ ≌△DFP ，∴BD ＝DF ，∵∠BQD ＝∠BDQ ＝∠FDP ＝∠FPD ＝30︒，∴BD ＝DF ＝FA ＝13AB ＝2，∴AP ＝2；（3）解：由（2）知BD ＝DF ，∵△AFP 是等边三角形，PE ⊥AB ，∴AE ＝EF ，∴DE＝DF＋EF＝12BF＋12FA＝12AB＝3为定值，即DE的长不变．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．已知3a+b的立方根是2，b是8的整数部分，求a+b的算术平方根．【答案】1．【分析】首先根据立方根的概念可得3a+b的值，接着估计8的大小，可得b的值；进而可得a、b的值，进而可得a+b；最后根据平方根的求法可得答案．【详解】解：根据题意，可得3a+b=8；又∵1＜8＜3，∴b=1，∴3a+1=8；解得：a=1∴a+b =1+1=4，∴a+b的算术平方根为1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，5)，B(﹣1，0)，C(﹣4，3)．（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（其中A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，不写画法．）（2）写出点A1、B1、C1的坐标；（3）求出△A1B1C1的面积．【答案】（1）见解析；（2）A1(1，5)，B1(1，0)，C1(4，3)；（3）15 2【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；（3）利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形；（2）点A1、B1、C1的坐标分别为：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）；（3）S＝12×5×3＝152．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟悉网格结构并找出对应点的位置是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=36°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE=36°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=128°时，∠EDC=，∠AED=；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）16°；52°；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由见解析；（3）当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形．【分析】（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，得到答案；（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝144°，∠ADB+∠EDC＝144°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB ＝DC＝2，证明△ABD≌△DCE；（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠C=∠B=36°．∵∠ADE=36°，∠BDA=128°．∵∠EDC=180°﹣∠ADB ﹣∠ADE=16°，∴∠AED=∠EDC+∠C=16°+36°=52°．故答案为：16°；52°；（2）当DC=2时，△ABD ≌△DCE ，理由：∵AB=2，DC=2，∴AB=DC ．∵∠C=36°，∴∠DEC+∠EDC=144°．∵∠ADE=36°，∴∠ADB+∠EDC=144°，∴∠ADB=∠DEC ，在△ABD 和△DCE 中，ADB DEC B CAB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△DCE(AAS)；（3）当∠BDA 的度数为108°或72°时，△ADE 的形状是等腰三角形，①当DA=DE 时，∠DAE=∠DEA=72°，∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=108°；②当AD=AE 时，∠AED=∠ADE=36°，∴∠DAE=108°，此时，点D 与点B 重合，不合题意；③当EA=ED 时，∠EAD=∠ADE=36°，∴∠BDA=∠EAD+∠C=36°+36°=72°；综上所述：当∠BDA 的度数为108°或72°时，△ADE 的形状是等腰三角形．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，为估计池塘岸边A、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝8 米，OB＝6 米，A、B 间的距离不可能是（）A．12 米B．10 米C．15 米D．8 米【答案】C【解析】试题分析：根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB的长度在2和14之间，故选C．考点：三角形三边关系．A2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为()A．(－3，1) B．(－1，3) C．(3，1) D．(－3，－1)【答案】A【解析】试题分析：作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图：过点A作AD⊥x 轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD 和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．∴点C的坐标为（-，1）故选A．考点：1、全等三角形的判定和性质；2、坐标和图形性质；3、正方形的性质．3．已知△ABC的周长是24，且AB=AC，又AD⊥BC，D为垂足，若△ABD的周长是20，则AD的长为()A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根据三线合一推出BD ＝DC ，再根据两个三角形的周长进而得出AD 的长．【详解】解：∵AB=AC ，且AD ⊥BC ，∴BD=DC=12BC ， ∵AB+BC+AC=2AB+2BD=24，∴AB+BD=12，∴AB+BD+AD=12+AD=20，解得AD=1．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，做题时应该将已知和所求联系起来，对已知进行灵活运用，从而推出所求． 4．以下列各组线段为边,能构成直角三角形的是 ( )A ．8cm,9cm,10cmB 263C ．3cmD ．6cm,7cm,8cm【答案】C 【解析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．【详解】A ．∵82+92≠102，∴不能构成直角三角形；B ．∵2222)3)6)+≠，∴不能构成直角三角形；C ．∵22213)=2+，∴能构成直角三角形；D ．∵62+72≠82，∴不能构成直角三角形．故选C ．【点睛】本题考查了用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足a 2+b 2=c 2，则此三角形是直角三角形．5．如图，AB ∥CD ，∠A+∠E=75º，则∠C 为（ ）A．60 ºB．65 ºC．75 ºD．80 º【答案】C【解析】如图，∵∠A+∠E=75 º，∴根据三角形内角和等于1800，得∠AFE=105 º．∵∠AFE与∠BFC是对顶角，∴∠AFE=∠BFC=105 º．∵AB∥CD，∴根据平行线的同旁内角互补的性质，得∠C=1800－∠BFC=75 º．故选C．6．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（﹣a，b）B．（﹣a，﹣b）C．（a，﹣b）D．（a，b）【答案】A【分析】观察图形，可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况，确定变换后点A所在的象限，即可求解．【详解】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣a，b）．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，认真读题找出每四次对称为一个循环组来解题是本题的关键．7．k、m、n===，则下列有关于k、m、n的大小关系正确的是（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n【答案】A【分析】先化简二次根式，再分别求出k、m、n的值，由此即可得出答案．k===2m===5n===5<=则k m n故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握化简方法是解题关键．8．下列命题为假命题的是（）A．三条边分别对应相等的两个三角形全等B．三角形的一个外角大于与它相邻的内角C．角平分线上的点到角两边的距离相等D．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形【答案】B【分析】根据全等三角形的判定、三角形外角的性质、角平分线上的性质以及等边三角形的判定得出答案即可．【详解】解：A 、三条边分别对应相等的两个三角形全等，此选项是真命题，故此选项不符合题意； B 、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，根据三角形外角性质得出，此选项是假命题，故此选项符合题意；C 、角平分线上的点到角两边的距离相等，此选项是真命题，故此选项不符合题意；D 、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形，故此选项是真命题，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握三角形外角的性质、角平分线上的性质、等边三角形的判定以及全等三角形的性质是解题关键．9．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D ．若CD m =，AB n =，30B ∠=︒，那么ABD ∆的面积是( )A ．12mnB ．mnC ．13mnD ．2mn【答案】A【分析】作DE ⊥AB,由角平分线性质可得DE=ED,再根据三角形的面积公式代入求解即可．【详解】过点D 作DE ⊥AB 交AB 于E,∵AD 平分∠BAC,∴ED=CD=m, ∵AB=n,∴S△ABC=1122AB ED mn⋅=．故选A．【点睛】本题考查角平分线的性质,关键在于通过角平分线的性质得到AB边上高的长度．10．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B． C．D．【答案】C【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：由x≤2得：x≤2．由2-x＜3得：x＞-2．所以不等式组的解集为-2＜x≤2．故选C．【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．二、填空题11．若P（a﹣2，a+1）在x轴上，则a的值是_____．【答案】﹣1【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出a+1＝0，进而得出答案．【详解】解：∵P（a﹣2，a+1）在x轴上，∴a+1＝0，解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查坐标轴上点的特征，掌握坐标轴上点的特征是解题的关键.12．因式分解：3x2-6xy+3y2=______．【答案】3（x﹣y）1【解析】试题分析：原式提取3，再利用完全平方公式分解即可，得到3x1﹣6xy+3y1=3（x1﹣1xy+y1）=3（x﹣y）1．考点：提公因式法与公式法的综合运用13．在一个不透明的盒子中装有n个球，它们有且只有颜色不同，其中红球有3个.每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中.通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.06，那么可以推算出n的值大约是__________．【答案】1【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】由题意可得，30.06 n=，解得，50n=，经检验n=1是方程的解，故估计n大约是1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是_____．【答案】（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）【分析】如图，首先易得点D纵坐标为1，然后根据平行四边形性质和全等三角形的性质易得点D横坐标为2；同理易得另外两种情况下的点D的坐标．【详解】解：如图，过点A、D作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为E、F，∵以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，∴AD∥BC，∵B（﹣3，﹣1）、C（1，﹣1）；∴BC∥x轴∥AD，∵A（﹣2，1），∴点D纵坐标为1，∵▱ABCD中，AE⊥BC，DF⊥BC，易得△ABE≌△DCF，∴CF＝BE＝1，∴点D横坐标为1+1＝2，∴点D（2，1），同理可得，当D点在A点左侧时，D点坐标为（﹣6，1）；当D点在C点下方时，D点坐标为（0，﹣3）；综上所述，点D坐标为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3），故答案为：（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）.【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质，注意要分情况求解．15．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，则∠C=______．【答案】38°【解析】首先发现此图中有两个等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等找到角之间的关系．结合三角形的内角和定理进行计算．【详解】∵AB=AD=DC，∠BAD=28°∴∠B=∠ADB=（180°-28°）÷2=76°．∴∠C=∠CAD=76°÷2=38°．故答案为38°．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理；求得∠ADC=76°是正确解答本题的关键．16．如图，将△ABC沿着AB方向，向右平移得到△DEF，若AE=8，DB=2，则CF=______.【答案】1.【解析】根据平移的性质可得AB=DE ，然后求出AD=BE ，再求出AD 的长即为平移的距离．【详解】∵△ABC 沿AB 方向向右平移得到△DEF ，∴AB=DE ，∴AB-DB=DE-DB ，即AD=BE ，∵AE=8，DB=2，∴AD=（AE-DB ）=×（8-2）=1，即平移的距离为1．∴CF=AD=1，故答案为：1【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等．1724的结果是__________．【答案】4【分析】根据二次根式 的性质直接化简即可. 24|4|4=.故答案为：4.【点睛】 2 (0)||0 (0) (0)a a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜.三、解答题18．如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合．。
课题学习 最短路径问题 导学案(带习题和答案)
13.4课题学习－最短路径问题【学习目标】1．掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2．理解图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
3．通过对这个实际问题的解决，体会数学的应用价值。
【课前预习】1．平面直角坐标系xOy 中，已知A(－1－0)－B(3－0)－C(0－－1)三点，D(1－m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD 的面积为（ －A ．B ．23C ．43D ．832．A－B 是直线l 上的两点，P 是直线l 上的任意一点，要使PA+PB 的值最小，那么点P 的位置应在（ ） A ．线段AB 上 B ．线段AB 的延长线上 C ．线段AB 的反向延长线上 D ．直线l 上3．x 是数轴上任意一点表示的数，若|x ﹣3|+|x+2|的值最小，则x 的取值范围是（ ） A ．x≥3B ．x≤﹣2C ．﹣2≤x≤3D ．﹣2＜x ＜34．下列四种说法：①线段AB 是点A 与点B 之间的距离；②射线AB 与射线BA 表示同一条射线；③两点确定一条直线；④两点之间线段最短．其中正确的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD ，若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ） A ．750米B ．1000米C ．1500米D ．2000米6．在等腰－ABC 中，AB=AC－一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长31为－－A．7B．7或11C．11D．7或107．如图－点P是直线a外一点－PB⊥a－点A－B－C－D都在直线a上－下列线段中最短的是( )A．PA B．PB C．PC D．PD8．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）9．如图，在－ABC中，－ACB＝90°，以AC为底边在－ABC外作等腰－ACD，过点D作－ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，－ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则－PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．2010．如图，等边△ABC的边长为4－AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为－ －A．15°B．22.5°C．30°D．45°【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1．举出常见的轴对称图形：_____（至少写三个）。
部编版人教数学八上《13.4课题学习 最短路径问题 导学案》最新精品优秀导学单
前言：
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13．4 课题学习最短路径问题
1．理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定．
2．理解并掌握平面内两平行线异侧有两个点，则在平行线间何处作垂线段使得顺次连接的三条线段之和最小的位置的确定．
阅读教材P85～86“问题1”，完成预习内容．
知识探究1
如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，分别满足以下条件，奶站应建在什么地方？
(1)使从A，B到它的距离相等；
(2)使从A，B到它的距离之和最短．
第(1)小题是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；第(2)小题根据轴对称转化为两点之间线段最短．
阅读教材P86～87“问题2”，回答下列问题：
知识探究2
如教材P87图13.4－9，路径AMNB最短的依据是什么？
解：依据有2点：①是平移前后的线段平行且相等；②是两点之间线段最短．
活动1小组讨论
如教材P87图13.4－9，求证：AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B′.
1。
人教版八年级数学上册 导学案：13.4 课题学习 最短路径问题【精品】
第十一章 三角形与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边.外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？___________________________________； ______________________________ . l 的对称点？上找到一个点，使得这个点到点要点归纳：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．如图所示.你能用所学的知识证明你所作的点C 使AC +BC 最短吗？ 证明：要点归纳在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.例1：如图，已知点D 、点E 分别是等边三角形ABC 中BC 、AB 边的 中点，AD=5，点F 是AD 边上的动点，则BF+EF 的最小值为（ ） A ．7.5 B ．5 C ．4 D ．不能确定方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.例2：如图，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和 （3，0），点C 是y轴上的一个动点，且A ，B ，C 三点不在同一 条直线上，当△ABC 的周长最小时点C 的坐标是（ ） A ．（0，3） B ．（0，2） C ．（0，1）D ．（0，0）方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.探究点2：造桥选址问题实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？画一画：（1）把A平移到岸边. （2）把B平移到岸边.（3）把桥平移到和A相连. （4）把桥平移到和B相连.比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN最短？要点归纳：如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.证明：另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）2.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．3.如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂址到A ，B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？二、课堂小结1.如图，直线m 同侧有A 、B 两点，线m 与A ′B 和n 分别交于P 、Q ，下面的说法正确的是（第1题图 第2题图 第3题图2.如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=10．若在OA 、OB 上分别有动点Q 、R ，则△PQR 周长的最小值是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．30当堂检测最短路径问题牧人饮马问题造桥选址问题A处到B处，须经两座桥：′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使，使C、D、P三点组成的三。
《课题学习 最短路径问题》教案、导学案、同步练习
《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计一、教材分析1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。
这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。
初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。
2、目标和目标解析：（1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.二、教学准备：多媒体课件、导学案三、教学过程二、自主探究合作交流建构新知追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2：尝试解决数学问题问题2 ：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？问题3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示方法提炼：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”．问题5 造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥4、把桥平移到和B相连.教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. 理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN 如图所示：AB三、巩固训练（一）基础训练：1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l 的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）(1)若要使厂部到(2)若要使厂部到（三）综合训练：茅坪民族中学八图a 图b 四、反思小结布置作业《13.4 课题学习最短路径问题》导学案学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题一、知识链接1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？（1）三角形的三边关系：___________________________________；(2)直角三角形中边的关系：______________________________ .4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？一、要点探究探究点1：牧人饮马问题实际问题:如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？数学问题:如图，点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.想一想：1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？要点归纳：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．如图所示.你能用所学的知识证明你所作的点C使AC +BC最短吗？证明：要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.典例精析例1：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.例2：如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3） B．（0，2）C．（0，1） D．（0，0）方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.探究点2：造桥选址问题实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？画一画：（1）把A平移到岸边. （2）把B平移到岸边.（3）把桥平移到和A 相连. （4）把桥平移到和B 相连.比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN 最短？要点归纳：如图，平移A 到A 1，使AA 1等于河宽，连接A 1B 交河岸于N 作桥MN ，此时路径AM+MN+BN 最短.证明：另任作桥M 1N 1，连接AM 1，BN 1，A 1N 1.1.如图，直线l 是一条河，P 、Q 是两个村庄.欲在l 上的某处修建一个水泵站，向P 、Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）2.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．想一想：如何说明此时AM+MN+BN 最短呢？3.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点第1题图第2题图第3题图2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（）A．10 B．15 C．20D．303.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____ 米.4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？拓展提升6.（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．《13.4 课题学习最短路径问题》导学案学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.重点：作轴对称图形难点：用轴对称知识解决相应的数学问题学习过程：一、复习旧知1、动一动：如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
人教版-数学-八年级上册-册13.4 课题学习 最短路径问题 精品导学案
备课班级八年级上课时间执教人课题：13.4 课题学习最短路径问题教学设计课标要求教学目标知识与技能利用轴对称解决两点之间最短路径问题过程与方法通过问题解决培养学生转化问题能力情感价值观数学来源实际服务生活，培养数学学习兴趣重点难点重点利用轴对称解决两点之间最短路径问题难点如何把问题转化为“两点之间，线段最短”教法指导创设情境－主体探究－合作交流－应用提高学法指导教具准备多媒体课件教学过程提要环节教师活动学生活动备注引入新课1、在平面内连接两点的所有线中线段最短。
2、什么是两点之间的距离？教学过程直线异侧两点最短路径已知点A、B分别是直线l异侧的两点，如何在l上找到一个点，使得这个点到A、B两点的距离和最短？直线同侧两点最短路径如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米教学过程如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP 最短．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．练习设计如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？小结利用轴对称解决两点之间最短路径问题板书设计作业设计P93页：第15题教学反思。
人教版八年级数学上册 导学案：13.4 课题学习 最短路径问题【精品】
第十一章 三角形与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边.外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？___________________________________； ______________________________ . l 的对称点？上找到一个点，使得这个点到点要点归纳：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．如图所示.你能用所学的知识证明你所作的点C 使AC +BC 最短吗？ 证明：要点归纳在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.例1：如图，已知点D 、点E 分别是等边三角形ABC 中BC 、AB 边的 中点，AD=5，点F 是AD 边上的动点，则BF+EF 的最小值为（ ） A ．7.5 B ．5 C ．4 D ．不能确定方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.例2：如图，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和 （3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A ，B ，C 三点不在同一 条直线上，当△ABC 的周长最小时点C 的坐标是（ ） A ．（0，3） B ．（0，2） C ．（0，1）D ．（0，0）方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.探究点2：造桥选址问题实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？画一画：（1）把A平移到岸边. （2）把B平移到岸边.（3）把桥平移到和A相连. （4）把桥平移到和B相连.比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN最短？要点归纳：如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.证明：另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）2.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．3.如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂址到A ，B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？二、课堂小结1.如图，直线m 同侧有A 、B 两点，线m 与A ′B 和n 分别交于P 、Q ，下面的说法正确的是（第1题图 第2题图 第3题图2.如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=10．若在OA 、OB 上分别有动点Q 、R ，则△PQR 周长的最小值是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．30当堂检测最短路径问题牧人饮马问题造桥选址问题A处到B处，须经两座桥：′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使。
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13.4 课题学习最短路径问题
1.能说出轴对称的相关概念及其性质.
2.能利用轴对称变换解决日常生活中的最短路径问题.
3.重点:利用轴对称变换解决日常生活中的最短路径问题.
阅读教材P85至P87,解决下列问题:
1.在连接两点的线中,线段最短.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.这样的问题,
我们称为最短路径问题.
2.如图1,如果要在直线l上找一点,使其到点A和点B的距离之和最短,则可连接AB ,与l的交点即为所求,根据是两点之间,线段最短.
3.如图2,在直线l的同侧有两点A,B,若要在直线l上找一点C,使其到点A,
点B的距离之和最短.受上一题的启发,我们可以考虑在直线l的另一侧找一个点B',使直线l上的任一点C到点B和点B'的距离始终相等.因此,只需作出点B关于直线l的对称点B' ,根据轴对称的性质,可知CB=CB' ,于是连接AB',与直线l的交点C即为所求的点.
4.如图3,在直线l上另外再找一点C',连接AC'、B'C'、BC'、CB'.因为点B与点B'关于直线l对称,所以BC=B'C ,BC'=B'C' .在△AB'C'中,因为AC'+B'C'>AB' ,从而得AC'+B'C'>AC+BC ,即点C到A、B的距离之和最短.
5.问题2可类似地解决,考虑将两条直线平移后重合,从而将问题转化为前面的知识进行解决.如图4,将点A沿与a垂直的方向平移河宽的距离,
连接A'B,交直线b于点N,作MN⊥b,线段MN 即为桥的位置.
【归纳总结】在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.
【预习自测】已知点A、点B分别在直线l的两侧,在直线l上找一点,使这点到点A、点B的距离之和最短,这样的点有(A)
A.唯一一点
B.两点
C.三点
D.无数点
互动探究1:如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同旁,为了方便灌溉作物,要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两池,问该站建在河边哪一点,可使所修的渠道最短,试在图中画出该点(不写作法,但要保留作图痕迹)
解:如图.
互动探究2:见教材P93“复习题13”第15题.
解:如图.
【方法归纳交流】“两线段之和最短”的数学模型就是作已知两点中的一个点关于某条直线的对称点,连接对称点与另一个点,与直线的交点就是要确定的位置.
互动探究3:(方法指导:分别作C、D关于OA、OB的对称点)某班举行文艺晚会,桌子摆成两条直线(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满桔子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的学生小明想先拿桔子再拿糖果,然后坐到空座位D上.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?
解:设计路线如下:
见《导学测评》P29。