数值分析1.1讲义.
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数值分析第一章ppt
s 某商品标注重量为 27±0.5kg, 实际重量是多少？
}
1.2.2 相对误差和相对误差限
x*的相对误差
r
x x x
在不同近似值中，|εr (x)|越小，x*的精确度越高。
r(x)
| ( x) | |x|
x x x
——x*的相对误差限
常用计算公式： r ( x)
( x)
x*Βιβλιοθήκη x x* x* ,}
（2）相对误差：
r ( x1
x2 )
( x1 x2 )
x1 x2
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
x1 x1 x2
( x1 )
x1
x2 x1 x2
(x2 )
x2
x1
x1
x2
r
(
x1
)
x1
x2
x2
r
(
x2
)
当x1≈x2时, x1 – x2 ≈0,所以相近两数之差的相对误差将很大 。
}
1.2 误差的基本估计方法
= 1.2.1 绝对误差和绝对误差限 = 1.2.2 相对误差和相对误差限 = 1.2.3 有效数字 = 1.2.4 算术运算的误差
}
1.2.1 绝对误差和绝对误差限
设某准确值x近似值为x*。 x*的绝对误差 ε(x)=x–x*
在同一量的不同近似值中，|ε(x)|越小，x*的精确度越高。
sin x x x3 x5 x7 , x 3! 5! 7!
用近似计算公式 sin x x
截断误差 sin x x x3 x5 x7 cos x3
3! 5! 7!
3!
sin x x 1 x 3 6
数值分析第一讲
实际上由于x*不知道，用上式无法确定εr ，常用x代x*作分 母，此时：
r
| x|
13
结束
2 量级，当 ε 较小时，可以忽略 可见此时产生的影响是 r r
不计，以后我们就用
|x|
表示相对误差限.
例 5 在刚才测量的例子中，若测得跑道长为 100±0.1m ，课桌长为120±1cm ，则 1 0.1 ( 2) (1) 0.83% r 0.1% r 120 100 显然后者比前者相对误差大. 1.2.3 有效数字 定义 1.3 如果近似值 x 的误差限 ε 是它某一数位的半个 单位，我们就说 x 准确到该位，从这一位起直到前面第一个 非零数字为止的所有数字称x的有效数字. 如： x=±0.a1a2an×10m ，其中 a1 ， a2 ， ， an 是 0 ～ 9 之 中的整数，且a1≠0，如e=|x-x*|≤ε=0.5×10m-l，1≤ l≤n，则称 x有 l 位有效数字. 14 结束
可见此法收敛速度很快，只算三次得到8位精确数字. 迭代法应用时要考虑是否收敛、收敛条件及收敛速度等 问题，今后课程将进一步讨论. 9 结束
§1.2
1.2.1
差.
误 差
误差的来源
在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误
1 、模型误差 在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把 模型“简单化”，”理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带 入了误差. 2、测量误差 数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到.而测 量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响 必然带入误差. 3、截断误差 数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为 易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差. 4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参数或中 间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍入误差.
数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
《数值分析简明教程》讲义
例1：已知 ， ， 求 。（10.723）
例2：取节点 ， ， 对函数 建立线性插值公式。
3、一般情形
现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b］上n+1个互异节点 上的函数值分别为 ，求n次插值多项式 ，满足条件
， j=0，1，…，n
令
——拉格朗日插值公式。
其中 为以 为节点的n次插值基函数，其公式为：
则称 为近似数x的相对误差限。
三、有效数字
1、有效数字
如果近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位，则我们称 有 位有效数字。
例如， 取 时，
所以， 作为 的近似值时，就有3位有效数字。
2、误差限与有效数字的关系
定理1 设有一数x，其近似值
若 具有 位有效数字，则其相对误差限为
可表示为下列点斜式：
令
则
——线性插值公式
其中：
例1：已知 ， ，求 。（10.714）
例2：取节点 ， 对函数 建立线性插值公式。
2、抛物插值
问题：求作二次式 ，使满足条件：
几何解释就是通过三点 ， ， 的抛物线，因而称为抛物插值。
根据插值基函数所满足的条件，可得抛物插值的基函数为：
最终得： ——抛物插值公式。
运算过程中舍入误差不增长的计算公式——数值稳定的，否则为不稳定的。
2、要避免两个相近数相减。
3、要防止大数“吃掉”小数。（数量级相差很大的数，措施：调整运算次序。）
4、注意简化计算步骤。
第2章插值方法
在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的，并不知道它的表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a，b］上一些离散点上的函数值、导数值等。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。
例2：取节点 ， ， 对函数 建立线性插值公式。
3、一般情形
现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b］上n+1个互异节点 上的函数值分别为 ，求n次插值多项式 ，满足条件
， j=0，1，…，n
令
——拉格朗日插值公式。
其中 为以 为节点的n次插值基函数，其公式为：
则称 为近似数x的相对误差限。
三、有效数字
1、有效数字
如果近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位，则我们称 有 位有效数字。
例如， 取 时，
所以， 作为 的近似值时，就有3位有效数字。
2、误差限与有效数字的关系
定理1 设有一数x，其近似值
若 具有 位有效数字，则其相对误差限为
可表示为下列点斜式：
令
则
——线性插值公式
其中：
例1：已知 ， ，求 。（10.714）
例2：取节点 ， 对函数 建立线性插值公式。
2、抛物插值
问题：求作二次式 ，使满足条件：
几何解释就是通过三点 ， ， 的抛物线，因而称为抛物插值。
根据插值基函数所满足的条件，可得抛物插值的基函数为：
最终得： ——抛物插值公式。
运算过程中舍入误差不增长的计算公式——数值稳定的，否则为不稳定的。
2、要避免两个相近数相减。
3、要防止大数“吃掉”小数。（数量级相差很大的数，措施：调整运算次序。）
4、注意简化计算步骤。
第2章插值方法
在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的，并不知道它的表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a，b］上一些离散点上的函数值、导数值等。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。
数值分析基础
数值分析基础整理：朱华伟参考文献：张卫国讲义一、绪论1.1数值分析理论1、课程介绍数值分析：是指用计算机求解各类数学问题的方法与理论。
数值分析中需要考虑的问题：a、理论可靠性：指由数值分析算法得出的结果值不值得信赖；b、计算复杂性包括时间复杂性和空间复杂性。
时间复杂性是指算法运行时间的长短；空间复杂性是指数据占据空间的大小，这里理解为数据占据计算机存储空间的大小。
c、结构要好：指实现算法的程序可移植性要好，可修改性要好等等。
早期主要考虑计算复杂性，现在主要考虑结构性要好，计算复杂度适中即可，也就是，在保证结构性要好的同时，计算复杂度要尽可能的小。
2、主要内容主要的数学模型：a、方程求根模型，如，一元二次方程。
可以用迭代法求解，迭即是重复，代即是代入。
b、线性方程组模型，可以用迭代法，直接法求解。
c、特征值的特征向量模型。
d、插值方法与数值微分模型。
e、数值逼近与数值拟合模型。
f 、 数值积分模型。
g 、 微分方程组的解的模型。
1.2误差及有效数字 1、误差的来源解决一个实际问题的过程： 分析问题假设、简化、抽象数学模型构造算法 编程求解误差有四种：a 、模型误差：由数学模型与实际问题的差别所造成。
b 、方法（算法）误差：有些问题需要截断进行处理，这样就会产生余项误差。
c 、舍入误差：计算机存储时出现的误差。
d 、观测（测量）误差：在进行实际数据的测量时产生的误差。
在数值分析中我们只关心舍入误差和观测误差。
2、误差的度量 有三种方式：a 、绝对误差与绝对误差界， 是绝对误差的界， 为准确值，x 为 的一个近似值。
，n 的取值取决于具体的b 、相对误差与相对误差界， 是相对误差的界。
通常c、有效数字有两种方法表示：1、如果舍去部分不超过所取值的最后一位的一半，则有效数字取到所取值的最后一位；如果舍去部分超过所取值的最后一位的一半，则有效数字取到所取值的最后一位的前一位。
2、规格法设，k>0且取整，取1~9，取0~9，若=，则x有n位有效数字，的取值取决于方法1，然后经过换算即可求出n。
《数值分析》完整版讲义
2.1.3 多项式插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 基函数插值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 为什么要插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 什么是插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.2 数值分析的研究内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 学习建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
i
· ii ·
目录
2.2 Lagrange 插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Lagrange 基函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Lagrange 插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 插值余项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Lagrange 基函数性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
数值分析全册完整课件
似算法的收敛性和数值稳定性； 要有好的计算复杂性，节省时间及存储量； 有数值实验，证明算法有效。
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
数值分析讲义
由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现 象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的， 计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、 截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。
数值分析引论 易大义Ch1.1-4
r
( e r ( x )) ( 0 , 且是 e r ( x )的高阶无穷小 ) * 1 e r ( x ) e 0 ( x )
计算机的存储 截断存储（按要求） 0 . 33 0 . 33 ， 0 .66 0 .66 例 6 6 3 3
1 2 4
1 2
10 ，
4
但
因为
5位有效数字，即n=5
2
1位有效数字，即n =1
11
x x 0 . 000033 0 . 000033 10
1 2
10
11
，
最多有5位 有效数字
最少有1位 有效数字
2 有效数字与相对误差之间的关系
m （ 定理 1 设 x 的近似数是 x 0 . a 1 a n） 10 ( a 1 0 )，
?
y9 0 . 019 , 5 y6 0 . 028 , 5 y3 0 . 058 , 5
原因 —— 误差的传播与积累
§3
误差的基本概念
3.1 绝对误差与相对误差
1 绝对误差(P3 定义1) 设某量的准确值为 x, x*是 x 的近似值 ,
称 e ( x ) x x 为 x 的 绝对误差(简称误差) .
1 0
n 失之毫厘,差之千里！ x
x5 1 dx
dx 的近似值。
<
1 1 改用： y n 1 y . 5n 5 n
y8 1 45 y5 1 30 y2 1 15
选初值： (1 ) y 9 y 10 y 9 0 .017 ; ( 2 ) y 10 0 y 9 0 .020
( e r ( x )) ( 0 , 且是 e r ( x )的高阶无穷小 ) * 1 e r ( x ) e 0 ( x )
计算机的存储 截断存储（按要求） 0 . 33 0 . 33 ， 0 .66 0 .66 例 6 6 3 3
1 2 4
1 2
10 ，
4
但
因为
5位有效数字，即n=5
2
1位有效数字，即n =1
11
x x 0 . 000033 0 . 000033 10
1 2
10
11
，
最多有5位 有效数字
最少有1位 有效数字
2 有效数字与相对误差之间的关系
m （ 定理 1 设 x 的近似数是 x 0 . a 1 a n） 10 ( a 1 0 )，
?
y9 0 . 019 , 5 y6 0 . 028 , 5 y3 0 . 058 , 5
原因 —— 误差的传播与积累
§3
误差的基本概念
3.1 绝对误差与相对误差
1 绝对误差(P3 定义1) 设某量的准确值为 x, x*是 x 的近似值 ,
称 e ( x ) x x 为 x 的 绝对误差(简称误差) .
1 0
n 失之毫厘,差之千里！ x
x5 1 dx
dx 的近似值。
<
1 1 改用： y n 1 y . 5n 5 n
y8 1 45 y5 1 30 y2 1 15
选初值： (1 ) y 9 y 10 y 9 0 .017 ; ( 2 ) y 10 0 y 9 0 .020
数值分析1.1
达到： 从 “学过了”到“学会了” 从 “学会了”到“会学了”
2、上机编程能力。 3、养成守时的习惯。 4、培养诚实守信的品质. 5、培养做事认真的态度。
QQ群： 群名称：2016科大硕士数值分析 群 号：435580365
加入QQ要求： 1、真实姓名。 2、格式：班级+姓名
举例：材料1601陈小军
1、求下列方程的根或零点：
x2 2x sin x 1 0
2、怎么求下列积分？
1ex2 dx
3、已知y=f0(x)在下列点的值，求 f (x)
应用问题举例
1、“鸡兔同笼”问题
a11 a12 a1n x1 b1
a21
an1
etc. ）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在”
21世纪信息社会对科技人才的要求： --会用数学解决实际问题 --会用计算机进行科学计算
55196 66207 82992 98705 114333 126743
6、铝制波纹瓦的长度问题
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机 器将一块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸 为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的 长度L.
理科 论学 研实 究验
科 学 计 算
使用计算机通过计算方 法或数值模拟的手段去 解决科学或工程中的关 键问题，简称为科学计 算。
现代科学研究的三大支柱
计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分:
2、上机编程能力。 3、养成守时的习惯。 4、培养诚实守信的品质. 5、培养做事认真的态度。
QQ群： 群名称：2016科大硕士数值分析 群 号：435580365
加入QQ要求： 1、真实姓名。 2、格式：班级+姓名
举例：材料1601陈小军
1、求下列方程的根或零点：
x2 2x sin x 1 0
2、怎么求下列积分？
1ex2 dx
3、已知y=f0(x)在下列点的值，求 f (x)
应用问题举例
1、“鸡兔同笼”问题
a11 a12 a1n x1 b1
a21
an1
etc. ）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在”
21世纪信息社会对科技人才的要求： --会用数学解决实际问题 --会用计算机进行科学计算
55196 66207 82992 98705 114333 126743
6、铝制波纹瓦的长度问题
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机 器将一块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸 为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的 长度L.
理科 论学 研实 究验
科 学 计 算
使用计算机通过计算方 法或数值模拟的手段去 解决科学或工程中的关 键问题，简称为科学计 算。
现代科学研究的三大支柱
计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分:
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方程求根问题
在科学计算中常要遇到求解各种方程， 例如：
高次代数方程
超越方程
x 5－ 3 x ＋ 7 ＝ 0
x e cos 0 3
x
高次线性方程和超越方程看似简 单，但难于求其精确解。对于高次 代数方程，由代数基本定理知多项 式根的数目和方程的阶相同，但对 超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是 无穷多个。
用计算机解决科学计算问题通常经历以 下过程
应 用 数 学 计 算 数 学
实际问题
数值计算方法
程序设计
数学模型
上机计算结果
2.数值分析研究的内容 — 函数的数值逼近(插值与拟合)
— 数值积分与数值微分
— 非线性方程数值解 — 数值线性代数
— 常微和偏微数值解，……
数值分析实质上是以数学问题为研 究对象，不像纯数学那样只研究数 学本身的理论，而是把理论与计算 紧密结合，着重研究数学问题的数 值方法及理论。
y ' 1 2 xy y (0) 0
常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程 ( 可分离变 量方程，一阶线性方程等等 ) ，有可 能找出它们的一般解表达式，然后 用初始条件确定表达式中的任意常 数，这样解即能确定。
y ' 2 x 例如 求解 y (0) 0
数值分析
Numerical Analysis
教
《数值分析》(第2版)
材 朱晓临 主编
中国科学技术大学出版社
《数值分析》（第5版） 李庆阳，王能超，易大义编著 清华大学大学出版社
参 考 书 目
《数值分析》（第3版） 颜庆津著， 北京航空航天大学 出版社 《Numerical Analysis》(Ninth ed.)
其中
a11 a1n D an1 ann b1 a1n D1 bn ann
例如 用克莱姆法则求解一个n阶方 程组，要算 n+1 个 n 阶行列式的值， 总共需要
n!(n-1)(n+1)
次乘法。 当n充分大时，计算量是相当惊人的。
比如一个 20 阶不算太大的方程组， 大约要做 1021 次乘法，这项计算即 使每秒1亿次浮点数乘法计算的计算 机去做，也要连续工作 30 万年 才能 完成。当然这是完全没有实际意义 的，故需要寻找有效算法!
解：分离变量得 dy=2xdx 积分得y=x2+c 由初值得c=0 故解为y=x2
但是对于求解
y' 2 x y ( 0) 0
y
无法求出一般解！
课 程
二、 如何学习数值分析？
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法
简 介
3.重视各种方法的误差分析
4.做一定量的习题
Richard Burden, Dougla Faires, Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011
预 备 知 识
微积分 线性代数 常微分方程 算法语言
课 程 简 介
一、为什么要学习数值分析？
现实世界的问题可以归结为各种各样的 数学问题 — 方程求根问题 — 解线性方程组的问题 — 定积分问题 — 常微分方程初值问题 — …….
b
a
sin x dx 等等 x
已证明它们的原函数不能用初等函数表 示成有限形式。
原因之二：有些被积函数的原函数过 于复杂，例如
f ( x) x
2
2x 3
2
的一个原函数是
F ( x)
x
3
2x 3 3x 2x 3 4 16
2 2
9 ln( 2 x 2 x 2 3 ) 16 2
解线性方程组的问题 线性方程组的一般形式
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ... a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn
定积分问题 对于积分
I f ( x )dx
a
b
由微积分知识可知：只要找到被积函 数f(x)的原函数F(x)，便有下列牛顿— 莱布尼兹公式
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
为何要进行数值积分？ 原因之一：许多形式上很简单的函数， 例如
b
a
sin x dx ,
2
3. 数值分析的特点 (1)面向计算机，要根据计算机特点 设计切实可行的有效算法. (2) 有可靠的理论分析，能任意逼 近并达到精度要求，对近似计算 要保证收敛性和数值稳定性.
(3) 要有好的计算复杂性，时间复 杂性好是指节省时间，空间复杂 性好是指节省存贮量，这也是建 立算法要研究的问题. (4) 要有数值试验，即任何一个算 法除了从理论上要满足上述三点 外，还要通过数值试验证明是行 之有效的.
5.注意与实际问题相联系
数 值 分 析
第一章 绪 论
§1
数值 一、数值分析研究的对象 分析 研究 二、数值分析研究的特点 的对 象与 特点
1.数值分析研究的对象
数值分析是计算数学的一个主要部 分，计算数学是数学科学的一个分 支，它研究用计算机求解各种数学 问题的数值计算方法及其理论与软 件实现.
§2
数 值 计 算 的 误 差
一、误差来源的分类
二、误差分析的重要性 三、绝对误差和绝对误差限 四、相对误差和相对误差限 五、有效数字
(1) 当 b≠0 时称为非齐次线性方程组， 其可能有唯一解、无解或者无穷多个 解。当 b=0 时称为线性齐次方程组， 必有零解。 (2)由线性代数知识可知：当系数矩阵 A 非奇异 ( 即 detA≠0) 时，方程组有唯 一解，可用克莱姆法则求解，但它只 适合于n很小的情况。
克莱姆法则
Dn D1 D2 x1 , x2 , , x n ，上式就 不见得方便。
原因之三： f (x) 以离散数据点形式给 出
xi yi = f(xi)
x0 y0
x1 y1
… …
xn yn
常微分方程初值问题 一阶常微分方程的初值问题，即
y' f ( x , y ) y ( x 0 ) y0
例
y' 2 x y (0) 0