2.3.2-3平面向量的正交分解,坐标表示及运算课件
4 x 3 y2 1 2
x 1 3 ∴P点坐标为(-1, - ) ∴ y 3 2 2
解：∵ AB=(-2, 3) DC =(-4, 6) ∴ AB=1/2DC
AB ∴ ∥ DC 且 ∴四边形ABCD是梯形
|
AB
| | DC |
注：每个向量都有唯一的坐标.
xi
a = ( x, y )
y
i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
yj j O i
a x
xi
y
向量a、b有什么关系? a＝b
yj yj j O i
a
b
能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi xi x
相等的向量坐标相同
若a b ， a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ), 则( x1, y1 ) ( x2 , y2 ),即x1 x2 , y1 y2 .
解：当平行四边形为ADCB时， B 由 AB DC得D1(2, 2)
A
当平行四边形为ACDB时， 得D2(4, 6) 当平行四边形为DACB时， 得D3(6, 0)
D3
O
x
课堂练习
1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP
1 , 求P点的坐标； 2 MN 1 1 解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)= (-8, 1)=(-4, ) 2 2
-6 -4 -2 4
C(3,4)
3
2
D(x,y)
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（ 1， 2）（ 3-x, 4 y)
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)相等的向量有相等的坐标.
若a b ， a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ), 则( x1, y1 ) ( x2 , y2 ),即x1 x2 , y1 y2 .
(3)当向量的起点在原点时，向量终点的坐标 即为向量的坐标.
例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. y b 2i 3 j 5 B AB 2i 3 j 4 b ( 2, 3) (2,3) a 3
同理得 a b ( x1 x2 , y1 y2 ) (2) a xi y j xi y j ( x, y )
( x1 x2 , y1 y2 )
结论1：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差. 结论2：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
y
a
O
x
问题: (1)已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 求 a b, a b的坐标. (2)已知a ( x, y )和实数 , 求 a 的坐标.
(1)a b x1 i y1 j x2 i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
而
OD OB BD (1,3) (3, 1) 所以顶点D的坐标为（2，2） (2, 2)
x
变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构 成平行四边形四个顶点。
y
D2 C D1
课堂总结:
1.向量的坐标的概念: a xi y j ( x, y)
2.对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: (1)若a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a b ( x1 x2 , y1 y2 ), a b ( x1 x2 , y1 y2 ), a ( x1, y1 ) ( 2) 若A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB ( x2 x1, y2 y1 )
练习： 例4、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA 5, 2 . 2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
AB ( x 2, y 1)
1 x 2 即 2 y 1
平面向量的正交分解 及坐标表示
y
a
O
x
复习
平面向量基本定理 如果e1、是同一平面内的两个 e2 不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对
实数1、2，可使
a 1 e1 +2 e2
这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底.
x3 y 1
即B 3,-1 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5) a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
y
(2)b (1, 2)
B(1, 2)
y
o
. A(1, 2) a x
.
b
o
x
2、若向量a= x-2,3 与向量b= 1,y+2 相等，那么 （B ）
A、x=1,y=3 C、x=1,y=-3 B、x=3,y=1 D、x=5,y=-1
小结 1.平面向量的正交分解 2.平面向量的坐标表示
4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想
y
a
A (x,y)
如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
y
j O i
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； x
反过来，点A的坐标（x,y)也就是 向量OA的坐标。
x
结论：当向量的起点在原点时，向量终点的坐 标即为向量的坐标.
小结:对向量坐标表示的理解:
λ2 e2
F1 G
a
F2
正交分解
λ1e1
所有向量的一组基底.
不共线的向量 e1 , e2叫做这一平面内
那么当| e1|=| e2|=1且 e1与 e2垂直时，就可以 建立直角坐标系…
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时， 会为我们研究问题带来方便。 我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对 有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
4、若向量a= 1, 1 ,b= 1, -1 ,c= -1, 2 , 那么 c等于 （ B） 2 1 3 1 3 3 1 3 1 A、 - a+ b B 、 a- b C 、 a- b D 、 - a+ b 2 2 2 2 2 2 2 2
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证： 四边形ABCD是梯形。
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，
y
a
y
A
j
O
OA xi +y j a xi +y j
i
x
x
y yj j O i a
平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a,由平面向量基本 x 定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标， 记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标
例2：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐标.
例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 求顶点D的坐标。
y B(-1,3)) A(-2,1)
例1、已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，求 AB 的坐标.
AB OB OA ( x2, y2 ) ( x1 , y1 )
( x2 x1 , y2 y1 )
A(x1,y1)
y
B(x2,y2)
O
x
结论 3: 一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标。
a 1 e1 +2 e2
这就是说平面3;2 e2的形式
平面向量坐标的引入
F1 G
F2
G与F1,F2有什么关系? G=F1+F2 G=F1+F2叫做重力G的分解
把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解
x 2 1 3 x 2 4 y y 2 顶点D的坐标是（ 2， 2 ）
例3、已知
ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
另解：由平行四边形法则可得 y B BD BA BC (2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) A O (3, 1) C D
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2.3.2--平面向量的正交分解及坐标表示--2.3.3--平面向量的坐标运算
a 、b 、，c 并、d求出它们的坐标.
a 2i 3 j a (2,3)
b 2i 2 j b (2, 2)
c 3i 2 j c (3, 2)
第20页，共26页。
d 4i 2 j d (4, 2)
3.已知A(3,1), a (x 2, 2x y ，5)若向量
O为坐标原点，则x=________5,y=_________.-4
木块受到重力 G的作用，产生两 个效果，一是木块受平行于斜面
力 的作用，沿斜面下滑；一是
木块F1产生垂直于斜面的压力
叫做把重力 分解.
F2，G＝
F1＋F2
G
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 ,均可 a 以分解为不共线的两个向量 1e和1 2 e，2 使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分 解.
a xi +y j
y
7
D
4
B
C
j
x
o iA 3 5
y
D
a
C
A
j
x
o iB
第8页，共26页。
这样，平面内的任一向量 都a可
y
D
a
C
由x、y唯一确定，我们把有序数对
（x,y）叫做向量 的a坐标，记作
a (x, y)
①
A
j
x
o iB
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示.
a , OA
4.(2012 青岛高一检测)已知 A (-1，-5)和向量 a=（2，3）， 若 AB=3a ,则点B的坐标为__（__5_，__4_）_.
课件4：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
课堂检测 1．向量正交分解中，两基底的夹角等于( ) A．45° B．90° C．180° D．不确定 【答案】B
2．向量O→A＝(x，y)，(O 为原点)的终点 A 位于第二象限，则有( )
A．x>0，y>0
B．x>0，y<0
C．x<0，y>0
D．x<0，y<0
【解析】∵O→A＝(x，y)，∴A(x，y)．
_差____
数乘
实数与向量的积的坐标等 于用这个实数乘原来向量 的__相__应__坐__标____
λa＝_(_λ_x_1，__λ_y_1_) _
向量 坐标公式
一个向量的坐标
等于表示此向量 的有向线段的终 点的坐标减去起
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝_(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_
3．向量与坐标的关系 设O→A＝xi＋yi，则向量O→A的坐标_(_x_，__y_) _就是终点 A 的坐标；反 过来，终点 A 的__坐__标___就是向量O→A的坐标(x，y)．因此，在平 面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一 表示．即以原点为起点的向量与实数对是___一__一__对__应_____的．
例 2.设向量 a、b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求 a＋b， a－b,3a,2a＋3b 的坐标． 解:a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)； a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)； 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)； 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(－2＋9,4－15) ＝(7，－11)．
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A必修4 (1)1
【解析】 (1)正确．对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表 示相同．
(2)错误．以 A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等． (3)正确．由平面向量坐标的概念可知． 【答案】 (1)√ (2)× (3)√
教材整理 2 平面向量的坐标运算 阅读教材 P96“思考”以下至 P97 例 4 以上内容，完成下列问题． 1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝___(x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2_) _，即两个向量 和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝_(_x_1－__x_2_，__y_1_－__y2_)___，即两个向量 差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． 3．若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝_(_λx_，__λ_y_)__，即实数与向量的积的坐标等于
A．(0，－7)
B．(0,7)
C．(－1,3)
D．(12，－1)
【解析】 3a－2b＝3(2,1)－2(3，－2)
＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7)．
【答案】 B
2．已知 A(3,1)，B(2，－1)，则B→A的坐标是( )
A．(－2，－1)
B．(2,1)
C．(1,2)
D．(－1，－2)
【解析】 B→A＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2)．
5)＝(1,3)，所以xy＋－25＝＝13，， 解得xy＝＝－8，1， 所以点 B 的坐标为(－1,8)． (2)如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以O→B＝(1，－1)， 同理O→D＝(－1,1)．
【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1) (3)由题意知 B, D 分别是 30°，120°角的终边与以点 O 为圆心的单位圆的交 点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 得 x1＝cos 30°＝ 23，y1＝sin 30°＝12，所以 B 23，12. x2＝cos 120°＝－12，y2＝sin 120°＝ 23， 所以 D－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4 (2)
变式训练1
在平面直角坐标系中 ,|a|= 4,且 a 如图所示,则 a 的坐标为 ( A.(2√3,2) B.(2,- 2√3) C.(-2,2√3) D.(2√3,-2)
)
解析:设 a=(x,y),则 x=|a|cos y=-|a|sin 30°=-4× =-2. 故 a=(2√3,-2). 答案:D
做一做 2 已知������������=(2,-3),则点 A 的坐标为( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-3,2) D.(3,-2) 解析:������������的起点为原点 O,则������������的坐标与终点 A 的坐标相同. 答案:B
4.平面向量的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y 2),λ∈R,则有下表: 文字描述 两个向量和的坐标分别等于这两 加法 个向量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两 减法 个向量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这 数乘 个实数乘原来向量的相应坐标 一个向量的坐标等于表示此向量 向量坐 的有向线段的终点的坐标减去始 标公式 点的坐标 符号表示 a+b=(x1+x2,y 1+y2) a-b=(x1-x2,y 1-y2) λa=(λx1,λy1) 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ������������ =(x2-x1,y2-y 1)
2 1
√3 30°=4× =2√3, 2
探究二平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求������������ , ������������ , ������������ + 1 ������������ , ������������ − ������������ ,2������������ + ������������ ; (2)已知 a=(1,2),b=(-3,4),求向量 a+b,a-b,3a-4b 的坐标. 分析:(1)先计算出������������ , ������������ 的坐标,再进行向量的线性运算; (2)直接利用向量的坐标运算.
高中数学必修四2-3-2 平面向量的正交分解及坐标表示_2-3-3 平面向量的坐标运算课件
解 (1)2a＋3b＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a－13b＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23).
3，
即 b＝－32，32
3．
(2)B→A＝－A→B＝32，－32
3．
(3)O→B＝O→A＋A→B＝(2 2，2 2)＋(－32，32 3)
＝2 2－32，2 2＋32 3．
∴点 B 的坐标为(2 2－32，2 2＋323)．
规律方法 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的 位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐 标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量 的坐标．
则 OM＝OA·cos 45°＝4× 22＝2 2，
AM＝OA·sin 45°＝4× 22＝2 2， ∴A(2 2，2 2)，故 a＝(2 2，2 2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又 OC＝AB＝3．
∴C－32，32
3，∴A→B＝O→C＝－32，32
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示 (重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重 点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标 区分开来(易错点)．
知识点1 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个
_互__相__垂__直___ 的向量． 2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同
的两个_单__位__向__量___ i，j作为__基__底____ ．
3，
即 b＝－32，32
3．
(2)B→A＝－A→B＝32，－32
3．
(3)O→B＝O→A＋A→B＝(2 2，2 2)＋(－32，32 3)
＝2 2－32，2 2＋32 3．
∴点 B 的坐标为(2 2－32，2 2＋323)．
规律方法 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的 位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐 标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量 的坐标．
则 OM＝OA·cos 45°＝4× 22＝2 2，
AM＝OA·sin 45°＝4× 22＝2 2， ∴A(2 2，2 2)，故 a＝(2 2，2 2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又 OC＝AB＝3．
∴C－32，32
3，∴A→B＝O→C＝－32，32
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示 (重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重 点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标 区分开来(易错点)．
知识点1 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个
_互__相__垂__直___ 的向量． 2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同
的两个_单__位__向__量___ i，j作为__基__底____ ．
课件6：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
归纳点评 求向量的坐标就是求向量在坐标上的分量．
题型 2 平面向量的坐标运算 例 2 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且 C→M＝ 3C→A，C→N＝2C→B，求 M，N 的坐标和M→N.
解：C→A＝(1,8)，C→B＝(6,3)， →CM＝3C→A＝(3,24)， C→N＝2C→B＝(12,6)． 设 M(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)， ∴xy＋＋34＝＝32，4， 解得xy＝＝02，0. ∴M(0,20)． 同理可得 N(9,2)．∴M→N＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
典例精析 题型 1 向量的坐标表示 例 1 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|O→A|＝ 4 3，∠xOA＝60°，求向量O→A的坐标．
解：设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3×12＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3·23＝6，即 A(2 3，6)． ∴O→A＝(2 3，6)．
B．x>0，y<0
C．x<0，y＞0
D．x<0，y<0
【答案】C 4．已知m＝(2,7)，n＝(x＋2,7)，若m＝n，则x＝ ________. 【答案】0
规律总结
1．向量的坐标表示 在直角坐标系中，点 A 的位置被点 A 的位置向量O→A
所唯一确定，向量O→A的坐标(x，y)也就是点 A 的坐标； 反之，点 A 的坐标就是点 A 相对于坐标原点的位置向量 O→A的坐标．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都 可以用一个有序实数对唯一表示．
归纳点评 本题是从纯向量运算的角度来思考的，通过点 P 对应向量坐标的讨论来考查 t 的可能取值，而对于是否构成 平行四边形则可从构成平行四边形的条件来进行思考．实际 上，如果换个角度，就会发现，点 A，P，B 三点共线，
题型 2 平面向量的坐标运算 例 2 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且 C→M＝ 3C→A，C→N＝2C→B，求 M，N 的坐标和M→N.
解：C→A＝(1,8)，C→B＝(6,3)， →CM＝3C→A＝(3,24)， C→N＝2C→B＝(12,6)． 设 M(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)， ∴xy＋＋34＝＝32，4， 解得xy＝＝02，0. ∴M(0,20)． 同理可得 N(9,2)．∴M→N＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
典例精析 题型 1 向量的坐标表示 例 1 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|O→A|＝ 4 3，∠xOA＝60°，求向量O→A的坐标．
解：设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3×12＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3·23＝6，即 A(2 3，6)． ∴O→A＝(2 3，6)．
B．x>0，y<0
C．x<0，y＞0
D．x<0，y<0
【答案】C 4．已知m＝(2,7)，n＝(x＋2,7)，若m＝n，则x＝ ________. 【答案】0
规律总结
1．向量的坐标表示 在直角坐标系中，点 A 的位置被点 A 的位置向量O→A
所唯一确定，向量O→A的坐标(x，y)也就是点 A 的坐标； 反之，点 A 的坐标就是点 A 相对于坐标原点的位置向量 O→A的坐标．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都 可以用一个有序实数对唯一表示．
归纳点评 本题是从纯向量运算的角度来思考的，通过点 P 对应向量坐标的讨论来考查 t 的可能取值，而对于是否构成 平行四边形则可从构成平行四边形的条件来进行思考．实际 上，如果换个角度，就会发现，点 A，P，B 三点共线，
人教版第二章平面向量的正交分解及坐标表示(共24张PPT)教育课件
《
《
我
是
算
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同学们加油！
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那
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我
和
他
不
同
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我
是
从
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当
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拍
完
但
是
我
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轻
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就是如果我 Nhomakorabea告
诉
你
怎
么
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(2, 3)
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
人教版数学第二章2-3《平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算》(共27张PPT)教育课件
d 4i 2 j d (4,2)
3.（2014·北京高考）已知向量 a =（2,4），b =（-1,1），
则 2 a - b =（ A ） A.（5,7） C.（3,7）
B.（5,9） D.（3,9）
【解析】选Ａ. 2 a - b =2（2,4）-（-1,1）=（5,7）。
4.已知点A(3,1),a(x 2 ,2 xy 5 )，若向量 a OA, O为坐标原点，则x=___5_____,y=___-_4_____.
5 . 已 知 A ( - 1 ， - 5 ) 和 向 量 a = （ 2 ， 3 ） ， 若 A B = 3 a ， 则点B的坐标为_（__5_，__4__）_.
6.已知：点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)， 若 AP=AB+λAC(λ R) ，试求λ为何值时, （1）点P在一、三象限角平分线上? （2）点P在第三象限内?
， ，所
以
x
y
5 5 ，
4 7 .
所以P(5+5λ,4+7λ)，
（1）若点P在一、三象限角平分线上, 则 5+5λ=4+7λ，
所以 1. 2
（2）若点P在第三象限内，
则
5 4
5 7
0， 0，
所以
1 ， 4．
7
所以λ＜-1,即只要λ＜-1,点P就在第三象限内.
一、知识技能
1.平面向量的坐标表示 a xi y j (x, y).
——兰斯顿•休斯
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事 看开了 ，就 会有 个好 心情。 让聚 散离 合犹 如月 缺月 圆那样 寻常 ，
课件8：2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3平面向量的坐标运算
跟踪训练
2．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且C→M＝3C→A， C→N＝2C→B，求 M、N 的坐标和M→N的坐标．
解：因为 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以C→A＝(1,8)，C→B＝(6,3)． 设 M＝(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)．由C→M＝3C→A得(x＋3，y＋4)＝3(1,8)， 即xy＋＋34＝＝32，4， 解得xy＝＝02，0， 即 M(0,20)． 同理可得 N(9,2)，所以M→N＝(9，－18).
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
解得 x＝13， y＝0，
∴P 点的坐标为13，0.
【正确解答】由|A→P|＝2|P→B|知A→P＝2P→B或A→P＝－2P→B.设 P 点的坐标为(x，y)．
当A→P＝2P→B时，得(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
基础梳理
一、平面向量的坐标表示 1．向量的正交分解：把一个向量分解为两个 互相垂直单位向量 的向量， 叫做把向量正交分解． 2．向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝__xi_＋__y_j __， 则有序数对 (x，y) 叫做向量a的坐标，记作a＝ (x，y) ，其中x叫做a在x轴上的坐标， y叫做a在y轴上的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点 坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
(3)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
【特别提醒】(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、 终点的关系． (2)要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． (3)要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关， 只与其相对位置有关．