正弦信号的采样与恢复

*****************实践教学*******************计算机与通信学院2013年春季学期信号处理课程设计题目：正弦信号的采样与恢复专业班级：姓名：学号：指导教师：成绩：摘要通过对信号取样定理与信号恢复知识认识的学习，了解到数字信号处理的理论之后，了解到数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术有许多优点，因此人们希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，在采用数字信号处理技术进行处理。

数字信号处理是一门理论与实践紧密结合的课程,而本课程设计是对正弦信号进行采样与恢复，通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对采样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中的多个周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号，采用MATLAB软件进行一些仿真和设计，并对所得到的MATLAB图形进行分析和比较。

最后总结。

关键字：采样、恢复、 MATLAB、仿真目录前言 (1)一、设计任务 (2)二、低通滤波器 (3)1、概念 (3)2、工作原理 (3)3、特点 (3)三、设计原理 (4)1、采样定理的原理 (4)2、信号的恢复 (4)四、设计流程图 (6)五、设计内容与步骤 (7)1、正弦信号的采样 (7)1.1连续信号y=sin(t)和其对应的频谱 (7)1.2 对连续信号y=sin(t)进行抽样并产生其频谱 (7)2、通过低通滤波恢复原连续信号 (10)总结 (13)参考文献 (14)致谢 (15)附录 (16)前言随着信息科学和计算机技术的迅速发展，数字信号处理的理论与应用得到飞跃的发展，形成了一门及其重要的学科。

数字信号处理是一门理论与实践紧密结合的课程。

做大量的习题和上机实验，有助于进一步理解和巩固理论知识，还有助于提高分析和解决实际问题的能力。

过去用其他算法语言，实验程序复杂，在有限的实验课时内所做的实验内容少。

MATLAB 强大的运算和图形显示功能，可使数字信号处理上机实验效率大大提高。

特别是它的频谱分析和滤波器分析与设计功能很强，使数字信号处理工作变得十分简单、直观。

这样一来，使复杂的数字滤波器分析与设计的繁杂计算问题，变得容易接受，以实现的见到问题。

本实验设计的题目是：信号的采样与恢复、采样定理的仿真。

通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对采样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号。

实验中，原连续信号的频谱由于无法实现真正的连续，所以通过扩大采样点的数目来代替，理论上当采样点数无穷多的时候即可实现连续，基于此尽可能增加采样点数并以此来产生连续信号的频谱。

信号采样过程中，通过采样点的不同控制采样频率实现大于或小于二倍最高连续信号的频率，从而可以很好的验证采样定理。

信号恢复，滤波器的参数需要很好的设置，以实现将抽样后的信号进行滤波恢复原连续信号。

由于自己能力有限，此次课程设计肯定有很多不足，但在老师的帮助下，自己得到了很大的提升。

使本课程设计进一步得到了完善。

一、设计任务本课设主要研究正弦信号的采样与恢复，以及Matlab的应用，低通滤波器的设计及应用。

通过本课程的设计，主要用一下几个目的及要求：1．使用MATLAB语音产生三个不同频率的正弦信号，并画出三个信号的时域波形。

2．对产生的三个信号以不同的采样频率进行采样。

3．对采样前后的信号进行傅里叶变换，并画出频谱图。

4．根据三个信号的频谱特点设计恢复信号的合适的低通滤波器。

5．用设计的滤波器对信号进行恢复，并对频谱图进行分析。

6．分析采样前后频谱的变化，验证采样定理。

7．分析得到信号的频谱，并画出恢复后信号的时域波形和频谱图。

8．掌握MATLAB软件的基本使用，并进行一些仿真和设计。

二、低通滤波器低通滤波器（LPF），是一种容许低于某一截至频率的信号分量通过，而对高于该截止频率以上的信号分量进行衰弱的电子滤波装置。

对于不同滤波器而言，每个频率的信号的减弱程度不同。

低通滤波器有很多种，最通用的就是巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器。

1、概念电感阻止高频信号通过而允许低频信号通过，电容的特性却相反。

信号能够通过电感的滤波器、或者通过电容连接到地的滤波器对于低频信号的衰减要比高频信号小，称为低通滤波器。

2、工作原理低通滤波器就是利用电容通高频阻低频、电感通低频阻高频的原理。

对于需要截止的高频，利用电容吸收电感、阻碍的方法不使它通过；对于需要放行的低频，利用电容高阻、电感低阻的特点让它通过。

低通滤波器概念有许多不同的形式，其中包括电子线路（如音频设备中使用的滤波器）、平滑数据的数字算法、音障、图像模糊处理等等，这两个工具都通过剔除短期波动、保留长期发展趋势提供了信号的平滑形式。

低通滤波器在信号处理中的作用等同于其他领域，如金融领域中移动平均数所起的作用。

3、特点当使用在音频应用时，它有时被称为高频剪切滤波器, 或高音消除滤波器。

低通滤波器是指车载功放中能够让低频信号通过而不让中、高频信号通过的，其作用是滤去音频信号中的中音和高音成分，增强低音成分以驱动扬声器的低音单元。

由于车载功放大部分都是全频段功放，通常采用AB类放大设计，功率损耗比较大，所以滤除低频段的信号，只推动中高频扬声器是节省功率、保证音质的最佳选择。

三、设计原理时域采样定理从采样信号()t f s 恢复原信号()t f 必需满足两个条件：1) ()t f 必须是带限信号，其频谱函数在ω＞m ω各处为零； 2) 取样频率不能过低，必须s ω＞2m ω（或s f ＞2m f ）。

① 如果采样频率2=s ω0/T π大于或等于2max ω，即max 2ωω≥s （2max ω为连续信号()t ε的有限频谱），则采样离散信号()t *ε能无失真地恢复到原来的连续信号()t ε。

② 采样信号()t f s 的频谱是原信号频谱()ωj F 的周期性重复，它每隔s ω重复出现一次。

当s ω＞2m ω时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号()t f s 中恢复原信号()t f 。

1、采样定理的原理对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关S ，设电子开关每隔周期T 和上一次，每次合上的时间为τ<<T ，在电子开关的输出端得到采样信号x^a(t)。

该电子开关的作用等效成一宽度为τ，，周期为T 的矩形脉冲串()t P T ，采样信号()t x a就是()t x a 与相()t p T 乘的结果。

采样过程如图2（a ）所示。

如果让电子开关合上时间0→τ，则形成理想采样，此时上面的脉冲串变成单位脉冲串，用()t P δ表示。

()t P δ中每个单位冲激处在采样点上，强度为1，理想采样则是()t x a 与()t p δ相乘的结果。

用公式表示为：()()∑∞-∞=-=n nT t t P δδ （1）()()()()()nT t t x t P t x t x n a a a -=⋅=∑∞-∞=δδ（2）上式中()t δ是单位冲激信号，在上式中只有当nT t =时，才可能有非零值，因此写成下式：()()()nT t T x t x n aa -=∑∞-∞=δ（3）2、信号的恢复如果信号的取样满足采样定理，即采样频率2=s ω0/T π大于或等于2max ω，即max 2ωω≥s （2max ω为连续信号()t ε的有限频谱），对()t f 进行采样时，频谱()jw F 进行周期延拓时不会出现混叠现象，()jw F s 中的每一个延拓的波形与()jw F 波形的形状完全相同，幅度取决于()n A 。

在这种情况下，如果用一个截止频率c ω满足m s c s ωωωω-≤≤的理想低通滤波器()jw G 对()jw F s 进行滤波，则可由()jw F s 完全恢复出()jw F 。

考虑到时域与频域的唯一对应性，也就可以表明()t f s 可以恢复出()t f 。

时域与频域的转换式：()()()jw G jw F jw F s = （3） ()()()t g t f t f s *= （4）可用传输函数)(ωj G 的理想低通滤波器不失真地将原模拟信号)(t f 恢复出来，只是一种理想恢复。

2)2sin()(21)(t t d e j G t g s s j ΩΩ=Ω=⎰∞∞-ωωπ（5） 因为Ts π2=ΩTt T t t g ππ)sin()(=(6) 理想低通滤波器的输入输出)(t f ∧和)(t y ，)(t y =)(t f ∧*)(t g =ττd t g t f )()(-⎰∞∞- （7）综上所述：A/D 转换环节实现抽样、量化、编码过程；数字信号处理环节对得到的数字信号进行必要的处理；D/A 转换环节实现数/模转换，得到连续时间信号；低通滤波器的作用是滤除截止频率以外的信号，恢复出与原信号相比无失真的信号)(0t f 。

四、设计流程图图1五、设计内容与步骤1、正弦信号的采样1.1连续信号y=sin(t)和其对应的频谱子函数通过控制参数ｎ的取值多少可分别计算离散和近似连续信号的频谱值并作为函数值进行返回。

图11.2 对连续信号y=sin(t)进行抽样并产生其频谱当输入n=15时，图2当输入n=45时，图3当输入n=135时，图4由抽样定理可知，抽样后的信号频谱是原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓形成的，周期性在上面两个图中都有很好的体现。

但是从10点和50点采样后的结果以及与员连续信号频谱对比可以看出，10点对应的频谱出现了频谱混叠而并非原信号频谱的周期延拓。

这是因为N 取值过小导致采样角频率c s Ω<Ω2，因此经周期延拓出现了频谱混叠。

而N 取50时，其采样角频率c s Ω≥Ω2，从而可以实现原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓，并不产生混叠，从而为下一步通过低通滤波器滤出其中的一个周期（即不失真的原连续信号）打下了基础。

2、通过低通滤波恢复原连续信号图5 低通滤波器的频谱图低通滤波器原理很简单，它就是利用电容通高频阻低频、电感通低频阻高频的原理。

对于需要截止的高频，利用电容吸收电感、阻碍的方法不使它通过；对于需要放行的低频，利用电容高阻、电感低阻的特点。

246810121416-0.4-0.200.20.4t x (t )5010015020025030035040045050000.511.52Hz频率响应幅度频谱图图6 ｎ＝15时恢复后的信号和频谱20406080100120140-1012t x (t )恢复后的连续信号y=sin(t)50100150200250300350400450500020406080Hz频率响应幅度频谱图图7 ｎ＝30时恢复后的信号和频谱5101520253035404550-1012t x (t )501001502002503003504004505000102030Hz频率响应幅度频谱图图8 ｎ＝100时恢复后的信号和频谱经上面的图6、图7、图8可以看出，采样点数多的恢复波形明显比采样点数少的好。