材料力学课件第四章扭转演示文稿

a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
上式称为切应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 四、剪切虎克定律：
薄壁圆筒体扭转实验
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC0, T1m20 m2 1 m3 2 m1 3 m4
T1m2 4.78kNm
n
T 2m 2m 30,
A 1 B 2 C 3D
T 2 m 2m 3 (4 .7 8 4 .7)8 9 .5k6N m
T3m4 0 , T2 m4 6.37kNm
求扭矩: 任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力 偶矩的代数和. 转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反.
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A2dA 单位：mm4，m4。
，沿周向大小不变，方向与该
截面的扭矩方向一致。
a
b
c
d
二、薄壁圆筒切应力 与剪应变：
①切应力
AdAr0 T
r 0 A d A r 0 2r 0 t T
2Tr02t
T 2 A0 t
A0：平均半径所作圆的面积。
②剪应变
LR A R/ L
m
BO
m
三、切应力互等定理：
mz 0
t dxdy t dxdy 故
T=m
在一定范围内
T (2A0t) (L/R)
剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时 （τ ≤τp) (在弹性范围内)，切应力与剪应变成正比关系。
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
材的G值约为80GPa。
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。
m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1 9.55Pn1 9.55 530000 A
15.9(kNm)
n
B
C
D
m 2 m 3 9 .5P n 2 5 9.1 3 55 0 5 4 .7 0 0(8 k m N) m 49 .5P n 5 49.3 2 50 0 5 6 .0 0 3(7km N)
mx 0 T m 0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正， 反之为负。
4 扭矩图：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
T
强度计算（危险截面）。
x
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
2. 轴向无伸缩；
3. 纵向线变形后仍为平行。 圆轴横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tgG d1G xd d x
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d dx
—— 扭转角沿长度方向变化率(单位长度扭转角)。
2. 物理关系：
受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶.
变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线~螺 旋线~扭转变形）
A
B O
A
BO
m
m
扭转角(相对扭转角)（）：任意两横截面绕轴线转动而
发生的角位移。
剪应变(切应变)（）：直角的改变量。
A
BO
m
m
工 程 实 例
§4–2 外力偶矩和扭矩
一、外力偶矩 使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外
胡克定律：
G
代入上式得： G G d d xG d d x
Gddx
距圆心等距离处的切应力相等
3. 静力学关系： dA
T A dA
O
A G 2
d dx
dA
G
d dx
A
2d A
TGIp
d
dx
令 Ip A2dA
d
dx
T GIp
代入物理关系式 Gddx 得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。
材料力学课件第四章扭转演示文稿
第四章 扭 转
§4–1 引言 §4–2 外力偶矩和扭矩 §4–3 薄壁圆筒的扭转 §4–4 圆轴扭转时的应力 ·强度计算 §4–5 圆轴扭转时的变形 ·刚度计算 §4–6 非圆截面杆扭转简介 *圆轴扭转超静定问题
§4–1 引 言
轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。
力对杆轴的力矩。
传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m9.55P n(kNm)

其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m7.02P n4(kN m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
1kW = 1000N·m/s = 1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
③绘制扭矩图 Tma x9.56kN mBC段为危险截面。
m2
m3
m1
m4
A T
– 4.78
B
C
– 9.56
n D
6.37
x
§4–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
2.实验后： ①圆周线的大小、形状、 间距不变； ②纵 向线变成斜直线， 倾 角相同。
3.结论：①各圆周线的间距均未改变→横截面上无正应力. ②圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对 转动→周向无正应力 ③纵向线倾斜→横截面上有切应力.
④各纵向线均倾斜了同一微小角度 →切应力均匀分布.
微小矩形单元体如图所示：
①横截面上无正应力 ②周向无正应力 ③横截面上各点处，只产生 垂直于半径的均匀分布的切应力
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
G
E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
§4–4 圆轴扭转时的应力 ·强度计算
一、等直圆轴扭转实验观察：
1. 横截面变形后
仍为平面；