第三章：相关系数r 的计算公式的推导
相关系数r的计算公式 方差
相关系数r的计算公式方差相关系数是一种度量变量之间关系紧密程度的统计指标，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。
在统计学的研究和实践中，相关系数在许多领域都起着极为重要的作用。
在本文中，我们将着重探讨相关系数的计算公式和方差计算方法，并且提供一定的使用指导意义，帮助读者更好地理解和应用相关系数。
一、相关系数的计算公式相关系数一般用字母r表示，计算公式如下：r = Cov(X,Y) / (SD(X) * SD(Y))其中，Cov(X,Y)表示变量X与Y之间的协方差，SD(X)和SD(Y)分别表示X和Y的标准差。
这个公式表明，相关系数的计算取决于变量X和Y之间的协方差、X和Y的标准差。
当协方差为正数时，X和Y呈正相关关系；当协方差为负数时，X和Y呈负相关关系。
而当协方差为0时，X和Y之间不具有任何线性相关性。
二、方差的计算方法方差是统计学中常用的一种表示数据离散程度的指标，它是各个数据值与其均值差的平方的和的平均值。
方差的计算方法如下：S² = Σ (Xi - X)² / n其中，S²表示方差；Xi表示第i个数据值；X表示平均数；n表示样本数。
方差的计算是通过测量样本中各个数据值与它们的平均值的偏离程度，来体现样本数据的离散程度。
在统计学中，方差是很重要的一个概念，经常被用于衡量数据集的离散程度，并且方差的大小可以对比不同数据集之间的差异性和稳定性。
三、使用相关系数的指导意义相关系数是衡量两个变量线性相关度量的一个重要方法，它可以及时发现和分析变量之间的相互关系，为后续的数据分析和决策制定提供基础依据。
在实际应用中，相关系数可以被广泛应用于经济、社会学、生物学、医学等多个领域。
在进行相关系数的计算和应用时，需要注意以下几点：1. 相关系数是用于描述两个变量之间的线性关系，而非其他非线性关系，如二次关系、指数关系等。
2. 相关系数的取值范围是[-1,1]，其中，-1表示完全的负相关，0表示两个变量之间没有关系，1表示完全的正相关。
相关系数r的两个公式
相关系数r的两个公式相关系数是反映两个变量之间相关程度的统计量，常用于统计学和数据分析中。
它的计算方式有两个公式：皮尔逊相关系数公式和斯皮尔曼等级相关系数公式。
下面将详细介绍这两个公式的定义和应用。
首先，我们来看皮尔逊相关系数公式。
皮尔逊相关系数是衡量两个变量之间线性相关程度的指标，取值范围在-1到1之间。
计算公式如下：r = Σ[(X - X̄) * (Y - Ȳ)] / [√(Σ(X - X̄)^2) *√(Σ(Y - Ȳ)^2)]其中，X和Y分别表示两个变量的观测值，X̄和Ȳ分别表示两个变量的平均值。
Σ表示对所有观测值进行求和运算。
斯皮尔曼等级相关系数是衡量两个变量之间的单调相关程度的指标，适用于两个变量不符合线性关系的情况。
计算公式如下：r = 1 - [6 * Σ(D^2)] / [n * (n^2 - 1)]其中，D表示两个变量的等级差，n表示样本容量。
Σ表示对所有等级差进行求和运算。
皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数的应用非常广泛。
在社会科学研究中，可以用于衡量两个变量之间的联系程度，如收入和教育水平、幸福感和社交关系等。
在金融领域，可以用于研究股票之间的相关性，从而进行投资组合的优化和风险控制。
此外，相关系数还可以用于预测和回归分析。
通过计算两个变量之间的相关系数，可以了解它们之间的关系强度，并基于该关系建立预测模型或回归方程。
通过分析相关系数，我们可以预测变量之间的趋势，并根据预测结果做出合理的决策。
总之，相关系数是一种重要的统计指标，能够帮助我们了解两个变量之间的关系强度和趋势。
无论是在科研领域还是实际应用中，都需要掌握相关系数的计算公式和应用方法，以提高数据分析的准确性和有效性。
希望本文的介绍对相关系数的理解和应用有所帮助。
样本相关系数r的计算公式
样本相关系数r的计算公式
相关系数r的计算公式r(X，Y)=Cov(X，Y)/√Var[X]Var[Y]。
其中，Cov(X，Y)为X与Y的协方差，Var[X]为X的方差，Var[Y]为Y的方差。
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母r表示。
由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。
相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
第1页共1页。
相关系数r2的计算公式
相关系数r2的计算公式相关系数（Coefficient of correlation）是用来衡量两个变量之间关系强度和方向的统计指标。
一般用符号“r”表示，其取值范围在-1到1之间。
如果r为正值，表示两个变量正相关；如果r为负值，表示两个变量负相关；如果r的绝对值接近于0，则表示两个变量之间无明显的线性关系。
相关系数的计算公式主要包括Pearson相关系数、Spearman相关系数和Kendall相关系数。
下面将分别介绍。
1. Pearson相关系数（r）Pearson相关系数，也称为线性相关系数，用于衡量两个连续变量之间的线性关系强度。
Pearson相关系数的计算公式为：r = Σ((X_i - X̅) * (Y_i - Ȳ)) / sqrt(Σ(X_i - X̅)² *Σ(Y_i - Ȳ)²)其中，X_i和Y_i分别表示X和Y的观察值，X̅和Ȳ分别表示X和Y的平均值。
2. Spearman相关系数（ρ）Spearman相关系数用于衡量两个变量之间的单调关系强度，不仅仅局限于线性关系。
Spearman相关系数的计算公式为：ρ=1-6Σd²/(n(n²-1))其中，d表示两个变量对应观察值的秩次差，n表示样本个数。
3. Kendall相关系数（τ）Kendall相关系数也用于衡量两个变量之间的单调关系强度，与Spearman相关系数类似，但其计算方式略有不同。
Kendall相关系数的计算公式为：τ=(P-Q)/(P+Q)其中，P表示在一对观察值中具有相同顺序的对数，Q表示在一对观察值中具有不同顺序的对数。
需要注意的是，公式中的相关系数r、ρ和τ的取值范围都在-1到1之间。
当相关系数接近于1时，表示两个变量之间关系越强；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间关系越弱；当相关系数接近于-1时，表示两个变量之间关系越强并呈负相关。
相关系数的意义在于帮助我们理解变量之间的关系强弱和方向，从而为进一步分析和预测提供依据。
第三章附录：相关系数r 的计算公式的推导
相关系数r AB 的计算公式的推导设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。
2A σ=11-n 2)(∑-A A i2B σ=11-n )(B B i-∑22P σ=11-n 2)1(∑∑-ii P nP=2)](1)[(11i B i Ai B i A B A A A nB A A A n +-+-∑∑=2)]()[(11B A A A B A A A n B A i B i A+-+-∑=2)]()([11B B A A A A n i B i A-+--∑=)])((2)()([112222B B A A A A B B A A A An i i B A i B i A--+-+--∑ =A2A×221)(BiAn A A +--∑×1)])([(21)(2---+--∑∑n B B A A A A n B B i i B A i=A 1)])([(22222---⨯++∑n B B A A A A A i iBA BBAAσσ对照公式（1）得：=1)(2--∑n A A i ×1)(2--∑n B B i × r AB∴ r AB =∑∑∑-⨯---22)()()])([(B BA AB B A A iii i这就是相关系数r AB 的计算公式。
投资组合风险分散化效应的内在特征1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：(2P σ)′=2 A A 2A σ－2 (1－A A )2B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2P σ)′= 0 并简化，得到使2P σ取极小值的A A ：ABB A i ir n B B A Aσσ=---∑1)])([(A A =ABB A BAAB B A B r r σσσσσσσ2222-+- ... (3)式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。
第三章附录：相关系数r 的计算公式的推导教学提纲
相关系数r AB 的计算公式的推导设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。
2A σ=11-n 2)(∑-A A i 2B σ=11-n )(B B i -∑2 2P σ=11-n 2)1(∑∑-i iP n P =2)](1)[(11i B i A iB i A B A A A n B A A A n +-+-∑∑ =2)]()[(11B A A A B A A A n B A i B i A +-+-∑ =2)]()([11B B A A A A n i B i A -+--∑ =)])((2)()([112222B B A A A A B B A A A A n i i B A i B i A --+-+--∑ =A 2A×221)(BiAn A A +--∑×1)])([(21)(2---+--∑∑n B B A A A A n B B i i B A i=A 1)])([(22222---⨯++∑n B B A A A A A i iBA BBAA σσ对照公式（1）得：=1)(2--∑n A A i×1)(2--∑n B B i× r AB∴ r AB =∑∑∑-⨯---22)()()])([(B B A A B B A A iiii这就是相关系数r AB 的计算公式。
投资组合风险分散化效应的内在特征1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：(2P σ)′=2 A A 2A σ－2 (1－A A )2B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2P σ)′= 0 并简化，得到使2P σ取极小值的A A ：ABB Aiir n B B A A σσ=---∑1)])([(A A =ABB A B A ABB A B r r σσσσσσσ2222-+- … …………………………………（3） 式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。
相关系数r的计算
相关系数r的计算相关系数定义式为：若Y=a+bX，则有：令E(X) = μ，D(X) = σ，则E(Y) = bμ+ a，D(Y) = bσ，E(XY) = E(aX + bX) = aμ+ b(σ+ μ)，Cov(X,Y) = E(XY) −E(X)E(Y) = bσ。
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母r表示。
由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。
相关系数定义式为：若Y=a+bX，则有：令E(X) = μ，D(X) = σ，则E(Y) = bμ+ a，D(Y) = bσ，E(XY) = E(aX + bX) = aμ+ b(σ+ μ)，Cov(X,Y) = E(XY) −E(X)E(Y) = bσ。
相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
需要说明的是，皮尔逊相关系数并不是唯一的相关系数，但是最常见的相关系数。
依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。
如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。
相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。
需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。
因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1﹔当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小。
特别是当n=2时，相关系数的绝对值总为1。
财务管理相关系数r的计算公式
财务管理相关系数r的计算公式好的，以下是为您生成的文章：财务管理中，相关系数 r 这个概念就像是一个神秘的密码，解开了就能让我们更清晰地洞察财务数据之间的关系。
它的计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开财务世界的大门。
先来说说相关系数 r 到底是个啥。
打个比方，假如你有两个朋友，一个朋友每次出去玩都花很多钱，另一个朋友却很节省。
你可能会好奇，这两个人的花钱习惯有没有什么关联？这就是相关系数要研究的事儿。
相关系数 r 就是用来衡量两个变量之间线性关系的紧密程度和方向的。
那相关系数 r 的计算公式是咋来的呢？这得从一堆数学推导说起。
公式是：r = [∑(Xi - X 均)(Yi - Y 均)] / [√∑(Xi - X 均)² √∑(Yi - Y 均)²] 。
看起来是不是有点头疼？别慌，咱们慢慢拆解。
比如说，有一组股票 A 和股票 B 的收益率数据。
股票 A 的收益率分别是10%、20%、15%、25%、30%，股票B 的收益率是8%、18%、12%、22%、28%。
咱们来算算它们的相关系数。
首先，得算出股票 A 的平均收益率 X 均，就是把这几个数加起来除以 5 ，（10% + 20% + 15% + 25% + 30%）÷ 5 = 20% 。
同样，算出股票 B 的平均收益率 Y 均，（8% + 18% + 12% + 22% + 28%）÷ 5 = 18% 。
然后，对于每一个数据点，比如股票 A 的第一个数据 10% ，我们用它减去平均收益率 20% ，得到 -10% ，股票 B 的第一个数据 8% 减去平均收益率18% ，得到-10% 。
接着把这两个差值相乘，以此类推，把所有的数据点都这么处理，然后把这些乘积加起来，这就是∑(Xi - X 均)(Yi - Y 均) 。
再分别算出∑(Xi - X 均)²和∑(Yi - Y 均)²，开平方后相乘，最后用前面算出来的∑(Xi - X 均)(Yi - Y 均) 除以这个乘积，就得到了相关系数 r 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。
2
A σ=
11
-n 2)(∑-A A i 2
B σ=1
1-n )(B B i -∑2 2
P σ=11-n 2)1(∑∑-i i
P n P =2)](1
)[(11i B i A i
B i A B A A A n B A A A n +-+-∑∑ =2)]()[(1
1
B A A A B A A A n B A i B i A +-+-∑ =2)]()([1
1
B B A A A A n i B i A -+--∑ =)])((2)()([1
122
22B B A A A A B B A A A A n i i B A i B i A --+-+--∑ =A 2
A
×
2
2
1
)(B
i
A
n A A +--∑×
1
)]
)([(21
)(2
---+
--∑∑n B B A A A A n B B i i B A i
=A 1
)])([(22
2
2
2---⨯
++∑n B B A A
A A A i i
B A B B A A σσ
对照公式（1）得：
=
1
)(2
--∑n A A
i
×
1
)(2
--∑n B B
i
× r AB
∴ r AB =
∑∑∑-⨯---2
2
)
()()]
)([(B B A A B B A A i
i
i
i
这就是相关系数r AB 的计算公式。
投资组合风险分散化效应的内在特征
1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定
公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：
(2
P σ)′=2 A A 2
A σ－2 (1－A A )2
B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2
P σ)′= 0 并简化，得到使2
P σ取极小值的A A ：
AB
B A
i
i
r n B B A A σσ
=---∑1
)])([(
A A =AB
B A B A AB
B A B r r σσσσσσσ22
22-+- … …………………………………（3） 式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。
由于使(2
P σ)′=0的A A 值只有一个，所以据公式（3）计算出的A A 使2
P σ为最小值。
以上分析清楚地说明：对于证券A 和证券B ，只要它们的系数r AB 适当小（r AB 的“上限”的计算，本文以下将进行分析），由证券A 和证券B 构成的投资组合中，当投资于风险较大的证券B 的资金比例不超过按公式（3）计算的（1—A A ），会比将全部资金投资于风险较小的证券A 的方差（风险）还要小；只要投资于证券B 的资金在（1—A A ）的比例范围内，随着投资于证券B 的资金比例逐渐增大，投资组合的方差（风险）会逐渐减少；当投资于证券B 的资金比例等于（1—A A ）时，投资组合的方差（风险）最小。
这种结果有悖于人们的直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。
按公式（3）计算出的证券A 和证券B 的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券A 和证券B 的各种投资组合中方差（亦即风险）最小的投资组合。