17.2一元二次方程的解法(第一课)
17.2一元二次方程的解法---公式法
这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0且 b2-4ac ≥ 0）的求根公式。
有了以上的求根公式，要解一个一元二次
方程，只要把它整理为一般形式，确定出a、 b、c的值在b2-4ac ≥0的前提下，把a、b、c 的值代入求根公式，得到：
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤
课堂作业：
必做题：课本31页习题17.2 第4题（1）、（2）
选做题：第4题（3）、（4）
课外作业：基训17.2（三）
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
例 2、解方程：
（1）2x2+7x-4=0
（2） x 2 3 2 3 x
巩固练习
用公式法解下列方程： （1）x2-7x-18=0
（2）2x2-9x+8=0;
（3）9x2+6x+1=0; （4）16x2+8x=3.
小结：本节课你有哪些收获？
1、求根公式 : b b2 4ac
x 2a
移项配方，得
aa
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac
即：
x2
b a
x
b 2a
2
c a
一元二次方程的解法_直接开平方法_第1课时
什么叫做平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。
记作x= a
即x= a 或x= 9的平方根是__±__3__
4
25
a
的平方根是___52___
尝试（利用平方根定义）
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移项，得x2=2 ∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的解为： x1=
，x2=
典型例题
例1解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21
∴x=±1.1
即 x1=1.1，x2=-1.1
则m、n必须满足的条件是（ B ）
A.n=0
B.m、n异号
C.n是m的整数倍 D.m、n同号
练一练
3、解下列方程： （1）（x-1）2 =4 （2）（x+2）2 =3 （3）（x-4）2-25=0 （4）（2x+3）2-5=0 （5）（2x-1）2 =（3-x）2
练一练
4一个球的表面积是100cm2， 求这个球的半径。 （球的表面积s=4R2，其中R是 球半径）
变成（x+h）2=k （k≥0）的形式；
解：（1）移项，得（x-1）2=4 ∴x-1=±2
即x1=3，x2=-1
例2解下列方程： 典型例题
（2） 12（3－2x）2－3 = 0
分析：第2小题先将－3移到方程的右边，再 两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后 两边都除以-2即可。
配方法(1)教案
17.2一元二次方程的解法——配方法（1）一、教学目标：.知识与技能1. 使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠０，b≠０，c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;2. 在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”过程与方法过程与方法：通过观察、探究、发现和归纳总结配方法一般步骤。
情感、态度与价值观：通过配方法的学习，培养学生的细心和耐心，从而养成良好的数学学习习惯。
二、教学重点：掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。
教学难点：凑配成完全平方的方法与技巧。
三、教学过程：（一）课前探究1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪几种形式?(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。
特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。
练习：解方程：(x-3)2=4 (让学生说出过程)。
解：方程两边开方，得x-3=±2，移项，得x=3±2。
所以x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)4.其实(x-3)2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。
(把这个展开过程写在黑板上)(x-3)2=4,①x2-6x+9=4, ②x2-6x+5=0.③（二）合作交流探究新知1.逆向思维我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)2=n的形式。
这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m)2。
2.通过观察，发现规律问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。
(添一项+1)即(x2+2x+1)=(x+1)2.练习，填空：x2+4x+( )=(x+ )2; y2+6y+( )=(y+ )2.3：总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。
上海八年级数学上---17.2(2)一元二次方程的解法(含答案)
17.2（2）一元二次方程的解法一、填空1. 把下列多项式分解因式：(1)x 2＋5x ＋6＝__________，(2)x 2－5x ＋6＝__________，(3)x 2－5x －6＝__________，(4)x 2＋5x －6＝__________.2. 方程x 2＝2x 的根是__________．3. 方程(x －2)(2x －3)＝0的根是__________．4. 方程(x －5)2＝0的根是__________．5. 方程x 2－x －42＝0的根是__________．6. 已知3x 2y 2－xy －2＝0，则x 与y 之积等于__________．7. 写出一个以1、－2为根的一元二次方程__________．8. 关于x 的一元二次方程(m ＋2)x 2＋x －m 2－5m －6＝0有一个根为0，则m ＝______.9．方程230x -=的解是 。
10．方程2210x x -+=的解是 。
11．若代数式(2)(1)x x -+的值为0，则x = 。
12．方程2(3)128(3)x x -+=-的实数根是 。
二、解答题13．解方程：2(1)0x = (2)3(23)1x x -=(3)3(2)5(2)y y y +=+ 22(4)(32)4(2)x x -=-2(5)(1(1x x -= 2(6)(21)3(21)20x x ++++=（7）－x 2＋2x ＋3＝0 （8）(x －3)2－3(3－x )－4＝0（9）. (x －6)x －2x ＋12＝0 （10）3x 2－2x ＝2x 2＋3x14．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程02092=+-x x 的一个根，求这个三角形的周长。
15．已知x 、y 为实数，且(x 2＋y 2)(x 2＋y 2＋2)＝3，求x 2＋y 2的值．三、提高题：16．已知22320a ab b +-=，求代数式22a b a b b a ab +--的值17.2（2）一元二次方程的解法一、1.（1）（x+2）（x+3）（2）（x-2）（x-3）（3）（x+1）（x-6）（4）（x-1）（x+6）2.=0 =23.==4.==55.=—6 =76. 1或者－7.（x—1）（x+2）=0 8.—3 9.=0=10.==1 11.2或—1 12.=9 =5二、13．（1）=0 =（2）121 3x x==（3）== －2（4）=—2 =（5）=0 =—3—2（6）=—1 =（7）=—1 =（8）=4 =（9）=2 =（10）=0 =+214.18 15. 1三、16.2或者—3。
17.2(3)一元二次方程的解法-配方法
(2) 2x2 ＋ 3x －1=0
第10页，共13页。
1：用配方法解下列方程：
(1) x2＋12x =－9
No (2) －2x2＋4x－3=0
(3) 4x2＋12x－7=0
Image (4) 1 x2 3x 1 0 2
2. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零.
(1) x2 6x 7 0
(2) x2 3x 1 0
第6页，共13页。
(1) x2 6x 7 0
解（1）移项，得 x2 6x 7
配方，得
x2 6x 32 7 32
则 (x 3)2 16
即 x 3 4
x 3 4或 x 3 4
x 7或 x 1
x1 7, x2 1 是根原方程的
第7页，共13页。
(2) x2 3x 1 0
解：移项 x2 3x 1
配方
x2
3x
3 2
2
1
3 2
2
得
(x 3)2 5
2
4
即
x 3 5
2
2
x1
3 2
5 2
,
x2
3 2
5 2
是原方程的 根
第8页，共13页。
用配方法解一元二次方程的步骤:
1、通过移项，两边同除以二次项系数，将原方程变形
(4)
y2
1 2
y
（__14_）_2
(
y
__14 _)2
它们之间有什么关系?
第3页，共13页。
x2 6x 4 0
想一想如何x2解 6方x移程项x42 6x 4 0 ?
两边加上32,使左边配成完 全平方式
沪科版八下数学17.2一元二次方程的解法课件
2
（2）x2 5x 2 0
（3） 2x2 +5x 1 0
（4） 3x2 -5x 2 0
2)2
谢
谢
观
再
见
看
2
5x 1 0
(4)3x
2
6x 1 0
小结
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
同样由（x+h)²=k(k≥0) 得 x + h = ± ，
x₁= − ℎ, x₂= − − ℎ
二、配方法 ：
先把原一元二次方程的左边配成一个
完全平方式，然后用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
知识巩固
例2： 用配方法解一元二次方程：
(1）x²-4x-1=0
(2) 2x²-3x-1=0
解：（1）移项，得x 2 4x 1
配方，得x 2 2 2x +22 1+22
（2）直接开平方得：x-1=±2， ： ₁ = 3， ₂ = −1
（3）原式化为：(x+2)²=16，直接开平方得： x+2=±4 ：
₁ = 2， ₂ = −6
结 论
一、直接开平方法：
一般地，对于形如 x²=a(a≥0) 的方程，利用
平方根的定义，可得： x₁=
,
₂ = −
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。
3.变形：等号左边写出完全平方式
4.开平方：利用开平方的定义直接开平方
17.2一元二次方程的解法--公式法
第1页，共30页。
知识回顾
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方， 求解，定根
2、用配方法解下例方程
（1）2x2 7x 2 0
（2）2x2 4x 5 0
用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦， 能否研究出一种更好的方法？
1. 3
第23页，共30页。
一、由配方法解一般的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
(b2 4ac 0)
第24页，共30页。
二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c (整系数
,a为正的） 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，并判断是否大于,等于
x1
1,
x2
2 3
.
第19页，共30页。
随堂 练习
2.用公式法解下列方程：
(1)2x2-x-1=0
解: a 2,b 1,c 1 b2 4ac 1 8 9 0
x 1 9 13 22 4
x1
1,
x2
1. 2
(2)x2+1.5=-3x
解 : x2 3x 1.5 0 a 1,b 3,c 1.5 b2 4ac 9 6 3 0
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解方程x2+4x=2
解：移项，得 x2+4x-2=0
这里的a、b、c的 值是什么？
a= 1，b= 4，c = -2.
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24. 0
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法》(第1课时)优课件
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a ≥0）或 （x + h)2 =k（k ≥0)的形式，然后再根据平方根的 意义求解
例1 解下列方程 （1）x²-1.21=0 (2)4x²-1=0
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢? 解:（1）∵x是4的平方根
∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为: x1=2，x2 =-2
（2）移项， 2 即此一元二次方程的根为：x1=
2 ，x2= 2
什么叫直接开平方法？
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解?
(x h)2 k
方程可化为一边是 _含_未__知__数__的__完_全__平__方__式__, 另一边是___一_个__常__数____,那么就可以用直接开 平方法来求解. 2、直接开平方法的理论依据是什么?
平方根的定义及性质
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
配方法
求真知 做真人
探究交流2
怎样解方程: x2+2x-1=0
解： x2+2x-1=0
方程配方的方法：
移常数项
x2&全上一次项
平方式：常数项等于一
两边都加上1
系次项数系一数半一半的的平平方方..注意是在
x2+2x+1=1+1
写成( x+n)2=p的形式
二次项系数为1的前提下进
（1）x2+4x+ 22 = ( x + 2 )2
（2）x2-6x+（-3）2 = ( x- 3 )2
（3）x2 -8x+（-4）2= ( x- 4 )2
（4） x2 + 43x+
= ( 2 )2 3
(
x+
2 3
)2
你发现了什么规律？
想一想：
p
p
x2+px+( 2 )2=(x+ 2 )2
二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.
2019年度“一师一优课，一课一名师”优课展示活动
沪科版初中数学八年级下册 17.2一元二次方程的解法—配方法（1）
滁州市凤阳县实验中学
车灵通
求真知 做真人
你还记得吗？
用直接开平方法解下列方程 (1) x2 16 0 (2) (x 3)2 5 (3) (x 1)2 4 0
求真知 做真人
学习目标
(x+1)2=2
行的.
直接开平方法
x+1= 2
求真知 做真人
要点归纳 配方法的定义 像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法. 配方法解方程的基本步骤
1开平方法解一元二次方程(第1课时)课件
即：对于(mx ＋n)2＝p(p≥0)，得：mx n p
2.若两边都是完全平方式，
即：（ax +b）2=(cx +d)2，得 ax b (cx d )
练一练
1.（3x -2）²-49=0
2.（3x -4）²=（4x -3）²
沪教版八年级上册
第 17 章一元二次方程
17.2开平方法解一元二次方程 （第1课时）
目录
1 学习目标 3 课本例题 5 题型讲授 7 课堂小结
2 新课讲授 4 课本练习 6 随堂检测
学习目标
1．理解解一元二次方程降次的转化思想； 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0) 的一元二次方程； 3.体会类比的思想；
1.用直接开平方法解方程 x2－81＝0.
解： 移项得x2＝81.
移项，要变号
根据平方的意义，得x＝±9， 即x1＝9，x2＝－9.
开平方降次
2.利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=25；
(2) x2－900=0.
解：（1） x2=25， 直接开平方，得 x 5,
x1 5 ，x2 5.
x1=3, x2=－1
4.解下列方程： （1）(x＋1)2= 2 ；
解析：第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体， 就可以运用直接开平方法求解. 解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1= 2. 即x1=−1+ 2 ，x2=−1− 2.
（2）(x−1)2−4 = 0；
解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第 1小题一样地解.
像这样解一元二次方程的方法叫做开平方法。
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1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 2 来求解? ( x h) k 方程可化为一边是 含未知数的完全平方式 ____________________, 一个常数 另一边是____________, 那么就可以用直接开 平方法来求解. 2、直接开平方法的理论依据是什么?
平方根的定义及性质
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ D ） (A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=
1 7 ;x = 2 4 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
例1 解下列方程 （1）x2-1.21=0
典型例题
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根 ∴x=±1.1 即此一元二次方程的根为： x1=1.1，x2=-1.1 （2）移项，得4x2=1 1 2 两边都除以4，得x = 1 4 ∵x是 4 的平方根 ∴x=
1 1 即x1= ， x2= 2 2
即x= a
尝试
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解:（1）∵x是4的平方根 即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
∴x＝±2
（2）移项，得x2=2 ∵ x是2的平方根 ∴x= 2
即此一元二次方程的根为： x1=
2
， x 2=
2
概括总结
什么叫直接开平方法？ 像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次 方程的方法叫做直接开平方法。 说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或 （mx+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根 的意义求解
典型例题
5 ∴ x 1= ， 4
7 x2= 4
典型例题
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根， 同样可以用直接开平方法求解
解：2x-1=
( x 2)
2
即 2x-1=±（x-2）
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2 即x1=-1，x2=1
讨论
典型例题
即x1=3，x2=-1
例2 解下列方程： ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0 分析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两 边都除以12，再同第1小题一样地去解。 解：(3)移项，得12（3-2x）2=3 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25 ∵3-2x是0.25的平方根 ∴3-2x=±0.5 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
练一练 2、解下列方程： （1）x2=16 2 （2）x -0.81=0 2 （3）9x =4 （4）y2-144=0
练一练
3、解下列方程： 2 （1）（x-1） =4 2 （2）（x+2） =3 2 （3）（x-4） -25=0 2 （4）（2x+3） -5=0 2 2 （5）（2x-1） =（3-x）
1 2
例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
典型例题
分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个 整体，就可以运用直接开平方法求解； 解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1= 即x1=-1+
2
x2=-1- 2
2 ，
例2 解下列方程： ⑵ （x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0 分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同 第1小题一样地解； 解：（2）移项，得（x-1）2=4 ∵x-1是4的平方根 ∴x-1=±2
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有（mx＋h）2= k （k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。 2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数 的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后 用平方根的概念求解
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平 方法求解吗？请举例说明
沪科版数学教材八年级下
17.2 一元二次方程的解法(1) ——直接开方法
1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。 用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
知识回顾
a
或x= a 2 4 ±3 如：9的平方根是______ 的平方根是 ______ 5 25 2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。