第二章 连续性方程与运动方程
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流体力学连续性方程和恒定总流动量方程
qv qv
( (
2 v2 x 2V2 y
1v1x ) 1v1y )
Fx Fy
qv
(
2v2
z
1v1z
)
Fz
外力项
不包括惯 性力
输入项 19
恒定总流的动量方程
6 未知力的方向可以假定，若计算为正值，则说明假定正确； 反之，则说明实际力的方向和假定相反。
7 动量方程只能求解一个未知数，如果未知数的数目多于一， 必须联合其他方程（连续方程、或能量程）方可求解。
恒定总流的动量方程
上述积分问题 的解决
用断面平均流速v 代替点流速。定
义V的大小为v ，
方向为u的方向 。
uudA 2 A A
造成的误差用动 量修正系数 来 修正。
uudA
A
2A
2021/4/10
14
恒定总流的动量方程
引入动量修正系数后：
K1-1' dt A1 u1u1dA1 dt1v12 A1 qv11v1dt K 2-2' dt A2 u2u2dA2 dt2 v22 A2 qv22 v2dt
整理得： FR 0qvV0
2021/4/10
26
arctg FRz
FRx
23
恒定总流的动量方程的应用
管轴水平放置 1 1
重力与水流方 向垂直，可忽 略。
FP1=p1A1
V1 FRy FR FRx
V2
2
2
沿x方向列动量方程：
y
x
FP2=p2A·2
沿y方向列动量方程为：
p1A1 FRx qv (0 1V1)
FRx p1A1 1qvV1
K1'2'
流体的连续性方程和动量方程
流体的连续性方程和动量方程流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。
在流体力学中，连续性方程和动量方程是两个重要的基本方程。
本文将详细介绍流体的连续性方程和动量方程的定义和应用。
一、流体的连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒原理，表达了流体在空间和时间上的连续性。
连续性方程的数学表达形式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)表示速度矢量的散度。
该方程表示，流体的密度在一个闭合曲面上的变化率等于通过该曲面的质量流量。
连续性方程是基于质量守恒原理推导得出的。
它表明，在稳定流动条件下，流体在通道中的截面积变化时，速度会发生相应的变化，以保持质量的守恒。
根据连续性方程，我们可以推导出管道中的速度分布。
在管道的收缩段，速度增加，截面积减小，密度保持不变，从而保证质量守恒。
这也是为什么水管收缩后出水流速增加的原因。
二、流体的动量方程动量方程描述了流体运动的力学性质，表达了流体在空间和时间上的动量守恒。
动量方程的数学表达形式为：ρ(dv/dt) = -∇p + μ∇^2v + F其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，p是压强，μ是流体的粘度，∇p表示压强的梯度，∇^2v表示速度的拉普拉斯算子，F是外力的合力。
动量方程由牛顿第二定律推导而来。
它表示，在流体中，流体质点的动量变化等于合外力对质点的作用力。
动量方程用于描述流体在受力作用下的运动状态，通过求解动量方程，可以得到流体的速度分布。
根据动量方程，我们可以推导出流体中的压力分布。
在水管中，如果水流速度增大，则根据动量方程中的负梯度项，压力会降低。
这是因为速度增大会导致动能的增加，压力会减少以保持动量守恒。
综上所述，流体的连续性方程和动量方程是流体力学中的两个基本方程。
连续性方程描述了质量守恒原理，动量方程描述了动量守恒原理。
通过求解这两个方程，我们可以获得流体在空间和时间上的运动状态和力学性质。
化工传递(第二章)2014
对流传递 ——由于流体质点的宏观流动引起， 是动量的主体流动过程。
2.1 动量传递概述
1.分子动量传递
分子动量传递的通量由牛顿黏性定律描述： dux d（ ux） yx = dy dy
2.1 动量传递概述
2.涡流动量传递
涡流中大小不等的微团在各流层之间交换。 1877年，波希尼斯克（boussinesq）提出了涡流 通量表达式 d( ux ) r
第二章 动量传递的微分方程
本章先讨论动量传递的基本概念，动量传
递的基本方式：扩散传递和对流动量传递。然
后推导不考虑组分浓度变化的连续性方程和动
量传递的微分方程——运动方程。
2.1 动量传递概述
分子传递 —— 因流场中存在速度 梯度，分子随机运动引 扩散传递 起的动量传递过程。 动量 传递
涡流传递 ——湍流中质点的随机 脉动引起的动量传递。
ux ux
ux dA
第二章 动量传递的变化方程
2.2 连续性方程
一、连续性方程的推导 二、连续性方程的分析和简化 三、柱坐标与球坐标系方程
一、 连续性方程的推导
对单组分流体系统（如水）或组成均匀的多组 分混合物系统（如空气）中，运用质量守恒原理进 行微分质量衡算，所得方程称为连续性方程。 质量守恒定律 流入质量速率—流出质量速率＝积累质量速率 采用欧拉观点 在流场中选一微分控制体。
一、 连续性方程的推导
空间M（x,y,z）点处取微元控制体 dV=dxdydz u x, y, z, 该点流速：
ux
( ux ) x
流体密度： x, y,z, 设流体在M点的质量 通量为 u u 在坐标x,y,z方向分量： 微分质量衡算 ux，uy，uz uz 。 u 沿坐标x,y,z方向分量： ux、 u y、
2.1 动量传递概述
1.分子动量传递
分子动量传递的通量由牛顿黏性定律描述： dux d（ ux） yx = dy dy
2.1 动量传递概述
2.涡流动量传递
涡流中大小不等的微团在各流层之间交换。 1877年，波希尼斯克（boussinesq）提出了涡流 通量表达式 d( ux ) r
第二章 动量传递的微分方程
本章先讨论动量传递的基本概念，动量传
递的基本方式：扩散传递和对流动量传递。然
后推导不考虑组分浓度变化的连续性方程和动
量传递的微分方程——运动方程。
2.1 动量传递概述
分子传递 —— 因流场中存在速度 梯度，分子随机运动引 扩散传递 起的动量传递过程。 动量 传递
涡流传递 ——湍流中质点的随机 脉动引起的动量传递。
ux ux
ux dA
第二章 动量传递的变化方程
2.2 连续性方程
一、连续性方程的推导 二、连续性方程的分析和简化 三、柱坐标与球坐标系方程
一、 连续性方程的推导
对单组分流体系统（如水）或组成均匀的多组 分混合物系统（如空气）中，运用质量守恒原理进 行微分质量衡算，所得方程称为连续性方程。 质量守恒定律 流入质量速率—流出质量速率＝积累质量速率 采用欧拉观点 在流场中选一微分控制体。
一、 连续性方程的推导
空间M（x,y,z）点处取微元控制体 dV=dxdydz u x, y, z, 该点流速：
ux
( ux ) x
流体密度： x, y,z, 设流体在M点的质量 通量为 u u 在坐标x,y,z方向分量： 微分质量衡算 ux，uy，uz uz 。 u 沿坐标x,y,z方向分量： ux、 u y、
《流体力学》流体力学基本方程
2.2 描述流体运动的一些基本概念
2.2.1定常流与非定常流
流场中所有的运动 要素不随时间变化
u u(x, y, z)
(x, y, z)
p p(x, y, z)
u 0 t p 0 t
0
t
流场中有运动 要素随时间变化
u u(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
5
16 October 2021
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
a
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
三个分量：
ax
ux t
ux
ux x
拉格朗日法 从流体质点的运动着手，描述每一个流体质点自始至 终的运动过程。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流 体的运动规律也就清楚了。是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
y x
12
16 October 2021
2. 求迹线
将已知速度分布代入式(2.2.1)可得
dx x t, dy ( y t), dz 0
流体力学-第二章 基本方程
h
0
xy
z
经流体柱后侧流入的流体质量应为：
流入质量=
h
0
uy
z
同时，经流体柱前侧流出的质量为：
z
流出质量=
h
0
uy
z
x
h
0
uy
z
x
O
x u u x
x
y
u
h y
x
Chen Haishan NIM NUIST
流出质量减去流入质量 ＝柱体内质量的减少。
柱体内的净流出量
（流入质量减去流出质量 ＝柱体内质量的增加）
pnx nx pxx ny pyx nz pzx
pny nx pxy ny pyy nz pzy
pnz
nx pxz
ny pyz
nz pzz
Chen Haishan
NIM NUIST
z
pzz
z
pzx
pz pzy
pxz
px
pxx
pxy
pyy
pyx
py
P Pnz n
Pny
y Pnx o
Chen Haishan NIM NUIST
通过体积分，作用于体积为 的流体块上的质量力：
Fd =作用于流体的质量力
Chen Haishan NIM NUIST
② 表面力
表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之 间的接触面上所受到的相互作用力。
如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面 上的摩擦力等。
x y
n n
cosn, cosn,
x y
nxn n y n
z n cosn, z nzn
Chen Haishan NIM NUIST
地下水数值模拟02_地下水运动的数学模型
2
H 0
n 2
——隔水边界
第三类边界条件 H aH b n
例：弱透水边界
K H Hn H 0 n m1 / K1
溶质运移问题的边界条件
第一类边界条件
c(x,
y, z,t) 1
c1(x,
y, z,t)
——给定浓度边界
第二类边界条件 c
Di, j x j ni 2 f2 (xi , t)
u(x, y, z,t) t0 0(x, y, z)
• 2、边界条件
第一类边界条件 u(x, y, z,t) 1 1(x, y, z,t)
第二类边界条件
u n
2
1(x, y, z,t)
第三类边界条件
u
u n
3
3x,
y, z,t
水流问题的边界条件
Reynolds数小于1~10
• 有些情况下，用液体压强表示更为方便
– 例如：油水两相流动
vx
K
H x
vy
K
H y
vz
K
H z
K g k
H z p
g
k p
vx
x
v y
k
p y
vz
k
K ( d
)
dhc
C
t
x
K( )
x
y
K
(
)
y
z
K (
动力气象学第2章描写大气运动的基本方程组
Fi
i
→ ：单位质量空气质点受到的真实力
→ 广义牛顿粘性假设，有
→
左边：加速度项； 右边：引起大气运动变化的原因
用
近似表示，a是地球半径 －－万有引力
－－惯性离心力项 万有引力＋惯性离心力＝重力
垂直地面向下
－－压力梯度力
－－科氏力 （地转偏向力）
：分子粘性力
重力： 保守力 科氏力：不做功，只改变运动方向
sin
u)
k
(2
cos
u)
其中: ~f 2 cos , f 104 s1; 7.292 105 s1
u
t
u
u x
Hale Waihona Puke vu yw u z
1
p x
~fw
fv
Fx
v
t
u
v x
v
v y
w
v z
1
p y
fu
Fy
w
t
u
w x
v
w y
w w z
1
p z
~fu
g
Fz
u v w (u v w) 0
（运动形式） 分子粘性力：耗散 驱动大气运动的主要动力：压力梯度力
从以上讨论可见： 物理上－－压力梯度力是驱动大气运动 的主要因子，而压力的变化与热力与动 力过程相关联，因此描写大气过程必须 考虑热力过程。
数学上：运动方程：1个（矢量） 3个（分量）
未知量：速度、气压、密度 必须寻找描写气压、密度变化的方程 －－方程才能闭合
第二章 描写大气运动的基本方程组
一、运动方程： 牛顿第二定律：（单位质量的气团）
成立条件：绝对（惯性）坐标系
【流变力学 精】1.1流变学基础理论
连续介质模型
流体的连续介质模型，应包含两个内容：
• 其一，流体是由排列的流体质点所组成，即空间每 一点都被确定的流体质点所占据，其中并无间隙。 于是流体的任一物理参数B可以表达成空间坐标(x,y,z) 及时间t的连续函数B=B(x,y,z,t)； • 其二，在充满连续介质的空间中，物理参数B不单是 x,y,z的连续函数，而且是连续可微函数。 严格来说，这一模型是一种假定，但这是被实践证明 了的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ确的假定。
• 对于另一流体质点(a2,b2,c2)在t时刻的坐标为：
•
x2=x2(a2,b2,c2,t)
•
y2=y2(a2,b2,c2,t)
•
z2=z2(a2,b2,c2,t)
拉格朗日法(lagrange)－质点法（3）
• 但标当值研(a，究b任，意c)流不体一质样点，的因位此置各时质，点由在于任各意个时质刻点的在空t间=t位0时置刻，的将坐 是a，b，c，t这四个量的函数。 x=x (a,b,c,t) y=y (a,b,c,t) z=z (a,b,c,t)
目录
• 第三章 1. 两平行平板之间的流变过程 2. 在缝模中的流变过程的分析
第一章
1. 流动运动的描述
流场：流体所占据的空间 连续介质模型：流体所占据的空间
连续介质模型
•连续介质模型 不考虑微观分子结构，把流体视为由 无数多个充满所在空间、相互间无任 何间隙的质点所组成，相邻质点宏观 物理量的变化是连续的。
特征体积ΔV0
图1-1(b)告诉我们，在包含P点的微小体积△V向某一个 △V0逐渐缩小的过程中，其平均密度ρ1,ρ2，……，ρi， ρi+1……，的变化逐渐缓慢，而且当体积△V连续收缩达到 △V0时其平均密度ρ0不再变化，而且到一个恒定的极限值， 这个△V0尺度就是连续介质模型中的质点的尺度。这时， △V0内包括的分子数与随机走出△V0的分子数趋于常数， 即随机进入△V0的分子数与随机走出△V0的分子数趋于平 衡。若将△V体积再进一步缩小，此时△V内的分子数已 减小到不能随机平衡的地步。由于分子数的随机波动，从 而引起△V体积内流体平均密度的随机波动，分子的个性 即随机性与不连续性将显示出来，导致密度发生急剧的变 化。
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1 r
rur
r
1 r
u
uz
z
'
0
同理，可得球坐标连续性方程
1 r2
(rur )
r
1
r sin
(u sin )
1
r sin
(
u )
0
运动方程
通过微分动量衡算，可以导出流体的运 动方程。运动方程与连续性方程结合起 来，可以处理许多流体流动问题。同时 运动方程在动量、热量与质量传递过程 中也是求解大量有实际意义问题的基础 方程。本节在推导运动方程时采用拉格 朗日观点。
连续性方程的推导
单组份系统：
y
(x,y,z)
（输出的质量流率）—（输入的质量流率）
＋累积的质量速率＝0
dy
在x左侧面：
输入微元体积的质量流率 uxdydz
z
输出微元体积的质量流率
dy
ρux
(ux
(ux
x
)
dx)dydz
dz
dz dx
x
ux
(ux
x
)
dx
dy
dz
连续性方程的推导
θ （r,Φ,θ）
y θ
y Φ
x
x
公式回顾：
sV s V s V
s
1 h1
s q1
,
1 h2
s q2
,
1 h3
s q3
V
1 h1h2h3
V1h2h3
q1
V2h3h1
q2
V3h2h1
) ux
x
uy
y
uz
z
0
由于密度ρ是空间（x，y，z）和时间θ的连续函数，
即ρ＝f(x,y,z,θ），那么ρ的随体导数
D D
x
ux
y
uy
z
uz
于是 D ( (ux ) (uy ) (uz ) ) 即
面上的法向应力与切线 应力都是相应地大小相
yx(下）
dx
dz
zx
zx z
dz(后）
等、方向相反的。故只
x
需采用9个机械应力就可 以完全表达：3个法向分
z
量，6个切线分量。
现将上图中的流体微元在x—y
平面的一个相应的平面分离出
来加以考察。环绕该平面四周 所作用的4个剪应力，可表示 在右图中。由图可见，假如有
q3
连续性方程式为：
u 0
u u u
r
1 1
rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 r
z
1 1
z
r
r
1 r
z
z
u
rur
u
x
y
z
(ux ) (uy ) (uz ) 0
x
y
z
写成向量形式 (u) 0
连续性方程的进一步分析
将连续性方程 (u) 0 展开，得到
( ux
x
u y y
uz z
用应力表示的运动方程
任何物体的运动，都遵循动量守恒定律即牛顿第二定律，流体
的运动也不例外。将牛顿第二定律应用于运动着的流体时，可
理解为：流体的动量随时间的变化率应等于作用在该流体上的
诸外力向量之和，即
F
d (Mu)
d
式中 F——诸外力向量之和
M——流体的质量；
u——流体的速度向量
θ——时间。
v D D
D D
u
1 Dv u
v D
上式的左侧
表示流体微元的体积膨胀速率或形变速率，右
侧是速度向量的散度
几种特殊情况下连续方程简化
稳态流动，密度不随时间变化，即
0
( ux ) ( u y ) ( uz )
(
) 0
体积力
令fB表示单位质量流体所受的质量力，其在直角坐
标x，y，z方向上的分量分别为X，Y和Z，则
根据上述定义，可知所考察的流体微元上所受的质
量力为
dFB dFBxi dFBy j dFBzk fBdxdydz
写成坐标分量形式为
表面力
y
单位面积上的表面力定义为表面应力
或机械应力，表面应力亦可分解为法
u r
uz
z
1
r
ur r r
ur
r
r
1 r
u
u
uz z
uz
z
1 rur 1 u uz r r r z
于是柱坐标连续性方程为
u z r z
1 urr 1 u uz
r r r z
u urr u uz r r r z
u u u
r
ur r r
r
u
uz z
ur
r
到另一点时所发生的变化。； 的物理意义为：
当流体质点在dθ时间内由空间的一点（x, y, z)
移动到另一点（x+dx, y+dy, z+dz)时，流体密度ρ
随时间的变化率。
由于 v 1
将上式对时间求随体导数，亦即
Dv 0 D
Dv v D 0 D D
1 Dv 1 D 0
zuz
r
r
1 r
z
z
ur
r
u r
uz
z
u
1
1 r
1
ur
r r
1
u 11
uz
1 z
r
1 urr r r
u
y
yx
yx y
dy 2
一根平行于z轴的轴线或z轴本
身穿过该流体微元的形心O点 时，显然，出于上述这四个剪
xy
xy x
D
x y z
为连续性方程的另一表达形式。
D u D
随体导数 的意义
D D
ux
x
uy
y
uz
z
局部导数： 间的变化；
表示ρ在空间的一个固定点处随时
对流导数：( x
ux
y
uy
z
uz )
表示密度由一点移动
即
x
y
z
上式可简化为：(ux ) (u y ) (uz ) 0
x
y
z
u 0
对于不可压缩流体，ρ＝常数，则无论稳态还是非稳态：
ux u y uz 0 x y z
• u 0
上式为不可压缩流体的连续性方程。
全导数的表达式可由对t进行全微分得到
随体导数：观测者随流体随波逐流运动，即观测者在流体
中与流体流速完全相同的速度运动。第三种测量大气温
度的方法是将测温计装于探空气球上。此时探空气球随
空气一起漂动，其速度与周围大气的速度相同。观察者 记录下不同时刻的大气温度。如此获得的温度t随时间θ 的变化称为随体导数(Substantial derivatives)亦称拉格 朗日导数(Largrangian derivatives)，以Dt/Dθ表示。
小微元流体在运动时，由于法向应力
和剪应力的存在，使其发生形变。
τxx
x
六个表面，每一表面的
机械应力均可分解成三
个平行于x、y、z三个坐
y
标轴的应力分量3×6=18
yx
yx y
dy(上）
个在x、y、z方向上各有
六个。当小微元体体积
zx (前）
xx
xx x
dx(右）
缩小为一点时，相对表 xx(左）dy
向应力和剪应力，一般记为τ。
τxy
τxy 第一个下标表示应力分量的作用面
与x轴垂直。第二个下标x、y、z表示
应力方向为 x轴、y轴和z轴方向。 τxx 表示法向 应力分量。拉伸方向（向外）
τxz
为正，压缩方向（向内）为负。这三
个表面应力分量中．一个是法向应力
z
分量τxx另外两个是剪应力分量τxy和τxz。
由于采用拉格朗日观点，故在推导微分动且衡算方程时，可在流 场中选一固定质量的流体微元即微元系统，如图2－3所示，考察 该微元系统随环境流体一起流动过程中的动量变化。
设在某一时刻θ，此微元系统的体积为dv＝dxdydz(注意其体积
和位置是随时间改变的)，将牛顿第二定律应用于此微元系统得