复数域和实数域上的二次型
11.4复数域和实数域上的二次型
, ck ,0,
,0 0,
8
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
因此 f k x1 , x2 , , xk 是正定的， 由定理 11.11 的推论 2，f k 的 矩阵的行列式 k 0 ，由 k 的任意性，可得 A 的所有顺序主 子式全大于零.
3
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11.4 复数域和实数域上的二次型
若 f 是正定的，对于任意一组不全为零的实数
k1 , k2 , , kn ，令 y1 k1 , y2 k2 , , yn k n ，代入 2 式右端，
因 C 可逆，可得一组不全为零的值 x1 c1 , x2 c2 , , xn cn ，
T i 1 j 1 n n
是正定的，任取 k n ，要证 A 的 k 阶顺序主子式 k 0 ，
令
f k x1 , x2 , , xk aij xi x j .
i 1 j 1 k k
对任意一组不全为零的实数 c1 , c2 , , ck ，有
f k c1 , c2 , , ck aij xi x j f c1 , c2 ,
和定理 11.9 平行，用矩阵的说法是
4
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11.4 复数域和实数域上的二次型
定理 11.10
定理 11.11
合同的实对称矩阵有相同的正定性.
n 元实二次型 f x1 , x2 ,
, xn 正定的充分必
要条件是它的正惯性指数等于 n .
证
由定理 11.6， f x1 , x2 , , xn 等价于规范形
A C
1 T
复二次型与实二次型
cr 0
0
合同, ci≠0(i=1,2,…,r). 注意到如果要交换ci ,cj , 只需交换第i , j 列再交换第i , j 行(1≤I, j≤r).
1 因而,不妨设c1,c2,…,cp＞0,cp+1,…,cr＜0,用 ci
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乘以B的第i列再乘以B的第i行(i=1,2,…,r)，经 此有限次合同变换便得(3), 从而A与(3)合同．□ 4. 实二次型的典范形与惯性定律 定理8.3.3 (惯性定律)任意一个秩为r的n元实二 次型f (x1, x2,…, xn)，都可经过一适当的可逆线 性替换化为
3 4 (4,3,0,0) 1 0 0 1 0 0 0 17 4 7 3 1 0 5 4 x y 1 z 0 t 1
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6 x 4 y 10 z 2t
同样可得 -4x1+ 3y1= -4y + 24z- 8t.
2 2 2 2 y y y y y + y +…+ p - p1 - p 2 -…- r 2 1 2 2
(4)
(0 p r n)
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而(4)式称为实二次型f(x1, x2,…, xn)的典范形,典范 形是惟一的，即典范形中正平方项的个数是惟一 确定的. 证 由定理8.3.2可得定理前半部分，下证p惟一．
解
若a,b,c全为零，则f(x, y, z)的秩和符号差均为
零．若a,b,c不全为零，不妨设a≠0，我们对二次
型f(x, y, z)的矩阵施行合同变换
c T 32( ) 0 a 0 0 a c a a 0 b a 0 b c b 0 c 2 bc T ( ) 23 0 b a a
复二次型与实二次型
8.3 复二次型与实二次型授课题目：8.3 复二次型与实二次型授课时数：3学时教学目标：掌握复二次型与实二次型的性质，会将给定的复二次型与实二次型化为标准型教学重点：复二次型与实二次型的性质教学难点：复二次型与实二次型的性质教学过程：1. 复(实)二次型与复（实）变换我们知道，在一般数域内二次型的标准形不是惟一的，而与所作的可逆线型替换有关，这同时也告诉我们：不能简单地由两个二次型的标准是否相同来判定它们是否等价.本节，我么将在复数域和实数域上来讨论二次型的标准形的惟一性问题。
系数在复数（实数）数域上的二次型，简称复（实）二次型，与之对应的矩阵实复（实）对称矩阵，对它们进行的可逆线型替换的系数也是复数（实数），称之为复（实）变换。
先看复数域上的情形，我们从与二次型一一对应的对称矩阵着手。
2. 复对称矩阵与复二次型的典范形定理8.3.1 n 阶复对称矩阵A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 （1） 合同，其中（1）式矩阵中1的个数r=秩（A ）.（1）式称为复对称矩阵A 的典范形矩阵，典范形是惟一的.证 由定理8.2.1知，A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 r c c 合同，注意到c i ≠0(i=1,2,…,r),我们用i c 1乘以B 的第i 列再乘以它的第i 行（i=1,2,…,r ），经过这r 次合同变换便得（1），从而A 与（1）合同.又因合同矩阵的秩相等，故（1）式中1的个数等于A 的秩，因而复对称矩阵A 的典范形惟一。
□注意合同是一种等价关系，因而有以下推论.推论1 两个n 阶复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.推论2 秩为r 的n 元复二次型f(x 1, x 2,…, x n ),经过一适当的可逆线性替换可以化成 21y +22y +…+2r y . （2）（2）式称为复二次f(x 1, x 2,…, x n )的典范形，典范形式惟一的.推论3 两个n 元复二次型等价的充分必要条件是它们的秩相等.再看实数域上的情形.3. 实对称矩阵与实二次型的典范形定理8.3.2 n 阶实对称矩阵A 与对角形矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0p r p I I （3） 合同，其中r ＝秩（A ），0≤p≤r ．矩阵（3）叫做实对称矩阵A 的典范形矩阵． 证 由定理8.2.1知，A 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001 r c c B 合同， c i ≠0(i=1,2,…,r)．注意到如果要交换c i ，c j ，只需交换第i ，j 列再交换第i ，j 行（1≤i ，j≤r ）．因而，不妨设c 1，c 2，…，c p ＞0，c p+1，…，c r ＜0，用i c 1乘以B 的第i 列再乘以B 的第i 行(i=1,2,…,r)，经此有限次合同变换便得（3），从而A 与（3）合同．□4. 实二次型的典范型与惯性定律定理8.3.3 （惯性定律）任意一个秩为r 的n 元实二次型f (x 1, x 2,…, x n )，都可经过一适当的可逆线性替换化为21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y (n r p ≤≤≤0) （4）而（4）式称为实二次型f(x 1, x 2,…, x n )的典范形，典范形是惟一的，即典范形中正平方项的个数是惟一确定的．证 由定理8.3.2可得定理前半部分，下证p 惟一．设实二次型f(x 1, x 2,…, x n )＝X T AX 经可逆线性替换X=BY=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n y y y b b b b b b b b b 21212222111211 X=CZ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n z z z c c c c c c c c c 21212222111211 分别化为典范形21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y (n r p ≤≤≤0) （5）21z +22z +…+2q z -21+q z -22+q z -…-2r z (n r q ≤≤≤0) （6）如果p≠q ，我们不妨设p ＞q ，由于典范形（5）可以看成是由典范形（6）经过可逆线性替换Z=C -1BY 得到的，设C -1B ＝D=(d ij ) ,即经过可逆线性替换Z ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n z z z 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n y y y d d d d d d d d d 21212222111211 后，得21z +22z +…+2q z -21+q z -22+q z -…-2r z =21y +22y +…+2p y -21+p y -22+p y -…-2r y （7）令（7）式中z 1=…= z p =y p+1=…=y n =0，注意到关系Z=DY ，可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++==++++00000122111212111n p n qn q q n n y y y d y d y d y d y d y d 由于方程个数q+（n- p ）＝n-（p- q ）＜n ，故上述关于y 1,y 2, …,y n 的齐次线性方程组有非零解，设(k 1, …,k p ,k p+1, …,k n )就是它的一个非零解，显然，k p+1＝…＝k n ＝0，将这个解代入（7）式的右端，就得到21k +22k +…+2p y -0-…-0=21k +22k +…+2p y >0而将这个解通过Z ＝DY 代入（7）式的左端，并注意到z 1＝…＝z q ＝0，因而有-21+q z -22+q z -…-2r z ≤0,这是一个矛盾，从而p ＝q ，即实二次型的典范形是惟一的．□ 推论4 n 阶实对称矩阵A 的典范形中的p 由矩阵A 惟一确定．定义1 在实二次型f(x 1, x 2,…, x n )的典范形中，正平方项的个数p 称为二次型f(x 1, x 2,…, x n )的正惯性指标；负平方项的个数r- p 称为负惯性指标；它们的差p-（r- p ）＝2 p- r 称为f(x 1, x 2,…, x n )的符号差．因此，可以定义实对称矩阵的正、负惯性指标及符号差．显然，对于实二次型或实对称矩阵的秩r 、正惯性指标p 、负惯性指标r-p 以及符号p-（r- p ）四个量，只需知道其中两个，便可以算出其余两个．可以称它们为这些变换下的不变量．推论5 两个n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指标．两个n 元实二次型能用可逆线性替换互化的充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指标．我们可以从实二次型的典范形中得到它的秩和符号差．定理8.3.4 设A 是一个实对称矩阵，A 的各行至多只有一个非零元，则A 的秩等于非零元的个数，符号差等于主对角线上正的元素个数与负的元素个数之差． 由定理8.3.4将实对称阵用合同变换化为一个＂每行最多只有一个非零元＂的矩阵，就可求得它的秩和符号差．例1 确定实二次型f(x, y, z)=2axy+2byz+2czx 的秩和符号差．解 若a,b,c 全为零，则f(x, y, z)的秩和符号差均为零．若a,b,c 不全为零，不妨设a≠0，我们对二次型f(x, y, z)的矩阵施行合同变换⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−−→−-−−−→−-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a bc b b a a a c T a c T b c b a c a 20000)()(0002332⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−−→−-−−−→−-a bc a a ab T a b T 2000000)()(1331 由此可知：1）若abc ＞0，则秩（f ）＝3，f 的符号差为-1，2）若abc ＜0，则秩（f ）＝3，f 的符号差为1，3）若abc ＝0，则秩（f ）＝2，f 的符号差为0，例2 分解实二次函数f(x, y, z)＝-3xy+18xz-6x-2y 2+17yz-5y-30z 2+16z-2解 该二次函数可视为实二次型g(x, y, z,t)=-3 xy+18xz-6xt-2y 2+17yz-5yt-30z 2+16zt-2t 2 (8) 当t=1时的情形，对二次型（8）做可逆线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111100001002643113710t z y x t z y x （9） 得g(x, y, z,t)= )34)(34(8189211112121y x y x y x +-+=+- （10） 由（9）式可得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t z y x t z y x 1000010013701454171431111 （11） 把（11）式代入（10）式即得二次型（8）的分解式．这个过程我们可用矩阵来完成；)0,0,3,4(3411=+y x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111t z y x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=t z y x 100001001370145417143)0,0,3,4(t z y x 21046+-+= 同样可得-4x 1+3y 1=-4y+24z-8t.于是g(x, y, z,t)=(3x+2y-5z+t)(-y+6z-2t)所以f(x, y, z)=(3x+2y-5z+1)(-y+6z-2)习题8.31.分别在复数域和实数域上求可逆线性替换，将下列二次型化为典范型： 1）32212132153),,(x x x x x x x x f -+=2) 2322312121321424),,(x x x x x x x x x x f +++-= 2. f(x 1, x 2, x 3)=x 1x 2+2x 2x 3的秩、惯性指标和符号差．3.如果把n 阶对称矩阵按合同关系进行分类，即把彼此合同的n 阶对称矩阵算一类，那么，所有n 阶复对称矩阵共有多少个不同的合同类？所有n 阶对称矩阵又有多少个不同的合同类？4.试证一个实二次型可以分解为两个实吸收和一次多项式的乘积的充分必要条件是：或者它的秩为2且符号差为0，或者秩为1．5.在实数域上分解因式：1）f(x, y)=-2x 2-5xy-2y 2+8x+9y-6;2) f(x, y, z)=xy+xz+yz-2;3) 1322),,(223323121321-+-++=x x x x x x x x x x f。
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
1二次型理论起源于解析几何中二次曲线
第九章二次型综述1．二次型理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的简化问题.一般的n 元二次型化为标准型问题在很多工程问题中有广泛的应用,而n 维欧氏空间中二次型正交化为标准型问题,在相近学科如分析、统计学中有直接的应用,但内容本身作为高等代数（线性代数）的一部分,不太需要完整的论述而又必要作一讨论.2．n元二次型理论（一般数域F上）从体系结构上来讲,可作为一独立的内容,但其可建立与F上n 阶对称矩阵的一一对应,所以可安排在矩阵一节之后（北大教材即如此）,而其又可与F上的向量空间v 上的对称内积（亦可为对称双线性函数（型））的集合一一对应,因而可放在欧氏空间后.（先推广欧氏空间即定义一般数域上的（对称）内积（或更一般的酉内积）,具体见下补）.特别是对欧氏空间中实二次型的讨论（主轴问题、正定等）因而可放在欧氏空间后（因有些结论是对称变换的推论）.3．就本章内容而言,主要是二次型的概念及标准形问题,实二次型分类及实二次型的正定及主轴问题.如刚才所讲,实际上：一般数域F上的n元二次型的集合,F上n维向量空间的对称双线型（函数）的集合（亦是对称内积的集合）,F上n 阶对称矩阵的集合是一一对应的,即是同一事物的三种表现形式,可通过一方研究（表示）另一方,且大多是通过对称矩阵来研究二次型的（如标准形（化简）、复、实二次型的规范型、实二次型的正定及主轴问题皆是如此）,这是方法问题,而理论上为认识二次型是先介绍了双线性型（对称双线性函数）,所以在具体内容上直接给出二次型定义,用上述方法讨论前述问题.4．本节重点难点是二次型的标准形,复、实二次型的规范形及正定二次型的判定,所以二次型的初等变换法化简、惯性定理是难点.5．简要介绍一下欧氏空间的推广——内积空间与西空间.（略）6．本教材是先定义双线性型（函数）,对称双线性型（函数）,引入与对称双线性型（函数）的关联函数得出二次型定义,好在理论上可进一步了解二次型,但不利于实质上（用对称矩阵）讨论二次型本章要解决的问题,以及9.2以后的内容；重要的是引导学生建立F上n元二次型与F上n阶对称矩阵的一一对应,通过对称矩阵研究本章所有问题.9.1 二次型一教学思考1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F 上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的定义及二次型的表示,特别是其矩阵表示,从而建立n 元二次型与n 阶对称矩阵的对应,用对称矩阵来讨论二次型的标准形问题,为下面具体讨论C上R上的二次型的规范形（分类）（正定、主轴问题）打下基础.2．本节不从书中介绍,直接给出二次型的定义、表示、标准形等概念,及标准形的化法.二内容要求1．内容：二次型、二次型的矩阵、可逆性替换,矩阵的合同、二次型的等价、二次型的标准型2．要求：掌握上述概念及二次型的标准形的化法.三教学过程1．二次型及表示（1）定义数域F上n个文字x1,x2, (x)n的一个二次齐次多项式叫做F上n个文字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以写成：q(x 1,x 2,…x n )=a 11x 21+a 22x 22+…+a nn x 2n+2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n+2a 23x 2x 3+…+2a 2n x 2x n (Ⅰ) +……+2a 1n n -x 1n -x n (Ⅰ)式称为二次型的一般形式.q(x 1,x 2,…x n )ij jia a ==11nnij iji j a x x==∑∑ (Ⅱ)（2）二次型的矩阵定义 令A=()ij a 是由（Ⅱ）的系数所构成的矩阵.称为二次型（Ⅱ）的矩阵. 二次型（Ⅰ）（Ⅱ）又可表示为（矩阵）形式：q(x 1,x 2,…x n )= (x 1,x 2,…x n )A 12.n x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=x TAX. (Ⅲ)定义：一个二次型的矩阵叫做二次型的秩.(3)可逆（非退化、满秩）线形替换有矩阵的合同.定义 x 1,x 2,…x n 和12,,...,n y y y 是两组文字,系数在数域F 中的一组关系式111112211122.........n n nn n nn n x c y c y c y x c y c y c y=+++⎧⎪⎨⎪=+++⎩ （＊）称为由x 1,x 2,…x n 到12,,...,n y y y 的一个线性替换.定理1 n 元二次型q(x 1,x 2,…x n )= x TAX 经（可逆）线性替换（＊）X=CY 变为二次型Y TBY.其中B=C TAC.定义 设A,B ∈M n (F),若存在一可逆矩阵P ∈M n (F),使得B=TP AP ,则称A 与B 合同. 合同关系的性质：① 自反性：∀ A ∈M n (F),A 与A 合同.(∵A=TI AI ). ② 对称性：若A 与B 合同,则B 与A 亦合同.事实上: ∵A 与B 合同,即存在可逆矩阵P 使B=TP AP ∴A=1111()()T T P BPP BP ----=∵1P -可逆.故也.③ 传递性：若A 与B 合同,B 与C 合同,则A 与C 合同.事实上：存在可逆矩阵P ﹑Q 使B=TP AP ,T C Q BQ =∴()()T T T C Q P APQ PQ A PQ == 而PQ 可逆.故也.合同矩阵的简单性质：①若A 与B 合同,A 为对称矩阵,则B 亦是.事实上：∵存在可逆矩阵P 使B=TP AP ,∴()T T T T T TT T B P AP P A P P AP B ====,故也. ②合同矩阵有相同的秩.由195 5.2.8.P Th 显（反之不真）. (4)二次型的等价：定义 设q(x 1,x 2,…x n )与'q (x 1,x 2,…x n )是数域F 上两个n 元二次型,若可以通过可逆现线性替换将前者化为后者（此时可互化）则 称这两个二次型等价.定理2：数域F 两个n 元二次型等价⇔它们的矩阵合同. 2．二次型的标准形 引言对二次型,当形式简单时便于讨论,比如解析几何中有？二次曲线,当仅有平方项时,其几何图形便一目了然；对于二次型成为二次型形式最简单那的一种是只含有平方项的二次型称之为：定义 只含有平方项的二次型称为二次型的标准形.问题：任给F 上一个二次型能否象解析几何中讨论有心（中心与原点重合、或否）二次曲线那样,通过（坐标旋转（加平移））可逆线形替代：若能,怎样做（即怎样找可逆线形替换）补例 化二次型222123112132233(,,)22285f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形. 22222123112323232123222123223322222123223333222123233(,,)2()()()285()64()2(3)(3)(3)4()(3)5f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x =++++-++++=+++++=+++++-+=++++-作线性替换,即令：1123223333y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩⇒11232233323x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 则原二次型化为：2221235y y y +-.注：上述方法称为“配方法”,告知任一二次型可化为标准形（当定理3 设)(ij a A =是数域F 上一个n 阶对称矩阵,则总存在F 上一个n 阶可逆矩阵P 使证⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯='n c c c AP P (02)1,即A 与对角阵合同.例：将00030360061243040A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角型）. 解：（略）P=21013310223001420103⎛⎫- ⎪⎪⎪-⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30000600800030000TP AP ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 将Th3应用于二次型得：定理4 设q(x 1,x 2,…x n )=11n nij i j i j a x x ==∑∑= x TAX 是数域F 上一个n 元二次型,则总可以通过变量替换12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=12n y y P y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 把它化为2211...n n c y c y ++,其中P 为可逆矩阵. 9.2 复数域、实数域上的二次型一 教学思考本节是将一般数域上的二次型的标准形问题具体到复数域、实数域上作深入的讨论,最终得到此二数域上二次型的典型（规范）型,进而得这两类二次型的分类,结果是：C 上二次型典范型由秩唯一决定,所以C 上n 元二次型可按秩分类为n+1类；R 上二次型典范性由秩与符号差决定,所以R 上二次型分类由此二者分为1(1)(2)2n n ++类.本节讨论问题的方法在上节（基础上）——行列同型初变（含同变换）化对称矩阵为对角形的基础上,仍利用讨论矩阵的思想,按上述方法很易讨论而得.但对实二次型典范形式的唯一 性（惯性定理）的证明较繁,本教材用双线性函数反证之,有直接用二次型证之（反证法）.习题中反应求实二次型的秩、符号差（惯性指标等）,用本节方法来讲化为典范型（实为标准型）便知,当然一般方法为初等变换法,特殊形式的可用特殊方法（9.4还有用求特征根法）；求实（复）对称矩阵合同问题亦用初变化为标准[spI I O ⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭、r I O ⎛⎫⎪⎝⎭]型. 二 内容及要求1．内容：复数域、实数域上二次型的典范形式与分类.2．要求：掌握C 、R 上二次型的典范形式及求法,及内容体现的通过对称矩阵讨论问题的思想,实二次型的秩、惯性指标、符号差的求法（本节为化为典范形、实际标准形即可）；下节还将介绍用特征根法.复、实二次型的等价分类. 三 教学过程引言上节我们知道：数域F 上任一n 元二次型1(,,)n q x x =AX X ',都可以通过可逆线性替换X=PY 化为标准形：2211r r y c y c +⋯⋯+.其中r 为二次型的秩.用矩阵语言叙述（等价为）：对()F M A n ∈∀,A A =',则A 合同于一个对角形矩阵D . 1 C 上的二次型：复二次型——复数域上的二次型称为复二次型. 先介绍一个重要定理,由此反映下述结论.定理9.2.1复数域上两个n 阶对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩.()(),,,,A B Mn C A A B B AB A B ''∈==⇔=则秩秩2．R 上的二次型：实二次型——实数域上的二次型.（1） 实二次型等价的充要条件（⇔实对称矩阵合同的充要条件）.为此：定理9.2.2 设()r A A A R Mn A =='∈秩,,则A 合同于pr pI I O -⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭. 平行地定理9.2.3 秩为r 的n 元实二次型都与如下形式的一个二次型等价：(Ⅰ)r p p x x x x 21221-⋯⋯--⋯⋯++定理9.2.4 （惯性定理）,设R 上一个n 元二次型等价于两个典范形式： ①r p p x x x x 21221-⋯⋯--⋯⋯++（r 为二次型的秩） ②222211P P r y y y y ''++⋯⋯+--⋯⋯-（r 为二次型的秩） 则P P '=.（反证略）定义 一个实二次型的典范形式中,正平方项的个数P 叫做这个二次型的（正）惯性指标（数）,正项的个数P 与负项个数（负惯性指标）p r -的差：()2sp r p p r --=-,叫做这个二次型的符号差.定理9.2.5 两个n 元实二次型等价的充分条件是它们有相同的秩和符号差. 平行地：设B B A A R Mn B A ='='∈,),(，. 则A 与B 合同⇔它们有相同的秩与符号差. （2）n 元实二次型的分类：n 元实二次型按等价分类：由于n 元实二次型的典范形式由秩与惯性指标唯一确定,所以：推论9.2.6：n 元实二次型按等价分类,可分成：()()211++n n 类. 9.3 正定二次型一 教学思考本节研究一类特殊的实二次型——正定二次型.从定义上来讲,正定二次型是将n 元实二次型视为n 元实函数（即nR 上的实函数）,由其函数值分类中的一种；因而由定义判定一个实二次型是否正定相当不易,那么本节在于寻求正定二次型的判定,得到两个判定定理；一个是由秩与符号差（或惯性指标）判定,一个用二次型自身的信息——矩阵的顺序主子式判定,结论方法明确具体,下节还给出一个用特征根判定.所以本节内容易讨论、接受,注意其中反映的一些结论,如可逆线性替换不改变二次型的正定性等. 二 内容和要求1．内容：正定二次型及其判定. 2．要求：掌握有关概念和判定方法. 三 教学过程1．定义 （由于二次型是n 个文字的二次齐次多项式,所以n 元实二次型可象一元多项式那样定义其在某一点的值,即将n 元实二次型看成定义在nR 上的n 元实函数,那么可按它的值的符号分类）. 设()n x x x q ，⋯⋯,,21是一个n 元实二次型,若对任意一组不全为0的实数n c c ⋯⋯1；（1） 如果()01>⋯⋯n c c q ,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为正定二次型； （2） 如果()01<⋯⋯n c c q ,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为负定二次型； （3） 如果()10n q c c ⋯⋯≥,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为半正定二次型； （4） 如果()10n q c c ⋯⋯≤,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为半负定二次型； （5）若()n c c q ⋯⋯1有正、有负,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为不定二次型. 2．正定二次型的判定定理9.3.1 实数域上n 元二次型()n x x x q ，⋯⋯,,21是正定的⇔它的秩与符号差都等于n （惯性指标为n ）.有时须从二次型的矩阵直接判定,不希望通过典范形式,为此下讨之. 定义 设()()R Mn a A ij ∈=,位于A 的前k 行、前k 列的子式1111kr kka a a a 叫做A 的k 阶顺序主子式.二次型()AX X x x x q n '=⋯⋯，,,21的矩阵的k 阶主子式叫做二次型()n x x x q ，⋯⋯,,21的k 阶主子式.定理9.3.2 n 元实二次型()AX X x x x q n '=⋯⋯，,,21是正定的⇔它的一切主子式全大于0.9.4主轴问题一 教学思考本节内容是在欧氏空间中将有心二次曲线、二次曲面,用正交变换化为标准形问题的推广——将实二次型用正交变换化为标准形.思想方法仍是将实二次型问题转化为实对称矩阵处理.由第八章第4节的结论,则此问题解决的具体完满.须注意的是：①此将实二次型化为标准形是用正交变换因而方法过程与前不同,从而结论中标准形的平方项系数为二次型的矩阵的全部特征根.②顺便得到了判定实二次型是否正定的又一方法（用特征根）. 二 内容、要求1．内容：主轴问题；实二次型用正交变换化标准形 2．要求：掌握上述概念与方法. 三 教学过程：1．主轴问题：实数域上一个n 元二次型通过坐标的正交变换（正交线性替换）化为标准形的问题. 2．问题的提出及含义的由来我们知道（9.1）任何一个二次型都可经过线性替换化为标准形.用一般的线性替换把二次型化为标准形,可能会改变向量的度量性质（见霍元极379P ）,在许多问题中都要求简化实二次型时,所作的线性替换不改变向量的度量性质,如在解析几何中一样,用坐标变换（旋转、平移）化二次曲面（线）为标准形,其特点是用正交变换；因而,一般地讨论把一个n 元实二次型通过正交线性替换化为标准形的问题,正是解析几何中的问题的推广,叫做主轴问题（因由此可知有关曲面、线的性态）.3．问题的变通因为二次型通过可逆线性替换化为标准形问题等价于对称矩阵与对角形矩阵合同问题,所以主轴问题：n 元实二次型1(,,)n q x x X AX '=N 能否通过正交线性替换化为标准形的问题(),n A M R A A '⇔∈=是否存在正交矩阵U ,使得U AU '为对角形.4．问题的解决（由定理8.4.6） 定理9.4.1设1(,,)n q x x X AX '=是一个n 元实二次型,则可通过正交线性替换X UY =化为2211n n y y λλ++.其中U 为正交矩阵,1,,n λλ为A 的全部特征根.推论：设1(,,)n q x x X AX '=是一个n 元实二次型,则1）二次型的秩等于其矩阵A 的不为0的特征根的个数；而符号差为A 的正特征根的个数与负特征根的个数的差.2）1(,,)n q x x X AX '=是正定的充要条件是A 的所有正特征根为正实数.。
11.4 复数域和实数域上的二次型教程
G T 1
I n1 令 C C1C2 , a ann GG ,就有 C AC 0
T T
T
பைடு நூலகம்
0 .两边取 a
行列式，得 C A a. 由条件 A 0, 因此 0 ，
I n1 显然 0 0 I n1 a 0
解
f x1 , x2 ,
, xn 的矩阵为
5 2 4 A 2 1 2 . 4 2 5
5 2 1 0， A 1 0, 它的顺序主子式 5 5 0 ， 2 1
所以 f x1 , x2 , x3 是正定二次型.
14
结束
d n xn2
2
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
由于任一二次型都可以通过非退化线性替换化为标 准形，我们自然希望通过实二次型的标准形是否正定来 判断实二次型是否正定，为此，需要研究非退化的线性 替换会不会改变实二次型的正定性，我们有下面的
定理 11.9 等价的实二次型有相同的正定性.
11.4 复数域和实数域上的二次型
高等代数与解析几何
11.4 复数域和实数域上的二次型
定义 11.6
设 f x1 , x2 , , xn 为实二次型，如果对于任
意一组不全为零的实数 c1 , c2 , , cn ，都有 f c1 , c2 , , cn 0 则 称二次型 f x1 , x2 , , xn 是正定二次型.
定理 11.12
实二次型 f x1 , x2 , , xn X T AX 正定的
充分必要条件是它的一切顺序主子式全大于零 .
7
高等代数与解析几何
第九章 二次型
2．R上的二次型： 实二次型——实数域上的二次型.
（1） 实二次型等价的充要条件（实对称矩阵合同的充要条 件）.为此：
定理3 设是数域F上一个n 阶对称矩阵,则总存在F上一个n阶可逆矩 阵P使证,即A与对角阵合同.
例：将化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角 型）. 解：（略）P= . 将Th3应用于二次型得：
定理4 设q(x,x,…x)== xAX是数域F上一个n元二次型,则总可以通过 变量替换=. 把它化为,其中P为可逆矩阵.
的等价标准形的化法.
三 教学过程
1．二次型及表示
（1） 定义 数域F上n个文字x,x,…x的一个二次齐次多项式叫做F上n个文
字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以
写成：
q(x,x,…x)=ax+ax+…+ax
+2axx+…+2axx
9.1 二次型
一 教学思考 1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,
但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容 上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理 论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的
同.
合同关系的性质：
1 自反性： A∈M(F),A与A合同.(∵A=).
2 对称性：若A与B合同,则B与A亦合同.事实上:
二次型_精品文档
二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
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设A，B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r ， 由定理9.1.2，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得
c1
0
c2
PAP
cr
0
0
0
d1
0
d2
QBQ
dr
0
0
0
当r 0时, ci 0, di 0, i 1,2,, r
9.2 复数域和实数域上的二次型
一.内容分布 9.2.1 复二次型的典范形 9.2.2 实二次型的典范形
二.教学目的 1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、实二次
型的惯性指标、符号差等概念。 2．掌握实二次型的惯性定律.
三.重点、难点： 实二次型的惯性定律.
9.2.1 复二次型的典范形式
定理9.2.1 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要 条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充分且必要 条件是它们有相同的秩.
1 - 1 - 1 A -1 -3 a
-1 a a 经过合同变换可化为标准形
1 0 A 0 - 2
0
0
0 0 a 1a 3
所以当 a 1 或 a 3 时，二次型的惯性指标是
0，符号差是－2，其典范形为
f x1, x2 , x3 z12 z22
1 (n 1)(n 2) 类，属于同一类的二次型彼此等价， 2 属于不同类的二次型互不等价.
证 给定 0 r n和0 p r . 令
I p O O Cr,p O Ir p O
O O O
由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰与一个以 Cr, p 为矩阵的典范形式等价. 当 r 取定后，p 可以取0，
y p1(c) yr (c) 0 z1(c) z p (c) 0
又 z p1(c) zn(c) 0. 所以c1, c2 ,, cn 是
齐次线性方程组
n
tijc j 0, i 1,2,, n
j 1
的一个非零解.这与矩阵 (tij ) 的非奇异性矛盾.
这就证明了 p p . 同理可证得 p p .
（1）
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
这里 r 是所给的二次型的秩.
二次型（1）叫做实二次型的典范形式，定理9.2.3 是说， 实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价. 在典范形式 里，平方项的个数 r 等于二次型的秩，因而是唯一确定的.
定理 9.2.4（惯性定律）设实数域R上n元二次型
nn
aij xi x j
z1(c)2 z p (c)2 z p1(c)2 zr (c)2
nn
ai jcic j
j1 ji
然而 y1(c) y p(c) 0, z p1(c) zr (c) 0
所以 y p1(c)2 yr (c)2 z1(c)2 z p (c)2
因为 yi (c)2 和 zi (c)2 都是非负数，所以必须
（6）在R内有非零解. 令 (c1, c2 ,, cn ) 是（6）的 一个非零解. 把这一组值代入 yi 和 zi 的表示式
（4）和（5）. 记
n
yi (c) sijc j , i 1,2,, n
j 1
n
zi (c) tijc j , i 1,2,, n
j 1
我们有
y1(c)2 y p (c)2 y p1(c)2 yr (c)2
c1
0
c2
PAP
cr
0
0
0
如果r > 0 ，必要时交换两列和两行，我们总可以假定
c1,, c p 0, cr 0, 0 p r
取
1
0
| c1 |
T
1
| cr |
1
0
1
那么
I p O O T PAPT O Ir p O
O O O
定理9.2.3 实数域上每一 n 元二次型都与如下形式的一个 二次型等价：
1 (n 1)(n 2) 类，属于同一类的二次彼此等价， 2
属于不同类的二次互不等价.
例 1 a 满足什么条件时，二次型
f x1, x2 , x3 x12 3x22 ax32 2x1x2 2ax2 x3 2x1x3
的惯性指标是0，符号差是－2 ？写出其典范形。
解 实二次型 f x1, x2, x3 的矩阵为
1，… ，r ；而 r 又可以取0，1，…，n 中任何一
个数. 因此这样的 Cr, p 共有
1 2 (n 1) 1 (n 1)(n 2) 2
个. 对于每一个 Cr, p ，就有一个典范形式
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
与它相当. 把与同一个典范形式等价的二次型放在 一类，于是 R 上的一切 n 元二次型恰可以分成
O O O
如果 q2与 q1等价，那么 A2和 A1 合同. 于是存在实
可逆矩阵Q 使得 A2 QA1Q . 取 T Q1P ，那么
T A2T PQ1QA1QQ1P
I p O O PA1P O Ir p O
O O O
因此 q2与q1都与同一个典范形式等价，所以它们
有相同的秩和符号差.
反过来，如果 q1, q2 有相同的秩 r 和符号差s ,
那么它们也有相同的惯性指标 p 1 (r s) . 因此
A1, A2 都与矩阵
2
I
O
O
O Irp O
O O O
合同. 由此推出 A2和 A1合同，从而 q2与 q1等价.
推论 9.2.6 实数域 R 上一切n元二次型可以分成
i1 j1
（2）
等价于两个典范形式
y12
y
2 p
y
2 p1
yr2
（3）
z12
z
2 p
z2 p1
zr2
那么 p p
证 设（2）和（3）分别通过变量的非奇异线性变换
n
（4） yi sij x j , i 1,2,, n
j 1 n
（5） zi tij x j , i 1,2,, n
j1
nn
所以 p p .
由这个定理，实数域上每一个二次型都与
q( x1, x2 ,, xn ) 唯一的典范形式（1）等价. 在（1）
中，正平方项的个数 p 叫做所给二次型的惯性指标. 正项的个数p与负项的个数 r – p 的差s = p – (r – p) = 2p – r 叫做所给的二次型的符号差.
一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定 的.
定理9.2.5 实数域上两个 n 元二次型等价的充分 且必要条件是它们有相同的秩和符号差.
证 设 q1( x1, x2 ,, xn ) 和 q2( x1, x2 ,, xn ) 是实数
域上两个n元二次型. 令 A1 和 A2 分别是它们的矩
阵. 那么由定理9.2.2，存在实可逆矩阵P，使得
I p O O PA1P O Ir p O
化为所给的二次型 aij xi x j , 如果 p p , 不
i1 j1
妨设 p p , 考虑 p n p 个方程的齐次线性
方程组
（6）
n
sij x j 0,
i 1,2,, p
j1
n
tij x j
j 1
0,
i p 1,, n
因为 p p , 所以 p n p n, 因此，方程组
取 n 阶复矩阵
1
c1
S
0
0 1
d1
1
T
cr
1
1
0
0
1
dr
1
1
这里 ci , di 分别表示复数 ci , di 的一个平方根.
那么 S S, T T ，而
SPAPS
T QBQT
Ir O
O O
因此，矩阵A，B 都与矩阵
Ir O
O O
合同，所以A与B合同.
nn
即复二次型 q(x1, x2,, xn )
aij xi x j
i1 j1
9.2.2 实二次型的典范形式
定理9.2.2 实数域上每一n 阶对称矩阵A 都合同于如下形式 的一个矩阵：
（1）
I p
O
O
O Irp O
O
O
O
这里 r 等于A的秩.
证 由定理9.1.2，存在实可逆矩阵P，使得