第三章 §3.1 3.1.2 复数的几何意义(优秀经典公开课比赛教案)
高中数学 3.1.2 复数的几何意义教案 选修1-2
3.1.2 复数的几何意义(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．2．过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．●重点难点重点：复数的几何意义及复数的模．难点：复数的几何意义及模的综合应用．树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．(教师用书独具)●教学建议建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识复数几何意义．了解复数模的定义、作用、计算方法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系，复数与向量的对应关系．引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件．学生自主完成求解过程，教师指导完善．完成互动探究．学生分组探究例题2解法，总结利用复数相等条件求参数的规律方法．完成变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)2．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)复平面【问题导思】1．复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？【提示】一一对应．2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？【提示】一一对应．3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？【提示】一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数的几何意义【问题导思】1．平面直角坐标系中的点Z与向量OZ→有怎样的对应关系？【提示】一一对应．2．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？【提示】一一对应．(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)―→一一对应复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)―→一一对应平面向量OZ→.为方便起见，我们常把复数z＝a＋b i说成点Z或说成向量OZ→，并且规定，相等的向量表示同一个复数．复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋b i的模，记作|z|或|a＋b i|，且r＝a2＋b2(r≥0，且r ∈R).复平面内的点同复数的对应关系(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【思路探究】找出复数z的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件．【自主解答】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 对应复平面内点的坐标P 为(2m,4－m 2)．(1)若P 在虚轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝0，4－m 2≠0，即m ＝0.(2)若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＜0，4－m 2＜0，解得m ＜－2.∴当点P 位于第三象限时，实数m 的范围是(－∞，－2)． 1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点(a ，b )．2．判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部． 在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m . (1)在实轴上；(2)在直线y ＝x 上．【解】 (1)若点在实轴上，则4－m 2＝0，即m ＝±2. (2)若点在直线y ＝x 上，则4－m 2＝2m ，解得m ＝－1± 5.复数的模的求法已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【思路探究】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b .【自主解答】 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.法二 原式可化为 z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部， 于是|z |＝2－|z |2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17. 代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i.计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．【解】 |z 1|＝36＋64＝10，|z 2|＝－122＋－22＝14＋2＝32，|z 1|>|z 2|.复数的模及其几何意义已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i ，(1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2. (2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形． 【自主解答】 (1)|z 1|＝－32＋12＝2.|z 2|＝－122＋－322＝1.∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|， 则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小． 2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点z 1，z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆． 如果将本题中|z 2|≤|z |≤|z 1|，改为|z 2|＜|z |＜|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【解】 |z 2|＜|z |＜|z 1|⇒1＜|z |＜2，则复数z 的轨迹为以原点O 为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别.因对复数的模理解不到位而导致错误试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数．【错解】 将方程变为|x |2－5|x |＋6＝0⇒|x |＝2或|x |＝3⇒x ＝±2或x ＝±3，故共有4个．【错因分析】 这里常出现将|x |看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x |是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x 2也不能写成|x |2.【防范措施】 (1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数． (2)弄清复数的模与实数绝对值的区别．(3)理解|z |的意义及|z |的计算方法．(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解． 【正解】 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±3，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝±1，即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i. 故方程在复数集上的解共有6个．1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．1．(2013·福建高考)复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限． 【答案】 C2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3iD ．3【解析】 由复数的几何意义可知OZ →对应的复数为－3i. 【答案】 C3．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________． 【解析】 由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 得x ＝3，y ＝－4，而|1－5i|＝1＋52＝26， |x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20.∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|. 【答案】 |y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|4．在复平面内指出与复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝2－i ，z 3＝－i ，z 4＝3＋3i 对应的点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．【解】 由题意知Z 1(－1，2)，Z 2(2，－1)，Z 3(0，－1)，Z 4(3，3)．如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，OZ 4→.一、选择题1．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是( ) A.π6B ．－π6 C.2π3D ．5π6【解析】 ∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)， ∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α<π)，∴α＝56π.【答案】 D2．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则a 的值为( ) A ．a ＝0或a ＝2 B ．a ＝0 C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠2【解析】 ∵复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.【答案】 A3．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．±1或0【解析】 由题意得，a 2＋4＝4＋1⇒a 2＝1⇒a ＝±1. 【答案】 C4．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数【解析】 设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2，又z ＝|z |，即a 2＋b 2＝a . ∴b ＝0，a ≥0，即z 是非负实数． 【答案】 D5．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方 D ．复数z 一定是实数【解析】 ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0， ∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确． 又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴D 不正确， ∴C 正确． 【答案】 C 二、填空题6．复数z ＝log 123＋ilog 312对应的点位于复平面内的第________象限．【解析】 ∵log 123<0，log 312<0，∴z 对应的点在第三象限． 【答案】 三7．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝________.【解析】 设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5.【答案】 58．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是________． 【解析】 由题意得x －12＋2x －12<10，∴5x 2－6x －8<0，∴(5x ＋4)(x －2)<0， ∴－45<x <2.【答案】 (－45，2)三、解答题9．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的对应点， (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y ＝x 上．试分别求实数m 的取值范围．【解】 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意，得m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜2，m ＞2或m ＜1.∴－1＜m ＜1， 即m ∈(－1,1)．(3)由已知，得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2， ∴m ＝2.10．已知z 1＝x 2＋x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i 对任意的x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．【解】 ∵|z 1|＝x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |，且|z 1|＞|z 2|，∴x 4＋x 2＋1＞|x 2＋a |对x ∈R 恒成立，等价于(1－2a )x 2＋(1－a 2)＞0恒成立．不等式等价于①：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＝0，1－a 2>0，解得a ＝12，∴a ＝12时，0·x 2＋(1－14)＞0恒成立．或②：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，Δ＝－41－2a 1－a 2＜0.解得－1＜a ＜12.∴a ∈(－1，12)．综上，可得实数a 的取值范围是{a |a ∈R ，且－1＜a ≤12}．11．如图3－1－1，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：图3－1－1(1)AO →表示的复数，BC →表示的复数； (2)CA →所表示的复数；(3)设P 为复平面上一点且满足|OP →|＝|CA →|，求P 点的轨迹方程．【解】 (1)AO →＝－OA →，而OA →对应的复数为3＋2i ， ∴AO →表示的复数为－3－2i ；∵BC →＝AO →.∴BC →表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)设P (x ，y )，∵|CA →|＝|5－2i|＝52＋－22＝29，|OP →|＝x 2＋y 2，由|OP →|＝|CA →|，得x 2＋y 2＝29，即点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝29.(教师用书独具)已知向量OZ →与实轴正向的夹角为45°，向量OZ →对应的复数z 的模为1，求z . 【思路探究】 设出z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，列出关于a ，b 的方程组． 【自主解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． ∵OZ →与x 轴正向的夹角为45°，|z |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝1，a 2＋b 2＝1，a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝－1，a 2＋b 2＝1，a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝22，b ＝22，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝－22.∴z ＝22＋22i 或z ＝22－22i. 解答本题易因不能正确的运用条件“向量OZ →与实轴正向的夹角为45°”，而漏掉一解．已知复平面内的A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设AB →对应的复数是z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．【解】 (1)∵点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，∴点A ，B 的坐标分别是A (sin 2θ，1)，B (－cos 2θ，cos 2θ)，∴AB →＝(－cos 2θ，cos 2θ)－(sin 2θ，1)＝(－cos 2θ－sin 2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin 2θ)，∴AB →对应的复数z ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知点P 的坐标是(－1，－2sin 2θ)，代入y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12，即sin 2θ＝14，∴sin θ＝±12.又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π6.。
(完整版)3.1.2复数的几何意义教案.doc教学设计
第三章数系的扩充与复数的引入【课题】：3.1.2 复数的几何意义【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了.【教学目标】：（1）知识与技能：了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数；（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解；（3）情感态度与价值观：培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。
【教学重点】：复数的代数形式和复数的向量表示.【教学难点】：复数的向量表示.【课前准备】：powerpoint课件六、 作业1、在复平面内，复数2)31(1i ii+++对应的点位于 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、复数,111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、 在复平面内指出与复数i z i z i z i z +-=-=+=+=2,23,32,214321 对应的点4321,,,Z Z Z Z .试判断这四个点是否在同一个圆上？并证明你的结论.解：因为︱1z ︱=52122=+，︱2z ︱=5，︱3z ︱=5，︱4z ︱=5，所以，4321,,,Z Z Z Z 这四个点都在以圆点为圆心，半径为5的圆上.4、如果P 是复平面内表示表示复数a +bi （a ，b ∈R ）的点，分别指出在下列条件下点P 的位置： （！）a >0，b>0; (2) a <0,b>o; (3)a =0,b ≤0; (4)b<0.解：（1）第一象限 （2）第二象限 （3）位于原点或虚轴的下半轴上 （4）位于实轴下方5、如果复数z 的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数z 对应的点应位于怎样的图形上？ 解：平面直角坐标系中以（0，3）为端点的一条射线，但不包括端点（0，3）6、已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求该复数z . 解：由已知，设)(3R a i a z ∈+=则.4322=+a 解得 ±=a 1.所以 .31i z +±=。
【数学】3.1.2《复数的几何意义》优质课课件(新人教版选修1-2)
复数的几何意义
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) （数）复数的一个几何意义 （形） y z=a+bi Z(a,b)
a b
一一对应
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
特别注意：虚轴不包括原点。
3.1.2《复数的几何意义》
实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数? 实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
实数 (数 )
数轴上的点 (形 )
类比实数的 表示，可以 用什么来表 示复数？
想 一 想 ？
回 忆
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
…
一个复数 由什么唯 一确定？
z =a +b i Z (a,b)
O
yxΒιβλιοθήκη 2 2 a b | z | = | OZ |
小结
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
小结
小结:
复数的几何意 义是什么？
例1.辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯 A 虚数”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 3．“a=0, b∈R”是“复数a+bi (a , C b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
复数的几何意义教案
复数的几何意义教案【最新精选】第一章：复数的概念1.1 实数与虚数实数：所有形如a+0i的数，其中a是实数。
虚数：所有形如a+bi的数，其中a、b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1.2 复数的表示字母表示法：用a+bi表示一个复数。
括号表示法：用(a,b)表示一个复数，其中a是实部，b是虚部。
1.3 复数的相等两个复数a+bi和c+di相等，当且仅当a=c且b=d。
第二章：复数的运算2.1 复数的加法两个复数a+bi和c+di相加，得到(a+c)+(b+d)i。
2.2 复数的减法两个复数a+bi和c+di相减，得到(a-c)+(b-d)i。
2.3 复数的乘法两个复数a+bi和c+di相乘，得到(ac-bd)+(ad+bc)i。
2.4 复数的除法两个复数a+bi和c+di相除，先求它们的乘积，再用乘积的实部和虚部分别除以被除数的模的平方。
第三章：复数的模3.1 复数的模的定义复数a+bi的模定义为|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)。
3.2 复数的模的性质模是非负实数。
模与复数的实部和虚部有关，而与它们的比例无关。
3.3 复数的模的几何意义复数的模表示复平面上点到原点的距离。
第四章：复数的共轭4.1 复数的共轭定义复数a+bi的共轭定义为a-bi。
4.2 复数的共轭的性质两个共轭复数的模相等。
两个共轭复数的乘积的模是它们的模的平方。
4.3 复数的共轭的几何意义复数的共轭表示复平面上与原点关于实轴对称的点。
第五章：复数的几何表示5.1 复数与复平面复数可以表示为复平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
5.2 复数的四则运算在复平面上的表示加法、减法、乘法、除法可以通过在复平面上相应操作点的几何意义来表示。
5.3 复数的模和共轭在复平面上的表示模表示点到原点的距离，共轭表示点关于实轴的对称点。
第六章：复数与复平面上的图形6.1 复数的圆表示复平面上的点可以绕原点旋转，形成圆。
单位圆：半径为1的圆，其上的点表示模为1的复数。
3.1.2复数的几何意义
【学习目标】1.理解复数与从原点出发的向量的对应关系;2.了解复数的几何意义 【学习过程】： 一、学前准备：1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。
14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---2．复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时为实数、虚数、纯虚数？3. 实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？4.若(,)A x y ，(0,0)O ，则=OA5. 若),(11y x =a ，),(22y x =b ，则b +α = ，b a - =6. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则=AB即 AB =OB -OA =分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标二、合作探究： 1. 复平面：2.在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。
(先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b 而不是bi )观察我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？【典例分析】例1. (2007年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例2. 若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数a 的取值。
【学法指导】复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 【检测与反馈】1.(A) 分别写出下列各复数所对应的点的坐标。
《复数的几何意义》示范课教学设计【高中数学教案】
《复数的几何意义》教学设计第2课时1.理解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念．2.掌握复数的几何意义，并能适当应用．3.掌握复数模的定义及求模公式．教学重点：复平面、实轴、虚轴、共轭复数、复数的模等概念．复数的几何意义的简单应用．教学难点：一、问题导入问题1：能怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？师生活动：学生先回忆初中实数几何意义等．【想一想】否为复数找一个几何模型呢？设计意图：通过对实数几何意义的回顾，提出复数几何意义的问题，引导学生进行类比思考．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习复数的几何意义.（板书：复数的几何意义）【新知探究】1．分析实数几何意义，感知复数几何意义.问题2：实数几何意义是什么？如何定义复数几何意义？复平面如何定义？师生活动：实数几何意义是：对每一个实数，总能在数轴上找到唯一点与之的对应.反之，对数轴上任意一个点，总能确定一个唯一的实数值．一方面根据复数相等的定义，复数Z=a+b i(a，b∈R)被它的实部与虚部唯一确定，即复数Z被有序实数对(a，b)唯一确定；另一方面，有序实数对(a，b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z (a，b)，因此不难发现，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即复数Z=a+b i 与点Z (a，b)具有一一对应关系.建立了直角坐标系来表示复数的平面，也称为复平面， x 轴上的点对应的都是实数，因此x 轴称为实轴， y 轴上的点除了原点以外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y 轴为虚轴．追问：联系向量，复数还可以有什么几何意义？预设的答案：因为平面直角坐标系中的点 Z (a ，b )能唯一确定一个以原点O 为始点， Z 为终点的向量OZ ，所以复数也可以用向量OZ 来表示，这样以来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O 为始点的向量组成集合之间建立一一对应关系，即复数Z a bi =+↔向量OZ = (a ，b )设计意图：类比实数几何意义，感知复数几何意义，发展学生逻辑推理和直观想象的核心素养．2.在实例感知的基础上，总结出共轭复数的概念．问题3：两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，它们有什么关系？师生活动：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数Z 的共轭复数用OZ 表示，因此，当(,)Z a bi a b R =+∈时，有OZ =a －b i追问：一般地，当a ，b ∈ R 时，复数a +b i 与a －b i 在复平面内对应的点有什么位置关系？预设的答案：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：自主阅读教材，回答：复数的模如何定义？师生活动：一般的向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数的模用表示，因此． 可以看出，当b =0时， 说明复数的模是实数绝对值概念的推广． 追问：两个共轭复数的模什么关系？预设的答案：一般地两个共轭复数的模相等，即．设计意图：通过联系向量知识，体会复数与向量的对应关系，进而提出模长的概念．发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养． 【巩固练习】 例1. 设复数134=+z i 在复平面内对应的点为1Z ，对应的向量为1OZ ；复数2z 在复平面内对应的点为2Z ，对应的向量为2OZ .已知1Z 与2Z 关于虚轴对称，求2z 并判断1OZ 与2OZ 的大小关系.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由题意可知1(3,4)Z ，又因为1Z 与2Z 关于虚轴对称，所以2(3,4)-Z ． 从而有234=-+z i ．因此222(3)45=-+=z . 又因为2211||345==+=OZ z ，225==OZ z ． 所以12||||=OZ OZ . 设计意图：通过典例解析，加深对复数几何意义的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．例2. 若复数z 1＝(x －3)＋(x +2y+1)i 与z 2＝2y ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，求x 与y.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：z 2＝2y ＋i(x ，y ∈R )的共轭复数＝2y －i(x ，y ∈R ) 根据复数相等的定义，得3221()-=⎧⎨++=-++⎩x y x y x y z ． 解这个方程组，得39,77==-x y ． 设计意图：通过典例解析，加深对共轭复数的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．例3. 设复数z 在复平面内对应的点为Z ，说明当z 分别满足下列条件时，点Z 组成的集合是什么图形，并作图表示.（1）||2=z ；（2）1||3<≤z . 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：（1）由||2=z 可知向量OZ 的长度等于2，，即点Z 到原点的距离始终等于2，因此点Z 组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆.如图（1）所示.（2）不等式1||3<≤z 等价于不等式组31⎧≤⎪⎨>⎪⎩z z .又因为满足||3≤z 的点Z 的集合，是圆心在原点、半径为3的圆及其内部． 而满足||1>z 的点Z 的集合，是圆心在原点、半径为1的圆的外部．所以满足条件的点Z 组成的集合是一个圆环（包括外边界但不包括内边界）.如图（2）所示.设计意图：通过典例解析，加深对复数模的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养．【课堂小结】问题：（1）复数的几何意义包含哪两种情况？（2）如何理解复数的模？ 互为共轭复数的两个复数的模是什么关系？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．复数的几何意义包含两种情况：（1）复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．（2）复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．(3)根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ 之间的关系可用下图表示：2．复数的模(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2；(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．(3)互为共轭复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称．（4）两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确集合的有关知识．布置作业：【目标检测】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．( )设计意图：巩固理解复数的几何意义．2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为()A．(1，i)B．(1，－i) C．(1，1) D．(1，－1)设计意图：3．已知复数z＝3＋2i，则z＝________；|z|＝________.设计意图：巩固理解复数的几何意义．4．已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)的模是22，则点(x，y)表示的图形是________．设计意图：巩固理解复数的模及几何意义．5．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．设计意图：巩固理解复数的几何意义．参考答案：1． (1)√ (2)× (3)×2．复数z ＝1－i 的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．故选D ． 3．∵z ＝3＋2i ，∴z ＝3－2i ，|z |＝32＋22＝13.4．∵|z |＝22，∴x 2＋y 2＝22，∴x 2＋y 2＝8.则点(x ，y )表示以原点为圆心，以22为半径的圆．5．因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限． (3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时． 点Z 位于直线x －y －3＝0上．。
(新课程)高中数学《3.1.2复数的几何意义》教案 新人教A版选修2-2
§3.1.2复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系过程与方法：了解复数的几何意义情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数的几何意义。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：复数z=a+bi(a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b)惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b)是b Z(a ，b)a o yx这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b)惟一确定，如z=3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z=a+bi(a 、b ∈R)可用点Z(a ，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z=－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例1．（2020年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：选B . 例2．（2020上海理科、文科）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.[解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++= 故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例3．（2020北京理科）满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆解：选C.巩固练习：课后作业：课本第106页 习题3. 1 A 组4，5，6 B 组1,2教学反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.1．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 32． (1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)33．（2020北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（2020年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.2 复数的几何意义》
复数的几何意义一、教学分析《复数的几何意义》是高中数学人教A版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》的第一节第二课时，是学生在学习数系的扩充与复数的概念后的一节课，它的学习能帮助学生进一步认识复数和理解复数概念，是研究复数的运算、性质和应用主要基础，它在本章节学习内容中起着承上启下的关键作用。
二、学情分析教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了三、教学目标依据教材特点、新课标的教学要求和学生的认知水平，确定教学目标如下：1理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模2通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力3通过复数的几何意义的学习，培养学生类比，转化和数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣四、教学重点和难点根据新课标要求和教材定位以及学情分析确定本节课：教学重点：复数的几何意义以及复数的模；教学难点：复数的几何意义及模的综合应用五、教学与学法教法：本节主要让学生类比实数的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式六、教学支持条件主要教学支持条件：三角板、多媒体等七、教学过程设计（一）复习回顾问题1 在几何上，我们用什么来表示实数问题2 复数的代数形式是什么？一个复数可由什么确定？问题3 类比实数的表示，在几何上可以用什么来表示复数设计意图：创设问题情境，使学生明确这里要解决什么问题，联系旧知识，了解解决问题的大致方向。
提出问题,激发学生学习兴趣。
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，教师再评价、引导。
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[A 组 学业达标]
1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限.
答案：C
2．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( )
A ．1或3
B ．1
C ．3
D ．2 解析：依题意可得
(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A.
答案：A
3．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－3,1)
B ．(－1,3)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－3) 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋3>0，m －1<0，
即－3<m <1.故实数m 的取值范围为(－3,1)． 答案：A
4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y
＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．1＋2i
D ．－1＋2i 解析：因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为
B (－2,1)，所以OB →对应的复数为－2＋i.
答案：B
5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( )
A ．－34＋i
B.34－i C ．－34－i D.34＋i
解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋a 2＋
b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝34，b ＝1，
即z ＝34
＋i. 答案：D 6．在复平面内，复数z ＝sin 2＋cos 2i 对应的点位于________象限．
解析：由π2<2<π，知sin 2>0，cos 2<0
∴复数z 对应点(sin 2，cos 2)位于第四象限．
答案：第四
7．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.
解析：复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2,3)．所以z 2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
8．已知在△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的
复数为________．
解析：因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝
(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的
复数为－1－5i.
答案：－1－5i
9．实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点满足下列条件？
(1)位于第二象限；
(2)位于直线y ＝x 上．
解析：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．
(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.
故满足条件的实数a 的值为1.
10．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .
解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，
则|z |＝a 2＋b 2，
代入方程得，a ＋b i ＋
a 2＋
b 2＝2＋8i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－15，
b ＝8. ∴z ＝－15＋8i.
[B 组 能力提升]
1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )
A ．1 B. 2 C. 3
D ．2 解析：∵(1＋i)x ＝1＋y i ，
∴x ＋x i ＝1＋y i.
又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1.
∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.
答案：B
2．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，
且复数z 的模为2，则复数z 为( )
A ．1＋3i
B ．2
C ．(－1，3)
D ．－1＋3i
解析：∵|OZ →|＝|z |＝2，及OZ →与实轴正方向夹角为120°.
设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)
则x ＝|z |·cos 120°＝2cos 120°＝－1，y ＝|z |sin 120°＝ 3.
∴复数z ＝－1＋3i.
答案：D
3．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________.
解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，
由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ，
即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.
根据复数相等的条件，得⎩⎨⎧ x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.
解得⎩⎨⎧
x ＝0，y ＝1.
∴z ＝i. 法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ，
等式两边取模，得|z |＝(|z |－1)2＋12.
两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1.
把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i.
答案：i
4．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________．
解析：|z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．
故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.
答案：22＋1
5．已知z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，当θ为何值时，z 1和z 2满足下列条件？
(1)z 1＝z 2；
(2)z 1，z 2对应点关于x 轴对称；
(3)|z 2|< 2.
解析：(1)z 1＝z 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧
cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝cos θ ⇒⎩⎨⎧ tan θ＝33，2sin θcos θ＝cos θ⇒θ＝2k π＋π6(k ∈Z)．
(2)z 1与z 2对应点关于x 轴对称
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ ⇒⎩⎨⎧ θ＝k π＋π
6(k ∈Z )，2sin θcos θ＝－cos θ
⇒θ＝2k π＋76π(k ∈Z)．
(3)|z 2|<2⇒ (3sin θ)2＋cos 2θ< 2
⇒3sin2θ＋cos2θ<2⇒sin2θ<1 2
⇒kπ－π
4<θ<kπ＋
π
4(k∈Z)．。