第一讲(代数重修)

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高等代数——课程介绍

《高等代数》是北京大学数学科学学院（由数学、概率统计、科学与工程计算、信息科学、金融数学五个系组成）本科一年级的三门最重要的基础课之一，为期一学年，教学时间30周，复习、考试4周，总共10学分（每学期5学分）。

每年学生约260人（包括本院学生、元培班学生和重修的学生），分成两个大班，由两个主讲教师依照同样的教学计划（包括进度、内容、习题和作业的的安排）同步授课（每周4学时），同时配备有四位助教上习题课（每周2学时）和批改作业。

主讲教师负责安排习题课内容以及指导助教的工作。

每学期期中、期末考试各一次，采用统一的考题和统一的评分标准。

考试分数为百分制。

期末总成绩为期中成绩的40%加上期末成绩的60%再减去学生未交作业的次数。

课程目前采用的教材是蓝以中编著的《高等代数简明教程》（上、下册）（北京大学出版社2002年出版，北京大学数学教学系列丛书，该书为普通高等教育“十五”国家级规划教材及2002年北京市教育精品教材重点项目）。

主要教学参考书是北大几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（高等教育出版社，1991年，第二版，曾获国家优秀教材一等奖）；丘维声编著的《高等代数》（上、下册）（高等教育出版社1996年出版，国家“九五”重点教材）。

本课程的内容包括：线性方程组，矩阵，行列式，双线性型与二次型，线性空间，线性变换，具有度量的线性空间（欧氏空间、酉空间、四维时空空间、辛空间），Jordan标准形，有理整数环，一元和多元多项式环，多线性代数（张量积、张量、外代数）的初步理论等。

本课程不仅注重讲授代数学的基本知识，更强调对于学生的“三个基本训练”和“一个初步训练”，即、代数学基本思想的训练、代数学基本方法的训练、线性代数基本计算的训练以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。

高等代数选讲第一讲数域P上的一元多项式环

高等代数课程教学大纲.总结

精品文档高等代数（ 1）课程教学大纲第一部分前言一、课程基本信息1.课程类别：专业基础课2.开课单位：数学与财经系3.适用专业：数学与应用数学专业4. 备选教材：《高等代数（第三版）》，北京大学数学系几何与代数教研室前代数组编.高等教育出版社，2003.二、课程性质和目标高等代数是数学与应用数学专业的一门重要基础课程。

本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论。

通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。

本课程的教学目的是使学生获得一元多项式，行列式，线性方程组，矩阵等方面的系统知识 , 为进一步学习近世代数，复变函数、等后续课程打下坚实的基础，也为深入理解初等数学、指导中学数学教学提供了高等的专业知识与重要的方法论。

通过本门课程系统的学习与严格的训练，全面掌握高等代数的基本理论知识；培养抽象的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用代数学的理论知识解决实际应用问题的能力。

三、课程学时与学分教学时数：96 学时，其中理论教学81 学时，实践教学15 学时学分数： 6 学分教学时数具体分配：教学内容理论教学实践教学合计（学时）（学时）（学时）第一章多项式26632第二章行列式16319第三章线性方程组22325第四章矩阵17320合计811596第二部分教学内容及其要求第一章多项式1.教学目标：要求学生理解数域的概念；掌握一元多项式的概念、运算及基本性质；掌握带余除法与整除性的关系，会进行相关运算；会求多项式的最大公因式；理解不可约多项式的概念，掌握求重因式的方法；理解多项式在不同的数域的因式分解形式；掌握Eisenstein判别法，会求有理系数多项式的根。

2.教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k 重因式与 k 重根的关系。

高等代数复习题

高等代数复习题高等代数重修复习一．填空题1.设V是数域P上的一维线性空间，则V上所有线性变换可表示为 .2.R x 3中的基1 x x2,3x 2x2,1 2x2到基1,x,x2的过度矩阵为3．实对称矩阵A满足A 0，则A的全部特征值为。

4．已知矩阵A n 1a 为正交矩阵，则a . 015.已知A是m n的矩阵且秩(A) s，则方程组Ax 0的解空间的维数为 .6．已知3阶矩阵A的特征值为1,1,2，则2A 2A的特征值为2 17.在线性空间P[x]n {f(x) a0 a1x a2x2 an 1xn 1|a0,a1,a2, ,an 1 P}中,线性变换D(f(x)) f'(x)在基1,x,x2, ,xn 1下的矩阵为 . D的值域为，D的核为8.设1, 2, , n是线性空间V的基，线性变换A满足A( i) i,i 1,2, ,m, 0i m 1,2, ,n则A在基1, 2, , n下的矩阵为，A的值域为，A的核为9.设V是n维欧几里得空间，A为正交线性变换，则, ，(A ,A )= .10.设V L(e1,e2) R3,其中e1 100 ,e2 101 ，则V的正交补为11. 在欧几里得空间R中，1 (__)，2 (5031)，则1, 2的夹角1, 2 为。

12.设线性变换A:V V在基1, 2, , n下的矩阵为A且秩(A) r，则线性变换A的秩为。

二．单选题1．若A,B是正交矩阵，k是非零实数，P是可逆矩阵，则（）(A)A B也是正交矩阵(B) kA也是正交矩阵(C)AB也是正交矩阵(D) PAP也是正交矩阵2. 设是三维向量空间R上的变换，下列不是线性变换的是（）2(A) ( 1, 2, 3) ( 1 3, 2, 3 5) (B) ( 1, 2, 3) ( 1,3 2,3 3) 3 1(C) ( 1, 2, 3) (0, 1,0) (D) ( 1, 2, 3) (2 1 2 3, 2 5 3, 1 3)3．设A是n阶实对称矩阵，则（）(A) 存在正交矩阵P使得PAP为对角矩阵(B)A的特征值的绝对值等于1(C)A的任意n个线性无关的特征向量两两正交也是正交矩阵(D)A有n个不同的特征值4．和矩阵M ' 10 正交相似的矩阵是（）0 1(A) 01 1 1 11 01 (B) (C) (D) 10 1 1 00 105．两个n阶实对称矩阵相似的充要条件是（）(A)它们合同(B)它们的特征值都是实数1, 2, , n(C)它们都是正交矩阵(D)它们的特征值都是实数1, 2, , n，且两两不相等1 12 ，16．设P上的三维列向量空间V上的线性变换在基{e1,e2,e3}下的矩阵是20 12 1则在基{e3,e1,e2}下的矩阵是（）112 1 12 121 2 11 (B) 12 1 (C) 102 (D) 102 1(A)20 210 12 1 21 1 1217. A是n阶矩阵，则为正交矩阵A的充要条件是（）(A)A的特征值全为1或-1 (B)A的列向量组两两正交(C)A正交相似于单位矩阵(D)A的列向量组为标准正交向量组。

高等代数第一讲代数系统PPT课件

带余除法; 带余除法;
称K为F的子域，F称而为K的扩域。则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域是最小的数 --是域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是，不属F于的任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的乘法）是乘法群。一称般为线性.－群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的，可以证明，乘在右有边相也同的性质。即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低比，f1对同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00

高等代数选讲讲义

高等代数选讲信阳师范学院数学与信息科学学院2006年9月目录第一讲带余除法 (1)第二讲不可约多项式 (5)第三讲互素与不可约、分解 (9)第四讲多项式的根 (13)第五讲典型行列式 (17)第六讲循环行列式 (21)第七讲特殊行列式方法 (26)第八讲解线性方程组 (31)第九讲分块矩阵与求秩 (36)第十讲矩阵的分解与求逆 (40)第十一讲广义逆与特殊矩阵对关系 (45)第十二讲特征值、对角线与最小多项式 (51)第十三讲向量的线性相关与自由度 (56)第十四讲双线性型与正定二次型 (61)第十五讲线性空间及其几何背景 (66)第十六讲欧氏空间和正交变换的意义 (71)第十七讲线性变换的核与象 (76)第十八讲线性变换的特征与不变子空间 (81)第一讲带余除法定理1（带余除法）∀f (x ), g (x )≠0 ∈P [x ]，则有f (x )=g (x )s (x )+r (x )其中r (x )=0或∂(r (x ))＜∂(g (x ))，r (x )，s (x )∈P [x ]定理2 g (x )|f (x )⇔r (x )=0(x －a )|f (x )⇔f (a )=0带余除法可将f (x )，g (x )的性质“遗传”到较低次的r (x )，也可将g (x )，r (x )的性质“反馈”到较高次的f (x )。

边缘性质：若满足某个条件C 的多项式存在，则一定存在一个次数最低的满足条件C 的多项式。

反过来，满足条件D 的多项式次数不超过m ，则这样的集中一定有一个次数最大的。

根据带余除法和边缘性持，创造了求最大公因式的辗转相除法。

可以证明最小公倍式也是存在的，还可以得到更多的其它结论。

例1 a 是一个数，f (x )∈P [x ]且f (a )=0，则P [x ]中存在唯一首项系数=1且次数最低的多项式m a (x )： m a (a )=0证作：Sa ={g (x )∈P [x ]|g (a )=0}那么S ≠φ，故S 中存在一个次数最低且首系=1的多项式m a (x )，现设m (x )也是满足条件的多项式，那么∂(m (x ))=∂(m a (x ))所以∂(m (x )－(m a (x ))＜∂(m a (x ))令 r (x )=m (x )－m a (x )则r (a )=0，得r (x )=0，所以m (x )=m a (x )，唯一性证毕。

GCT线性代数辅导讲义

GCT 线性代数辅导第一讲行列式一. 行列式的定义● 一阶行列式定义为1111a a = ● 二阶行列式定义为2112221122211211a a a a a a a a -=● 在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的第i 行第j 列，剩余元素构成1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ． ● 令ij ji ij M A +-=)1(，称ij A 为ij a 的代数余子式．●n 阶行列式定义为n n nnn n nnA a A a A a a a a a a a a a a 1112121111212222111211+++=．二. 行列式的性质1.行列式中行列互换，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 332313322212312111a a a a a a a a a 2.行列式中两行对换，其值变号．=333231232221131211a a a a a a a a a –333231131211232221a a a a a a a a a 3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外．=333231232221131211a a a ka ka ka a a a 333231232221131211a a a a a a a a a k 4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和．=+++333231232322222121131211a a a b a b a b a a a a +333231232221131211a a a a a a a a a 333231232221131211a a a b b b a a a 由以上四条性质，还能推出下面几条性质5.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为０．6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为０．7.行列式中如果有一行元素全为０，则行列式的值为０．8.行列式中某行元素的k 倍加到另一行，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 133312321131232221131211ka a ka a ka a a a a a a a +++三.n 阶行列式展开性质nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 n i ,,2,1 =● 按列展开定理nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211 n j ,,2,1 =●n 阶行列式D 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即02211=+++jn in j i j i A a A a A a j i ≠● 按列展开的性质02211=+++nj ni j i j i A a A a A a j i ≠四.特殊行列式●nn nna a a a a a22112211=;()11212)1(11211n n n n n n n na a a a a a ----=● 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.五.计算行列式● 消零降阶法.● 消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）..典型习题1. =3D xx x 121332=（）。

京江学院线性代数重修课讲义2013

理
学
周
江
波
6
1 3 1 2 0 2 1 1 0 8 4 6 0 16 2 7
r3 4 r 2 r4 8 r2
1 0 0 0
3 1 2 2 1 1 0 8 10 0 10 15
版
权
1 3 1 2 1 5 3 4 0 2 1 1 5 1 3 3
r2 r1 r4 5 r1
权
5
（1）.
若三阶行列式
a1 2b1 a1 c1
a2 2b2 a2 c2
a3 2b3 a3 6 ，则 c3
a1 a2 b1 b2 c1 c2
a3 b3 c3
=
.
所有
3 1 1 2 5 1 3 4 4. 计算 D . 2 0 1 1 1 5 3 3
解
D
c1 c 2
1 3 1 2 0 8 4 6 0 2 1 1 0 16 2 7
所有
1 1 x 0 按第一列展开(1)
n 1
1 1 1 x 0 0 0
1 1

1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 x 1 x
1 1 x 0 0

a b c d
6. 计算 2n 阶行列式 D2 n
称为 D 中元素 aij 的余子式, 记为 M ij , 再记
学
院
称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.
学
定理 1
理
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即
大
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj

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10
例7
计算四阶范德蒙解：
1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 32 2 4 4 1 3 2 33 3 4
1 1 1 2 2 1 2 1 23
1 1 1 1
1 1 2 22 2 3 3 4 42 1 1 3 4 2 2 3 4 33 43
1 23 3 3 43
(2 1)(3 1)(4 1) (3 2)(4 2) (4 3) (2 1)(3 1)(4 1)(3 2)(4 2)(4 3) 12
9
五阶范德蒙行列式
D5
1 x1 2 x1 3 x1 4 x1
1 x2 2 x2 3 x2 4 x2
1 x3 2 x3 3 x3 4 x3
1 x4 2 x4 3 x4 4 x4
1 x5 2 x5 ( xi x j ) 3 5 i j 1 x5 4 x5
( x2 x1 )( x3 x1 )( x4 x1 )( x5 x1 ) ( x3 x2 )( x4 x2 )( x5 x2 ) ( x4 x3 )( x5 x3 ) ( x5 x4 )
a11 ka21 a31
a12 ka22 a32
a13 a11 a12 ka23 k a21 a22 a33 a31 a32
a13 a23 a33
a11 a12 a13 4. b1 c1 b2 c2 b3 c3 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a11 a12 b1 b2 b3 c1 c2 a31 a32 a33 a31 a32
0 为零，则 A ____.
16
五. 行列式按一行(列)的展开
1. 行列式的余子式
行列式D中元素 aij 所在的 i 行和j 列
划去后，余下的元素构成的行列式 Mij，叫做元素 aij 的余子式. Mij 是比D 少一阶的行列式．
2. 代数余子式
Aij=(-1)i+j Mij 称为元素 aij 的代数余子式．
11
四.
行列式的性质
T
1. 若A是n阶方阵，则 A A ,
2.交换行列式的任意两行(列)，行列式的值变号 a1 a2 a3 a1 a2 a3
b1 b2 c1 c2
b3 c1 c2 c3 b1 b2
c3 b3
3.行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式.
12
第一章行列式一. n阶行列式的定义
⒈ 排列及逆序数
如： 4213 是一个４元排列； 21435 是一个５元排列；但，24165 不是一个排列. 逆序该排列共有两个逆序 21435 (21435) 2, 逆序是５元排列21435 的逆序数
1
j1 j2 jn
偶数，j1 j2 jn 为偶排列奇数，j1 j2 jn 为奇排列
1 0 2 例9 计算4阶行列式 D 1 1 1 0 . 2 2 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 2 2 1 1 1 0 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 2 0 0 0
0 1 1 D 1 1 0 1 2 1 2 1 1 1 0 1 1 4 2 1 1 2 1 2 1 1 1
j 1, 2,, n
i 1, 2,, n
推论：a A a A a A 0 ( j k ), 1 j 1k 2 j 2k nj nk
ai1 Ak1 ai 2 Ak 2 ain Akn 0 (i k ).
19
0 1 1 1 0 例8 计算4阶行列式 D 1 1 1 2 2 1 1
a13 c3 a33
该性质对列也成立．
13
5.
把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变．
a11 a12 a21 a22 a31 a32
k
a13 a11 a12 ka11 a13 a23 a21 a22 ka21 a23 a33 a31 a32 ka31 a33
1 D 1 1 1 a 1 a a 1 1 0 0 1 a 1 1 ab 1 0 0 0 0 1 1 a 1 1 1 0 1 b b 0 0 1 b 1
3 3
a11a22a34a43
x 2x x
3
故 x 的系数为 1.
3
6
二. 上(下)三角行列式
a11 a12 a1n 0 0 a11 0 0 0 a11a22 ann .
a22 a2 n a21 a22 0 ann
an1 an 2 ann
2 2. 0 0
解：将行列式按第4列展开
0 1 1 D 1 1 0 1 2 1 2 1 1
2 1
2 1 1 0 1 4 2 2 1 1 2 1 0 2 1 1 0
2 4
0 1
3 4
0 1 1 0 1 1 4 4 1 1 0 0 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1
6. 如果行列式有两行（列）的元素完全相同，则此行列式为零. a11 a12 a13
D b1 b1 b2 b2 b3 0 b3
14
7. 如果行列式某行（列）的元素都是零，则此行列式为零.
6a11 2a12 a11 a12 a13 例5 设 a21 a22 a23 1, 求 3a21 a22 3a31 a32 a31 a32 a33 10a13 5a23 . 5a33
a1n a2 n ann
1
a1na2,n1 an1 .
8
范德蒙（Vandermonde)行列式
1 x1
2 Dn x1 n x1 1
1 x2
2 x2

1 xn
2 xn

n i j 1
( xi x j ).
n n x 2 1 x n 1
20
0 1 1 1 2 1 2 1 1
1 1 11 2 2 1 1 1 2 1 2
1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 1
M 23 M23 为元素a 的代数余子式. 23
18
3. 行列式可按任意一行(列)代数余子式展开
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
解： 6a11
3a21 3a31
2a12 a22 a32
10a13 3a11 a12 5a23 2 3a21 a22 5a33 3a31 a32
5a13 5a23 5a33
a11 a12 2 3 5 a21 a22 a31 a32
a13 a23 2 3 5 1 34)
a12a21a33 a44 带有 1
1, 1,
a12a21a34 a43 带有 1
(2143)
所以满足条件的项为 a12a21a33 a44 .
4
例２设 D aij 为４阶行列式，其展开式中
4 3 一项为＋a12a2i a3ja41，则i＝_____，j＝_____. 解：由于 2ij1 为偶数，因为数2ij都比1大，所以i=4, j=3. 例3 在４阶行列式中，项 a14a23a32a41
⒊ 行标排列为1,2,…n，列标排列为 j1j2…jn
则符号由 1
j1 j2 jn
确定.
3
例１４阶行列式 D aij 的完全展开式中， a12a21a33a44 带负号且含有因子a a 的项为________.
12 21
解：含有因子a a 的项有两项 12 21
a12a21a33a44 ,
17
如： a11 a12 a13 a14
a 21 D a 31 a 41
a11 M 23 a 31 a 41
A23 1
2 3
a 22 a 32 a 42
a12 a 32 a 42
a 23 a 33 a 43
a14
a 24 a 34 a 44
a 34 为元素a 的余子式， 23 a 44
⒉
a11 a 21 a n1
n阶行列式的定义
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
j1 j2 jn
1
j1 j2 jn
a1 j1 a2 j2 a nj n
2
说明：
1. n 阶行列式是 n! 项的代数和; 2. 每项都是n 个元素的乘积（n 个元素不同行、不同列），
2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 4
0
21
4. 计算行列式的方法：利用行列式的性质，把行列式的某一行（列）除了一个元素其余元素化为零，按该行（列）的代数余子式展开． 0 1 1 2
15
例6 4阶行列式
4 0 0 0 0 0 0 3 0 0 2 0
4 0 0 0
0 0 0 3 0 0 2 0
0 0 2 0
0 1 0 0
-24 .
0 4 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 4 1 2 3 24. 0 3
例7 设 n 阶矩阵 A (aij )中每一行诸元素之和均
A O A O A C A B, C B O B O B