新课标版数学必修二(新高考 新课程)综合卷2高考调研精讲精练
高考调研新课标A数学必修二
高考调研新课标A数学必修二
高考调研新课标A数学必修二涵盖了高中数学的重要知识点，特别是
对于函数、几何、概率统计等领域的深入理解和应用。
在新课标的指
导下，高考数学试题更加注重考查学生的数学思维能力、问题解决能
力和创新意识。
在函数部分，重点考查函数的概念、性质、图像以及函数与方程的关系。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，这些性质在高考中
经常出现，要求学生能够熟练掌握并能够灵活运用。
函数图像的绘制
和理解也是高考的重点，学生需要能够根据函数的性质画出大致的图像，并能通过图像理解函数的性质。
几何部分则包括平面几何和立体几何。
平面几何中，三角形、四边形、圆等基本图形的性质和定理是必须掌握的。
立体几何部分，除了对基
本几何体的认识，还需要掌握空间向量、空间直线和平面的位置关系等。
高考中，几何题目往往需要学生运用逻辑推理和空间想象能力来
解决问题。
概率统计部分在高考中占有重要地位，考查学生对随机事件的概率计算、统计图表的解读以及数据的分析处理能力。
这部分内容要求学生
能够理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法，以及能够运用统计
学的知识解决实际问题。
在备考过程中，学生应该注重对基础知识的理解和应用，通过大量的
练习来提高解题速度和准确率。
同时，也应该关注高考试题的变化趋势，适应新课标的要求，培养自己的数学思维和创新能力。
此外，定
期进行模拟考试，及时总结和反思，也是提高高考成绩的有效方法。
新课标版数学必修二(A版)单元卷2高考调研精讲精练
第二章测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列不是直线与平面的位置关系的是()A．异面B．平行C．相交D．在平面内答案 A2．下列说法中正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点答案 C解析不共线的三点确定一个平面，所以A错误；四边形的四个顶点不一定共面，所以B 错误；假设两个平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点，那么这两个平面重合，所以D错误；两条平行直线确定一个平面，梯形的一组对边平行，则梯形一定是平面图形，所以C正确．3．空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面()A．可能有3个，也可能有2个B．可能有4个，也可能有3个C．可能有3个，也可能有1个D．可能有4个，也可能有1个答案 D解析4个点可能在同一平面内，也可能不共面，任意两点之间连线组成四面体，所以平面个数为1个或4个．4．对于直线m，n和平面α，β能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β答案 C5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，知B 正确．6．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，在下列条件下，不能判定a⊥b的是() A．α⊥β，a⊥α，b⊥βB．α∥β，a⊥α，b⊂βC．α⊥β，a∥α，b∥βD．α⊥β，a⊥α，b∥α答案 C7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角，连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60°，选C.8．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于()A．4πB．3πC．2πD．π答案 A解析如图，以SA，AB，BC为棱长构造长方体，得体对角线长为12＋12＋（2）2＝2R，所以R＝1，S＝4πR2＝4π.9．正方体ABCD－A1B1C1D1，二面角C1－AB－C的平面角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 B10．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设正方形边长为a.在△AMD中，AD＝a，AM＝32a，DM＝a 2，∴AD2＝DM2＋AM2.∴∠AMD＝90°.11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D1D．A1A答案 B解析因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以可证BD⊥平面ACC1A1，又CE⊂平面ACC1A1，则CE⊥BD.12．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体A－BCD的四个面中，互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案 C解析由AB⊥BD，面ABD⊥面BCD，可知AB⊥面BCD，从而有面ABC⊥面BCD；又CD⊥BD，面ABD⊥面BCD，故CD⊥面ABD，从而可得面ABD⊥面ACD.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知二面角α－l－β的大小为60°，若直线a⊥α，直线b⊥β，则异面直线a，b所成的角是________．答案60°14．已知△ABC和直线l，若l⊥AB，l⊥BC，则l和AC的关系是________．答案垂直解析∵l⊥AB，l⊥BC，AB∩BC＝B，∴l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.15．如图所示，四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.其中真命题的序号是________(写出所有真命题序号)．答案①④解析①中取BC中点E，连接AE，DE.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AE⊥BC，DE⊥BC.∵AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD.④中过A向平面BCD内作垂线，垂足为O，连接BO，CO，DO，可证O为△BCD的垂心．∴BC⊥DO.又BC⊥AO，∴BC⊥平面ADO，又AD⊂平面ADO，∴BC⊥AD.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点．求证：平面MDB1∥平面ANC.证明如图，连接MN.∵M，N分别是其所在棱的中点，∴四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形．∴MB1∥AN，CN∥MD.又∵MB1⊂平面MDB1，MD⊂平面MDB1，MB1∩MD＝M，∴MB1∥平面ANC，MD∥平面ANC.∴平面MDB1∥平面ANC.18．(12分)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE＝EC，D是AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，DB与BC是平面ABC内的两条相交线，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.19．(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE 与平面ABCD所成角的正切值．解析 过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF. ∵EF ⊥平面ABCD ，∴∠EDF 是直线DE 与平面ABCD 所成的角． 由题意，得EF ＝12CC 1＝1.∵CF ＝12CB ＝1，∴DF ＝ 5.∵EF ⊥DF ，∴tan ∠EDF ＝EF DF ＝55. 20．(12分)如图，直三棱柱ABC －A′B′C′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点． (1)证明：MN ∥平面A′ACC′； (2)求三棱锥A′－MNC 的体积．解析 (1)证明：方法一：连接AB′，AC ′，因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，所以三棱柱ABC －A′B′C′为直三棱柱，所以M 为AB′的中点． 又因为N 为B′C′的中点，所以MN ∥AC′. 又MN ⊄平面A′ACC′，AC ′⊂平面A′ACC′， 因此MN ∥平面A′ACC′.方法二：取A′B′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′. 因为M ，N 分别为AB′与B′C′的中点，所以MP ∥AA′，PN ∥A ′C ′.所以MP ∥平面A′ACC′， PN ∥平面A′ACC′.又MP ∩NP ＝P ， 因此平面MPN ∥平面A′ACC′.又因MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A′ACC′.(2)方法一：连接BN ，由题意A′N ⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B ′BCC ′＝B′C′，所以A′N ⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故V A′－MNC＝V N－A′MC＝12V N－A′BC＝12V A′－NBC＝16.方法二：V A′－MNC＝V A′－NBC－V M－NBC＝12V A′－NBC＝1 6.21.(12分)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．解析(1)证明：如右图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.∵CD∥AB，∴BE⊥AB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BE.∵PA∩AB＝A，∴BE⊥平面PAB.又∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB.(2)∵BE⊥平面PAB，∴BE⊥PB.∴∠ABP是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝3，tan∠ABP＝3，∴∠ABP＝60°.∴二面角A－BE－P的大小是60°.22．(12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．解析由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，且AB＝BC＝BF ＝2，DE＝CF＝22，∠CBF＝90°.(1)证明：取BF的中点G，连接MG，NG，由M，N分别为AF，BC中点，可得NG∥CF，MG ∥EF ，∴面MNG ∥面CDEF ，∴MN ∥面CDEF. (2)取DE 中点为H ，连接AH ， ∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE.在直三棱柱ADE －BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，面ADE ∩面CDEF ＝DE ， ∴AH ⊥平面CDEF.∴多面体A －CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥． 在△ADE 中，AH ＝2，S 矩形CDEF ＝DE·EF ＝42， ∴棱锥A －CDEF 的体积V ＝13S 矩·AH ＝83.1.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点． (1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E －ABC 的体积V.解析 (1)证明：∵在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC. 又BC ∥AD ，∴EF ∥AD.又∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD.(2)连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ， 则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA.在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.2．已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心O 的距离等于球半径的一半，且AB ＝18 cm ，BC ＝24 cm ，AC ＝30 cm ，求球的体积和表面积． 解析 ∵AB 2＋BC 2＝AC 2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.∴过A，B，C三点的截面圆的半径为12AC＝15(cm)．设球的半径为R，则R2＝(R2＋152.2)∴R2＝300，∴R＝103(cm)．πR3＝4 0003π(cm3)，∴V球＝43S球＝4πR2＝1 200π(cm2)．。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业19高考调研精讲精练
课时作业(十九)1．两条不重合直线，其平行的条件是( ) A ．斜率相等 B ．斜率乘积等于－1 C ．倾斜角相等 D ．倾斜角的绝对值等于90°答案 C解析 当直线垂直于x 轴时，倾斜角为90°，斜率不存在，所以只要倾斜角相等，两条直线平行．2．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．1答案 A解析 l 1：经过两点(－1，2)，(－1，4)，倾斜角为90°， 又∵l 1∥l 2，∴l 2倾斜角也为90°，∴x ＝2.3．直线l 1，l 2的斜率分别为－1a ，－23，若l 1⊥l 2，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32C.23D.32 答案 A解析 l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，∴(－1a )·(－23)＝－1，∴a ＝－23，选A.4．若点P(a ，b)与Q(b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A ．135° B ．45° C ．30° D ．60° 答案 B解析 由题意知k PQ ＝a ＋1－bb －1－a ＝－1，k l ·k PQ ＝－1，∴k l ＝1，即l 的倾斜角为45°.故选B.5．(2017·陕西榆林高一测试)直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直答案 D解析 由韦达定理知，x 1x 2＝－1，∴l 1与l 2垂直．6．过点E(1，1)和点F(－1，0)的直线与过点M(－k 2，0)和点N(0，k4)的直线位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合答案 C解析 ∵k EF ＝1－01－（－1）＝12，k MN ＝k4－00－（－k 2）＝k4k 2＝12，∴选C.7．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．－45° D ．120°答案 B8．下列三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1，3)，(5，7)，(10，12) B ．(－1，4)，(2，1)，(－2，5) C ．(0，2)，(2，5)，(3，7) D ．(1，－1)，(3，3)，(5，7) 答案 C解析 分别计算第一点与第二点连线及第二点与第三点连线的斜率．9．过点(0，73)与点(7，0)的直线l 1，过点(2，1)与点(3，k ＋1)的直线l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 为( ) A ．3 B ．－3 C ．－6 D ．6答案 A解析 由题意知kl 1＝0－737－0＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2＝k ，l 1⊥l 2，即kl 1·kl 2＝－1，解得k ＝3.故选A.10．已知直线l 经过点(3，2)和(m ，n)．①若l 与x 轴平行，则m ，n 的取值情况是________； ②若l 与x 轴垂直，则m ，n 的取值情况是________． 答案 ①m ≠3，n ＝2； ②m ＝3，n ≠2.11．直线l 平行于经过点A(－4，1)，B(0，－3)的直线，则l 的倾斜角为________． 答案 135° 解析 由题意知k AB ＝－3－10－（－4）＝－1，∴直线AB 的倾斜角为135°，又直线l 平行于直线AB ，∴直线l 的倾斜角为135°.12．在▱ABCD 中，已知A(2，3)，B(5，3)，C(6，6)，则点D 坐标为________． 答案 (3，6)13．已知点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，那么下面四个结论中正确的序号为________．①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD. 答案 ①④解析 ∵k AB ＝－4－26－（－4）＝－35，k AC ＝6－212－（－4）＝14，k CD ＝12－62－12＝－35，k BD ＝12－（－4）2－6＝－4，∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，故填①④.14．已知A(1，－a ＋13)，B(0，－13)，C(2－2a ，1)，D(－a ，0)四点．(1)当a 为何值时，直线AB 和直线CD 平行？ (2)当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？解析 k AB ＝－13－（－a ＋13）0－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －（2－2a ）＝12－a (a ≠2)．(1)直线AB 与直线CD 平行，则k AB ＝k CD ，∴－a 3＝12－a ，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0－（－13）－3－0＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行不重合．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13＝k AB ，∴AB 与CD 重合．当a ＝2时，k AB ＝－23，k CD 不存在．∴AB 与CD 不平行．综上所述，当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)直线AB 与直线CD 垂直，则k AB k CD ＝－1，∴－a 3·12－a ＝－1，解得a ＝32.当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在．∴直线AB 与CD 不垂直．综上所述，当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直．15．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t ，2＋t)，R(－2t ，2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状并给出证明． 解析 四边形OPQR 为矩形，证明如下： OP 边所在直线斜率k OP ＝t. QR 边所在直线的斜率k QR ＝t. OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1t.PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝（2＋t ）－t （1－2t ）－1＝－1t .∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ. ∴四边形OPQR 为平行四边形． 又∵k QR ·k OR ＝t ×(－1t )＝－1，∴QR ⊥OR.∴四边形OPQR 为矩形．16．已知△ABC 的顶点坐标为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．解析 k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1.若AB ⊥AC ，则有－12·(－m ＋13)＝－1，所以m ＝－7；若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1，所以m ＝3；若AC ⊥BC ，则有－m ＋13·(m －1)＝－1，所以m ＝±2.综上可知，所求m 的值为－7，±2，3.1．下列说法中不正确的是( )A ．若两条不重合直线l 1与l 2的斜率相等，则l 1∥l 2B ．若直线l 1∥l 2，则两直线的斜率相等C ．若两条不重合直线l 1，l 2的斜率均不存在，则l 1∥l 2D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 答案 B解析 不重合直线的斜率相等，两条直线一定平行；两条直线平行，斜率不一定相等，当两条直线斜率不存在时，两条直线仍平行．2．(2017·广东肇庆期中)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形答案 C解析 ∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，则AB ⊥AC.故选C.3．不重合直线l 1和l 2的斜率分别是一元二次方程x 2－4x ＋4＝0的两个根，那么l 1和l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．不平行 D ．无法判断 答案 A解析 ∵k 1＝k 2＝2，又l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.4．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所构成的图形是( ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对 答案 B解析 由于k AB ＝k DC ，k AD ≠k BC ，k AD ·k AB ＝－1，故构成的图形为直角梯形．5．将直线l 沿x 轴的正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到原来的位置，则直线l 的斜率是________． 答案 －326．已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求顶点D 的坐标．解析 由题意可得矩形ABCD 各边所在直线的斜率均存在，设D 的坐标为(x ，y)． ∵AD ⊥CD ，AD ∥BC ，∴k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC .∴⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴顶点D 的坐标为(2，3)．。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业20高考调研精讲精练
课时作业(二十)1．过点P(－2，0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)答案 D2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 C解析直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.3．(2017·合肥一中检测)已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为()A．y＝3x＋2 B．y＝－3x＋2C．y＝－3x－2 D．y＝3x－2答案 D解析直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式直接写方程．4．直线y＝－x＋b一定经过()A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限答案 B5.方程y＝k(x－2)表示()A．通过点(－2，0)的所有直线B．通过点(2，0)的所有直线C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的直线D．通过点(2，0)且除去x轴的直线答案 C解析直线x＝2也过(2，0)，但不能用y＝k(x－2)表示．6．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线是()A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)答案 C7．过点(1，3)且斜率不存在的直线方程为()A．x＝1 B．x＝3C．y＝1 D．y＝3答案 A解析紧扣直线的斜率不存在这一条件，从而直线必与x轴垂直．8．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，点O(0，0)，A(1，3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)答案 D解析由对称性知B的坐标为(2，0)．9．直线y＝kx＋b(b≠0)不过第二象限，则()A．kb<0 B．kb≤0C．kb>0 D．kb≥0答案 B解析由于直线y＝kx＋b(b≠0)不过第二象限，所以必须要求kb≤0.10．如图，在同一坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()答案 C解析方法一：(1)当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；(2)当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；(3)当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角且过原点，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距a<0，C项正确．方法二：(排除法)A 选项中：直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a<0，所以不满足．同理可排除B ，D ，从而得C 正确． 11．过点(2，1)，且倾斜角α满足tan α＝43的直线方程是________．答案 y ＝43x －5312．已知直线l 1：y ＝3x ＋5，将直线l 1向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到直线l 2，则直线l 2的方程是________． 答案 y ＝3x －9解析 根据直线y ＝kx ＋b 的平移规律，可得直线l 2的方程为y ＝3(x －4)＋5－2，即y ＝3x －9.13．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________． 答案 5 2解析 由题意知，直线l 过点(4，－1)且斜率为1，则方程为y ＋1＝x －4，即y ＝x －5，与x 轴，y 轴的交点分别为(5，0)，(0，－5)，∴直线l 被坐标轴截得的线段长为5 2.14．光线自点M(2，3)射到y 轴的点N(0，1)后被y 轴反射，求反射光线所在直线的方程．解析 根据物理学知识，入射角等于反射角， 可确定反射线的斜率．如图所示，入射线经过M ，N 点，其斜率是k ＝3－12－0＝1，∴倾斜角为45°，即∠MNP ＝45°.由物理学知识，得∠M ′NP ＝45°，即反射线的倾斜角为135°，其斜率为－1. ∴反射线所在直线的方程为y －1＝－1(x －0)， 即y ＝－x ＋1.15．直线l 经过点P(－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程．解析 设A ，B 两点的坐标分别为(a ，0)和(0，b)．因为点P(－2，3)为线段AB 的中点，由中点坐标公式可得a ＝－4，b ＝6，∴直线l 的方程为y ＝32x ＋6.16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0. (1)若l 在两个坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求a 的取值范围．解析 (1)l ：(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0，当x ＝0时，y ＝a －2，当y ＝0时，x ＝a －2a ＋1.∴a －2＝a －2a ＋1，∴a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴直线方程为x ＋y ＋2＝0或3x ＋y ＝0.(2)∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，－（2－a ）≤0.∴a ≤－1.17．(1)求斜率为34，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程．(2)求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线l 的方程．解析 (1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，易求直线l 与x ，y 轴的交点分别为A(－43b ，0)，B(0，b)，∴|AB|＝（－43b ）2＋b 2＝53|b|.∴53|b|＋43|b|＋|b|＝12，∴b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝34x ±3.(2)由直线l 与直线y ＝43x ＋53垂直，可设直线l 的方程为y ＝－34x ＋b ，则直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为x 0＝43b ，y 0＝b.又因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以S ＝12|x 0||y 0|＝24，即12⎪⎪⎪⎪43b |b|＝24，b 2＝36，解得b ＝6，或b ＝－6. 故所求的直线方程为y ＝－34x ＋6，或y ＝－34x －6.1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角和所过的定点为( ) A ．60°，(1，2) B ．120°，(－1，2) C ．60°，(－1，2)D ．120°，(－1，－2)答案 B2．直线2x －3y ＝6在x 轴，y 轴上的截距分别为( ) A ．3，2 B ．－3，0 C ．3，－2 D ．－3，－2答案 C解析 当x ＝0时，y ＝－2；当y ＝0时，x ＝3.3．已知直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k>0，b>0 B ．k>0，b<0 C ．k<0，b>0 D ．k<0，b<0 答案 B解析 若y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则必有斜率k>0，在y 轴上的截距b<0，选B. 4．在△ABC 中，已知A(1，－4)，B(2，6)，C(－2，0)，AD ⊥BC 于点D ，求直线AD 的点斜式方程．解析 显然，直线AD 的斜率存在． 设直线AD 的方程为y ＋4＝k AD (x －1)． 由题意知k BC ＝6－02－（－2）＝32.∵AD ⊥BC ，∴k AD ·k BC ＝－1，∴k AD ＝－23.故直线AD 的点斜式方程为y ＋4＝－23(x －1)．5．过A(4，3)点的四条直线的倾斜角的比是1∶2∶3∶4，第二条直线过原点，求这四条直线的方程．答案 l 1：x －3y ＋5＝0，l 2：3x －4y ＝0， l 3：13x －9y －25＝0，l 4：24x －7y －75＝0.6．直线l 过点P(2，－3)，倾斜角比直线y ＝2x －1的倾斜角大45°，求直线l 的方程． 解析 设直线l 的倾斜角为α，直线y ＝2x －1的倾斜角为β，则有tan β＝2，α＝β＋45°. ∴k ＝tan α＝tan(β＋45°)＝tan β＋tan45°1－tan βtan45°＝2＋11－2×1＝－3.又因为直线l 过点P(2，－3)， 所以直线方程为3x ＋y －3＝0.7．等腰三角形ABC 的顶点A(－1，2)，AC 的斜率为3，点B(－3，2)，求直线AC ，BC及∠A的平分线所在的直线方程．解析AC：y＝3x＋2＋ 3.∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，∴BC的倾斜角α为30°或120°.当α＝30°时，BC的方程为y＝33x＋2＋3，∠A平分线的倾斜角为120°，∴∠A的平分线所在直线方程为y＝－3x＋2－ 3.当α＝120°时，BC的方程为y＝－3x＋2－33，∠A平分线的倾斜角为30°，∴∠A的平分线所在直线方程为y＝33x＋2＋3 3.。
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模块综合测试卷(一)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．给出下列命题：①在所有的棱柱中，互相平行的面最多有三对；②三个面不能围成几何体；③各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥的底面是正方形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ①不对，因为有的六棱柱中有四对互相平行的面；③不对，因为底面有可能为菱形，∴②④正确．2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．不在同一平面内D ．A ，B ，C 均有可能 答案 D解析 可以利用正方体加以验证．3．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为( ) A ．52π B ．34π C ．45π D ．37π 答案 A解析 环绕一周得到的是一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥、圆柱的底面半径为r ＝4，圆柱高为2，圆柱母线长为l 1＝2，圆锥母线长为l 2＝5，所以所求表面积S ＝2πrl 1＋πr 2＋πrl 2＝52π.4．直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＋2x ＝0只在第二象限有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．[34，1]B ．[34，1)C ．[34，＋∞)D ．(－∞，1) 答案 B解析 由题意可知y ＝kx ＋2恒过点(0，2)，要使直线与圆只在第二象限有公共点，则k ∈[k 1，k 2)．由题意得y ＝k 2x ＋2过(－2，0)，(0，2)两点，∴k 2＝1.又圆心为(－1，0)，∴圆心到y ＝k 1x ＋2的距离d ＝|－k 1＋2|k 12＋1＝1，∴k 1＝34，∴k ∈[34，1)．5．过点P(1，1)作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为10，则直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 D解析 通过直线的截距式，再作对称即可以发现有4条．6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n. ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ. ③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β.④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误．②正确．③m ∥α或m ⊂α，m ∥β或m ⊂β，故③错误．④α，β的关系不确定，故④错误．故选B.7．若方程x 2＋y 2＋x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则k 的取值范围是( ) A ．k>12B ．k<12C ．0<k<12D ．k ≤12答案 B解析 通过圆的一般方程的判断即可解决．8．若圆C 1的方程是x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，圆C 2的方程是x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，则两圆的公切线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．1条 答案 D解析 通过判断两圆的关系即可解决．9．直线y ＝x ＋1与直线y ＝ax ＋1的交点的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．随a 的值变化而变化答案 D解析 若a ＝1，则有无数个交点；若a ≠1，则有一个交点．10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－43，0]B ．[0，34]C ．[0，43]D ．(0，43]答案 C解析 圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，圆心C(4，0)，半径r ＝1.∵直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴圆心C(4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43.11．如图，在多面体ABC-DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，EF ∥DG ，且AB ＝DE ，DG ＝2EF ，则( )A ．BF ∥平面ACGDB ．CF ∥平面ABEDC ．BC ∥FGD ．平面ABED ∥平面CGF答案 A解析 取DG 的中点M ，连接AM ，FM ，如图所示． 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，∴DE 綊FM.∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ，∴AB ∥DE ，∴AB ∥FM.又AB ＝DE ，∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形，即BF ∥AM.又AM ⊂平面ACGD ，BF ⊄平面ACGD ，∴BF ∥平面ACGD.故选A.12．正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题正确的是( )①AH ⊥平面CB 1D 1 ②AH ＝13AC 1③点H 是△A 1BD 的垂心 ④AH ∥平面BDC 1 A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④答案 A解析 如图，∵CD 1∥BA 1，CB 1∥DA 1，CD 1∩CB 1＝C ，BA 1∩DA 1＝A 1，∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，又AH ⊥面A 1BD. ∴AH ⊥面CB 1D 1，故①正确． ∵V A 1-ABD ＝V A-A 1BD. ∴13·AH ·S △A 1BD ＝13·AA 1·S △ABD ， ∴AH ＝33，∴AH ＝13AC 1，故②正确． ∵AA 1，AB ，AD 两两相互垂直，∴H 为△A 1BD 的垂心，故③正确． 由题知H 点在线段AC 1上，故④不正确．故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0是圆的两条切线，则该圆的面积是__________． 答案932π 解析 ∵直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0平行， ∴两平行直线间的距离即为圆的直径，∴2R ＝⎪⎪⎪⎪1＋122＝324.∴R ＝328，S 圆＝πR 2＝932π.14．过点P(3，6)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8的直线方程为__________________． 答案 3x －4y ＋15＝0或x ＝3解析 当斜率不存在时，显然成立．斜率存在时，由距离公式可得斜率为0.75.15．光线由点(－1，4)射出，遇直线2x ＋3y －6＝0被反射，已知反射光线过点(3，6213)，则反射光线所在直线方程为__________． 答案 13x －26y ＋85＝0解析 先求P(－1，4)点关于直线2x ＋3y －6＝0的对称点Q ，然后利用点Q 与点(3，6213)在反射光线所在直线上就可以解决．16．已知m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行α内所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β； ⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l.其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 答案 ①④解析 通过正方体验证．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，问：当m 为何值时，l 1与l 2①相交；②平行；③重合．解析 若m ＝0，l 1：x ＝－6，l 2：2x －3y ＝0，此时l 1与l 2相交； 若m ≠0，由m －21＝3m ，有m ＝－1或m ＝3，由3m ＝2m6，有m ＝±3.故①当m ≠1且m ≠3时，m －21≠3m ，l 1与l 2相交；②当m ＝－1时，m －21＝3m ≠2m6，l 1与l 2平行；③当m ＝3时，m －21＝3m ＝2m6，l 1与l 2重合．18．(本小题满分12分)如图，多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC ∥DG ∥EF ，BC ∥FG ，且AC ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：CF ⊥平面BDG ； (2)求多面体ABCDEFG 的表面积． 解析 (1)证明：如图，连接AE ，EG ， ∵BC ∥FG ，∴B ，C ，G ，F 四点共面． 在Rt △BAC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝5，GF ＝DE 2＋（DG －EF ）2＝5，即BC ＝GF ＝5，同理可证BF ＝CG ＝ 5. ∴四边形BCGF 是菱形，∴CF ⊥BG ，∵AC ∥EF ，AC ＝EF ＝1，∴四边形AEFC 是平行四边形，∴AE ∥CF ， 在正方形ABED 中，AE ⊥BD ，故CF ⊥BD. 又BG ∩BD ＝B ，∴CF ⊥平面BDG. (2)BG ＝BE 2＋EG 2＝BE 2＋ED 2＋DG 2＝22＋22＋22＝23，CF ＝AE ＝AB 2＋BE 2＝22，∴S 棱形BFGC ＝12×BG ×CF ＝12×22×23＝26，∴多面体ABCDEFG 的表面积S ＝S △ABC ＋S 梯形DEFG ＋S 正方形ABED ＋S 梯形ADGC ＋S △BEF ＋S 菱形BFGC ＝12AB ·AC ＋12(EF ＋DG)·DE ＋DE 2＋12(AC ＋DG)·AD ＋12BE ·EF ＋26 ＝1＋3＋4＋3＋1＋26 ＝12＋2 619．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，面PAD ⊥面ABCD ，E ，F 分别为PC 和BD 的中点．(1)证明：EF∥面PAD；(2)证明：面PDC⊥面PAD.证明(1)如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F.又E是PC的中点，∴EF∥AP.∵EF在面PAD外，PA在面PAD内，∴EF∥面PAD.(2)∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥面PAD.又AP⊂面PAD，∴AP⊥CD.又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，∴AP⊥面PCD.又AP⊂面PAD，∴面PDC⊥面PAD.20.(本小题满分12分)自点P(－3，3)发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求入射光线l所在直线的方程．解析设入射光线l所在的直线方程为y－3＝k(x＋3)，反射光线所在直线的斜率为k1，根据入射角等于反射角，得k＝－k1，而点P(－3，3)关于x轴的对称点P1(－3，－3)，根据对称性，点P 1在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线l 1的方程为y ＋3＝－k(x ＋3)，即kx ＋y ＋3＋3k ＝0，又此直线与已知圆相切，所以圆心到直线l 1的距离等于半径r ，因为圆心为(2，2)，半径为1，所以|2k ＋2＋3＋3k|1＋k 2＝1，解得k ＝－34或k ＝－43.故入射光线l 所在的直线方程为y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.21．(本小题满分12分)设M 是圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0上一动点，O 是原点，N 是射线OM 上一点，若|OM|·|ON|＝120，求N 点的轨迹方程． 解析 设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x ，y)， 由题意|OM|·|ON|＝120， 得x 12＋y 12·x 2＋y 2＝120.①当M 不在y 轴上时，x 1≠0，x ≠0，于是有y x ＝y 1x 1.设y x ＝y 1x 1＝k ，代入①，化简得|x 1x|(1＋k 2)＝120. 因x 1与x 同号，于是x 1＝120（1＋k 2）x ，y 1＝120k（1＋k 2）x ， 代入x 2＋y 2－6x －8y ＝0并化简，可得3x ＋4y －60＝0(x ≠0)． 当x 1＝0时，y 1＝8，点N(0，15)也在直线3x ＋4y －60＝0上， 所以，点N 的轨迹方程为3x ＋4y －60＝0.22．(本小题满分12分)求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．解析 由题意，设所求圆的方程为圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为C 1(a ，4)，或C 2(a ，－4)． 又已知圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的圆心A 的坐标为(2，1)，半径为3. 若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，或|CA|＝4－3＝1. (1)当圆心为C 1(a ，4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72， 或(a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a ＝2±210.∴所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16.(2)圆心为当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2 6.∴所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)单元卷1高考调研精讲精练
第一章测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面答案 C2．如图所示的直观图的原平面图形是()A．任意三角形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形答案 B3．一个正方体的体对角线长为l，那么这个正方体的全面积为() A．22l2B．2l2C．23l2D．32l2答案 B解析设正方体棱长为a，则l＝3a，∴a＝3 3l.S＝6a2＝2l2.故选B.4．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是()答案 D5.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．6C．快D．乐答案 B解析如图所示，将题图折成正方体，可得2的下面是6.6．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为( ) A.π2 B ．π C.32π D.3π答案 C解析 方法一：如图①，AD ＝62，AO ＝23AD ＝63，SO ＝SA 2－AO 2＝233.∴R 2＝(23 3－R)2＋(63)2，∴R ＝32.球的体积为43πR 3＝43π×(32)3＝32π.方法二：构造棱长为1的正方体如图②，则C 1A 1BD 为棱长为2的正四面体，正方体的外接球也为正四面体的外接球．此时球的直径为3，因此球的体积为32π. 7．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a ，则它的底面积为( ) A.a 5 B.a 3 C.a 2 D.a 4答案 A解析 设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，则2πr ＝l·π2，故l ＝4r ，由题意知πrl ＋πr 2＝a ，所以πr 2＝a5.8．如果有底的圆柱底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．2∶1 D ．1∶1 答案 A解析 设球的半径为r ，则S 柱∶S 球＝[2πr 2＋2πr ·(2r)]∶4πr 2＝3∶2.故选A.9．一个圆台的上、下底面面积分别是1 cm 2和49 cm 2，一个平行底面的截面面积为25 cm 2，则这个截面与上、下底面的距离之比是( ) A ．2∶1 B ．3∶1 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 将圆台扩展为圆锥，轴截面如图． 由题知，r 1∶r 3＝1∶7，r 2∶r 3＝5∶7， ∴h 2＋h 3＝6h 1，h 2＝4h 1，∴h 3＝2h 1，∴这个截面与上、下底面距离比为2∶1.故选A.10．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则大球的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．434π D ．832π 答案 C解析 大球的体积是2×4π3×13＝8π3，设大球的半径为R ，则有4π3R 3＝8π3，解得R ＝32，所以大球的表面积为4π(32)2＝434π.故选C.11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，2，3，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．6π B ．12π C ．18π D ．24π 答案 A解析 将三棱锥补成边长分别为1，2，3的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R ＝6，解得R ＝62，故S ＝4πR 2＝6π. 12.如图所示，已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1.若在三角形内挖去一个半圆(圆心O 在边AC 上，半圆分别与BC ，AB 相切于点C ，M ，与AC 交于点N)，则图中阴影部分绕直线C 旋转一周所得的旋转体的体积为( ) A.33π B.5327π C.4327π D.539π答案 B解析 设半圆的半径OC ＝OM ＝r ，AO ＝OM sin30°＝2r ，则AC ＝AO ＋OC ＝3r ＝3，∴r ＝33，故旋转体的体积为V ＝13×3(π×12)－4π3×(33)3＝5327π.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积等于________．(铁皮厚度忽略不计)． 答案15π3解析 如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l 等于正方形的边长4，扇形的弧长＝14×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2πr ＝2π，所以r ＝1，所以h ＝l 2－r 2＝15，所以圆锥的容积为13πr 2h ＝15π3.14．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为________． 答案 43π 解析 2R ＝（62×2）2＋（6）2＝23，∴R ＝3，V 球＝43πR 3＝43π. 15．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是________ cm. 答案 616.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为________，________． 答案 32 32解析 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝4π3R 3，∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32.∵S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，∴S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，圆锥SAB 的底面半径为R ，母线长SA ＝3R ，D 为SA 的中点，一个动点自底面圆周上的A 点沿圆锥侧面移动到D.求这点移动的最短距离． 解析 如图，圆锥侧面展开为扇形，对应的弧长为底面周长2πR ，动点移动的最短距离为AD. 设∠ASD ＝α，则2πR ＝3R·α ∴α＝23π.在△SAD 中由余弦定理得：AD 2＝SA 2＋SD 2－2SA·SD·cos α＝634R 2∴AD ＝372R.18．(12分)正方体的每条棱长都增加1 cm ，它的体积扩大为原来的8倍，求此正方体的棱长．解析 利用待定系数法求解．设出正方体的棱长，根据体积扩大为原来的8倍列方程，解方程得正方体的棱长．设正方体的棱长为a cm ，由题意，得(a ＋1)3＝8a 3，解得a ＝1，即此正方体的棱长为1 cm. 19．(12分)如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解析 该四边形的原图形，如下图所示．这是一个底边长为2，高为2的平行四边形，故原图面积为2 2. 20．(12分)已知六棱锥P-ABCDEF ，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm ，侧棱长为3 cm ，求六棱锥P-ABCDEF 的表面积和体积． 解析 先求底面正六边形的面积，S 六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2×2sin60°＝63cm 2，S 侧面＝6S △PCD ＝6×12×2×PC 2－（CD2）2＝632－12＝122cm 2，∴S P-ABCDEF ＝S 六边形ABCDEF ＋S 侧面＝(63＋122) cm 2. 在Rt △POC 中， PO ＝PC 2－OC 2＝PC 2－BC 2＝9－4＝ 5 cm ，∴V 六棱锥P-ABCDEF ＝13Sh ＝13×63×5＝215 cm 3.21．(12分)如图所示，四边形ABCD 是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．解析 由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半球面面积． 因为S 半球面＝12×4π×22＝8π cm 2，S 圆台侧＝π(2＋5)（5－2）2＋42＝35π cm 2，S 圆台下底＝π×52＝25π cm 2，所以表面积为8π＋35π＋25π＝68π cm 2.又因为V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π cm 3，V 半球＝12×4π3×23＝16π3cm 3，所以该几何体的体积为V 圆台V 半球＝140π3cm 3.22．(12分)如图，是从上下底面处在水平状态下的棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中分离出来的．(1)∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，对吗？ (2)∠A 1C 1D 的真实度数是60°，对吗？(3)设BC ＝1 cm ，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？ 解析 (1)对； (2)对；(3)由题意知，以平面B 1CD 1为水平面，可盛最多体积的水，此时V 水＝V C 1-B 1D 1C ＝V C-B 1C 1D 1＝13×12×1×1×1＝16(cm 3)． ∴最多能盛16cm 3的水．1．在正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积之比为( ) A. 3 B. 2 C.62D.33答案 A解析 如图，设正方体的棱长为a ，则正四面体AB 1D 1C 的所有棱长均为2a.正方体的表面积S 1＝6a 2，正四面体的表面积S 2＝4×34×(2a)2＝23a 2. ∴S 1∶S 2＝6a 2∶23a 2＝3∶1.2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.41613π3cm 3答案 C解析 设球的半径为R ，则32＋42＝R 2，故R ＝5 cm. 所以球的体积为V ＝43πR 3＝43π×125＝500π3 cm 3.。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业29高考调研精讲精练
课时作业(二十九)1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B中的元素个数为()A．4B．3C．2 D．1答案 C2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝() A．4 B．4 2C．8 D．8 2答案 C解析因为两圆都和两坐标轴相切，且都经过点(－4，1)，所以两圆圆心均在第一象限的角平分线上．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，所以a ＋b＝10，ab＝17，所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，所以|C1C2|＝（a＋b）2＋（a－b）2＝32×2＝8.3．已知曲线C：y＝－x2－2x与直线l：x＋y－m＝0有两个交点，则m的取值范围是() A．(－2－1，2) B．(－2，2－1)C．[0，2－1) D．(0，2－1)答案 C解析曲线C是圆x2＋y2＋2x＝0位于x轴上方的半圆，m是直线l：x＋y－m＝0在y轴上的截距，利用数形结合可得m的取值范围是[0，2－1)．故选C.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.0米C．3.6米D．4.5米答案 C解析如图所示，通过勾股定理解得|OD|＝OC2－CD2＝3.6(米)．故选C.5．若圆B ：x 2＋y 2＋b ＝0与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 b<－1006．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB|＝3，则OA →·OB →＝________． 答案 －12解析 由于圆的半径为1，|AB|＝3，所以O 到直线的距离为12，∠AOB ＝120°，|OA|＝|OB|＝1.所以向量OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos120°＝－12.7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解析 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到直线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径r ＝3， ∴d>r ，即直线与圆相离，∴轮船不会受到台风的影响．8.如图所示，过圆外一点P(a ，b)作圆x 2＋y 2＝k 2的两条切线，切点为A ，B ，求直线AB 的方程．解析 设切点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则切线AP ，BP 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝k 2，x 2x ＋y 2y ＝k 2. ∵这两条切线都过点P(a ，b)， ∴ax 1＋by 1＝k 2，ax 2＋by 2＝k 2.由以上二式可以看出：A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标都适合方程ax ＋by ＝k 2，它是一条直线方程，而过A ，B 的直线只有一条， ∴直线AB 的方程为ax ＋by ＝k 2.9．已知圆x 2＋y 2＝8，定点P(4，0)，问过P 点的直线的倾斜角在什么范围内取值时，该直线与已知圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离，并写出过点P 的切线方程．解析 设直线的斜率为k ，倾斜角为α，则过点P 的直线方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.又圆心到直线的距离d ＝|－4k| k 2＋1＝|4k|1＋k 2，(1)直线与已知圆相切，则d ＝4，∴4|k|1＋k 2＝22，∴k 2＝1，k ＝±1，∴α＝π4或α＝3π4.即当α＝π4或α＝3π4时，直线与圆相切，切线方程为x －y －4＝0或x ＋y －4＝0. (2)直线与已知圆相交，则d<r ，∴4|k|1＋k 2<22，∴k 2<1，∴－1<k<1，∴α∈[0，π4)∪(3π4，π)．此时，直线与圆相交．(3)直线与已知圆相离，则d>r ，∴4|k|1＋k 2>22，∴k 2>1，∴k>1或k<－1. ∴α∈(π4，π2)∪(π2，3π4)．又当α＝π2时，直线x ＝4与圆相离，∴α∈(π4，3π4) 时，直线与圆相离．10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．解析 将x ＝3－2y 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1，y 2满足条件y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5. ∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2， ∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2.∴9－6×4＋5×12＋m5＝0，解得m ＝3.此时Δ>0，圆心坐标为(－12，3)，半径r ＝52.11．若实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0， (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值． 解析 方法一：(1)圆方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2，0)为圆心，半径为3的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时有|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3，故yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x)max ＝－2＋6，(y －x)min ＝－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为3， 故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.方法二：设x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ，θ∈[0，2π)， (1)设yx ＝u ，则u ＝3sin θ2＋3cos θ.∴2u ＋3ucos θ＝3sin θ，∴3sin θ－3ucos θ＝2u. sin(θ－φ)＝2u 3·u 2＋1，(sin φ＝u u 2＋1，cos φ＝1u 2＋1)∵|sin(θ－φ)|≤1，∴2|u|3·u 2＋1≤1.解之得－3≤u ≤3，故yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x ＝3sin θ－2－3cos θ＝－2＋6sin(θ－π4)．∵－1≤sin(θ－π4)≤1，故(y －x)max ＝－2＋6，(y －x)min ＝－2－ 6. (3)x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ， 故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.1．自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．解析 设光线l 所在的直线的斜率为k ，由光学原理可知，反射光线所在的直线的斜率为－k ，且反射光线所在的直线经过点A ′且点A ′关于x 轴的对称点为点A(－3，3)，故过A ′(－3，－3)的反射光线所在直线的方程为y ＋3＝－k(x ＋3)，即kx ＋y ＋3k ＋3＝0，依题意，它与圆(x －2)2＋(y －2)2＝1相切，所以|2k ＋2＋3k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或－34，故光线l 所在的直线方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.2．已知A(－2，0)，B(2，0)，点C ，D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)，求点D 的轨迹方程．解析 设C 坐标为(x 1，y 1)，D 坐标为(x ，y)， 由|AC →|＝2，得(x 1＋2)2＋y 12＝4.① 又由向量AD →＝12(AB →＋AC →)，可得(x ＋2，y)＝（4，0）＋（x 1＋2，y 1）2，即(2x ＋4，2y)＝(6＋x 1，y 1)， 则有2x ＋4＝6＋x 1，2y ＝y 1， 即2x －2＝x 1，2y ＝y 1.②把②式代入①式得，(2x)2＋(2y)2＝4化简得x 2＋y 2＝1，即为点D 的轨迹方程．3．平面上两点A(－1，0)，B(1，0)，在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4上取一点P ，求使|AP|2＋|BP|2取得最小值时点P 的坐标．解析 因为P 在圆C 上，所以可设P(3＋2cos θ，4＋2sin θ)． 又因为A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|2＋|BP|2＝(3＋2cos θ＋1)2＋(4＋2sin θ)2＋(3＋2cos θ－1)2＋(4＋2sin θ)2＝60＋32sin θ＋24cos θ＝60＋40sin(θ＋φ)(tan φ＝34)．当sin(θ＋φ)＝－1，(|AP|2＋|BP|2)min ＝20.此时60＋24cos θ＋32sin θ＝20，即3cos θ＋4sin θ＝－5.又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得cos θ＝－35，sin θ＝－45，则P(95，165)．4．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t ＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程；(4)若点P(3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围． 解析 原方程可整理为[x －(t ＋3)]2＋[y ＋(1－4t 2)]2＝－7t 2＋6t ＋1. (1)r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，解得－17<t<1.(2)设圆心坐标为P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝4t 2－1，消t 可得y ＝4x 2－24x ＋35，此即为圆心轨迹方程． (3)求圆面积最大即求圆半径最大，半径的平方最大． r 2＝－7t 2＋6t ＋1＝－7(t －37)2＋167，所以当t ＝37时，r 2最大为167，此时圆的面积最大，圆的方程为(x －247)2＋(y ＋3649)2＝167.(4)要使点P(3，4t 2)恒在所给圆内，那么把P 点坐标代入圆方程应满足[3－(t ＋3)]2＋[4t 2＋(1－4t 2)]2＋7t 2－6t －1<0，即8t 2－6t<0，解得0<t<34.5.如图，已知定点A(2，0)，点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程． 解析 由三角形角平分线性质，得 |QM||MA|＝|OQ||OA|＝12，∴|QM||MA|＝12. 设M ，Q 的坐标分别为(x ，y)，(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12×21＋12，y ＝y 0＋12×01＋12，⇒⎩⎨⎧x 0＝32x －1，y 0＝32y.因为Q 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 02＋y 02＝1.所以(32x －1)2＋(32y)2＝1，所以动点M 的轨迹方程为(x －23)2＋y 2＝49.6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆C 外一点P(x ，y)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P 的坐标．解析 (1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心(－1，2)，r ＝ 2.设圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，①当a ＝b ＝0时，切线方程可设为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由点到直线的距离公式，得2＝|－k －2|k 2＋1⇒k ＝2±6. 所以切线方程为y ＝(2±6)x.②当a ＝b ≠0时，切线方程为x a ＋yb ＝1，即x ＋y －a ＝0.由点到直线的距离公式，得 2＝|－1＋2－a|12＋12⇒a ＝－1，a ＝3.所以切线方程为x ＋y ＋1＝0，x ＋y －3＝0. 综上，所求切线方程为y ＝(2±6)x ，x ＋y ＋1＝0，x ＋y －3＝0. (2)连接MC ，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2， ∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－|MC|2＝|PO|2.即(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2. 整理得x ＝2y －32.∴|PM|＝|PO|＝x 2＋y 2＝（2y －32）2＋y 2＝5y 2－6y ＋94.当y ＝－－610＝35时，|PM|最小，此时x ＝－310， ∴P(－310，35)．。
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第二册) 9
9.1 随机抽样(精练)【题组一基本概念】1．(2021·天津河西·高一期末)下列情况适合用全面调查的是( )A．了解一批玉米种子的发芽率B．了解某城市居民的食品消费结构C．调查一个县各村的粮食播种面积D．调查一条河的水质2．(2021·湖北孝感·高一期末)下列调查方式合适的是( )A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式D．为了了解一个班级的学生每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式3．(2021·全国·高一课时练习)为调查参加考试的1000名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A．1000名学生是总体B．每个学生是个体C．样本容量是100 D．抽取的100名学生是样本4．(2021·全国·高一课时练习)某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学的总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是A．总体是：1100名同学的总成绩B．个体是：每一名同学C．样本是：50名同学的总成绩D．样本容量是：505．(2021·全国·高一课时练习)为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是A．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007B．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007D．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是20076(2021·全国·高一课时练习)指出下列调查适合用普查还是抽查？并简单说明理由.(1)检验某厂生产的乒乓球的合格率；(2)测试某种绿豆的发芽率；(3)了解《新闻联播》在某省的收视率；(4)检查某批飞机零件的合格率；(5)审查自己某篇作文的错别字；(6)了解法国国民对2016年欧洲杯举办的满意程度.7．(2021·全国·高一课时练习)下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由(1)了解某城市居民的食品消费结构；(2)调查一个县各村的粮食播种面积；(3)了解某地区小学生中患沙眼的人数；(4)了解一批玉米种子的发芽率；(5)调查一条河流的水质；(6)某企业想了解其产品在市场的占有率.【题组二简单随机抽样】1．(2021·全国·专题练习)福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，小明利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第7列数字开始由左到右依次读取数据，则选出来的第3个红色球的编号为( )A．06 B．17 C．20 D．242．(2021.贵州.金沙县第五中学 )某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01， (38)39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是( )0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179A．36 B．16 C．11 D．143．(2021·全国·高一课时练习)下列抽样方法是简单随机抽样的是( )A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾D．从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)4．(2021·全国·高一课时练习)下列抽样方法不是简单随机抽样的是( )A．从50个零件中逐个抽取5个做质量检验B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C．从实数集中随机抽取10个分析奇偶性D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道5．(2021·全国·高一课时练习)现要完成下列3项抽样调查：①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格．②某科研院所共有480名科研人员，其中具有高级职称的有48名，具有中级职称的有360名，具有初级职称的有72名．为了解该科研院所科研人员的创新能力，拟抽取一个样本容量为20的样本．③在中秋节前，某食品监督局从某品牌的10盒月饼中随机抽取3盒进行食品卫生检查．较为合理的抽样方法是( )A．①③简单随机抽样，②分层抽样B．①②简单随机抽样，③分层抽样C．②③简单随机抽样，①分层抽样D．①简单随机抽样，②③分层抽样6．(2021·全国·高一课时练习)(多选)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样为( )A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B．盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里C．从20件玩具中逐个抽取3件进行质量检验D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛【题组三分层抽样】1．(2021·江西九江)小张去年承包了村里的鱼塘养殖黑鱼，计划今年年初出售成年黑鱼．小张第一天从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，称得共重500斤，将这些鱼做上标记后重新放回鱼塘，第二天又从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，发现带有标记的黑鱼有8条已知目前市场上一斤黑鱼价格是18元，则可估计该鱼塘今年能产生的效益约为( )A．188000元B．205000元C．220000元D．225000元2．(2021·全国·高一课时练习)某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男、女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．抽签法B．按性别分层抽样C．随机数法D．按地区分层抽样3．(2021·全国·高一课时练习)某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且::2:5:3a b c ，全校参加登山的人数占总人数的14．为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取( )A ．15人B ．30人C ．40人D ．45人4(2021·全国·高一专题练习)简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是在抽样的过程中( )A ．每个个体被抽到的可能性相同B ．把总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分中抽取C ．将总体分成几层，按比例分层抽取D ．都可以把抽取到的样品放回后，继续抽取5．(2021·黑龙江·大庆中学高二开学考试)从一个容量为m (3m ≥，m N ∈)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是13，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是( )A ．15B ．14C ．12D ．136．(2021·全国·高一课时练习)已知数据123200,,,...,x x x x 的平均数是6，数据123300,,,...,y y y y 的平均数是20，则20030011500i i i i x y ==+=∑∑( )A ．13B ．14.4C ．15D ．15.47．(2021·全国·高一课时练习)从全校2000名小学女生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3cm ，则可以推测该校女生的身高( )A ．一定为148.3cmB ．高于148.3cmC ．低于148.3cmD ．约为148.3cm8．(2021·云南省楚雄天人中学高二月考(文))我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”.某校数学兴趣小组为了解本校学生对《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》阅读的情况，随机调查了100名学生，阅读情况统计如下表，则该100名学生中阅读过《九章算术》的人数为( )A．60 B．70 C．80 D．909．(2021·全国·高一课时练习)四书五经记载了我国古代思想文化发展史上政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的学生为了了解现在高一年级1040名学生(其中女生480名)对四书五经的研读情况，进行了一次问卷调查.用分层抽样的方法从高一年级学生中抽去了一个容量为n的样本，已知抽到男生70人，则样本容量n为( ) A．60 B．90 C．130 D．15010．(2021·全国·高一课时练习)(多选)分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三人一起出关，关税共计100钱，要按照各人带钱多少的比率进行交税，问三人各应付多少税？则( )A．甲应付4151109钱B．乙应付2432109钱C．丙应付2816109钱D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少【题组四获取数据的途径】1．(2021·全国·高一专题练习)若要研究某城市家庭的收入情况，获取数据的途径应该是( )A．通过调查获取数据B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获得数据2．(2021·全国·高一课时练习)李林是某大学的学生，暑假期间的社会实践报告是研究某市2019年法律援助情况，针对获取数据的途径，下列说法正确的是( )A．直接使用2019年该市司法部门的统计数据B．通过观察获取数据C．通过试验获取数据D．可以查阅2019年该市司法部门的统计数据，并结合该市的实际情况，对数据进行“清洗”，去伪存真，获取有价值的数据3．(2021·全国·高一专题练习)研究下列问题：①某城市元旦前后的气温；②某种新型电器元件使用寿命的测定；③电视台想知道某一个节目的收视率；④银行在收进储户现金时想知道有没有假钞.一般通过试验获取数据的是( )A．①②B．③④C．②D．④4．(2021·全国·高一专题练习)2020年某省将实行新高考，考试及录取发生了很大的变化.为了报考理想的大学，小明需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是( )A．通过调查获取数据B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获取数据5．(2021·全国·高一课时练习)下列哪些数据一般是通过试验获取的( )A．1988年济南市的降雨量B．2019年新生儿人口数量C．某学校高一年级同学的数学测试成绩D．某种特效中成药的配方。
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模块综合测试卷(二)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．直线3x＋3y－1＝0的倾斜角为()A．60°B．30°C．120°D．150°答案 C2．设E，F，G分别为四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．3条答案 C3．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．无法判定答案 C4．已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是()A．－6 B．－2C．2 D．6答案 A5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下列命题中正确的是() A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β答案 B6．下列说法中正确的个数有()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例；④如果夹在两平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面平行．A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B7．若a>0，b<0，c<0，则直线ax ＋by ＋c ＝0必不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B8．直线l 1过A(3，0)，直线l 2过B(0，4)，且l 1∥l 2，用d 表示l 1与l 2间的距离，则( ) A ．d ≥5 B ．3≤d ≤5 C ．0≤d ≤5 D ．0<d ≤5 答案 D9．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 答案 D10．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( ) A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－33，33] D ．[－23，0]答案 A11．在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E 、交CC ′于F ，则以下结论中错误的是( ) A ．四边形BFD ′E 一定是平行四边形 B ．四边形BFD ′E 有可能是正方形 C ．四边形BFD ′E 有可能是菱形D ．四边形BFD ′E 在底面投影一定是正方形 答案 B12.如图所示，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( ) A ．直线AC 上 B ．直线AB 上 C ．直线BC 上 D ．△ABC 内部答案 B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．答案22 3 a14．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________．答案10x＋15y－36＝015．设α和β为不重合的两个平面，给出下列结论：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直等价于l与α内的两条直线垂直．其中正确结论的序号是________．答案(1)(2)16.如图所示，在三棱锥P-ABC中，面PAC⊥面ABC，∠ABC＝90°，PA＝PC＝32，BA ＝BC＝2，则三棱锥PABC的外接球的表面积为________．答案81 4π解析如图，取AC中点O，连接BO，PO.∵BA＝BC＝2，∠ABC＝90°.∴AC＝22，且O为△ABC的外心．∵PA＝PC，O为AC中点，∴PO⊥AC.又∵面PAC⊥面ABC，面PAC∩面ABC＝AC，∴PO ⊥面ABC.∴三棱锥P-ABC 外接球球心G 在PO 上，且为△PAC 的外心． 在△PAC 中，PO ＝4，∴sin ∠PAO＝PO PA ＝223，2R ＝PC sin ∠PAO ＝32223＝92，R ＝94，S ＝4πR 2＝814π.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图所示，已知A(1，3)，B(－1，－1)，C(2，1)．求△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程．解析 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，k BC ＝1－（－1）2－（－1）＝23，∵AD ⊥BC ，∴k AD ·k BC＝－1，∴k AD ＝－32.故BC 边上的高AD 所在直线斜率为－32，且过点A(1，3)．∴直线方程为y －3＝－32(x －1), 即3x ＋2y －9＝0.18．(本小题满分12分)如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 上的点，且AP ＝BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1.证明 连接AQ 并延长交DC 于点E ，连接D 1E ，如图． 在正方体AC 1中，AD 1＝BD ， 又∵AP ＝BQ ，∴PD 1＝DQ. ∵AB ∥CD ，∴AQ QE ＝BQ QD ＝APPD 1，∴PQ ∥D 1E.又∵PQ ⊄平面DCC 1D 1，D 1E ⊂平面DCC 1D 1.∴PQ ∥平面DCC 1D 1.19．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)当直线l 过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长． 解析 由题意得，圆C 的圆心C(1，0)，半径r ＝3. (1)当l 过圆心C 时，k ＝k CP ＝2－02－1＝2.∴l 方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. (2)当l 倾斜角为45°时，k ＝1，此时直线方程为：y －2＝x －2，即x －y ＝0. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－0|2＝22.∴|AB|＝2r 2－d 2＝29－12＝34. 20．(本小题满分12分)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解析 (1)若l 在两坐标轴上截距相等，则a ≠－1.①当2－a ＝0，即a ＝2时，直线过原点，横纵截距离均为0，满足题意． ②当2－a ≠0时，将直线方程化为截距式，l ：x 2－a a ＋1＋y2－a＝1.∴2－a a ＋1＝2－a ，即a ＝0. 综上：a ＝0或a ＝2.(2)直线l 过定点(1，－3)，∴l 不经过第二象限，只需k ≥0，即－(a ＋1)≥0，∴a ≤－1.21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥面BCD ，P 为BD 上一点，AB ＝CD ＝1，BC ＝ 3.(1)当BD等于多少时，面ABC⊥面ACD?(2)在(1)的条件下，若三棱锥DAPC的体积等于39时，求CP的长．解析(1)在平面ABC内过点B作BE⊥AC交AC于点E，若面ABC⊥面ACD，则BE⊥面ACD，又AD⊂面ACD，∴BE⊥AD，∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，∵AB⊂面ABC，BE⊂面ABC，AB∩BE＝B，∴DC⊥面ABC.又BC⊂面ABC，∴DC⊥BC，即∠BCD＝90°，∵CD＝1，BC＝3，∴BD＝2.即当BD＝2时，面ABC⊥ACD.(2)由(1)可知∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，∴S△PCD＝12DC·DPsin60°＝34DP，∵AB⊥面BCD，∴V D-APC＝V A-DPC＝13AB·S△DPC ＝312DP＝39，∴DP＝43，∴在△PCD中，CP2＝DC2＋DP2－2DC·DPcos60°＝139，∴CP＝133.22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值；(3)求点O到平面ABM的距离．解析(1)证明：∵M点在以BD为直径的圆上，∴BM⊥MD，即BM⊥PD.∵PA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴PA ⊥AB. ∵底面ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD.又PA ∩AD ＝A.∴AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD.又∵AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥面ABM ，PD ⊂面PCD. ∴平面ABM ⊥平面PCD.(2)如图，过M 点作MN ∥CD 交PC 于点N ，连接BN. ∵AB ∥CD ，MN ∥CD ， ∴AB ∥MN.∴PC 与平面ABM 的交点为N.由(1)知PD ⊥面ABM ，∴MN 即为PN 在平面ABM 上的射影，∴∠PNM 即为PC 与平面ABM 所成角，且∠PNM ＝∠PCD. ∴tan ∠PNM ＝tan ∠PCD ＝PDDC＝2 2.∴直线PC 与平面ABM 所成角的正切值为2 2.(3)∵O 为BD 的中点，∴O 到平面ABM 的距离为D 到平面ABM 距离的一半，由(1)知，PD ⊥面ABM 于点M ，∴DM 即为点D 到平面ABM 的距离．在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝4.PD ⊥AM.∴M 为PD 中点，∴DM ＝12PD ＝2 2.∴O 到平面ABM 的距离为 2.。