分岔与奇怪吸引子47页PPT
混沌理论 综述 很全ppt课件
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 混沌的研究方法 7. 分岔的研究方法 8. 混沌在现代科技领域的应用
.
混沌与分岔的起源与发展
❖ 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
.
分岔的概念
❖ 分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。
❖ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
.
混沌的概念
❖ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
❖ n周 期 轨道的定义：当 x0为f 的一个n 周期点时， 称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
.
混沌现象举例--昆虫繁衍
下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解： 1. 取λ：0—1迭代 ❖ 容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn (1—Xn)迭代
归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。 2. 取λ：1—3迭代 ❖ 迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的1周
混沌的特点
2. 内在随机性
❖ 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
关于奇怪吸引子的特点
关于奇怪吸引子对我们生活学习的启示
奇怪吸引子的两个特点：
1. 奇异吸引子上的运动对初始值表现出极强的敏感依赖性，在初始值上的微不足道的差异，就会导致运动轨道的截然不同。
→蝴蝶效应
洛伦兹把这种对初始条件的敏感依赖性称为“蝴蝶效应”。
维纳也曾引用一首民谣来描述这种对初始条件的敏感依赖性：丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。
2. 由两种不同属性的内外方向决定了它具有非常奇特的拓扑结构和集合形式。
→趋于稳定奇怪吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性有着密切联系，它具有不同属性的内外两种方向：
1. 在奇怪吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向
2. 一切到达奇怪吸引子内的运动都相互排斥，对应于“不稳定”方向。
分岔与奇怪吸引子共49页
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
49
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
分岔与奇怪吸引子
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化பைடு நூலகம்上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
第4章洛伦兹方程与吸引子
洛伦兹的设想
60年代初，美国数学家洛伦兹(E.Lorens)在气象部门工作。他把将大气对 流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。
贝耐特对流实验
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
dz
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-bz
xy
dx dy dz 0 dt dt dt
x y z 0
x y b(r -1),z r -1
即洛伦兹方程有三个平衡点
若 r，1只存在一个平衡点 x 。y 此 z平衡0点是洛伦兹方程的不动点， 相应于贝纳尔德实验中液体的静止定态。
洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来稳定的平衡点
0 0 0 - (b l)
在 0< r <1 范围内，所有根 l<0 ，坐标原点是稳定的。
6.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性
当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点，它们是与 邻域螺旋线的吸引点，如图所示。 C1、C2 坐标为：
x
1,2
y 1,2
b (r - 1)
C1与 C2的稳定性
当 r 继续增加直到 r =13.962时，两个螺 旋线外径会接触合并一起。当特征方程
l3 ( b 1)l2 b ( r )l 2b (r -1) 0
混沌系统理论
混沌理论的特征
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家--曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自然的分形 几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
康托尔三分集
谢尔宾斯基地毯
分 形 项 链
D即维数
D = logｋ/logλ
λ 其中：
为线度的放大倍数
ｋ为“体积”的放大倍数
由于这样定义的维数D是一个分式所得出的比值，因此人们称之为 分数维。
容量维
柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)曾给分维这样定义：
对于d 维空间中的一个小集合E，我们可以用一些直径r的 d 维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为 N(r) , 则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：
实际上，混沌学研究从另一方面增加了人 们的预见能力。
貌似无序的高级有序性
混沌现象给人们的第一印象往往是混乱 不 堪，毫无规则，但混沌不等于混乱，是一种 貌似无序的复杂有序。 混沌绝不是简单地无序，而是被无序掩盖 着的高级有序，貌似无序的复杂有序，有人 称其为混沌序。
逻辑斯蒂方程的有序性
倒分叉
周期窗口
长期行为的不可预见性
由于其内在非线性机制造成对初值的敏感 依赖性，混沌系统的长期行为是不可预测的。 任何实际系统的初始条件都不可能绝对精确 地确定，误差是不可避免的。
混沌是由确定性系统产生的，它的短期行 为是可以预测的。
只要系统处于混沌区，我们就无法对它的 长期行为作出预测，但是混沌运动并非绝对 不可预测。
lim inf fn(x)fn(y)0
则称 f ( x ) 描述的系统为混沌系统，S 为 f 的混沌集。
交叉小径的花园a-PPT课件
叙事策略
1设置叙事圈套。精确史料翔实细节陈述增强现 实性。包含深刻的时间迷宫主题，为透射出处于 时间迷宫众中人的深刻悲剧性，创造引人入胜的 神奇效果，“神奇”包孕于可信赖的现实之中， 并超乎玄奥间谍案的某种意义的深刻性。 2蓄意空缺盲点1崔朋死因2马登追踪俞琛到阿贝 尔家。增强迷宫效果，使读者获得对时间无穷可 能性大深刻感受。 3神秘细节。直入主题，剩下一颗子弹的枪意味 血腥、死亡、暴虐，揭示剧情发展。
《交叉小径的花园》看似一篇侦探小说—— 战争、军队、间谍、追踪、谋杀，情节曲折， 但作者真正的意图不在这，他用小径分岔的 花园造了一座时间迷宫，下面的话才揭示了 小说的主题： “由相互靠拢、分歧、交错或永远不干扰的 时间织成的网络包含了所有的可能性。交叉 小径的花园象征着时间，没有绝对和同一的 时间，即同一时间有若干可能性并存并导致 不同的将来和结局，而我们只能选择其中的 一种可能性，而且一经选择，就再也无法回 头。
《交叉小径的花园》一共套了三层 故事。间谍俞琛的故事，汉学家斯 蒂芬· 阿尔贝的故事和古代云南总督 崔朋的故事交叉进行。多种巧合重 叠在一起。 叙事中有叙事，如同迷宫中的道路， 分岔 中有分岔，情节交叉进行。
俞琛的供言揭示了英军延迟进攻的原 因.这可看作是对一段正史的补充,也可看作 是对一段正史的颠覆.历史和小说的界限被 一笔勾销,在作者看来它们都只是虚构. 在虚构的情节中穿插有史可查的真实事 件以制造史实与小说真伪难辩的效果; 有助 于表达他的时间观念.真实感和疑虑夹杂陈 述吸引读者。
所谓荒诞，也叫怪诞，就是对事物极度夸 张的一种方法，即从某种主观感受出发来 改变客观事物的形态和属性，直入现象的 至深之处，揭示事物的本质。
荒诞的情节却曲折地走进了迷宫 ，既丧失了目的，也找不到出路
第6章 混沌与分岔
分岔的概念
分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。 分岔现象是非线性问题中所特有现象，失稳是其发生的前提。 分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突 变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌。由此可 见分岔在许多非线性现象中起着桥梁作用。 分岔问题可以分成静态分岔和动态分岔。静态分岔指系统的 平衡点的稳定性在分岔值附近发生变化，如鞍结分岔、跨临 界分岔、叉形分岔等；动态分岔是相轨迹的拓扑结构也发生 变化，如Hopf分岔、环面分岔、同宿或异宿分岔等。 叉形分岔、Hopf分岔和鞍结分岔为三种分岔原型。
混沌现象举例--昆虫繁衍
假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏 天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。 很显然，若产卵数大于1，则虫口就会迅速增加，“虫满 为患”。但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物 和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导 致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负 增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学 抽象和变换后，在1976年生物学家罗伯特.梅最终得到虫 口方程如下：Xn+1=λXn (1—Xn) 式中各量的取值范围为 n：1，2，3，···∞； Xn：[0，1]； λ：[0，4]
(1)(x 0),
f
lim sup f ( n ) ( x) − f ( n ) ( y ) > 0, x, y ∈ S , x ≠ y
n →∞
lim inf f ( n ) ( x) − f ( n ) ( y ) = 0, x, y ∈ S , x ≠ y
n →∞
lim sup f ( n ) ( x) − f ( n ) ( p ) > 0, x ∈ S , p为周期点
单摆中的混沌现象
1.倍周期分岔行为对于单摆有阻尼有驱动情形，通过前面所讨论过的单摆的相图与庞加莱截面，我们已经可以看出单摆的倍周期分岔行为。
f增至1.07时出现二倍周期；从1.35增至1.45时，又从一倍周期过渡到二倍周期。
f增大到1.50时，出现四倍周期。
在出现倍周期行为后，逐渐过渡，最后都出现貌似无规的运动。
由于单摆的运动还是太复杂了一点，以至于它是怎样通过一系列倍周期分岔进入混沌的细致过程，我们在这里不易看清楚。
对单摆的仔细分析发现，无论是它的分岔图，还是计算它的费根鲍姆常数，都与逻辑斯谛映射模型所得到的结果相似。
例如，单摆的一个倍周期分岔序列为f = 1.066,1.077,1.080，由此计算出的费根鲍姆常数为4±1，在计算误差范围内是与逻辑斯谛映射的结果相符合的。
2.单摆的混沌吸引子MIT的气象学家洛伦兹(E.Lorenz)在1963年发现了奇怪吸引子。
洛伦兹在研究大气对流对天气的影响时，提出了洛伦兹方程：（9）现在这个方程已成为混沌理论的经典方程。
对此非线性方程求数值解，洛伦兹得到了一个三维吸引子，其二维投影如图10所示。
总体上由两个套环组成，看上去像一对蝴蝶翅膀。
实际上每一环套都有靠得很近的无穷多层，每层上都细密地排列看无穷多个回线，代表系统相点在这边转几圈后又到那边转几圈，完全无法预测什么时候从这一边过渡到另一边。
刻划混沌吸引子的主要手段为分形维数和李雅普诺夫指数。
分形概念的实质就是标度变换下的自相似性。
图11即为单摆的混沌吸引子。
由图中可以看出单摆混沌吸引子的分形结构，即自相似结构。
李雅普诺夫指数描述混沌吸引子的初值敏感性，单摆的李雅普诺夫指数计算证明，在计算的误差范围内，单摆具有混沌吸引子，是初值敏感的。
图10 图113.并非结束这里所讲的混沌，只是混沌理论的一个小的部分，有很多内容，甚至是很重要的内容（例如KAM定理等）只字未提。
就是对于单摆的混沌运动，我们这里也只讨论了它的某些方面。