高级中学奥赛-薛定谔方程及其求解方法
薛定谔方程组及其解法
薛定谔方程组及其解法薛定谔方程组（Schrodinger Equation）是量子力学的基础方程之一，描述了量子系统的波动性质和粒子运动的规律。
在量子力学发展的过程中，人们通过不断地尝试和探索，发现了各种各样的解法，使得该方程的应用范围越来越广，成为了现代物理学的重要工具之一。
1. 薛定谔方程组及其含义薛定谔方程组最初是由奥地利物理学家薛定谔（Erwin Schrodinger）于1926年提出的，他通过研究光谱现象，认为物理系统的运动可以用波函数来描述。
而波函数则可以通过一个方程来求解，这个方程就是薛定谔方程组。
薛定谔方程组描述了微观粒子的运动规律和波动性质，用于计算微观尺度下的物理量，如粒子的位置、速度、动量、能量等。
方程中的波函数可以归一化，即保证粒子存在的概率为1。
因此，波函数可以被解释为一个粒子的存在概率密度。
2. 薛定谔方程组的解法薛定谔方程组的解法主要基于两种方法：定态微扰理论和变分法。
定态微扰理论是通过在原方程中加入微小扰动项，逐步展开波函数的级数，来求得精确的解。
而变分法则通过尝试不同的波函数形式来寻找最优解，从而得到薛定谔方程组的解。
此外，还有一些基于计算机算法的数值解法应用于薛定谔方程组，如有限元方法、有限差分法和网格方法等。
3. 应用范围和意义薛定谔方程组的应用范围非常广泛，涉及到各种物理现象和工程问题。
在纳米技术领域，薛定谔方程组可以用于描述纳米材料的电子结构和催化反应的机理，从而辅助设计新型材料和开发高效催化剂。
在化学领域，薛定谔方程组可以用于计算化学反应的机理和产物的构成，帮助人们预测化学反应过程和控制反应的产物。
在固态物理学中，薛定谔方程组可以用来解释材料的电、光、热、声等性质，帮助人们研发新型的半导体材料和纳米电子器件。
总之，薛定谔方程组在物理学、化学、材料学等领域有着广泛的应用和重要的意义，对推动人类社会的发展发挥着重要的作用。
薛定谔方程
薛定谔方程5.2.1薛定谔方程 1926年，奥地利物理学家薛定谔(Schrodinger)建立了描述微观粒子的波动方程，这是一个二阶偏微分方程，即式中，波函数Ψ为x，y，z的函数；E为电子的总能量；V为电子的势能；m 为电子的质量；h为普朗克常量；π为圆周率。
解薛定谔方程就是要求出描述微观粒子运动的波函数Ψ和微观粒子在该运动状态下的能量E。
方程每个合理的解Ψ表示电子的一种运动状态，称之为原子轨道，与这个解相对应的常数E就是电子在该状态下的能量，也是电子所在轨道的能量。
薛定谔方程中核外电子的势能V与原子序数Z、原电荷e、电子与核的距离r的关系为式中，ε0为真空介电常数。
薛定谔方程势能项中的r同时与x、y、z三个变量有关，这给解方程带来很大的困难。
为解方程，人们对薛定谔方程举行坐标变换，将直角坐标三变量(x，y，z)变换成球坐标三变量(r，θ，Φ)，5-2所示。
直角坐标与球坐标的关系为再举行变量分别Ψ(r，θ，Φ)=R(r)·Θ(θ)·Φ(φ) 变量分别后，三个变量的偏微分方程分解成三个各有一个变量的常微分方程。
其中R(r)只和r有关，即只和电子与核间的距离有关，称为波函数的径向部分。
令 Y(θ,Φ)=Θ(θ)·Φ(φ) Y(θ,Φ)与r无关，只与角度θ和φ有关，称为波函数的角度部分。
图5-2 直角坐标与球坐标的关系分离解R(r)、Θ(θ)、Φ(φ)这三个常微分方程，得到关于r、θ和φ三个单变量函数的解。
在解常微分方程求Φ(φ)时，要引入一个参数m，且惟独当m取某些特别值时，Φ(φ)才有合理的解；在解常微分方程求Θ(θ)时，要引入一个参数l，且惟独当l取某些特别值时，Θ(θ)才有合理的解；在解常微分方程求R(r)时，要引入一个参数n，且惟独当n取某些特别值时，R(r)才有合理的解。
参数n、l、m，就是后面要介绍的量子数。
薛定谔方程的解是一系列三变量、三参数的函数，即对应每个波函数Ψn,l,m(r，θ，φ)，都有特定的能量E。
2020年高中物理竞赛—量子物理A-第二章 薛定谔方程(共65张PPT) 课件
1.能量只能取分立值 是解薛定谔方程自然而然得到的结论。
按经典理论……粒子的“能量连续”； 但量子力学……束缚态能量只能取分立值（能级）
2.当 m 很大（宏观粒子）时，能量连续， 量子 经典。
3.最低能量不为零（称零点能） ———符合不确定关系。
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
可得 ka / 2 l1 , ka / 2 l2
式中 l1是, l整2数。
记
上两式相加得
2 (l1 l2 ) l
l 式中 也是整数。
所以有 l
2 l 0 时，有 o Asin kx --奇函数
l 1 时，有 e Acos kx --偶函数
的其他数值所对应的解没有独立的物理意义，
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a
U= 0
Ⅲ区
若 m、a、( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。 实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。
例如，★ 放射性核的 粒子衰变（自学）
★ 隧道二极管（略）
★ 扫描隧穿显微镜
x
29
三.扫描隧穿显微镜（STM）
(Scanning Tunneling Microscope) 是观察固体表面 原子情况的 超高倍显微镜。
K A
自由运动区 U= 0
其定态薛定谔方程为
d 2
dx2
2m 2
E
0
E 是能量（动能）
2 2m
d 2
dx 2
U
E
……二阶常系数 常微分方程
令 2mE ，P p是动2 量。
10
d 2
dx2
2m 2
E
0
得
d 2
dx2
薛定谔方程的含义和求解方法
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
求解薛定谔方程的一般步骤
求解薛定谔方程的一般步骤嘿，朋友们！今天咱就来唠唠求解薛定谔方程的那些事儿。
你说这薛定谔方程啊，就像是一个神秘的宝藏盒子，咱得想办法打开它，找到里面的宝贝。
那怎么打开呢？咱先得有那个决心和勇气，就像你要去攀登一座高峰，不能还没开始就打退堂鼓了呀！然后呢，得了解这个方程到底是啥样儿的。
它可不是随随便便就能搞定的，就像一道特别难的谜题。
接下来，你得掌握一些工具和方法。
这就好比你去开锁，你得有合适的钥匙或者工具吧。
对于薛定谔方程，那就是各种数学知识和物理概念啦。
你得把这些东西玩转了，才能试着去解开这个方程。
比如说，你得熟悉那些波函数啊，能量啊之类的概念。
这就好像你要认识一个新朋友，你得知道他的喜好、性格啥的，才能更好地跟他相处嘛。
然后呢，你就得开始动手啦！一步一步地去推导，去计算。
这过程可不容易哦，就像在黑暗中摸索，有时候可能会觉得迷茫，不知道自己走得对不对。
但别灰心呀，这都是正常的。
你想想看，要是那么容易就解开了，那还叫什么难题呢？在这个过程中，可能会遇到很多困难和挫折，但咱不能怕呀！就像走路会摔跤一样，摔了咱爬起来继续走呗。
而且哦，多尝试几次，说不定就突然找到灵感了呢。
这就跟你找东西似的，找半天找不到，突然一下子就看到它在那儿了。
当你慢慢接近答案的时候，那种兴奋感，哎呀，真的是无法形容！就好像你终于找到了宝藏的入口，那种激动的心情，只有经历过的人才懂。
总之呢，求解薛定谔方程可不是一件容易的事儿，但也不是不可能完成的任务。
只要咱有决心，有耐心，有方法，就一定能慢慢地解开这个神秘的谜题。
别害怕失败，别害怕困难，大胆地去尝试吧！就像那句话说的，世上无难事，只怕有心人。
咱就朝着那个目标，一步一个脚印地前进，相信总有一天，能真正理解和掌握这个神奇的薛定谔方程！。
薛定谔方程与波函数的解析方法
薛定谔方程与波函数的解析方法量子力学是描述微观世界的基本理论，而薛定谔方程是量子力学的核心方程之一。
薛定谔方程描述了量子体系的波函数随时间的演化规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念，并讨论一些解析方法。
薛定谔方程是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的。
它描述了量子体系的波函数ψ(x,t)随时间和空间的变化情况。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x² + V(x)ψ(x,t)其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，V(x)是势能函数。
这个方程可以看作是能量守恒和动量守恒的量子版本。
解析求解薛定谔方程是量子力学中的一个重要课题。
一般来说，薛定谔方程是一个偏微分方程，求解起来相对复杂。
但是对于一些特定的势能函数，我们可以使用一些特殊的解析方法来求解。
首先，对于一维自由粒子，即势能函数V(x)为常数的情况，薛定谔方程可以简化为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x²这是一个简单的波动方程，可以用分离变量法求解。
假设波函数可以表示为ψ(x,t) =Φ(x)Ψ(t)，将其代入方程中得到：iħΨ(t)dΦ(x)/dt = -ħ²/2mΦ''(x)Ψ(t)将方程两边同时除以ψ(x,t)，得到：iħ/Ψ(t)dΨ(t) = -ħ²/2m/Φ(x)Φ''(x)由于左边只含有t的变量，右边只含有x的变量，所以它们必须等于一个常数，记作E。
这样我们就得到了两个方程：iħdΨ(t)/dt = EΨ(t)-ħ²/2m d²Φ(x)/dx² = EΦ(x)第一个方程是一个简单的一阶常微分方程，可以直接求解。
第二个方程是一个二阶常微分方程，可以通过代入试探解的方法求解。
最终我们可以得到波函数的解析表达式。
高二物理竞赛课件：薛定谔方程的建立与算符
2 x2
2 y2
2 z2
U (r ,
t )
若势函数U不显含t，为求解薛定谔方程，分离变量
(r,t) (r )T(t)
代入薛定谔方程，得
i
d
dTt(t)
(r )
[Hˆ
(r )]T(t)
除以
(r
)
T
(t
)
，得
i
dT(t) dt
1 T(t)
1
(r )
Hˆ
(r )
=E
(常数)
上式
左边是 右边是
•从数学上讲，E 不论取何值，方程都有解。
•从物理上讲，E只有取一些特定值，方程的解才能满足 波函数的条件（单值、有限、连续）
•满足方程的特定的E值，称为能量本征值
•各E值所对应的E (r )叫能量本征函数，故该方程又称
为：能量本征值方程
•定态(stationary state): 能量取确定值的状态
量子力学唯一可以和实验进行比较的是力学量的平均值 ——平均值的假定
整理得
d 2
dx 2
2m E
2
0
令
k2
2m E 2
d 2Ψ dx2
k 2Ψ
0
方程解为： Ψ x Asin kx B cos kx
高中奥赛--定态薛定谔方程求解及自洽场方法
∑∑ c c S
i j i
H ij = Eiδ ij
= ∑ | ci |2 Ei
i
∑| c
i
|2
ε ≥ E2
这个推理有重要意义 逐步解波函数的基础
(三) 氦原子基态
（1） 氦原子薛定谔方程 能量算符 方程
e2 Z Z h2 1 2 ˆ H =− (∇1 + ∇ 2 ) − ( + − ) 2 2m 4πε 0 r1 r2 r12
, 令ψ (1 2) = φ (1)φ (2) 代 后 离 量 入 分 变
0 0 1 0 2
0 0 ˆ ˆ [ H 0 (1) + H 0 (2)]φ10 (1)φ 2 (2) = E 0φ10 (1)φ 2 (2)
ˆ ˆ H 0 (1)φ10 (1) H 0 (2)φ10 (2) 0 + = E 0 = E10 + E2 φ10 (1) φ10 (2)
左边为零,所以
ˆ E' j = ∫ψ 0H'ψ 0dτ = H' jj j j
λ Ej = E0 + λE' j =1→E0 + E' j = E0 + H' jj j j j
0 ψk* 左乘二边积分 一级近似波函数：
* ˆ 0 ˆ aij ∫ψk (H0 − E0 )ψi0 = E' j δkj − ∫ψk *H'ψ 0dτ ∑ j j i
如果已有 Φ 已经与基态波函数 Φ =
同样：
ψ 1正交：
∑ cψ ；c
i i i
i j
1
= ψ1 Φ = 0
∫ ∑ cψ ∑ c ψ
i * i j i j ij j j
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狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为一名 研究生便提出了非对易代数理论，而成为 量子力学的创立者之一。第二年提出全同 粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出 了电子的相对论性运动方程，奠定了相对 论性量子力学的基础，并由此预言了正负 电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的 存在，使人们对物质世界的认识更加深入。 他还有许多创见（如磁单极子等）都是当 代物理学中的基本问题。由于他对量子力 学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933 年诺贝尔物理学奖金。
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2
E为一常数
i df (t) Ef (t) dt
df (t) f (t)
i
Edt
解出：
f
(t
)
Ce
i
Et
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
――定态波函数
1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量
2．定态中粒子的几率密度不随时间变化
(r ,
t
)
*
(r ,
爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思 想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕 的一角”。
德布罗意假设
一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E
和动量P所描述的粒子性，也具有以频率n和波长l所描述的
波动性。 德布罗意波，也叫物质波。
E hn
P＝ h
l
(p
h
n
k )
l
德布罗意 公式
l＝ h
例1. 计算下列运动物质的德布罗意波长
(1) 质量100g, v = 10m·s1运动的小球。
l h h 6.625 1034 6.625 1034 m
P mv 0.10 10
(2) 以 2.0 103m·s 1速度运动的质子。
l
h mv
6.625 1034 1.67 1027 2.0 103
Emin
与波尔理论结果一致。
e4me
8 o2h2
13.6eV
本例还说明：量子体系有所谓的零点能。
2、求一维谐振子的基态能量（P121：例3.5）
§3.3 波函数及其物理意义
一、波函数 概率密度
1、平面简谐波的波函数
一个频率为n ，波长为l 、沿x方向传播的单色平面波的波函数
为
y( x, t) Acos 2 nt x
(x, y, z,t) 2 dV 1
§3.2 薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立
1．自由粒子的薛定谔方程
Ae Ae
i
(
Et
r
p
)
i
(
Et
xpx
y
p
y
zp
z
)
p
对t求一次偏导：
p
t
i
E
p
i p
t
E
p
对x、y、z分别求二次偏导：
p
x
i
px
p
2 p
x 2
i
px
p
x
p2x 2
2.0 1010 m
(3) 动能为 1.6 107 J 的电子
EK
1 mv 2 2
P2 2m
P 2mEK
l3
h P
h 1.2 1010 m 2m EK
不确定关系 海森伯（W. K. Heisenberg，1901-1976）
德国理论物理学家。他于1925年为量 子力学的创立作出了最早的贡献，而 于25岁时提出的不确定关系则与物质 波的概率解释一起奠定了量子力学的 基础。为此，他于1932年获得诺贝尔 物理学奖金。
某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与 波函数模的平方成正比。
dW x, y, z, t 2dV
单缝
k
2×104个
105个
概率密度 dW / dV
加速电场
10个
E
波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的
平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒
p2 2
但此时
E
p2
U (r , t)
2
则有：i 2 2 U (r,t) ――处在以势能表征的力
t 2
场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程
p2
E U(r,t)
2
• 把E和P看做如下算符：
Eˆ ih , t
pˆ ih
然后作用于
波函数
(r , t )
上，就可得到薛定谔方程
相一致来得到证明。
3．具体的势场U
学的重要奠基人之 卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉
一，同时在固体的 克共获诺贝尔物理奖金。
比热、统计热力学、 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，
原子光谱及镭的放 1944年，他发表一本名为《什么是生命 —
射性等方面的研究 —活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗
都有很大成就。
传现了波粒二象性，其中的E和 p 是描写粒子性
的物理量，却处在一个描写波的函数中。
三、波函数的标准条件及归一化
1．波函数必须单值、有限、连续。 单值：在任何一点，几率只能有一个值。 有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。
2．归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的 总几率应当为1：
§3.1 不确定关系
一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)
电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为l h ，经过
p
狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：
d sin l
x方向上，粒子坐标的不确定度为
x d 2
粒子动量的不确定度为 px psin
sin px
又
sin l l
薛定谔在德布罗意思想的基础上，于
1926年在《量子化就是本征值问题》的论
文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方
程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程
为基础的波动力学和量子力学的近似方法。
薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的
奥地利著名的理论 地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的
物理学家，量子力 价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献
内容：
薛定谔方程
1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例
1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化 1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子 1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态
薛定谔 (Erwin Schrödinger, 1887–1961)
i
2
2
U (r,t)
t 2
二、定态薛定谔方程
能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的
力场不随时间改变，即势能U (r)中不显含时间t，将其代
入方程：
i
2
2
U (r )
t 2
波函数分离变量：
(r ,
t)
(r)
f
(t)
i
df (t)
1
2 [
2
U (r )](r )
E
f (t) dt (r ) 2
p p / r
当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：
p2
e2
E
2me 4 or
代入上式得：
2
e2
E 2mer 2 4 or
基态能应满足： dE 0 dr
2
e2
mer 3 4 or 2 0
由此得出基态氢原子半径：
ro
oh2 e 2 me
0.531010 m
基态氢原子的能量：
p
d 2x
px l
p 2x
2x px lp h x px h / 2
x px h / 2
狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝
宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了
变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子
的坐标，又能避免动量发生变化。 如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量
r,t 2 r,t * r,t 概率密度
例题2：光子自由平面波波函数
(rr,t,
t
) 2＝
i Ae ( p 常数
r
t
)
在空间各点发现光子的概率相同
用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：
E hn
p
h
n
l
p
Ae
i
( Etr p)
――自由粒子的波函数，描写动量为 p、能量为E
的自由粒子。 经典力学 位置和速度
p
p
y
i
p y
p
2 p
y2
i
py
p
y
p2y 2
p
p
z
i
pz p
2 p
z 2
i
pz
p
x
pz2 2
p
三者相加：
2 p
x2
2 p
y 2
2 p
z 2
1 2
( px2
p
2 y
pz2 ) p
拉普拉斯算符：2 2 2 2
x2 y 2 z 2
2
p
p2
2
p
自由粒子:
E 1 2 p2
就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有
确定的值。
x 0
x p x h / 2
px