高等传热学 傅立叶导热定律及导热方程
傅里叶热传导定律导热微分方程
傅里叶热传导定律导热微分方程傅里叶热传导定律导热微分方程：探索热传导的奥秘1、引言：了解傅里叶热传导定律热传导是我们日常生活中重要的现象之一，在多个领域都有广泛应用，包括工程、物理、化学和生物等。
傅里叶热传导定律是描述物体内部温度分布的重要方程，通过导热微分方程可以更深入地理解温度传导现象。
2、基础知识：热传导和傅里叶热传导定律热传导是指热量从高温区域向低温区域传递的过程。
傅里叶热传导定律则是一组描述热传导的微分方程，最常用的是一维传热情况下的傅里叶热传导定律。
3、傅里叶热传导定律的一维形式在一维情况下，傅里叶热传导定律可以表示为：(1) ∂T/∂t = α ∂²T/∂x²其中，T是温度，t是时间，x是空间坐标，α是传热系数。
这个方程描述了温度随时间和空间变化的关系，可以帮助我们理解物体内部的温度分布情况。
4、解析解和数值解：探索温度变化的方法傅里叶热传导定律的导热微分方程是一个偏微分方程，可以通过解析解或数值解来获取温度的变化情况。
解析解适用于简单的几何形状和边界条件，而数值解则可以应用于更为复杂的情况。
5、实际应用：傅里叶热传导定律的物理意义傅里叶热传导定律的物理意义是描述热量如何在物体内部传递和分布的过程。
通过研究傅里叶热传导定律，我们可以探索不同物质和结构的热传导行为，进而优化材料的热性能、设计更高效的散热系统。
6、个人观点和理解：热传导与现代科技的关系热传导作为能量传递的重要方式之一，在现代科技发展中扮演着重要角色。
通过研究傅里叶热传导定律，我们可以更好地理解材料的热传导行为，从而开发出更高效的散热材料和散热系统，提高设备的效能，推动科技的发展。
7、总结回顾：深入理解热传导的奥秘在本文中，我们深入探讨了傅里叶热传导定律导热微分方程，从基础知识到实际应用，对热传导现象进行了全面评估。
傅里叶热传导定律导热微分方程可以帮助我们理解温度传导的机制和规律，为现代科技的发展提供了重要的理论支持，同时也为我们研究和优化热传导过程提供了有效工具。
高等传热学知识点总结
多维、线性齐次，乘积解： t ( x, y, z, ) ψ( x, y, z )( ) 令 ψ( x, y, z) X ( x)Y ( y) Z ( z) ，分别求解，然后相乘
t ( x, y, z, ) Cmnp e a ( m
m 1 n 1 p 1
2
m2 m2 )
X( m , x)Y( m , y)Z(m , z)
多维稳态非齐次：边界非齐 fi (r ) 0 or 方程非齐 0 边界非齐次（方程齐次） ：分离变量法
t ( x, y) X ( x)Y ( y) ,参照时间与空间的分离变量法
当多个边界非齐次时，等于各单非齐问题的叠加 方程非齐次：等于相应齐次解+非齐次特解 线性、非齐次、非稳态： 热源函数法：在无限大区域，初始时刻 x=x0 处，作用了 一个 t=t0 的热源，当 0 时，
13
0.14
2 Num 0 . 6 6 4 1 R l e
1 3
Pr
大空间自然对流换热: Nu C (GrPr) C ( Ra)
x z yz z
， 利用
1 H
u H
i 1 i
3
H t 2 i ui
t cp
第二章 分离变量法 分离变量法： 将温度分成只与空间有 t (r , ) ψ(r )( ) ， 关的 ψ(r ) 和只与时间有关的 ( ) 的乘积。 对于线性齐次非稳态无内热源问题， t
ห้องสมุดไป่ตู้对流
t y
y w, x
对流换热基本计算式：傅里叶定律 qw
牛顿冷却公式 qc h(tw, x t ) ，t 在内流时取管道截面 平均流体温度，外流时取远离壁面的流体温度。
高等传热学知识点总结
半无限大物体：
d 2 X ( x) 2 X ( x) 0 2 dx
1 X ( , x) X ( , x ' ) F ( x ' )dx 'd 0 N ( )
为热源强度，当 J 1 时， t ( x, ) 为一维热源函数。 意义：无限大区域中，初始时刻在 x 平面上的单位强 度，瞬时面（线、点）热源所造成的温度分布。 应用： Q c p F ( )d A ， J F ( )d 因此， t ( x, )
Dp T v D
表示单位时间内黏性应力 （黏性切应 为黏性耗散函数， 相似原理意义：①实验时， 应当以相似特征数作为安排实 验的依据，并测量各特征数中包含的物理量；②实验结果 应整理成特征数间的关联式； ③实验结果可以推广应用到 与实验相似的情况。 管内湍流换热实验关联式 力与黏性法向应力）对控制体内流体所做的功，不可逆地 转化为热能的那部分 第二章 边界层相似理论和边界层方程 速度边界层：当流体流过固体壁面时，由于流体粘性作 用，使得在固体壁面附近存在速度发生剧烈变化的薄层 速度边界层厚度：速度等于 99%主流速度。 意义：流动区域可分为主流区和边界层区，主流区可看 作理想气体的流动，只在边界层区才需要考虑流体的粘 性作用。 温度边界层：在对流换热时，固体壁面附近温度发生剧 烈变化的薄层，也称热边界层。 温度边界层厚度：过余温度等于 99%主流流体过余温度 意义：温度场也可分为主流区和边界层区，主流区中的 温度变化可看作零，因此只需要确定边界层内的流体温 度分布。 普朗特数： Pr v a 普朗特数反映了流动边界层和温度 边界层的相对大小。其中流体的运动粘度反映了流体中 由于分子运动而扩散动量的能力，这一能力越大，粘性 的影响传递越远，流动边界层越厚。相类似，热扩散率 越大则温度边界层越厚。根据普朗特数大小可将流体分 为高普朗特数流体（百千） 、中~（0.7-10）以及低~0.01 边界层微分方程：外掠平板，2D，常物性，稳态，层 流，不可压缩流体，忽略黏性耗散 数量级分析法
高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程
质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域， 不论空间介质种类如何（热量传播速度无限 大） 温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的 份额不同 热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量 守恒原理而得 能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系， 与能量传递过程中具体行为无任何联系 故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
考虑热传播速度的有限性 对于无源项情况， 型 hyperbola 偏微分方程）
1 2 t 1 t 2 t 2 2 （双曲线 a c
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修 正
导热微分方程在正交坐标系(orthogonal curvilinear coordinates)中表述
梯度 (gradient) 一般表达式在附录(Appendix) 3 中式（9）
1 1 1 e1 e2 e3 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3
按温度变量(variable)有：
1 t t ei i 1 H i xi
3
（a)
高等传热学
波的特征wave property
传播介质中的质点(particle)并未随机械波 的传播而迁移(move) 水波荡漾时水的质点正是在重力和水的张力 作用下上下振动，从而带动周边的质点一起 上下振动，此质点与周边质点的振动有一个 相位差(phase difference)，这种波称为横 波(transverse wave) 声波(sound wave )的实质与水波(water wave )完全一致，只是水波能看到，声波 看不到
高等传热学
热的波动性wave of the heat
传热学导热问题数学描述
d
2t x 2
2t y 2
2t z 2
dxdydz
2 tdxdydz
② 微元体内热源生成热:
r dxdydz 式中： 为单位体积内热源.
③
微元体内能增量（显热）： e
c t
dxdydz
由能量守恒定律
d
r
e
2、导热系数（ Thermal conductivity ）
傅里叶定律给出了导热系数的定义 :
q
t
n
W/(m
K)
n
导热系数在数值上等于 单位温度梯度作用下的 热流密度。 是物性参 数，与物质结构和状态 密切相关，如温度、 湿度、压力、密度等， 而与几何形状无关。反 映了物质微观粒子传递 热量的特性。
l MO
M MO
MM O
温度场中某一点的最大方向导数为该点的温度梯度，记为
grad t。
grad t Lim t
t
n
t i t
j t k
n0 n n x y z
梯度的性质：
1．方向导数等于梯度在该方向上的投影；
2．每点梯度都垂直于该点等温面，并指向温度增大的方向
第二章 导热问题的数学描述
1、基本概念及傅里叶定律 2、导热系数 3、导热微分方程式及其定解条件
导热问题的求解目标与思路
• 解决工程问题的数学方法一般有下列几个步骤：
问题分析
建立物理模型
根据问题的相关
属性建立数学模型
求解
• 传热学的主要任务是求解热量传递速率和温度变化速 率，对应于导热问题就是求解物体内部的温度场和热 流场。这就需要在深刻理解导热规律前提下寻求各种 具体问题的数学求解方法。
复习第二章导热过程的传热学原理与导热微分方程
9
第三节 导热过程的定解条件/边界条件 3、第三类边界条件
给定边界上物体表面与周围流体间的对流换热 系数h 及周围流体的温度T 系数 c及周围流体的温度 f，即：
q = −λ (
∂T ) w = hc (Tw − T f ) ∂n
上述分类目的是从数学上便于求解方程组， 上述分类目的是从数学上便于求解方程组，实际 上物体边界的传热现象是多种多样的。 上物体边界的传热现象是多种多样的。
∂T = −λ • gradT = −λ • •n ∂n
直角坐标系分量： 直角坐标系分量：
∂T q x = −λ • ∂x
q
y
= −λ •
∂T ∂y
q
z
= −λ •
∂T ∂z
含义：反应了物体内部温度场和热流场之间的关系。 含义：反应了物体内部温度场和热流场之间的关系。说明 了物体内部各点的热流密度与温度梯度成正比 同时， 热流密度与温度梯度成正比。 了物体内部各点的热流密度与温度梯度成正比。同时，热 流密度向量与温度梯度向量在同一直线上，但方向相反， 流密度向量与温度梯度向量在同一直线上，但方向相反， 都垂直于等温面。 都垂直于等温面。
C 又 Q C
0 L
k 0 −1
Tm − TL = Tm − T
Tm − T k01−1 ∴ f s (T ) = 1 − ( ) Tm − T L
21
第五节 凝固潜热的处理 的表达式可知， 由上述两种 f s (T ) 的表达式可知， f s (T ) 是温 度的非线性函数，给数值计算带来困难。 度的非线性函数，给数值计算带来困难。 因此，在凝固过程的数值模拟中，采用不同的 因此，在凝固过程的数值模拟中， 方法来处理凝固潜热的析出。 方法来处理凝固潜热的析出。目前常用等价比热容 温度回升法和热焓法。 法、温度回升法和热焓法。
热传导中的傅立叶热传导定律和热传导方程
热传导中的傅立叶热传导定律和热传导方程热传导是物体中热能由高温区域向低温区域传递的过程。
为了准确描述热传导现象，在热力学中引入了傅立叶热传导定律和热传导方程。
本文将详细介绍这两个概念，帮助读者更好地理解热传导的基本原理和数学描述。
一、傅立叶热传导定律傅立叶热传导定律是基于傅立叶分析的理论，用于描述物体内部热传导的规律。
根据傅立叶热传导定律，热流密度（q）正比于温度梯度（▽T）的负方向，即：q = -k▽T其中，q表示热流密度，单位为瓦特/平方米（W/m²），表示单位时间内通过单位面积传输的热量；k表示热导率，单位为瓦特/米·开尔文（W/m·K），表示物质导热能力的大小；▽T表示温度梯度，单位为开尔文/米（K/m），表示单位长度内温度的变化量。
根据傅立叶热传导定律，热流由高温区域到低温区域，且热流密度的大小与温度梯度成正比。
如果物体温度均匀分布，即温度梯度为零，那么热流密度也为零，即没有热传导现象发生。
二、热传导方程热传导方程是描述热传导过程的偏微分方程，通过时间和空间导数描述了热量在物体内部的传递规律。
一维空间中的热传导方程可以表达为：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示温度场，即温度随着时间和空间变化的函数；α表示热扩散系数，单位为米²/秒（m²/s），表示热量在物体内部传递的速率。
热传导方程的解得到了温度场随时间和位置的变化规律，通过求解热传导方程，可以预测物体内部温度的变化情况。
根据不同的边界条件和初值条件，可以得到具体问题的解析解或数值解。
三、热传导现象的应用热传导现象在日常生活中有着广泛的应用。
首先，热传导是制冷和加热技术的基础，如空调、冰箱、电磁炉等设备的工作原理都与热传导密切相关。
其次，热传导定律和热传导方程在工程领域中应用广泛，如热传导材料的选择、热传导的优化设计等方面。
另外，热传导也在科学研究中起着重要的作用。
傅里叶热传导定律推导
傅里叶热传导定律推导傅里叶热传导定律是热学中一个非常重要的定律，它可以描述固体物体内部的温度分布与时间演化规律。
本文将围绕傅里叶热传导定律进行推导，从而了解其具体含义以及应用。
第一步，我们需要对傅里叶热传导定律进行简要介绍。
其表述如下：热传导方程可以写作：ρc∂T/∂t=k∂²T/∂x²，其中ρ是物质密度，c是材料比热，k是热传导系数，T是温度，t表示时间，x表示空间位置。
上式表达了一个基本物理事实，即热量从高温处向低温处传导，这样，如果存在温度差异，热量就会被传导并最终达到热平衡。
在上式中，第一项是材料内部吸收或释放的热，第二项是热量传输的本质。
下面我们将简要讨论如何推导这个方程。
第二步，我们需要研究热量传导过程的物理机制。
这个过程的数学细节可能较难掌握，但是我们可以从物理直觉出发，设想一个热传导实验：假设一块物体的两个端口分别处于高温和低温的环境中，而它们之间存在一些热耗散物质如导热油或导热铜片，那么随着时间的流逝，物体内不同位置的温度分布依次被观测到，温度的变化规律是什么？第三步，我们可以设定一些假设来推导出傅里叶热传导定律。
基于这个简单的实验假设，我们可以发现，如果两端口的温差越大，物体内部温度变化的速度就越快，而如果物质内部的导热能力越强，温度变化的速度就越慢。
我们假设这些规律可以用下面的数学形式来描述：dT/dt=-g(T-T1)+d²T/dx²这里，dT/dt是温度变化率，g是温度所受的热力，T1是环境温度，d²T/dx²是热传导系数的函数。
第四步，我们进行几次数学变化和推导，最终得到热传导方程的一般形式。
在这个过程中，我们采用了傅里叶分析的方法，将热传导方程映射到频域上，根据傅里叶级数的展开公式推导出一种新的求解方式，这种方式无论是对于周期性、间断性函数还是连续函数都具有极高的适用性。
综上所述，傅里叶热传导定律是一种描述物体内温度分布与时间演化的重要定律。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导热的波动性(wave) 及傅立叶导热定律的修正(modification) 各向异性介质中的导热(anisotropic medium ) 热传导过程的能量平衡及其表现形式 导热微分方程在正交坐标系(ORTHOGONAL CURVILINEAR COORDINATE SYSTEM)表述
高等传热学
hit
fi
(r,t)
t = f (r)
在区域 R, τ>0 在边界面 Si, τ>0 在区域R, τ>0
高等传热学
第一讲总结conclusion
导热热量传递的波动性 傅立叶导热定律的一般表达 傅立叶导热定律的修正 各向异性物质中的傅立叶导热定律及导热系
数 导热方程 正交坐标中导热微分方程的表达
如果微分方程、或边界条件或两者都是非齐 次的话，则要求解的问题称为非齐次问题
高等传热学
下面问题属那类问题？
1 t 2t
a
i
t ni
hit
0
t = f (r)
在区域 R, τ>0 在边界面 Si, τ>0 在区域R, τ>0
高等传热学
下面问题属那类问题？
1 t 2t qv
a
C
i
t ni
考虑热传播速度的有限性
对于无源项情况，
1 2t
c2 2
a1t
2t（双曲线
型 hyperbola 偏微分方程）
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修 正
导热微分方程在正交坐标系(orthogonal curvilinear coordinates)中表述
梯度 (gradient) 一般表达式在附录(Appendix) 3 中式（9）
的内热源(inner heat source)开始发热，按照经典的傅
立叶导热定律，其定解(unique solution)问题可以用以
下表达：
t
＝a
2t x2
f
(x, )
t(x, ) 0 0
式中： f（x，）Q（x，） c
高等传热学
按格林函数(Green function)法求解可得温度分布 (temperature distribution)：
(c)t ( t)qV0
即
(c)t(t)qV
（注意：只适用于各向同性材料）
高等传热学
各种常物性(constant property)材料的导热 微分方程
无内热源项： 1 t 2t （抛物线型偏微分方程）
a
稳态导热+无内热源：
2t
qV
0
(泊松方程 （ ） 椭圆型偏微分方程）
2t 0 （拉普拉斯方 程）
1 1 1 H 1 q 1e1H 2 q 2e2H 3 q 3e3
按温度变量(variable)有：
3
t
1
t
ei
i1 Hi xi
（a)
Hi称为拉梅(Lame)系数（或度规系数）
高等传热学
根据附录3式（10），得热流密度(heat flux)的散度：
•q1 3 Hi1
xi
H (Hi qi)
在稳态导热情况下，热量传递速度可以看成无限大
方程说明什么？各变量是何含义？ 在直角坐标系中，上式如何描述？
高等传热学
经典傅立叶导热定律所得出热量传递 速度无限大的证明(prove)
针对初始温度为0℃的无限大一维物体，突然有单位体积
(unit volume) 发热量(heat generation rate)为Q(x,τ)
有热扰动(heat disturbance)引起的瞬态 温度分布必将滞后于热扰动
温度场的重新建立滞后于热扰动的时间称为 松弛时间（或驰豫时间）relaxation time
高等传热学
以c代表热量传递速度，τ0代表驰豫时间，则在温度场重 新建立期间，热扰动传播的距离为δ＝c τ0，从热扩散率 角度来看，热扰动传播距离可以表示为δ＝a/c，从而：
导热积分方程 integral equation 导热微分方程 differential equation 导热变分方程 variation equation
高等传热学
导热积分方程及其推导
heat conduction integral equation and its deduction
能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系， 与能量传递过程中具体行为无任何联系
故可认定上述结论是傅立叶导热定对于一个处于稳定状态的热传导系统，当系 统内部（interior）或边界（boundary） 出现一个热扰动时，原来的稳定状态便被破 坏(destroy)
通过一段时间的热量传递，系统将达到一个 新的稳定状态
任何一点的温度都要受到瞬时热源的影响 这意味着热量传递速度无限大
质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域，
不论空间介质种类如何（热量传播速度无限 大）
温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的 份额不同
热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量 守恒原理而得
(
V
e)dV Aq•n d A Vq VdV
将内能与温度的关系e = ct和傅里叶定律 q t
代入上式，则有：
V (ct)d V A t• nd A Vq vdV
这就是导热积分方程（integral equation），它针对物体内 任意区域。
高等传热学
导热微分方程及其推导
曾经的推导方式是怎样？ 在具体坐标系下，对微元体(different
声波(sound wave )的实质与水波(water wave )完全一致，只是水波能看到，声波 看不到
高等传热学
热的波动性wave of the heat
导热的微观机理根据物质形态的不同而有差 别
热传导过程的实现由两种相互独立的机制完 成（1）利用晶格(crystal lattice)波的振动 和声子(phonon)的运动；（2）自由电子 (free electron) 的平移移动
在导热时的能量传递是微观粒子的波动或运 动导致
导热时热量的传播速度不会以无限大的速度 (infinite speed) 进行
高等传热学
经典傅立叶导热定律的适用条件
applicable condition of the Fourier’s low
q gr a d tt tn
n
经典的傅立叶导热定律针对稳态(steady state)观察所 得，没有考虑热的波动性
t x2
t x3
可以通过坐标变换(coordinate system transformation )，在一个确 定的坐标系（ξ1，ξ2， ξ3）下，
11 12 13
[] 21
2 2
2
3
31 32 33
1 0 0
[]
0
2
0
0 0 3
坐标轴(coordinate axis) Oξ1，Oξ2，Oξ3称为导热系数主轴 (principal axis)，λ1，λ2，λ3成为主导热系数。
高等传热学
修正的傅立叶导热定律 modified Fourier’s low
a
q
q t
c2
或：
0
q
q
t
与一般的傅立叶导热定律有何区别 更多内容可参阅“热传导、质扩散与动量传
递中的瞬态冲击效应”一书，作者：姜任秋
高等传热学
各向异性介质中的导热
heat conduction in the anisotropic medium
Aq• ndA
V qV dV
内能增加量 intrinsic energy increasing
V
(e)dV
将各项表达式代入热平衡式：
( V
e)dV Aq•n d A Vq VdV
上式称为导热方程的积分形式 integral form（注意：各向同
性，异性均适用）
导热积分方程
heat conduction integral equation
热传导过程的能量平衡及其表现形式
energy balance for heat conduction and its mathematical form
导热方程式是以数学形式体现的在热传导过程中、特定考 虑区域内的能量守恒规律，即简化的热力学 thermodynamics 第一定律。 它揭示了温度场在时——空领域内的内在联系。
element) 应用能量平衡原理
基于导热积分方程，利用散度定理 (divergence theorem) 推导
高等传热学
按散度定理，将对面积的积分(surface integral)改为对体积的积分
(volume integral)
Aqnd AVdiqd v V V qdV
则积分形式成为：
机械波的形成 Form of the mechanical wave
物体的振动(vibration)要与周围物质发生 相互作用，从而导致能量向四周传播
机械波正是这样一个机械振动的传播过程 机械波的形成需要两个条件：波源(source)
及传播振动的物质(media) 波源是引起波动的初始振动物体 传播振动的物质一般为弹性介质(elastic
（b)
其中，H ＝ H1×H2×H3
由（a) 、（b)两式及傅立叶导热定律，可得:
(t)H 1i 31 xi (H H i2xti)
将此表达式代入导热微分方程，则：
( c)tH 1i 31 xi (H H i2 xti)qV
齐次（Homogeneous）问题与非齐次 问题