相场法数值 模拟
Al_Si合金凝固组织的数值模拟(微观组织模拟paper)
摘 要凝固组织对铸件的性能有重要影响，对凝固组织的控制研究，过去一般采用物理实验的方法，浪费了大量的人力和物力，实验周期长，使得该方法在实际应用中的范围受到了一定限制。
随着金属凝固理论的日益完善以及计算机技术在材料科学、冶金学上应用的迅猛发展，使得计算机技术对凝固组织进行准确的模拟成为可能。
本文建立了有限元（Finite Element）和元胞自动机法（Cellular Automaton）相结合的宏微观耦合的CA-FE模型，采用有限元法（FE）计算宏观温度场，元胞自动机法（CA）计算微观凝固组织形成，与宏观传热进行耦合。
在微观计算中，形核计算采用了基于高斯分布的连续形核模型，生长计算采用了扩展的KGT模型，使其适用范围由二元合金扩展至多元合金。
应用CA-FE模型模拟了Al-Si合金的三维凝固组织，并进行了热态验证实验，应用修正的数学模型模拟并分析了原始成分、形核参数、浇注条件和铸模对凝固组织的影响。
研究结果表明：（1）模拟结果能够较为准确地反映出等轴晶和柱状晶的分布位置、比例和大小，并能较好描述凝固过程中晶粒生长情况，说明CA-FE模型是模拟凝固组织的有效模型；（2）降低原始成分Si含量以及提高过冷度是有利于柱状晶的发展，而增大形核密度是有利于等轴晶的发展，且能细化晶粒；（3）提高浇注温度，凝固组织中柱状晶增多，且晶粒明显变得粗大，而铸模外界冷却强度对铸件凝固组织的影响不大；（4）增大铸模厚度和使用冷却能力强的铸模都将使凝固组织中柱状晶比例增大，当使用冷却能力差的硅砂模时，凝固组织没有柱状晶而全为等轴晶。
关键词：有限元；元胞自动机法；数值模拟；凝固组织；等轴晶；柱状晶AbstractSolidification structure has an important influence on the performance of casting. In the past, the method of physical experiment was applied to the research of controling the solidification structure generally, however, a great deal of time and efforts should be put while using this method. so it is limited in the practical application. With the improvement of metal solidification theory and the rapid development of computer technology used in materials science and metallurgy, it has become possible to simulate the solidification structure accurately with computer technology.The CA-FE model was built through coupling the finite element and cellular automaton method. The finite element method was used to calculate macro temperature, and the cellular automaton method was used to simulate solidification microstructure with coupling the macro temperature calculation. In microstructure simulation, the nucleation adopts the continuous nucleation model based on Gaussian distribution, and the growth adopt the extended KGT model which fit complex alloy expanded from binary alloy. The three-dimensional solidification structures of Al-Si alloy was simulated by CA-FE model with hot verification test. In addition, the effects of primitive composition, nucleation parameters, casting conditions and the mold on solidification structures were analysised.The results show as follows:(1) The simulated results can accurately reflect the distribution, proportion, size of equiaxed grain and columnar grain，and can describe the grain growth well in the solidification process, so the CA-FE model is a effective model to simulate the solidification structure.(2) Reducing primitive composition of Si element and increasing undercooling are conducive to the development of columnar grains, but increasing nucleation density is conducive to the development of equiaxed grains, and can fine grains.(3) Raising the casting temperature, the proportion of columnar grain will increase, and the grains become coarse obviously，but the effect of the cooling intensity outside the mold on solidification structure is slight.(4) Enlarging the thickness of the mold or using the mold with strong cooling capacity, the proportion of columnar grain will increase. While using the Silica Sand mold with weak cooling capacity, the solidification structure were composed with all equiaxed grains and without columnar grain.Key words：finite element; cellular automaton; numerical simulation; solidification structure;equiaxed grain; columnar grain目 录第一章文献综述 (1)1.1 引言 (1)1.2 凝固组织的形成与控制 (2)1.2.1 铸件的凝固组织 (2)1.2.2 凝固组织的形成及影响因素 (3)1.2.3 凝固组织对铸件性能的影响 (4)1.2.4 凝固组织的控制 (5)1.3 凝固组织模拟的研究方法 (7)1.3.1 确定性方法(Deterministic Method) (7)1.3.2 随机性（概率）方法( Stochastic Method) (8)1.3.3 相场法(Phase field Method) (10)1.3.4 三种方法的对比 (11)1.4 凝固组织数值模拟的国内外研究进展 (12)1.4.1 国外研究 (12)1.4.2 国内研究 (15)1.4.3 存在问题及今后发展趋势 (16)1.5 本文所研究的主要工作 (17)第二章铸件凝固过程宏微观耦合模型 (19)2.1 宏观温度场计算模型 (19)2.1.1 热传递的基本方式 (19)2.1.2 热传导微分方程 (20)2.1.3 瞬态温度场的有限元解法 (21)2.2 微观动力学模型 (23)2.2.1 形核模型 (23)2.2.2 枝晶尖端动力学模型 (26)2.3 耦合计算模型 (29)2.3.1 耦合计算流程 (29)2.3.2 凝固潜热处理 (31)2.3.3 固相分数的确定 (32)2.4 本章小结 (33)第三章数学模型的计算与验证 (34)3.1 实验 (34)3.1.1 实验材料 (34)3.1.2 实验设备 (34)3.1.3 实验步骤 (35)3.1.4 实验结果 (35)3.2 数值模拟过程 (35)3.2.1 网格划分 (35)3.2.2 热物性参数 (35)3.2.3 初始条件 (36)3.2.4 边界条件 (37)3.2.5 生长系数 (37)3.2.6 形核参数 (38)3.3 模拟结果及分析 (38)3.3.1 模拟结果 (38)3.3.2 柱状晶生长 (40)3.3.3 中心等轴晶生长 (42)3.4 本章小结 (43)第四章 AL-SI合金凝固组织的数值模拟与分析 (44)4.1 原始成分对凝固组织的影响 (44)4.2 形核参数对凝固组织的影响 (45)4.2.1 过冷度对凝固组织的影响 (45)4.2.2 形核密度对凝固组织的影响 (46)4.3 浇注条件对凝固组织的影响 (47)4.3.1 浇注温度对凝固组织的影响 (47)4.3.2 外界冷却强度对凝固组织的影响 (49)4.4 铸模对凝固组织的影响 (50)4.4.1 铸模厚度对凝固组织的影响 (50)4.4.2 铸模材料对凝固组织的影响 (52)4.5 本章小结 (53)第五章：结论 (54)参考文献 (55)致谢 (58)附录：发表的论文 (59)第一章文献综述1.1 引言众所周知，决定铸件产品机械性能的最本质因素是铸件内部晶粒在宏观上的几何形态，即铸件的凝固组织结构，包括晶粒的形貌、大小、取向和分布等情况。
冶金工程中的冶金过程模拟
冶金工程中的冶金过程模拟冶金过程模拟是冶金工程领域的重要分支，它通过数学模型和计算机仿真技术来研究冶金过程中各种物理、化学和流体力学现象，以求掌握冶金工艺的基本原理、优化加工工艺、提高生产效率和优化产品质量。
本文将从模拟方法、模拟对象以及模拟应用等方面来介绍当前冶金过程模拟的研究现状和发展趋势。
一、冶金过程模拟的方法1. 有限元方法有限元方法是一种广泛应用于模拟材料和结构的数值分析方法。
它将材料或结构分割成许多小的元素，每个元素都有自己的特性和物理参数。
通过对每个元素的特性进行分析和计算，就能得出整个模型的性质和行为。
在冶金过程模拟中，有限元方法主要应用于金属加热、变形、冷却等过程的研究。
例如，有限元模拟可以通过计算金属加热和冷却的速度、温度分布、应力和应变分布等参数，来研究金属的热机械加工过程、热处理过程等。
2. 离散元方法离散元方法是将物体分解为一些小的离散元素，通过定义元素间相互作用力的规律，来模拟物体的动态行为。
离散元方法主要应用于粉末冶金、矿冶等领域的研究。
在冶金过程中，离散元方法可以用于模拟在粉末冶金制备过程中粉末颗粒的流动、挤压、压缩等变形行为，也可以用于模拟金属的流动、变形等行为。
3. 相场模拟方法相场模拟方法是一种基于自由能原理的数值计算方法，它将每个空间点的自由能作为控制该点的物理状态和物质相的参数。
通过计算物理场和动态过程的变化，可以预测物质相变、成分变化、微观组织演化等。
在冶金过程模拟中，相场模拟方法可以用于预测材料的针状晶、板条状晶、球状晶等复杂组织的形成机制及其演化规律。
二、冶金过程模拟的对象1. 粉末冶金过程粉末冶金是通过将微米级或纳米级的粉末加工成所需形状的金属制品的一种非常重要的制备方法。
粉末冶金过程中，细粉末的制备、混合、压制和热处理工艺对最终产品的质量和性能具有非常大的影响。
通过粉末冶金过程模拟，可以预测不同的制备工艺对产品性能的影响，优化冶金工艺参数，减少成本和能源消耗，提高粉末冶金的生产效率和产品质量。
热处理过程中的相变行为数值模拟研究
热处理过程中的相变行为数值模拟研究一、引言热处理是制造业中重要的工艺流程之一，通过控制材料的温度和时间，可以改变材料的物理、化学性质以及微观结构，从而提高材料的性能。
在热处理过程中，材料可能经历相变行为，其中包括固态相变和液态相变。
为了更好地了解和优化热处理过程中的相变行为，数值模拟成为了一种有效的方法。
二、相变行为的数值模拟方法1.相变模型的选择相变行为模拟的准确性取决于所选择的相变模型。
常用的相变模型包括Avrami模型、Johnson-Mehl-Avrami (JMA)模型、Kolmogorov-Johnson-Mehl-Avrami (KJMA)模型等。
这些模型基于不同的理论和假设，适用于不同的材料和相变行为。
在选择相变模型时，需要考虑材料的特性和相变过程的特点，以获得准确的模拟结果。
2.数值方法的选择相变行为的数值模拟可以使用不同的数值方法，如有限元方法、有限体积方法、相场方法等。
其中，相场方法是常用的数值方法之一，通过对材料中的相场参数进行求解，可以描述相变界面的演化过程。
相场方法可以考虑相变界面的形态演变、扩散和非均匀性等因素，对相变行为进行较为准确的模拟。
三、热处理过程中的固态相变数值模拟研究在热处理过程中，固态相变是常见的相变行为之一，它对材料的性能和微观结构有重要影响。
固态相变的数值模拟可以帮助研究人员了解相变过程中的温度分布、相变界面的演化以及相变速率的变化规律。
在固态相变数值模拟的研究中，需要考虑以下几个方面：1.材料的热力学性质热处理过程中的固态相变受材料的热力学性质和参数影响。
在数值模拟中，需要考虑材料的相图数据、相变温度和相变潜热等参数，以准确描述相变行为。
2.热处理过程的温度分布热处理过程中，材料的温度会随着时间和空间的变化而发生变化。
数值模拟可以通过求解热传导方程，得到热处理过程中的温度分布。
温度分布的准确模拟对于相变行为的研究至关重要，可以帮助研究人员理解相变界面的形态演化和相变速率的变化规律。
用相场方法模拟二维枝晶生长
东北大学硕士学位论文用相场方法模拟二维枝晶生长姓名：***申请学位级别：硕士专业：材料加工指导教师：***2000.1.1东北大学顶士论文摘要ｆ最近的十年中，铸件凝固过程的数值模拟取得了很大的进展，并逐步应用到实际生产中。
特别是近年来，微观组织的数值模拟也取得了成功。
一般来说，微观组织的数值模拟方法主要有三种：确定性方法，概率方法以及最新的相场方｝｝一直接微观组织模拟方法。
本文对这些方法进行了回顾。
确定性方法和概率方法二者都是用于模拟多个晶粒的生长过程，相场方法则是模拟一个枝晶的生长过程。
大多数情况下，金属材料的力学性能主要取决于凝固期间所形成的微观组织。
最近的研究发现，影响金属材料力学性能的决定因素不仅取决于晶粒的大小，更主要取决于晶粒内枝晶的细化程度、疏松、夹杂以及显微偏折的分布。
技晶是晶体生长的一种主要类型，通常发生在铸造和焊接过程中。
在工程材料中，枝晶的形貌决定材料的最终性能，如裂纹、抗腐蚀性、屈服强度及韧性。
所以，掌握和控制凝固过程的枝晶生长是获得理想产品的关键。
相场方法是模拟一个枝晶生长的新方法。
它是由引入的新变量一相场嘶，ｆ）而得其名，相场是一个序参量，表示系统在时间和空间的物理状态（固态和液态）。
相场理论以Ｇｉｎｚｂｕｒｇ－－Ｌａｎｄａｕ相变理论为基础，通过微分方程反应扩散、有序化势及热力学驱动力的综合作用。
相场方程的解可咀描述金属系统中固液界面的状态、曲率以及界面的移动。
把相场方程与外场（温度场、溶质场、速度场）耦合，则可以对金属液的凝固过程进行真实的模拟斗一ｃ一．本交根据相场理论建立了纯物质过冷溶液中枝晶生长的相场模型。
该模型以熵泛函为基础，通过熵泛函推导出热力学一致性的相场控制方程，并考虑了晶体的各向异性、随机扰动的影响。
同时构造了合理可行的相场和温度场的数值计算方法。
利用上述模型和方法在微机上编制二维凝固模拟程序，并针对各向异性模数为４的纯物质镍（Ｎｉ）进行了数值计算。
成功地模拟了等轴枝晶生长过程的组织演化，并研究了各向异性强度对等轴枝晶形貌的影响。
基于相场模型及涡量流函数形式的一种多相流数值模拟方法
基于相场模型及涡量－流函数形式的一种多相流数值模拟方法1）黄军杰2），王时龙重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆400044摘要：本文提出一种基于相场（Phase-Field）模型及涡量－流函数形式的二维多相流模拟数值方法。
基于相场的多相流数值模拟需求解两组方程：流动控制方程（具体为不可压Navier-Stokes方程）及界面演化方程（这里使用Cahn-Hilliard方程）。
与常见方法不同的是，对于流动控制方程，本文采用其涡量－流函数形式，并且给出涡量－流函数形式下包含界面张力作用的涡量演化方程及适当的边界条件。
两组方程都使用有限差分法进行空间离散，采用四阶龙格库塔（Runge-Kutta）法进行时间推进。
另外本方法采用空间交错网格，涡量和流函数定义于网格节点，而相场变量（包括相序参数和化学势）定义于网格中心。
对于相场变量的空间导数，本文尝试使用了一般二阶中心差分以及各向同性的九点差分格式（借鉴格子玻尔兹曼方法（Lattice-Boltzmann Method, LBM））。
通过三个基本的多相流算例（平整界面，静止液滴的表面张力平衡以及接触角），本方法得以初步验证；此外，以一种格子玻尔兹曼方法作为参考，本文亦对一般中心差分以及各向同性的差分格式作以比较。
本文认为涡量－流函数形式的多相流模拟方法有其一定的优势，可作为现有常见基于压力-速度形式方法的一种替代来研究某些多相流问题（特别是二维和轴对称问题）。
关键词：多相流；数值模拟；相场模型；涡量－流函数引言很多工业问题中（如石油，化工，食品，化妆品及制药等）都涉及到多相流。
对于不可混合的液－液两相流系统的研究在理论和工程应用中都有重要意义。
基于相场模型的多相流模拟方法近年来发展迅速，颇受关注。
这类方法基于流体临界点附近的理论，使用狭窄但具有有限厚度的区域来代表界面，可以更自然的处理界面的拓扑变化（如液滴融合和分离）[1,2,3,4]。
现有相场多相流模拟方法大多采用基于速度－压力形式的流体控制方程[3,4]。
相场法模拟增材制造及焊接过程中显微组织的研究进展
金属凝固过程是一个复杂的过程，涉及到高温、组织相变以及熔体与基体材料之间的相互影响。
随着计算机技术及数值模型的快速发展，通过数值模拟方法研究增材制造以及焊接熔池的凝固过程成为可能。
近年来，学者们通过数值模拟方法积极探索凝固过程显微组织的演变规律，以实现对材料（零件）力学性能和物理性能的预测，获取工艺调控凝固组织的理论依据，并建立工艺参数与组织演变的关系。
目前，对凝固过程中显微组织进行数值模拟的常用方法有确定性方法、蒙特卡洛法、元胞自动机法和相场法。
增材制造（AM）是一种利用计算机辅助设计逐层堆积材料的零件成形技术，具有周期短、可成形复杂结构零件、力学性能优异等特点，广泛用于航空航天、汽车船舶、武器装备等领域高端装备的制造。
增材制造过程中熔池的凝固行为影响诸如溶质偏析、裂纹、气孔等缺陷的形成，同时也会影响熔池组织的尺寸和形态，最终决定零件的性能。
通过传统试验方法能够获得工艺参数对熔池组织、气孔、裂纹等的影响规律，实现优化工艺、改善构件质量的目的。
然而，大量的试验不仅耗时耗力，而且由于增材制造过程中熔池体积小、凝固速率快，采用试验方法难以对熔池内部凝固过程进行观测，无法获得完整凝固组织的形成过程，只能解决宏观层面的问题。
有效控制显微组织演变，进而提高材料性能是增材制造技术的发展方向之一。
同样，焊接熔池的凝固过程类似于激光增材制造熔池的凝固过程。
常用的显微组织模拟方法确定性方法是以晶核和生长物理模型为起点，利用确定的微观运动方程描述系统状态，以经典凝固动力学理论为基础的一种方法。
确定性模型指在给定时刻和一定体积内，晶粒的形核密度和生长情况均为确定的函数，但这些函数需要通过试验才能得到。
由此可知，确定性方法具有真实的材料组织演变的物理基础，并且使用该方法能够构建出符合系统物理本质的数学模型且能够精确预测特定系统的组织特征。
元胞自动机法即CA法，是在20世纪40年代后期提出的，这种数值算法常用于处理和描述复杂系统在空间和时间上的演化规律。
复合材料热处理数值模拟模型建立及参数优化
复合材料热处理数值模拟模型建立及参数优化引言：复合材料是一种由两种或两种以上不同材料组成的新材料，具有较高的强度、刚度和耐磨性，被广泛应用于航空航天、汽车、船舶等领域。
在复合材料的制造过程中，热处理是一种重要的工艺，可以显著改善复合材料的性能。
数值模拟是研究复合材料热处理过程的有效方法，可以帮助工程师优化工艺参数，提高产品质量。
本文将探讨建立复合材料热处理数值模拟模型及参数优化的方法。
一、复合材料热处理数值模拟模型建立1.材料建模复合材料分为纤维增强复合材料和粒子增强复合材料两种。
在建立数值模拟模型时，需要将复合材料的宏观性能转化为材料模型中的本构关系。
对于纤维增强复合材料，可以通过等效材料法将其转化为各向同性材料进行建模；对于粒子增强复合材料，可以考虑粒子间的相互作用力，采用微观力学模型进行建模。
2.热传导模型热传导是复合材料热处理过程中的重要现象，其数值模拟模型需要考虑复合材料的热导率、热扩散系数和热源等因素。
可以利用有限元方法建立复合材料的热传导模型，并根据实际情况引入适当的边界条件。
3.相变模型复合材料在热处理过程中可能会发生相变，如固态相变、液态相变等。
相变模型的建立需要考虑复合材料的相变温度、相变潜热等参数，可以采用相场方法或相变耦合模型进行建模。
4.热应力模型由于复合材料的热膨胀系数和热导率在不同温度范围内可能存在差异，热处理过程中可能引起热应力的产生。
建立复合材料的热应力模型可以帮助预测热处理过程中的应力分布，进一步优化热处理参数。
二、参数优化方法1.设计实验为了建立准确可靠的数值模拟模型，在进行参数优化之前，需要进行一系列实验来获取材料的热性能参数和相关数据。
实验内容包括材料的热导率、热膨胀系数、热容等参数的测量，以及热处理过程中温度场、应力场等数据的采集。
2.响应面法响应面法是一种常用的参数优化方法，通过建立数值模拟模型，选取关键参数并进行多组实验，然后利用响应面模型对实验结果进行分析和拟合，最终得到最优参数组合。
枝晶生长过程的相场方法模拟研究
模型 进行 了定 量 模 拟 ， 随后 ， Ｊ ｅ ｏ ｎ ｇ 首 次耦 合 流 场
进行 了三维模 拟 。 于艳 梅 ］ 、 张 玉 妥 ］ 、 李 新 中［ １ ０ ］
个非 守恒 型方 程 组 成 ， 分 别 描 述 了 序 参 量 （ ， ｔ ）
续 点时 首先 提 出 的 。相场 模 型 由 Ｃ ｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｓ 、 Ｌ ｅ ｖ ｉ ｎ ｅ ［ １ ３ ３ 和Ｋ ｏ ｂ ａ ｙ ａ ｓ ｈ ｉ 用 来研究 枝 晶 的生 长 。相场 模 型 普
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ － １ １ － ０ ３
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在方程 （ １ ）中， 下是松 弛时 间 ， Ｇ ［ ］是 系统 的 自
由能 函数 ， “ 一 ”确保 当相 变层 总 自由能减 小 ， 系统 的
基金项 目： 山西省 自然科学基金 （ ２ ０ １ ２ ０ １ １ ０ １ ９ － ２ ） ； 太原科技大学博士基金 （ ２ ０ １ １ ２ ０ １ １ ） 作者简 介 ： 张晨辉 （ １ ９ ９ ０一） ， 男， 硕士研究生 ， 主要研究方 向为微分方程与工程数值计算 。
参数 （ ７， ｔ ）表示 系统 在时 间 ｔ 和 空 间 ７处 的物 理
的平 面状 ， 某 些 界 面局部 出现前 凸 ， 生 长速 率 加快 ， 形成 枝 晶。Ｋ ｏ ｂ ａ ｙ ａ ｓ ｈ ｉ 提 出 了纯 金 属 枝 晶 生 长 的相 场模 型 ， 随 后 Ｗｈ ｅ ｅ ｌ ｅ ｒ 【 １ － ２ ］ 等完 善 了 Ｋ ｏ ｂ ａ ｙ ａ ｓ ｈ ｉ 提 出 的模 型并 定 量模 拟 了 纯镍 的枝 晶 生 长 。Ｋ ａ ｒ ｍ ａ ＿ ３ Ｊ 等对 相 场 模 型 进 行 了薄 界 面 限制 下 的渐 进 分 析 。
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四、相场方程 (phase-field equations)
Ginzburg-Landau 方程 f 0 k (r , t ) F Lk k k Lk t k (r , t ) k
Cahn-Hilliard 方程
2、凝固-单相场变量
ϵ 2 * 2 F f 0 ( xB , , T ) (xB ) ( ) dr V 2 2
等温凝固，假设摩尔体积不变，即组成梯度项不考虑 ϵ则=0
均质自由能密度
f 0 ( xB , , T * ) f p ( xB , , T * ) g ( )
图1（a）性能不连续
（b）性能连续
N. Moelans, B. Blanpain , P. Wollants, "An introduction to phase-field modeling of microstructure evolution", CALPHAD -Computer Coupling of Phase Diagrams and Thermochemistry, 32, 268-294, 2008
相场量(phase-fields)
两相
多相
p相，相应的变量 k 在系统中任一点 r
1表示在固相中 0表示在液相中 0 1在固液界面
k 1
p
k
1，k 0, k
三、热力学势函数 (thermodynamic energy functional)
经典热力学
F ( xB ,k ) f 0 ( xB ,k ) 1 xB (r , t ) M M xB (r , t ) Vm t xB (r , t ) xB
数值解(Numerical solution)
相场法数值模拟 phase-field modeling
内容
介绍 (Introduction)
相 场 法 数 值 模 拟
相场变量(Phase-field variables) 相场方程(Phase field equations) 热力学势函数(thermodynamic energy functional)
成分变量
假设C组分体系
x ci ni i V Vm tot C C ntot 1 x 1 , c i i V Vm i 1 i 1
xi
n n
i
1 c d r V i Vm
V
xi dr ni
xi 摩尔分数
ci 摩尔浓度
图2 两种不同组成区域
相场模型
该方法自提出 后，迅速成为 微观组织模拟 的热点
1.通过相场与温度场、溶质 场及其它外部场的耦合，能 有效地将微观与宏观尺度结 合起来。 2.由于不需要追踪晶界位置 能方便处理晶界上溶质聚集 和第二相析出问题，并能将 晶界能和晶界迁移率的各向 异性方便地考虑进去，还能 够较大程度避免点阵的各向 异性。
α相扩散到 β相的溶质 扩散方程 尖锐界面
c D 2 c t
c D 2c t
c c )D D r1 r1
(c
,int
c
,int
(c ,int ) (c ,int )
相场法原理
相场法是以GinzburgLandau理论为基础, 用微 分方程来体现扩散、有序 化势和热力学驱动的综合 作用, 它是建立在GinzburgLandau 唯象理论之上的 一种近代方法。
2 i , j 1 ri rj
el ij
2 k ,l 1i , j 1
tot el 0 ij ij ij el 0 ij ij
ri ri
弹性失配能
Elastic misfit energy
0 ij
图6 多相结构应变理论
b c d
B k
xB (r , t ) xB (r , t ) xB , 0
x ij (r )
B
k
1 da ij a dxB 根据胡克定律可得： el tot 0 ij (r ) Cijkl (r ) kl (r ) Cijkl (r )[ kl (r ) kl (r )]
均质与非均质体系 Homogeneous versus heterogeneous systems
图5 自由能与浓度的关系
Nele Moelans.Phase field method to simulate microstructural evolution (June 2004)
1、固态相变-对称性降低
2 双阱势函数 g ( ) （ 1 2） （ 1 xB） A xB A
f p ( xB , , T * ) (1 p( )) f ( xB , T * ) p( ) f p ' ( ) 30g ( ) p( ) 3 (6 2 15 10)
Hale Waihona Puke 构造局域自 由能密度数值模拟
结束语
相场模拟通过微积分放映扩散、有序化 以及热力学驱动力的综合作用。相场方程的 解可以描述系统中固液界面的状态、曲率以 及界面的移动。把相场方程与外场（如温度 场等）耦合，则可以模拟多晶的真实形貌。 相场法数值模拟从单相场发展到多相场， 从没有流场到包含流场，其数学模型越来越 接近真实模拟过程。
1
0 0 3 0 0 0 0 2 1 3 1 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3
有了弹性应变，就可以求得体系总的弹性形变能： el el 1 Fel Cijkl (r ) ij (r ) kl (r )dr 2 v
优缺点
1.计算量巨大，可模拟的 尺度较小（最大可达几十 个微米）。 2.相场参数不容易确定。
二、相场变量(phase-field variables)
保守场
指那些满足局域守恒条件的场变量 如人们最熟悉的浓度序参量c
非保 守场
指那些不满足局域守恒条件的场变量 如长程序参量η
保守场(conserved variables)
3
1 1 f 0 ( ) 4(f 0 ) max 2 4 4 2
1 3 2 1 3 4 Ai B i 2 k 1 4 k 1
各向异性
Anisotropy
界面能各向异性通过序参量的梯度项引入到自 由能表达式中，如： k l 1 3 xB xB 1 p 3 F f 0 ( xB , k ) ϵ ij ijkl dr V
( xB , T * )
图9 两相体系均质自由能三维图
7 组成自由能曲线 图8 图 双阱势函数与插值函数
非等温凝固
非等温凝固用熵函数来表示，避免表达式中出 现温度
ϵ' 2 ' 2 S s0 (e0 , xB , ) (xB ) ( ) dr V 2 2 e0 f 0 s0T e 0 内能 f 0 亥姆霍兹能
反相位结构 (anti-phase domain structure) 立方转变为四方相 (cubic to tetragonal transformation)
固相 转变
f 0 ( ) f
dis
A B C D
2 3
4
f (1 , 2 ,3 ) 1 3 2 C i 6 k 1
Nele Moelans.Phase field method: from fundamental theories to a phenomenological simulation method (June 2003)
弹性失配能
x 0 ij ( r ) ij xB (r ) ij k (r )
非保守场(non-conserved variables)
序参量 (order parameters)
1或 1表示有序域 0表示无序域
图3 反相位结构
非保守场(non-conserved variables)
图4 立方结构转化成四方结构有三个等同取向
非保守场(non-conserved variables)
F Fbulk Fint Fel Ffys
体积自由能 界面能 弹性应变能 电磁相互作用能 (bulk free energy) (interfacial energy) (elastic strain energy)
相场法-热力学
ϵ ϵ 和 k——梯度能量系数
2 ϵ k 2 Fint ( xB ,k ) f 0 ( xB ,k ) (xB ) (k ) dr V 2 k 2
1、有限差分方法 finite differences 2、自适应有限元法 finite elements based on adaptive 3、谱方法 spectral methods
图10 相场变量在空间和时间离散化
总结
将系统总能量写成所有取向 场变量及其它们梯度的函数
代入 相场方程
计算方法
基本类型
1.连续相场法：扩散方程 驰豫方程 2.微观相场法：实际是 Cahn-Hilliard 方程的微 观离散格点形式。Khachatuyran 引入微观场, 用于描述由原子占据晶 格位置的几率作为场变 量来描述微结构变化
于志生, 刘平, 龙永强.基于Ginzburg-Landau 理论的相 场法研究进展[J].材料热处理技术,2008,37(16):94~98