人教版七年级数学上册有理数的乘方
人教版数学七年级上册 有理数的乘方及混合运算
有理数的乘方及混合运算（基础）【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power )． 即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中，a 叫做底数， n 叫做指数. 要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．【典型例题】类型一、有理数乘方1. 把下列各式写成幂的形式：(1)22225555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；(3)xxxxxxyy ．2．计算：（1）3(4)-（2）（3）（4）（5）⎛⎫⎪⎝⎭335（6）335（7）22×3（）（8）22×3举一反三：【变式1】计算：(1)(-4)4(2)23(3)225⎛⎫⎪⎝⎭(4)(-1.5)2【变式2】（2015•长沙模拟）比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（）A．它们底数相同，指数也相同B．它们底数相同，但指数不相同C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D．虽然它们底数不同，但运算结果相同类型二、乘方的符号法则3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553⎛⎫⎪⎝⎭，-(-2)2010 34-4(3)-43-举一反三：【变式】计算：(-1)2009的结果是( )．A ．-lB ．1C ．-2009D ．2009类型三、有理数的混合运算4.计算： （1）()⎡⎤⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦211-1-0.5××2--33（2）()⎡⎤⎣⎦341-1-×2--36 （3）3201111(1+-2.75)×(-24)+(-1)--238（4）33211-+|-2-3|(-0.1)(-0.2)举一反三：【变式1】计算：4211(10.5)[2(3)]3---⨯---【变式2】计算：2421(2)(4)12⎛⎫-÷-⨯- ⎪⎝⎭5. 20032004(2)(2)-+-= （ ）（A ）2- （B ）4007(2)- （C ）20032 （D ）20032-举一反三： 【变式】计算：7734()()43-⨯-【巩固练习】一、选择题1．（2015•郴州）计算（﹣3）2的结果是（ ）A ．﹣6B ． 6C ． ﹣9D ． 92.下列说法中，正确的是（ ）A ．一个数的平方一定大于这个数；B ．一个数的平方一定是正数；C ．一个数的平方一定小于这个数；D ．一个数的平方不可能是负数.3.下列各组数中，计算结果相等的是 ( )．A ．-23与(-2)3B ．-22与(-2)2C ．22()5与225D ．(2)--与2-- 4．式子345-的意义是 （ ） A. 4与5商的立方的相反数 B.4的立方与5的商的相反数 C.4的立方的相反数除5 D.45-的立方 5．计算(-1)2+(-1)3＝( )A ．-2B ．- 1C ．0D ．26．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是( ) ．A ．7B ．9C ．3D ．17．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为( ) ．A ．312⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．512⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭米D ．1212⎛⎫ ⎪⎝⎭米二、填空题8．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在225中底数是________，指数是________． 9.（2015•湖州）计算：23×（）2= ． 10.()3--= ；52-= ；313⎛⎫-- ⎪⎝⎭= ；225= ． 11. 3[(3)]_______---=,233(2)_______-⨯-=12．213____+= ， 2135_____++=，21357_____+++= ，……，从而猜想：135+++……22005_____+=.13. 21(2)________3-=三、解答题14.（2014秋•渭城区校级期末）﹣23+（﹣3）2﹣32×（﹣2）2．15. 已知x 的倒数和绝对值都是它本身，y 、z 是有理数，并且2|3|(23)0y x z +++=，求32525x yz x y --+-的值．。
人教七年级数学上册第二章 有理数乘方的概念和计算
A．23和32
B．(－3)3和－33
C．(－3)2和－32
D．－(－2)和－|－2|
变式1：已知(x＋2)2＋|y＋1|＝0，则3xy2的值为－__6__．
变式2：计算：(1)0100；
－(542)
3；
(3)－25；
(4)(－0.5)3.
解：(1)原式＝0.
(2)原式＝－16245.
(3)原式＝－32.
Байду номын сангаас境导入
同学们，珠穆朗玛峰是世界最高的山峰，它的海拔高度约是8849 米，听说把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚 度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？ 对折一次，纸的厚度是多少？ 对折两次，纸的厚度是多少？ 对折五次呢？
故事导入 传说，古印度国王第一次玩国际象棋就被深深的迷住了.他决 定奖赏发明者，并让他自己提要求，发明者指着棋盘对国王说： “那就在棋盘的第一格中放入一粒麦粒，第二格中放入二粒麦 粒，第三格中放入四粒麦粒，第四格中放入八粒麦粒……按这 样的规律放满64格.” 国王反对说：“不、不、这么一点麦子算不上什么奖赏.”但发 明者坚持如此. 同学们，请想一想，如果国王答应发明者的要求，国王应给发 明者多少粒麦子？
24 3
，所以234
与
24 3
是不一样的
类似地，说说－an与－an、abn与
an b
的区别．
(－a)n 表示 n 个－a 相乘，而－an 表示 n 个 a 相乘的积的相反
数；abn表示
n
个ab相乘，而
an b
表示
a
的
n
次方与
b
的商
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
新人教版数学七年级上有理数的乘方课件
(5)、 0.=13 -0；.001 (6)、
(7)、 1=2n ；1 (8)、
点击中招：
= =
；.112n31
2
-1
1
8
2 若
x
3
=27，
=y225，xy＜0，则x+y的值为____
若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则
a b=2009 0 = cd 2008 1
课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获?
思考:
(-1)的偶数次幂为_1__
(-1)的奇数次幂为_-_1_
1的任何次幂为__1__
0的正整数次幂为_0___
0.13 ___, 1 4 _____ 2
104 _____,104 ____, 103 _____,103 _____
例1 ：计算 （1） 53 =125 （2） 4 2 =16 （3） （－3）4 =81
22 2
100
计算，在这个积中有100个2相乘。 这么长的算式有简单的记法吗？
§1.5.1有理数的乘方
知识目标：了解乘方的意义并能正确的读、写； 掌握幂的性质并能进行乘方的运算。
能力目标：培养观察、类比、归纳、知识迁移的能力。 通过乘方运算，培养运算能力；
教学重难点： 重点：有理数乘方的意义； 难点：幂、底数、指数的概念及其表示
课堂小结
1、通过这节课的学习，你有 哪些收获?
2、乘方的结果叫做幂，设n为正整数，
（－1）2n+1=_-1____
（-1）
2n
=
___1_____
珠穆朗玛峰是世 界的最高峰，它 的海拔高度是 8848米。
猜一猜
≈ 把一张足够大的 厚度为0．1毫米
人教版七年级数学上册1.5有理数的乘方教案
再者，我发现学生们在解决实际问题时，运用乘方知识的能力较弱。因此，我计划在接下来的课程中，设计更多与生活实际相结合的案例，让学生在实践中感受数学的魅力，提高他们解决实际问题的能力。
1.培养学生的逻辑推理能力：通过有理数乘方的性质和运算法则的学习，让学生掌握数学推理方法，提高其逻辑思维水平。
2.提升解决问题的能力：通过解决实际应用问题，使学生能够运用有理数乘方知识分析和解决问题，增强其数学应用意识。
3.培养数学抽象和建模能力：让学生从具体实例中抽象出有理数乘方的概念和规律，建立数学模型，提高其数学抽象和建模能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“有理数乘方在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了有理数乘方的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对有理数乘方的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版七年级数学上册1.5有理数的乘方教案
一、教学内容
本节教学内容为人教版七年级数学上册1.5节“有理数的乘方”。主要内容包括：
人教版七年级数学上册1.有理数的乘方——有理数的混合运算
总结
知1－讲
利用相反数、绝对值及倒数的概念求出字母单 个的取值及整体之间关系的取值，然后再求出式子 的值．
知1－练
1 计算：
(1)(-1)10×2+(-2)3÷4;
(2)
(-5)3-3×
1 2
4；
(3)
11 5
1 3
1 2
3 11
5 4
;
(4) (-10)4+[(-4)2-(3+32)×2].
为（ B ）
A.－4 B.4 C.12
D.－12
知识点 2 混合运算中的数字规律
例4 视察下面三行数：
知2－讲
-2 ，4，-8，16，-32，64，…；
0 ，6，-6，18，-30，66，…；
-1，2，-4，8，-16，32， ….
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
对照①③两行中位置对应的数，可以发现：
第③行数是第①行相应的数的0.5倍，即
-2×0.5，(-2)2×0.5，(-2)3×0.5，(-2)4×0.5，…. (3)每行数中的第10个数的和是
Hale Waihona Puke (-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×0. 5 =1 024+(1 024+2)-1 024×0. 5
第一章 有理数
1.5 有理数的乘方
第2课时 有理数的乘方——有 理数的混合运算
1 课堂讲授 2 课时流程
有理数的混合运算 混合运算中的数字规律
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
回顾旧知
有理数的乘法法则 1）两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）零与任何数相乘都得零. 有理数的除法法则 1）除以一个数就是乘以这个数的倒数； 2）两数相除同号得正，异号得负；并把绝对值相除； 3）零除以任何非零的数为零.
人教版七年级数学上册课件《乘方》
2 10
！议一议
3 2 与 （－3）2 结果相等吗？
-32 读作 32 的相反数，而（－3）2 读作－３的 平方
所以
（－3）2 ＝９
2
-3
＝－９
思考:说说下列各数的意义,它们一样吗?
(2)4和 24；
（ 2）4的意义是 2的4次方； 即4个 2相乘；
24的意义是2的4次方的相反数。
解:(1)原式= 2 (27) (12) 15 541215 27
例3 计算：
(2)(2)3 (3) [(4)2 2] (3)2 (2)
解: (2)原式= 8 (3)(16 2) 9 (2)
8 (3)18 (4.5) 854 4.5 57.5
第一章 有理数
1.5.1 乘方(2)
乘方的意义
这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，
乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，
an读作a的n次幂（或a的n次方）。
a×a×……×a = a n
n个
幂
a n 指数
因数的个数
底数 因数
（1次方可省略不写，2次方又叫平方，3次方又叫立方。）
在不会引起误解的情况下，乘号也 可以用“·”表示。例如: (-3)×(-3)×(-3) ×(-3) 可写成 (-3)·(-3)·(-3)·(-3)
（3）(1)8=1（4）(1)2008 =1
（5）(1)7=-1（6）(1)2007 =-1
(1) 1的任何次幂都为 1。
(2) -1的幂很有规律: -1的奇次幂是-1 ， -1的偶次幂是1。
抢答练习： 计算
102 100 103 1000； 104 10000
人教版七年级数学上册有理数的乘方
一个数可以看作是这个数的本身的一 次方，如5就是51，指数1通常省略不写。
(－4)5的底数是 -4 ，指数是 5 ，是负数。
－45的底数是 4 ，指数是 5 ，是 负 数。
3 2
4
＝
23×
23×
3 2
×
3 2
＝
81 16
3 2
4
=
3×3×3×3 2
＝
81 2
当底数是负数或分数时,底数一定 要加上括号。这也是辩认底数的方法。
－
(－3)4
－
(－3)5
－
偶数
＋
奇数
－
归纳
①正数的任何次幂都是_正___数；
②负数的奇次幂是负 数，负数的偶次幂是_正__数。
② 0的任何次幂等于__零___； l 的任何次幂等于_1__．
课堂练习(一)
计算 : （1）（－4）3 ； （2）（－2）4；
（3）
； （4）（－1）7．
巩固练习：P42 练习 1
2.同级运算，从左到右进行；如有括号， 3.先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行
课堂练习2
(1)8十(－3)2×(－2)； (2)100÷(－2)2－(－2)÷(－ );
问题探究3
1．观察下列三行数 －2，4，－8，16，－32，64……①； 0， 6，－6，18，－30，66……②； －1，2，－4，8， －16，32……③．
乘方的结果叫做幂(mì) 。 一般地,n个相同的因数a相乘: a×a×a···×a
记作: 底数
an
指数
n个a
(相同因数的个数)
幂
即 an = a×a×a···×a an 读作“a的n次方”
人教版数学七年级上册第一章有理数乘方
示例 有理数的乘方运算
1.5.1 乘方
栏目索引
1.5.1 乘方
(2)-32×(-3)3-(-2)3÷2
=32×33+23÷2=9×27+8÷2=243+4=247.
(3) 12
1
2 3
7 4
×(-6)2= 12
5 3
7 4
× 36
= 1 ×36- 5×36+ ×736=18-60+63=21.
2
3
4
(4)-22+[18-(-3)×(-2)4]÷6
栏目索引
3.an,-an及(-a)n的区别与联系
an
-an
(-a)n
相同点
指数都是n
不同点 意义不同
n个a相乘的积
n个a相乘的积的相反数
n个-a相乘的积
底数不同
a
a
-a
联系
n为奇数
-an=(-a)n,且-an,(-a)n都与an互为相反数(a≠0)
n为偶数
an=(-a)n,且an,(-a)n都与-an互为相反数(a≠0)
(2)-42-3×22×
1 3
1÷
1
1 3
=-16-3×4× 23× =34-16-6=-22.
点拨 对于乘方运算,要注意幂的符号,注意区分负数乘方与正数乘方
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• 思考:说说下列各数的意义,它们一样吗?
23
32
23 表示3个2相乘
32 表示2个3相乘
人教版七年级数学上册 1.5.1 有理数的乘方
人教版七年级数学上册 1.5.1 有理数的乘方
• 思考:请指出下列幂的底数与指数并说说下列各数 的意义,它们一样吗?
(2)4和 24；
（ 2）4的意义是 2的4次方； 即4个 2相乘；
小结与回顾
一、定义：
求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方
的结果叫幂.
底数
an
指数 幂
二、性质
（1）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
（2）正数的任何次幂都是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
1、负数的 次幂是负数，负数的 次幂是正数
2、正数的 3、0的
次幂都是正数 次幂都是0
偷偷告 诉你呦！
a读n 作 的a 次n方，也可以读作 的a 次幂n。
幂
a n 指数 因数的个数
底数 因数
人教版七年级数学上册 1.5.1 有理数的乘方
人教版七年级数学上册 1.5.1 有理数的乘方
练习一
1）在 12中10 ，12是 数底，10是
指数，读作 12的10；次方
2） 2的底7 数是
2
，指3 数是
作 3 2 的；7次方
（1）32 =9
24 =16
16 =1
（2）51 =5
23 =8
19 =1
（3）(-9)2 =81 (-2)6 =64 (-3)4=54
（4）(-2)5 =-32 (-3)3 =-27 (-1)3 =-1
（5）02 =0 03 =0
有理数乘方的规律
04 =0 09 =0
1、正数的任何次幂都是正数
2、负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数
达标训练
1)、计 算
(1)(4)3 (2) (2)4
(3) 2 3
3
2) 在94中,底数是 ，指数是 ，读作
,或读作
；
3) 在(-2)3中，底数是 ，指数是 ，读作 ,或读作 ；
4)
在
3
4
中，底数是
，指数是
，读作
；
4
5) 在 5 中,底数是
,指数是
；
6) 02 =
，03 =
， 04 =
；
7）23 =
我就不 吃你！
动手探究：拿出一张纸，将纸
对折，再对折，对折足够多次。观察 对折的次数与纸的层数的关系。你发 现了什么？
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次数：
1 2 3 4
n
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…… ……
层数： 2 2x2 2x2x2 2x2x2x2
2x2x……x2
3 、零的任何正整数次幂都是零
人教版七年级数学上册 1.5.1 有理数的乘方
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火眼金睛,判断下列各运算结果的符号
(-3)13 (负) -(-2)23 (正)
(-2)24 (正) 02004 (零)
(-1.7)2003 (负) (-3.9)12 (正)
注意：“一看底数，二看指数”
练习2、把下列乘法式子写成乘方的形式：
1、
1 3
1 3
13=
1 3
；
1 4 3
2、（－2）×（－2）×（－2）×（－2）×（－2） = 25 ；
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计算(观察各题结果，你能发现乘方运算的符号有什么规律？) 人教版七年级数学上册 1.5.1有理数的乘方
，24 =
， 25 =
；
8）(-3)2 =
,(-3)3 = ,(-3)4 =
, (-3)5 = ;
计算：
(1)2 (3)3 4 (3) 15
2 (27) (12) 15 54 12 15 27
(2)(2)3 (3) (4)2 2 (3)2 (2)
8 (3) (16 2) 9 (2) 8 (3)18 (4.5) 8 54 4.5 57.5
3
，读7
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3）在 3中16，-3是 数底，16是 数指，读
作
-3的；16次方
4)在 a中17，底数是 ；指a 数是 ；读17
作
； a的17次方
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人教版七年级数学上册 1.5.1 有理数的乘方
n个
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1.边长为a的正方形的面积为 S=a·a ,可记作 a2 ， 读作 a的平方或a的二次方 ； 2.棱长为a的正方体的体积为 V=a·a·a ,可记作a3 ，
读作 a的立方或a的三次方 。
同样：a·a·a·a可以记作 a4 ，
读作 a的四次方
。
a ·a ·… ·a ,记作 an ,读作 a的n次方 .
24的意义是2的4次方的相反数。
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• 思考:说说下列各数的意义,它们一样吗?
(2)2和 22 33
2 3
2
的意义是
2 3
22 的意义是“2的平方再除以3”。 3
对于分数的乘方，负数的乘方，书
写时一定要注意小括号,这也是辩 认底数的方法.
当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0； 当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正，
若指数是奇数，结果为负
人教版七年级数学上册 1.5.1 有理数的乘方
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1.5.1 有理数的乘方
教学目标
1.理解有理数乘方的意义。 2.能正确判断底数，指数。 3.掌握有理数的乘方运算，特别是 “符号”的确定。
如果你第一天给我1元，第二天 给我2元，第三天给我4元，以 此类推，一直给20天，我就答 应你！
每天给我10 元，一共给 20年。
灰太狼能不 能吃着喜羊 羊呢？
n个
人教版七年级数学上册 1.5.1 有理数的乘方
人教版七年级数学上册 1.5.1 有理数的乘方
n 个相同的因数 a相乘，即 a • a • … • a
我们把它记作 a；n 即a • a • … • a=an
这种求 n个 相同的因积数的运算，叫做乘方。
乘方的结果叫做幂。
在 a中n ， 叫a 做底数， 叫n做指数。
4、除
的任何数的0次幂都是1
5、1的
次幂都是1
6、-1的 次幂是1，-1的 次幂是-1
感谢大家