2020年江苏省连云港市灌南县、东海县中考数学二模试卷 (解析版)

2020年江苏省连云港市灌南县、东海县中考数学二模试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）下列各数中，最大的数是（）A．|﹣3|B．﹣2C．0D．12．（3分）如图是手提水果篮的几何体，则它的俯视图为（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算中，结果等于a2m的是（）A．a m+a m B．a m•a2C．（a m）m D．（a m）24．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k+1＝0有一根为﹣1，则k的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．05．（3分）已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（）A．B．C．D．6．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变7．（3分）如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（）A．B．5C．3D．48．（3分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．cm B．cm C．64 cm D．54cm二、填空题（共8小题）.9．（3分）如果代数式在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是．10．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝．11．（3分）载止到2020年4月26日，全球感染新型冠状病毒肺炎的治愈人数已经突破858000人，将858000用科学记数法表示为．12．（3分）计算的结果是．13．（3分）若以二元一次方程x+3y＝b的解为坐标的点（x，y）都在直线y＝﹣x+b﹣1上，则常数b的值为．14．（3分）将一副三角板（含30°、45°、60°、90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为度．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切与点D，过点B作PD的垂线，与PD的延长线相交于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为．16．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠ABC＝60°，P是AB上一动点，过B点作直线CP的垂线，垂足为Q，当点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为．三、解答题（本题共11小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：﹣22+﹣2×（﹣3）．18．（6分）解方程：﹣＝1．19．（6分）解不等式组20．（8分）交警部门在全县范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．（1）“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中a的值为；（2）全县约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全县骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数；（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果小明分析数据的方法是否合理？为什么？21．（10分）为了响应国家有关开展中小学生“课后服务”的政策，某学校课后开设了五门课程供学生选择，五门课程分别是A：课后作业辅导；B：书法；C：阅读；D：绘画；E：乐器．学生需要从中选两门课程．（1）若学生甲选第一门课程时任选一门，则甲选中课程A的概率为；（2）若学生甲和乙第一次都选择了课程E，第二次都从剩余课程里随机选一门课程，那么他俩第二次选课相同的概率是多少？请用列表或画树状图的方法加以说明．22．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．23．（10分）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的对称中心P 在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上．（1）求反比例函数关系式；（2）点A是否在该反比例函数的图象上？并说明理由．（3）若只平移一次正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．（只写出一种即可）25．（10分）某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，制作16件A与制作2件B获利相同．（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C工艺品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A．写出y与x之间的函数关系式；（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作B5件时，每件B获利不变，若B每增加1件，则当天平均每件B获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．26．（12分）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝，n＝．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．27．（14分）如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是线段AD延长线上的一个动点，连接CP，以CP为一边，在CP的左侧作矩形CPFE．（1）若DP＝，①如图1，当矩形CPFE的顶点F恰好落在CD的延长线上，求PF的长；②如图2，求证：点A一定在矩形CPFE的边CE所在的直线上；③如图3，连接EP，易知EP中点O在CP的垂直平分线上，设CP的垂直平分线交BC的延长线于点G，连接BO，求5BO+3OG的最小值；（2）如图4，若所作矩形CPFE始终保持CE＝CP，在BC的延长线上取一点H，使CH＝2，连接HF，试探究点P移动过程中，HF是否存在最小值，若存在，请直接写出HF的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．（3分）下列各数中，最大的数是（）A．|﹣3|B．﹣2C．0D．1【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．解：|﹣3|＝3，根据有理数比较大小的方法，可得3＞1＞0＞﹣2，所以|﹣3|＞1＞0＞﹣2，所以各数中，最大的数是|﹣3|．故选：A．2．（3分）如图是手提水果篮的几何体，则它的俯视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．故选：B．3．（3分）下列计算中，结果等于a2m的是（）A．a m+a m B．a m•a2C．（a m）m D．（a m）2【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．解：A、a m+a m＝2a m，故此选项不合题意；B、a m•a2＝a m+2，故此选项不合题意；C、（a m）m＝，故此选项不合题意；D、（a m）2＝a2m，故此选项符合题意．故选：D．4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k+1＝0有一根为﹣1，则k的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．0【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值．解：把﹣1代入方程有：1﹣3+k+1＝0解得：k＝1．故选：A．5．（3分）已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（）A．B．C．D．【分析】根据点到直线的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可．解：∵⊙O的半径OA长1，若OB＝，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：D．6．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，故选：B．7．（3分）如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（）A．B．5C．3D．4【分析】利用矩形的性质得出BD＝AC，求得线段AC的长即可得出BD的长．解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，∵点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），∴AC＝＝5，∴BD＝AC＝5，故选：B．8．（3分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．cm B．cm C．64 cm D．54cm【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）如果代数式在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是x≠3．【分析】根据分式有意义得出3﹣x≠0，求出不等式的解集即可．解：要使代数式在实数范围内有意义，必须3﹣x≠0，解得：x≠3，故答案为：x≠3．10．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）．【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．11．（3分）载止到2020年4月26日，全球感染新型冠状病毒肺炎的治愈人数已经突破858000人，将858000用科学记数法表示为8.58×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：858000＝8.58×105．故答案为：8.58×105．12．（3分）计算的结果是﹣1．【分析】先变形为同分母分式的减法，再约分即可得．解：原式＝﹣＝＝＝﹣1，故答案为：﹣1．13．（3分）若以二元一次方程x+3y＝b的解为坐标的点（x，y）都在直线y＝﹣x+b﹣1上，则常数b的值为．【分析】直线解析式乘以3后和方程联立解答即可解：因为以二元一次方程x+3y＝b的解为坐标的点（x，y）都在直线y＝﹣x+b﹣1上，直线解析式乘以3得3y＝﹣x+3b﹣3，变形为：x+3y＝3b﹣3，所以b＝3b﹣3，解得：b＝，故答案为：．14．（3分）将一副三角板（含30°、45°、60°、90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为75度．【分析】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．解：∵∠2+60°+45°＝180°，∴∠2＝75°．∵直尺的上下两边平行，∴∠1＝∠2＝75°．故答案为：75．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切与点D，过点B作PD的垂线，与PD的延长线相交于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为4．【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO＝90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．解：连接DO解：连接DO，∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO＝90°，∵∠C＝90°，∴DO∥BC，∴△PDO∽△PCB，∴∴∴PA＝4故答案为416．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠ABC＝60°，P是AB上一动点，过B点作直线CP的垂线，垂足为Q，当点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为．【分析】如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．首先说明点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为，求出圆心角，半径即可解决问题．解：如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．∵BQ⊥CP，∴∠BQC＝90°，∴点Q的运动轨迹在以边长BC为直径的⊙O上，当点P从点A运动到点B时，点F的运动路径长为，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，∵∠ABC＝60°，∴∠BCG＝60°，∴∠BOG＝120°，∴的长＝＝．故答案为：．三、解答题（本题共11小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：﹣22+﹣2×（﹣3）．【分析】直接利用二次根式的性质、有理数乘法运算法则分别化简得出答案．解：原式＝﹣4+2+6＝2+2．18．（6分）解方程：﹣＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，解得：x＝2，检验：当x＝2时，方程左右两边相等，所以x＝2是原方程的解．19．（6分）解不等式组【分析】先解组成不等式组的每个不等式，再取它们解集的公共部分．解：解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．20．（8分）交警部门在全县范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．（1）“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中a的值为510；（2）全县约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全县骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数；（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果小明分析数据的方法是否合理？为什么？【分析】（1）用1000减去A、B、D的人数即可求出a的值；（2）用该市的总人数乘以“都不戴”安全帽的人数所占的百分比即可；（3）分别求出宣传活动前后骑电瓶车“都不戴”安全帽所占的百分比，再进行比较，即可得出小明的分析不合理．解：（1）a＝1000﹣68﹣245﹣177＝510（人）；故答案为：510；（2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数为30×＝5.31（万人）；（3）小明的分析不合理．宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽所占的百分比为×100%＝8.9%，活动前“都不戴”安全帽所占的百分比为×100%＝17.7%，由于8.9%＜17.7%，因此交警部门开展的宣传活动有效果．21．（10分）为了响应国家有关开展中小学生“课后服务”的政策，某学校课后开设了五门课程供学生选择，五门课程分别是A：课后作业辅导；B：书法；C：阅读；D：绘画；E：乐器．学生需要从中选两门课程．（1）若学生甲选第一门课程时任选一门，则甲选中课程A的概率为；（2）若学生甲和乙第一次都选择了课程E，第二次都从剩余课程里随机选一门课程，那么他俩第二次选课相同的概率是多少？请用列表或画树状图的方法加以说明．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出他俩第二次选课相同的结果数，然后根据概率公式计算．解：（1）甲选中课程A的概率＝；故答案为；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他俩第二次选课相同的结果数为4，所以他俩第二次选课相同的概率＝＝．22．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；（2）连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AC，根据菱形的性质得到AB＝BC，根据等边三角形的性质得到∠B＝60°，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，且BE＝DF，∠B＝∠D，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：连接AC，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∵AE⊥BC，∴AB＝AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°．23．（10分）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【分析】过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，根据BE＝DF＝CF，列方程可得结论．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∵tan∠DAE＝，∴AE＝＝，∴BE＝300﹣，又BF＝DE＝x，∴CF＝414﹣x，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，∴DF＝CF＝414﹣x，又BE＝DF，即：300﹣＝414﹣x，解得：x＝214，故：点D到AB的距离是214m．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上．（1）求反比例函数关系式；（2）点A是否在该反比例函数的图象上？并说明理由．（3）若只平移一次正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．（只写出一种即可）【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P （2，），代入反比例函数的解析式即可得到结论；（2）把A的坐标代入解析式即可得到结论；（3）E（4，），F（3，2），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F （1，2），则点E与F都在反比例函数图象上．解：（1）过点P作x轴垂线PG交x轴于点G，连接BP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中点，∴PG＝，∴P（2，），∵P在反比例函数y＝上，∴k＝2，∴反比例函数关系式y＝，（2）由正六边形的性质，A（1，2），∵1×2＝2＝k，∴点A在反比例函数图象上；（3）A（1，2），B（0，），C（1，0），D（3，0），E（4，），F（3，2），设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为∴A（1﹣m，2+n），B（﹣m，+n），C（1﹣m，n），D（3﹣m，n），E（4﹣m，+n），F（3﹣m，2+n），①将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2）；则点E与F都在反比例函数图象上；②将正六边形向右平移一个单位，再向上平移个单位后，C（2，），B（1，2）则点B与C都在反比例函数图象上；25．（10分）某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，制作16件A与制作2件B获利相同．（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C工艺品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A．写出y与x之间的函数关系式；（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作B5件时，每件B获利不变，若B每增加1件，则当天平均每件B获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．【分析】（1）根据数量关系，设未知数，列分式方程即可求出，（2）A、C的工艺品数量相等，由工作效率的关系可得，生产C产品的人数是A产品人数的2倍，根据三种工艺品生产人数的和为65，从而得出y与x的函数关系式，（3）由于B工艺品每件盈利，随着x的变化而变化，得出B工艺品的每件盈利与x的关系，再根据总利润等于三种工艺品的利润之和，得出W与x的二次函数关系，利用函数取最大值时，即为顶点坐标，因为此时y不为整数，因此要根据抛物线的增减性和对称性，确定x为何整数时，W最大．解：（1）设制作一件A获利x元，则制作一件B获利（105+x）元，由题意得：16x＝2（105+x），解得：x＝15，当x＝15时，x+105＝120，答：制作一件A获利15元，制作一件B获利120元；（2）设每天安排x人制作B，y人制作A，则2y人制作C，于是有：y+x+2y＝65，∴y＝﹣x+，答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+；（3）由题意得：W＝15×2×y+[120﹣2（x﹣5）]x+2y×30＝﹣2x2+130x+90y，又∵y＝﹣x+，∴W＝﹣2x2+130x+90y＝﹣2x2+130x+90（﹣x+）＝﹣2x2+100x+1950，∵W＝﹣2x2+100x+1950，对称轴为x＝25，而x＝25时，y的值不是整数，根据抛物线的对称性和增减性可得：当x＝24或x＝26时，W最大，当x＝24时，y═﹣x+不是整数，不符合题意；当x＝26时，W最大＝﹣2×262+100×26+1950＝3198．此时制作A产品的13人，B产品的26人，C产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．26．（12分）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝﹣4，n＝﹣1．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线F1解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物线F1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标．（2）①根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA'的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，求出直线OC的解析式，构建方程组确定点C的坐标，求出线段OA′，线段A′C的垂直平分线的解析式，构建方程组解决问题即可．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．根据PM＝OM，构建方程求解即可．解：解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4，∴点A坐标为（﹣4，﹣4），当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，∵点A在点B的左侧，∴点B坐标为（﹣1，﹣2），∴m＝﹣4，n＝﹣1．故答案为﹣4，﹣1．（2）①如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G．∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB，∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠B'OG＝∠OBE，在△B'OG与△OBE中，，∴△B'OG≌△OBE（AAS），∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，∵点B'在第四象限，∴B'（2，﹣1），同理可求得：A'（4，﹣4），∴OA＝OA'＝＝4＝4，∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'，∴，解得：，∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4，∵直线OB′的解析式为y＝﹣x，由，解得或，∴点C（8，﹣4），∵A′（4，﹣4），∴A′C∥x轴，∵线段OA′的垂直平分线的解析式为y＝x﹣4，线段A′C的垂直平分线为x＝6，∴直线y＝x﹣4与x＝6的交点为（6，2），∴△OA′C的外接圆的圆心M的坐标为（6，2）．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．则有（m﹣6）2+（m2﹣3m+2）2＝62+22，解得m＝0或12或4或8，∵A'、C除外，∴P（0，4），或（12，4）．27．（14分）如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是线段AD延长线上的一个动点，连接CP，以CP为一边，在CP的左侧作矩形CPFE．（1）若DP＝，①如图1，当矩形CPFE的顶点F恰好落在CD的延长线上，求PF的长；②如图2，求证：点A一定在矩形CPFE的边CE所在的直线上；③如图3，连接EP，易知EP中点O在CP的垂直平分线上，设CP的垂直平分线交BC的延长线于点G，连接BO，求5BO+3OG的最小值；（2）如图4，若所作矩形CPFE始终保持CE＝CP，在BC的延长线上取一点H，使CH＝2，连接HF，试探究点P移动过程中，HF是否存在最小值，若存在，请直接写出HF的最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①利用相似三角形的性质求出DF即可解决问题．②如图2中，连接AC．利用相似三角形的性质证明∠ACP＝90°，推出E，A，C共线即可解决问题．③如图3中，作射线GP，连接BP，过点O作OH⊥GP于H，过点B作B⊥GP于J，设PC交OG于K．证明OH＝OG，推出5BO+3OG＝5（OB+OG）＝5（OB+OH），OB+OH≥BJ，求出BJ即可解决问题．（2）如图4中，连接AF，CF，过点H作HJ⊥AF于J，交AP于K，过点K作KP⊥BC于P．利用相似三角形的性质证明∠CAF＝90°，推出点F在直线AF上运动，求出HJ，根据垂线段最短解决问题即可．解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠ADC＝∠CDP＝90°，∵四边形CEFP是矩形，∴∠CPF＝90°，∴∠DCP+∠CPD＝90°，∠CPD+∠DPE＝90°，∴∠DCP＝∠DPF，∵∠CDP＝∠PDF＝90°，∴△CDP∽△PDF，∴＝，∴＝，∴DF＝，∴PF＝＝＝．②如图2中，连接AC．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，∠ADC＝∠CDP＝90°，∴PD＝，∴CD2＝AD•DP，∴＝，∵∠ADC＝∠CDP，∴△ADC∽△CDP，∴∠ACD＝∠DPC，∵∠DCP+∠CPD＝90°，∴∠ACD+∠DCP＝90°，∵∠ECP＝90°，∴C，A，E共线，∴点A一定在矩形CPFE的边CE所在的直线上．③如图3中，作射线GP，连接BP，过点O作OH⊥GP于H，过点B作B⊥GP于J，设PC交OG于K．在Rt△CDP中，PC＝＝＝，∵OG垂直平分线段PC，∴CK＝PC＝，GC＝GP，∵∠DCP+∠GCK＝90°，∠GCK+∠CGK＝90°，∴∠DCP＝∠CGK，∵∠CKG＝∠CDP＝90°，∴△CDP∽△GKC，∴＝，∴＝，∴CG＝PG＝，∵S△PBG＝×（4+）×3＝××BJ，∴BJ＝，∵∠ECK＝∠CKG＝90°，∴EC∥OG，∴∠ACB＝∠OGC＝∠OGH，∴tan∠ACB＝tan∠OGH＝，∴sin∠OGH＝＝，∴OH＝OG，∵5BO+3OG＝5（OB+OG）＝5（OB+OH），OB+OH≥BJ，∴5OB+3OG≥，∴5OB+3OG的最小值为．（2）如图4中，连接AF，CF，过点H作HJ⊥AF于J，交AP于K，过点K作KP⊥BC于P．∵＝＝，∴＝，∵∠ADC＝∠FPC＝90°，∴△ADC∽△FPC，∴∠CAD＝∠CFP，∴A，C，P，F四点共圆，∴∠FAP+∠CPF＝180°，∵∠CPF＝90°，∴∠CAF＝90°，∴点F在直线AF上运动，∵CA⊥AF，HJ⊥AF，∴CA∥KH，∵AK∥CH，∴四边形AKHC是平行四边形，∴AK＝CH＝2，∵∠AKJ＝∠CHJ＝∠BCA，∴tan∠AKJ＝tan∠PHK＝，∴cos∠AKJ＝＝，∴JK＝，∵sin∠KHP＝＝，KP＝AB＝3，∴KH＝5，∴HJ＝KH+JK＝5+＝，∵HF≥BJ，∴HF≥，∴FH的最小值为．。