2010~2015全国高考理科数学题分类(选修4-5不等式选讲)
不等式选讲(选修4-5)典型题及答案
不等式选讲 选修4-51．已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.2．设函数()241f x x =-+. (1)画出函数()y f x =的图象；(2)若不等式()f x a x ≤的解集非空，求a 的取值范围.3．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 4．已知函数()2123f x x x =++-，（Ⅰ）若关于x 的不等式()13f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于t 的一次二次方程()20t f m -=有实根，求实数m 的取值范围． 5．选修4—5:不等式选讲已知函数ƒ(x)=|2x -a|+ |x -1|.（Ⅰ）当a=3时,求不等式ƒ(x)≥2的解集；(Ⅱ)若ƒ(x)≥5-x 对V.r6 R 恒成立,求实数a 的取值范围. 6．已知函数()()12f x x x m m R =-++∈ （1）若m=2时，解不等式()3f x ≤;（2）若关于x 的不等式()[]230,1f x x x ≤-∈在上有解，求实数m 的取值范围。
7．已知m ，n ∈R ＋，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |. (1)当m ＝n ＝1时，求f (x )的最小值； (2)若f (x )的最小值为2，求证122m n +≥.8．选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.9．已知函数()312f x x x =-+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）设实数,a b 满足222a b m +=，证明： 2a b +≤10．设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()24f x k k ≥--恒成立，求实数k 的取值范围. 11．(导学号：05856266)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (Ⅰ)解不等式f (x )>0；(Ⅱ)若∃x 0∈R，使得f ()0x ＋2m 2<4m ，求实数m 的取值范围． 12．设函数()3f x x =+， ()21g x x =-. （1）解不等式()()f x g x <；（2）若()()24f x g x a x +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围. 13．已知函数()2321f x x x =+-- (1)求不等式()2f x <的解集；(2)若存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围. 14．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 15．设函数()2f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-，解不等式；(Ⅱ)如果当x R ∈时， ()3f x a ≥-，求a 的取值范围．参考答案1．(1)；(2).【解析】试题分析：（1）方法一：分类讨论去掉绝对值，转化为一般的不等式，即可求解不等式的解集；方法二：去掉绝对值，得到分段函数，画出函数的图象，结合图象即可求解不等式的解集.（2）不等式即关于的不等式恒成立，利用绝对值不等式，得，进而求解实数的取值范围.试题解析：（1）当时，函数，则不等式为，①当时，原不等式为，解得：；②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；③当时，原不等式为，解得：，原不等式的解集为.方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为.（2）不等式即为，即关于的不等式恒成立.而，所以， 解得或，解得或.所以的取值范围是.2．（1）见解析（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）先讨论x 的范围，将函数f x （）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II ）根据函数y f x =（）与函数y ax =的图象可知先寻找满足f x a x ≤（）的零界情况，从而求出a 的范围．试题解析： (1)由于()25,2{23,2x x f x x x -+<=-≥，则()y fx =的图象如图所示：(2)由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点，故不等式()f x a x ≤的解集非空时， a 的取值范围是()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.3．（1）{|12}x x -≤≤；（2）()(),35,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：(1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为{}|12x x -≤≤.(2)由绝对值三角不等式的性质可得()4f x ≥，结合集合关系可得关于实数a 的不等式14,a ->求解绝对值不等式可得实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.试题解析：(1)原不等式等价于()()3{221236x x x >++-≤或()()13{2221236x x x -≤≤+--≤或()()1{ 221236x x x <--+--≤，解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-.∴原不等式的解集为{}|12x x -≤≤. (2)()()()212321234fx x x x x =++-≥+--=，14,3a a ∴->∴<-或5a >，∴实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．4．（Ⅰ）51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）35{|}22m m -≤≤． 【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为4，据此可得134a -<，则实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)方程的判别式()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，零点分段可得实数m 的取值范围是35{|}22m m -≤≤．试题解析： （Ⅰ）因为()2123f x x x =++-≥()()21234x x +--=，所以134a-<，即513a -<<，所以实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，所以不等式等价于()()3{221238m mm >++-≤或13{2221238m m m -≤≤+-+≤或()()1{221238m m m <--+--≤，所以3522m <≤，或1322m -≤≤，或3122m -≤<-，所以实数m 的取值范围是35{|}22mm -≤≤．5．(Ⅰ){x|x≤32或x≥2}.(Ⅱ)[6，+∞).【解析】试题分析：(Ⅰ) 3a =时，即求解2312x x -+-≥，分33,1,122x x x ≥<<≤三种情况，分别去掉绝对值得不等式的解集即可；(Ⅱ)根据题设条件得251x a x x -≥---恒成立，令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，再根据再根据数形结合可求得a 的范围.试题解析：(Ⅰ)当3a =时,即求不等式2312x x -+-≥的解集. 33,1,122x x x ≥<<≤①当32x ≥时， 2312x x -+-≥，解得2x ≥；②当312x <<时， 3212x x -+-≥，解得0x ≤，此时无解；③当1x ≤时, 3212x x -+-≥，解得23x ≤.综上，原不等式的解集为2{ 3x x ≤或}2x ≥.(Ⅱ)由题设得不等式251x a x x -≥---对x R ∀∈恒成立.令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，作出函数()g x 和2y x a =-的图象(如图所示),则只需满足32a ≥，即6a ≥.故所求实数a 的取值范围是[)6,+∞.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 6．（1）4{|0}3x x -≤≤；（2）32m -≤≤. 【解析】试题分析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当[]0,1x ∈时， 22x m x +≤-有解，即[]2230,1x m x x --≤≤-∈在上有解，故只需（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-，由此可得结论． 试题解析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，若1x ≤-，则原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-，解得，所以413x -≤≤-；若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤； 若1x ≥，则原不等式可化为212233x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ．综上不等式的解集为4{|0}3x x -≤≤．（2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得， 又由题意知（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-， 所以32m -≤≤．故实数m 的取值范围为[]3,2-． 7．(1)32. (2)见解析.【解析】试题分析：（1）代入m ＝n ＝1，却掉绝对值，得到分段函数，判定分段函数的单调性，确定函数的最小值；（2）由题意得，函数的最小值为2，得22n m += ，利用基本不等式求解最值，即可证明.试题解析：(1)∵f (x )＝∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数，∴当x ＝时，f (x )取最小值.(2)∵f (x )＝，∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数， ∴当x ＝时，f (x )取最小值f ()＝m ＋.∵m ，n ∈R，∴＋＝ (＋)(m ＋) ＝ (2＋＋)≥2点晴:本题主要考查了绝含有绝对值的函数的最小值问题及分段函数的图象与性质、基本不等式的应用，属于中档试题，着重考查了分类讨论思想与转化与化归思想的应用，本题的解答中，根据绝对值的概念合理去掉绝对值号，转化为分段函数，利用分段函数的图象与性质，确定函数的最小值，构造基本不等式的条件，利用基本不等式是解答问题的关键. 【答案】(1) 3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2) 4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围． 试题解析：（1）当5m =时， ()()()()521{311 521x x f x x x x +<-=-≤≤->，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++， 知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()21{211 21m x x f x m x m x x +<-=--≤≤->，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点. 只需22m -≥，即4m ≥. 9．（1）53；（2）见解析【解析】试题分析： ()1写出分段函数，求得()f x 在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即可求出m 的值； ()2计算()22a b +，利用基本不等式即可得出结论。
高中文科数学第十三章 不等式选讲(选修4-5)
第十三章⎪⎪⎪不等式选讲(选修4－5)第一节 绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋b |①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． [小题体验]1．(教材习题改编)设ab >0，下面四个不等式中，正确的是( ) ①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |；④|a ＋b |>|a |－|b |. A ．①和② B ．①和③ C ．①和④D ．②和④解析：选C ∵ab >0，即a ，b 同号， 则|a ＋b |＝|a |＋|b |， ∴①④正确，②③错误．2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{}x |1≤x ≤3，则实数k ＝________.解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{}x |1≤x ≤3， ∴k ＝2. 答案：23．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x ≤－1，2x －1， －1<x <2，3， x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1恒成立． 所以不等式的解集为{}x |x ≥1. 答案：{}x |x ≥11．对形如|f (x )|>a 或|f (x )|<a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |中易忽视等号成立的条件．如|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≤0时等号成立，其他类似推导．[小题纠偏]1．设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |＜|||a |－|b |D ．|a －b |<|a |＋|b |解析：选B ∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |.2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]考点一 绝对值不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)若不等式|x －a |＋3x ≤0(其中a >0)的解集为{}x |x ≤－1，求实数a 的值．解：不等式|x －a |＋3x ≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2 .由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.2．在实数范围内，解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6. 解：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12<x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x <－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪x －12 ＋⎪⎪⎪⎪x ＋12 ≤3， 其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32 .3．(2015·山东高考改编)解不等式|x －1|－|x －5|<2.解：当x <1时，不等式可化为－(x －1)－(5－x )<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1－(5－x )<2，即2x －6<2，解得x <4，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立．所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．[谨记通法]1．求解绝对值不等式要注意两点：(1)要求的不等式的解集是各类情形的并集，利用零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．(2)对于解较复杂绝对值不等式，要恰当运用条件，简化分类讨论，优化解题过程．如“题组练透”第1题要注意分类讨论．2．求解该类问题的关键是去绝对值符号，可以运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．考点二 绝对值不等式的证明 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·唐山三模)设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． 解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12 . 所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， 所以|1－4ab |2＞4|a －b |2， 故|1－4ab |＞2|a －b |.[由题悟法]证明绝对值不等式主要的3种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．[即时应用]已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.考点三 绝对值不等式的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·大同调研)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |. (1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，由f (x )≤3，可得|2x －1|＋|x －2|≤3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，1－2x ＋2－x ≤3①或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ＜2，2x －1＋2－x ≤3② 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＋x －2≤3.③ 解①求得0≤x ＜12；解②求得12≤x ＜2；解③求得x ＝2.综上可得，0≤x ≤2，即不等式的解集为[0,2]． (2)∵当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立， 即|x －2a |≤3－|2x －1|＝4－2x ，故2x －4≤2a －x ≤4－2x ，即3x －4≤2a ≤4－x . 再根据3x －4的最大值为6－4＝2， 4－x 的最小值为4－2＝2， ∴2a ＝2，∴a ＝1， 即a 的取值范围为{1}．[由题悟法]1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a . f (x )>a 恒成立⇔f (x )min ＞a .[即时应用](2015·重庆高考改编)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值． 解：当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意； 当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ， x ≤a ，x －1－2a ， a <x ≤－1，3x ＋1－2a ， x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5， 解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ， x ≤－1，－x ＋1＋2a ， －1<x ≤a ，3x ＋1－2a ， x >a ，f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5， 解得a ＝4.综上所述，实数a 的值为－6或4.1．(2016·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥a 2－a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－2x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤1，2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≥3，解得x ≤－32或x ∈∅或x ≥32.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)由题意得，关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋1|≥a 2－a 在R 上恒成立． ∵|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2， ∴a 2－a ≤2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴实数a 的取值范围是[－1,2]．2．(2016·忻州模拟)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 得1≤x ≤2，∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1. 3．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1； (2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1. (2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，当且仅当a ＝0时等号成立， ∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2， 解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12 ∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 4．(2016·唐山一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，且f (1)＝f (－1)＝3，所以f (x )<3的解集为{}x |－1<x <1.(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －a 2 ＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪x －a 2 ≥⎪⎪⎪⎪1＋a 2 ＋0＝⎪⎪⎪⎪1＋a2 ， 当且仅当(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a 2 ≤0且x －a2＝0时，取等号． 所以⎪⎪⎪⎪1＋a2 ＝1，解得a ＝－4或0.5．(2015·南宁二模)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{}x |－1≤x ≤5，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)． 解：(1)∵|x －a |≤m ，∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a . ∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5， ∴a ＝2，m ＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |. 当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0， ∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t 2，∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤x ≤1＋t2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t ＜2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)． ∴当0≤t ＜2时原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，t2＋1； 当t ＝2时原不等式的解集为[2，＋∞)．6．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，则△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．7．(2015·郑州二检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12 . (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4， 当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，103 . 8．(2016·大庆模拟)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|. (1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围．解：(1)原不等式即为|2x －1|－|x ＋4|>0，当x ≤－4时，不等式化为1－2x ＋x ＋4>0，解得x <5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{}x |x ≤－4.当－4<x <12时，不等式化为1－2x －x －4>0，解得x <－1，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－4<x <12，|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{}x |－4<x <－1.当x ≥12时，不等式化为2x －1－x －4>0，解得x >5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{}x |x >5.综上，原不等式的解集为{}x |x <－1或x >5.(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9. ∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10， 故所求a 的取值范围是[]－8，10.第二节 不等式的证明1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．[小题体验]1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s ＞t C ．s ≤tD ．s ＜t解析：选A ∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；② a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2； ④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2. 解析：令a ＝b ＝1，排除②④；由2＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确； a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确； 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，命题⑤正确． 答案：①③⑤1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．[小题纠偏]1．已知a >0，b >0，则a a b b________(ab )+2a b (填大小关系)．解析：∵a ab b(ab )+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b -2a b，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b -2a b＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，∴a a b b≥(ab ) +2a b .答案：≥2．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． 解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．答案：9考点一 比较法证明不等式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2016·莆田模拟)设a ，b 是非负实数， 求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． 证明：因为a 2＋b 2－ab (a ＋b ) ＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b )＝(a 12－b 12)(a 32－b 32)，因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12)(a 32－b 32)≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． 2. 已知a ＝ln 22，b ＝ln 33，试比较a ，b 大小． 解：∵ln 22＞0，ln 33＞0， ∴b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1.∴b ＞a .[谨记通法]作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．考点二 综合法证明不等式 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.[由题悟法]1．综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．综合法证明时常用的不等式 (1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有：a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ； a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.(4)a ＋b2≥ab ，它的变形形式有：a ＋1a ≥2(a >0)；ab ＋b a ≥2(ab >0)； a b ＋ba ≤－2(ab <0)．[即时应用]已知a ，b ，c >0且互不相等，abc ＝1.试证明：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .证明：因为a ，b ，c ＞0，且互不相等，abc ＝1， 所以a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ac ＋1ab＜1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c ，即a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .考点三 分析法证明不等式 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≥ 3. (2)abc ＋b ac ＋cab ≥ 3(a ＋b ＋c )．证明：(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故只需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．所以原不等式成立．(2) abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.在(1)中已证a＋b＋c≥ 3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c，即证a bc＋b ac＋c ab≤1，即证a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.而a bc＝ab·ac≤ab＋ac2，b ac≤ab＋bc2，c ab≤bc＋ac2.所以a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c＝33时等号成立)．所以原不等式成立．[由题悟法]1．用分析法证“若A则B”这个命题的模式为了证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有…只需证明命题B2为真，从而有………只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真．2．分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．[即时应用]已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a.证明：要证b2－ac<3a，只需证b2－ac<3a2.∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)<3a2，只需证2a2－ab－b2>0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0.∴(a－b)(a－c)>0显然成立，故原不等式成立．1．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M.(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.2．已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab.证明：要证：c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab，只需证：－c2－ab＜a－c＜c2－ab，只需证：|a－c|＜c2－ab，只需证：(a－c)2＜c2－ab，只需证：a2＋c2－2ac＜c2－ab，即证：2ac＞a2＋ab.因为a＞0，所以只需证2c＞a＋b，由题设，上式显然成立．故c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab.3．(2015·湖南高考)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a >0，b >0， 得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1， 有a ＋b ≥2ab ＝2， 即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立， 则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1； 同理，0<b <1，从而ab <1， 这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．4．(2015·长春三模)(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2； (2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 都是正数，所以a ＋b ＞0. 又因为a ≠b ，所以(a －b )2＞0.于是(a ＋b )(a －b )2＞0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0， 所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2. (2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2＞0， 所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .① 同理b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c . ② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2. ③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2， 从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )． 由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c ＞0， 因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .5．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 6．(2016·吉林实验中学模拟)设函数f (x )＝|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4，①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥72；②当12＜x ＜72时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4，不等式的解集为∅；③当x ≤12时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－12.综上可得，不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞. (2)证明：∵f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1， 所以1m ＋12n ＝1(m >0，n >0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝⎛⎭⎫1m ＋12n ＝2＋m 2n ＋2nm≥2＋2m 2n ·2nm＝4， 当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号．7．(2015·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①必要性：若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得a＋b>c＋d.②充分性：若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．8．已知x，y∈R，且|x|<1，|y|<1.求证：11－x2＋11－y2≥21－xy.证明：法一：(分析法)∵|x|<1，|y|<1，∴11－x2>0，11－y2>0，∴11－x2＋11－y2≥2(1－x2)(1－y2).故要证明结论成立，只要证明2(1－x2)(1－y2)≥21－xy成立．即证1－xy≥(1－x2)(1－y2)成立即可．∵(y－x)2≥0，有－2xy≥－x2－y2，∴(1－xy)2≥(1－x2)(1－y2)，∴1－xy≥(1－x2)(1－y2)>0.∴不等式成立．法二：(综合法)∵211－x2＋11－y2≤1－x2＋1－y22＝2－(x2＋y2)2≤2－2|xy|2＝1－|xy|，∴11－x2＋11－y2≥21－|xy|≥21－xy，∴原不等式成立．提升考能、阶段验收专练卷(一)集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用(时间：70分钟 满分：104分)Ⅰ.小题提速练(限时45分钟)(一)选择题(本大题共12小题，每小题5分)1．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q解析：选D 根据特称命题的否定为全称命题知D 正确． 2．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x解析：选D A 是非奇非偶函数，故排除；B 是偶函数，但没有零点，故排除；C 是奇函数，故排除；y ＝cos x 是偶函数，且有无数个零点．3．(2015·南昌一模)若集合A ＝{}x |1≤3x ≤81，B ＝{}x |log 2x 2－x，则A ∩B ＝()A ．(2,4]B ．[2,4]C ．(－∞，0)∪(0,4]D ．(－∞，－1)∪[0,4]解析：选A 因为A ＝{}x |1≤3x≤81 ＝{}x |30≤3x ≤34＝{}x |0≤x ≤4， B ＝{}x |log 2x 2－x＝{}x |x 2－x >2＝{}x |x <－1或x >2，所以A ∩B ＝{}x |0≤x ≤4∩{}x |x <－1或x >2＝{}x |2＜x ≤4＝(2,4]．4．(2016·陕西质检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．3解析：选B 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2.5．(2016·南昌二中模拟)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．已知y ＝f (x )是R 上的可导函数，则“f ′(x 0)＝0”中“x 0是函数y ＝f (x )的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”D ．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题解析：选B 选项A 不正确，∵不符合否命题的定义；选项B 显然正确；选项C 不正确，命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”；对于选项D ，原命题是假命题，故逆否命题也为假命题，故选B.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x， x ≤1，log 13x ， x >1，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是()解析：选D 当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0,3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当x ＝－13时，y ＝f ⎝⎛⎭⎫43 ＝log 1343<0，即y ＝f (1－x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，log 1343 ，排除C. 8．(2016·宁夏中宁一中月考)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数且f (x )<0B ．是增函数且f (x )>0C ．是减函数且f (x )<0D ．是减函数且f (x )>0解析：选D 设－1<x <0，则0<－x <1，f (－x )＝log 12(1＋x )＝f (x )>0，故函数f (x )在(－1,0)上单调递减．又因为f (x )以2为周期，所以函数f (x )在(1,2)上也单调递减且有f (x )>0.9．(2016·湖南调研)已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C ∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12 x －2在(0，＋∞)上是增函数， 又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12 －1＝ln 1－2<0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫12 0<0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫12 1>0， ∴x 0∈(2,3)．10．(2016·洛阳统考)设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．(－∞，3]D ．(0,3]解析：选C 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又∵f (x )＝x |x －a |，∴当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，∴0<a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．11．(2015·全国卷Ⅰ)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选C 设(x ，y )为函数y ＝f (x )的图象上任意一点，则(－y ，－x )在y ＝2x ＋a的图象上，所以有－x ＝2－y ＋a，从而有－y ＋a ＝log 2(－x )(指数式与对数式的互化)， 所以y ＝a －log 2(－x )， 即f (x )＝a －log 2(－x )，所以f (－2)＋f (－4)＝(a －log 22)＋(a －log 24)＝(a －1)＋(a －2)＝1，解得a ＝2.故选C. 12．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1 B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34D.⎣⎡⎭⎫32e ，1解析：选D ∵f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0. 又∵x 0＝0是唯一使f (x )<0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (1)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e (2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e .又∵a <1，∴32e≤a <1.(二)填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．(2016·江门调研)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2－2x ，x >0，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≤0时，f (x )＝－x ，此时f (x )min ＝0； 当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， 此时f (x )min ＝－1.综上，当x ∈R 时，f (x )min ＝－1. 答案：－114．已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z)为偶函数，且f (3)<f (5)，则m ＝________. 解析：因为f (x )是偶函数， 所以－2m 2＋m ＋3应为偶数．又f (3)<f (5)，即3－2m 2＋m ＋3<5－2m 2＋m ＋3， 整理得⎝⎛⎭⎫35 －2m 2＋m ＋3<1， 所以－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m <32.又m ∈Z ，所以m ＝0或1.当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数(舍去)； 当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数． 故m 的值为1. 答案：115．里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．解析：根据题意，由lg 1 000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案：610 00016．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．下列关于函数f(x)的命题：①函数f(x)的值域为[1,2]；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点．其中真命题的序号是________．解析：由导数图象可知，当－1<x<0或2<x<4时，f′(x)>0，函数单调递增，当0<x<2或4<x<5时，f′(x)<0，函数单调递减，当x＝0和x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝1.5.又f(－1)＝f(5)＝1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确．②正确．因为当x＝0和x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，要使当x∈[－1，t]时函数f(x)的最大值是2，则t 的最大值为5，所以③不正确． 由f (x )＝a ，因为极小值f (2)＝1.5，极大值为f (0)＝f (4)＝2， 所以当1<a <2时，y ＝f (x )－a 最多有4个零点， 所以④正确．故真命题的序号为①②④. 答案：①②④Ⅱ.大题规范练(限时25分钟)17．（本小题满分12分）设f (x ) ＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x (x >0)， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )·(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6， 故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x <3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝k ·a －x (k ，a 为常数，a >0且a ≠1)的图象过点A (0,1)，B (3,8)．(1)求实数k ，a 的值；(2)若函数g (x )＝f (x )－1f (x )＋1，试判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． 解：(1)把A (0,1)，B (3,8)的坐标代入f (x )＝k ·a －x，得⎩⎪⎨⎪⎧k ·a 0＝1，k ·a －3＝8. 解得k ＝1，a ＝12.(2)g (x )是奇函数．理由如下： 由(1)知f (x )＝2x ， 所以g (x )＝f (x )－1f (x )＋1＝2x －12x ＋1.函数g (x )的定义域为R ， 又g (－x )＝2－x －12－x ＋1＝2x ·2－x －2x2x ·2－x ＋2x＝－2x －12x ＋1＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数．附加卷：集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用(教师备选)(时间：70分钟 满分：104分)Ⅰ.小题提速练(限时45分钟)(一)选择题(本大题共12小题，每小题5分)1．已知集合A ＝{}a ，0，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg x 5－2x ，x ∈Z ，如果A ∩B ≠∅，则a ＝( )A.52 B ．1 C ．2D ．1或2解析：选D 由题意得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <52，x ∈Z ＝{}1，2，则由A ∩B ≠∅，得a ＝1 或2.2．(2016·长沙一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 12，x >0，⎝⎛⎭⎫12 x，x ≤0，则f [f (－4)]＝( )A ．－4B ．4C ．－14D.14解析：选B 因为f (－4)＝⎝⎛⎭⎫12 －4＝16，所以f [f (－4)]＝f (16)＝(16)12＝4.3．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数且是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0解析：选B 因为函数f (x )为幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.因为该幂函数在(0，＋∞)上是增函数，所以－5m －3>0，即m <－35.所以m＝－1.4．已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，3x 0<4x 0，命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，tan x ＞x .则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q解析：选D 由指数函数的单调性可知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，3x 0<4x 0为假，则命题綈p 为真；易知命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，tan x ＞x 为真，则命题綈q 为假．根据复合命题的真值表可知命题p ∧q 为假，命题p ∨(綈q )为假，命题p ∧(綈q )为假 ，命题(綈p )∧q 为真．5．(2016·沧州质检)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x 都有f (x ＋1)＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)解析：选D 由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又抛物线f (x )开口向上，∴f (0)<f (2)<f (－2)．6．(2015·云南二检)设a ＝3log 132，b ＝log 1213，c ＝23，则下列结论正确的是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选B a ＝3log 132<0,1<b ＝log 1213＝log 23<2,0<c ＝23<1，故a <c <b . 7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (0)＝2，则f (2 016)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2解析：选A ∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)． 又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (2 016)＝f (0)＝2.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2解析：选B ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ， ∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①，②联立得g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154. 9．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的图象如图所示，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫14，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)解析：选B 由题图可知f (x )的对称轴x ＝b 2∈⎝⎛⎭⎫12，1，则1＜b ＜2，易知g (x )＝ln x ＋2x －b ，则g ⎝⎛⎭⎫14 ＝－2ln 2＋12－b ＜0，g ⎝⎛⎭⎫12 ＝－ln 2＋1－b ＜0，g (1)＝2－b ＞0，故g (x )的零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫12，1.10．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3 000元B ．3 300元C ．3 500元D ．4 000元解析：选B 由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N)． 则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x ) ≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22≤204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∩[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，因为函数g (x )是二次函数，值域不会是选项A ，B ，画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，易知，当g (x )的值域是[0，＋ ∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞)．12．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝2f (x )；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2.若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x (x ≤0)，ln x (x >0)，则函数y ＝f (x )－g (x )在区间(－4,5)上的零点个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 函数f (x )与g (x )在区间[－5,5]上的图象如图所示，由图可知，函数f (x )与g (x )的图象在区间(－4,5)上的交点个数为9，即函数y ＝f (x )－g (x )在区间(－4,5)上零点的个数是9.(二)填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．函数y ＝log 13(2x ＋1)(1≤x ≤3)的值域为________．解析：当1≤x ≤3时，3≤2x ＋1≤9， 所以－2≤y ≤－1，所求的值域为[－2，－1]． 答案：[－2，－1] 14．若函数y ＝xx －m在区间(1，＋∞)内是减函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：y ＝x x －m ＝1＋mx －m ，由函数的图象及性质可得0<m ≤1.答案：(0,1]15．(2016·台州调考)若函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R)的部分图象如图所示，则b＝________.解析：令g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由图象可知，1,3是ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，因此a ＋b ＋c ＝0,9a ＋3b ＋c ＝0，又函数f (x )的图象过点(2，－1)，则f (2)＝－1，即4a ＋2b ＋c ＝－1，因此可得a ＝1，c ＝3，b ＝－4.答案：－416．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R)有下列命题：①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数； ③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数． 其中是真命题的序号为________．解析：∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R)，显然f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x 2，可知当x ∈(0,1)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，即在x ＝1处取到最小值为2.由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.答案：①③④Ⅱ.大题规范练(限时25分钟)17．（本小题满分12分）已知集合A ＝{}x |x 2－2x －3≤0，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0}，m ∈R.(1)若m ＝3，求A ∩B ；(2)已知命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题意知，A ＝{}x |－1≤x ≤3， B ＝{}x |m －3≤x ≤m ＋3. 当m ＝3时，B ＝{}x |0≤x ≤6， ∴A ∩B ＝[0,3]．(2)由q 是p 的必要条件知，A ⊆B ，结合(1)知⎩⎪⎨⎪⎧m －3≤－1，m ＋3≥3解得0≤m ≤2.故实数m 的取值范围是[0,2]．18．（本小题满分12分）(2016·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋1x ＋ax (a 是实数)，g (x )＝2xx 2＋1＋1. (1)当a ＝2时，求函数f (x )在定义域上的最值；(2)若函数f (x )在[1，＋∞)上是单调函数，求a 的取值范围；(3)是否存在正实数a 满足：对于任意x 1∈[1,2]，总存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝ln x ＋1x ＋2x ，x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －1x 2＋2＝2x 2＋x －1x 2＝(2x －1)(x ＋1)x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝12.。
高中数学 ： 选修4-5 不等式选讲
解析 原不等式等价于
x 1,
1
(x 1) (2x 2) 17
或
1 x 1, (x 1) (2x 2) 1
或
x 1, (x 1) (x 2) 1,
解得x≥2或x≤-1.
5
故原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥2}.
考法2 与绝对值有关的恒成立、存在性等求参数范 围的问题
4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围 为____________．
4-5 不等式选讲
1
聚焦核心素养
理科数学选修4-5：不 等式选讲
1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,选修4-5是
高考题中的选做部分,主要考查绝对值不等式的求解、
恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答
题的形式呈现,难度中等,分值10分.
2.学科核心素养 本章通过绝对值不等式的解法和不等 式的证明考查考生的数学运算素养,以及对分类讨论思 想和数形结合思想的应用.
上述定理还可以推广到以下两个不等式:
(1)|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|;
(2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
__{x_|_－__a_＜__x_＜_a__} _
解析
原不等式等价于
x 1, (x 1)
(x
2)
5
x 1, (x 1) (2x 2) 7
高中数学选修4-5不等式选讲训练题组含答案
高中数学选修4-5不等式选讲训练题组含答案新课程高中数学训练题组》是一套根据最新课程标准编写的资料，参考了内部资料并结合了教学实践和辅导经验。
资料分为必修系列、选修系列和选修4系列，每章或节都有基础训练A组、综合训练B组和提高训练C组。
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对于基础较好的同学来说，这是一套非常好的自我测试题组。
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目录：数学选修4-5不等式选讲基础训练A组]数学选修4-5不等式选讲综合训练B组]数学选修4-5不等式选讲提高训练C组]以下是数学选修4-5不等式选讲的基础训练A组选择题：1.下列各式中，最小值等于2的是（）A。
1xyx2+5B。
x-x+2C。
tanθ+x2+4yD。
2+2tanθ2.若x,y∈R且满足x+3y=2，则3+27+1的最小值是（）A。
339B。
1+22C。
6D。
73.设x>0,y>0,A=xy/(x+y)+1/(1+x)+1/(1+y)，B=1+x+y/(1+x)(1+y)，则A,B的大小关系是（）A。
A=BB。
A<BC。
A≤BD。
A>B4.若x,y,a∈R+，且x+y≤ax+y恒成立，则a的最小值是（）A。
1/2B。
2C。
1D。
2/2以上选择题没有明显的格式错误和问题段落，因此不需要修改。
）一、选择题5.函数y=x-4+x^-6的最小值为（）。
A。
2B。
2C。
4D。
66.不等式3≤5-2x<9的解集为（）。
A。
[-2,1)∪[4,7)B。
(-2,1](4,7]C。
(-2,-1][4,7)D。
(-2,1][4,7)解析：此题考查对不等式解集的理解和求解能力。
二、填空题1.若a>b>0，则a+1/b(a-b)的最小值是__________。
不等式选讲大题及答案()
选修4-5：不等式选讲不等式选讲考点问题解答题：利用基本不等式等主要不等式和绝对值不等式定理，求解或证明有关不等式，包括求已知不等式的解集；根据已知条件列出并求解有关参数的不等式；通过证明有关不等式，解决与不等式有关的问题。
1.（2013全国I 24．）已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+。
（Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（Ⅱ）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围。
2.（2014全国I 24）若,0,0>>b a 且ab b a =+11（I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.3.（2015全国I 24. ）已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.4.（2013全国II 24．）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=， 证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥． 5.（2014全国II 24.）设函数1()||||(0)f x x x a a a =++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.6.（2015全国II 24. ）设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,>（II ）>a b c d -<-的充要条件.选修4-5：不等式选讲答案1.1．解：（I ）当2()a f x =-时，不等式<g(x)化为21223x x x -+---<0.设函数y=21223x x x -+---，则15,212,1,236, 1.x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示从图像可知，当且仅当x (0,2)∈时，y <0，所以原不等式的解集是{}02x x <<；（II ）当)1,,()1.22a x f x a ⎡∈-=+⎢⎣ 不等式()f x ≤g(x)化为1+a ≤x+3.所以x ≥a-2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立，故22a a -≥-，即43a ≤，所以a 的范围 41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 2.解：（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==.故33a b +≥≥，且当a b ==.所以33a b +的最小值为……5分（II ）由（I）知，23a b +≥≥由于36>，从而不存在,a b ，使得236a b +=. ……10分 3. （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）……10分4．5.解：（I ）()f x 111()2x x a x x a a a a a =++-≥+--=+≥.所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-.当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a 。
2015届高考调研理科选修4-5-1演示文稿
(2)解不等式：4|x＋6|<3－2x. 【解析】 原不等式等价于－14(3－2x)<x＋6<14(3－2x)．
即44xx＋ ＋2244><23x－－23x， . 解之得－227<x<－72.
∴原不等式的解集为x|－227<x<－72. 【答案】 x|－227<x<－72
【解析】 (1)当 a＝－2 时，不等式 f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x －2|－x－3<0.
∵|a|<1，|b|<1，∴a2－1<0，b2－1<0. ∴|1－ab|2－|a－b|2>0，∴|1－ab|>|a－b|. ∴|1a－－abb|＝|1|a－－abb||>1.
(2)∵|1a－λ－abbλ|>1⇔|1－abλ|2－|aλ－b|2＝(a2λ2－1)(b2－1)>0. 又∵b2<1，∴a2λ2－1<0 对于任意满足|a|<1 的 a 恒成立． 当 a＝0 时，a2λ2－1<0 成立；当 a≠0，要使 λ2<a12对于任意 满足|a|<1 的 a 恒成立，而a12>1， ∴|λ|≤1.∴λ 的取值范围是－1≤λ≤1.
探究 2 解含绝对值不等式的原则是去掉绝对值，转化为有 理不等式再求解，一般有以下几种解法：
①公式法：利用|x|>a(或<a)(a>0)去绝对值，如(1)题； ②定义法：利用绝对值定义去绝对值如(3)题； ③平方法：如下面思考题 2(1)； ④几何法：利用绝对值的几何意义求解．
思考题 2 (1)解不等式：|x|<|x＋1|. 【解析】 两边平方法，得 x2<(x＋1)2，∴x>－12. 另外，此题也可用定义法，几何法求解．
北师大版高中数学选修4-5不等式选讲：排序不等式
(2)由(1)b1c≥c1a≥a1b，于是由顺序和≥乱序和得， ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥bb3c53＋cc3a5 3＋aa3b5 3 ＝bc32＋ca23＋ba32(∵a2≥b2≥c2，c13≥b13≥a13) ≥cc23＋aa23＋bb23＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c。
1．排序不等式的本质含义是什么？ 提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单 调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向 单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成 立条件是其中一序列为常数序列。
2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其 中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4， b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1， c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值 分别为何值？ 提示：由顺序和最大知 最大值为：a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304， 由反序和最小知 最小值为：a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212。
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn。
①
又因为x，x2，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个 排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得
1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn －1·x＋xn·1，
[悟一法] 利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中 所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知a≥b≥c， 所以可直接利用已知构造两个数组。
[通一类] 1．已知 0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos
选修4-5 不等式选讲
选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一 绝对值不等式的解法[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2， 解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解； 当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立； 当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2， 解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]． 2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|， 两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0， 解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4.由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.考点二 绝对值不等式性质的应用[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解] (1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法] 绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|≤|x ＋2 019－x ＋2 018|＝4 037， 所以函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值为4 037. 2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三 绝对值不等式的综合应用[典例] (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1， 解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解， 则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)． [解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||； ③利用零点分区间法． [题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，显然满足题意， 当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3， 故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立， 即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－114，0. [课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6.解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立； 当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a ， 所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]． 4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4， 即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤0，12. (2)因为f (x )＝⎩⎨⎧(3＋a )x ＋2，x ≥13，(a －3)x ＋4，x <13，所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a －3≤0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>－x ；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a 2－2a 的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)原不等式等价于f (x )＋x ＞0，不等式f (x )＋x >0可化为|x －2|＋x >|x ＋1|， 当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1； 当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1； 当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3，综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <1或x >3}． (2)由不等式f (x )≤a 2－2a 可得|x －2|－|x ＋1|≤a 2－2a ，∵|x －2|－|x ＋1|≤|x －2－x －1|＝3，当且仅当x ∈(－∞，－1]时等号成立， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0，解得a ≤－1或a ≥3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|.(1)若a ＝2，求不等式f (x )＞x ＋2的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ＜－1，3，－1≤x ＜2，2x －1，x ≥2，不等式f (x )＞x ＋2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜2，3＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＞x ＋2，解得x ＜1或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．(2)∵f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，当(x －a )(x ＋1)≤0时取等号． ∴若关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，只需|a ＋1|＜2， 解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3， 即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，1≤3或 ⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3， 解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]． (2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|， 因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.第二节 不等式的证明一、基础知识1．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．(3)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．考点一 比较法证明不等式[典例] 已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2，得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2，得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2 ＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |. [题组训练]1．当p ，q 都是正数且p ＋q ＝1时，求证：(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2. 解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋q 2y 2＋2pqxy －(px 2＋qy 2) ＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立． 2．求证：当a >0，b >0时，a a b b≥(ab )+2a b .证明：∵a ab b(ab )+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b -2a b ，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b -2a b ＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，∴a a b b≥(ab )+2a b.考点二 综合法证明不等式[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)∵(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，∴(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[解题技法] 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．[题组训练]1．设a ，b ，c ，d 均为正数，若a ＋b ＝c ＋d ，且ab >cd ，求证：a ＋b >c ＋d . 证明：因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd . 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此 a ＋b >c ＋d .2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6， 解得－1<x <9，∴m ＝－1，n ＝9.(2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0， ∴⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，∴1x ＋1y ≥16，即x ＋y ≥16xy . 考点三 分析法证明不等式[典例] (2019·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解] (1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2，得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论． (2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语． [题组训练]1．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， 知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ， 只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，∴只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2， 即证2a 2－ab －b 2>0， 即证(a －b )(2a ＋b )>0， 即证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0， ∴(a －b )(a －c )>0显然成立， 故原不等式成立． 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )＞f (a )－f (－b )． 解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[课时跟踪检测]1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B 为锐角． 证明：要证∠B 为锐角，只需证cos B >0， 所以只需证a 2＋c 2－b 2>0， 即a 2＋c 2>b 2，因为a 2＋c 2≥2ac ， 所以只需证2ac >b 2， 由已知得2ac ＝b (a ＋c )．所以只需证b (a ＋c )>b 2，即a ＋c >b ，显然成立． 所以∠B 为锐角．2．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4； (2)若a ，b 满足(1)中不等式，求证：2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.解：(1)当x <－3时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1－x －3＝－2x －4<4，解得x >－4，所以 －4<x <－3；当－3≤x <－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1＋x ＋3＝2<4恒成立， 所以－3≤x <－1；当x ≥－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝x ＋1＋x ＋3＝2x ＋4<4，解得x <0，所以－1≤x <0. 综上，不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4的解集为{x |－4<x <0}． (2)证明：因为4(a －b )2－(ab ＋2a ＋2b )2 ＝－(a 2b 2＋4a 2b ＋4ab 2＋16ab ) ＝－ab (b ＋4)(a ＋4)<0， 所以4(a －b )2<(ab ＋2a ＋2b )2， 所以2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.4．(2018·武昌调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求证：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x >2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1， 解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1， 解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}． (2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.5．(2019·西安质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，∴f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝(t －3)(t 2＋1)t ，∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴(t －3)(t 2＋1)t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .6．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9，x <32，－x ＋3，32≤x ≤2，5x －9，x >2.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知，f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115. (2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1， 由基本不等式可知a ＋b2≤ a ＋b2＝ 14＝12， 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 7．已知函数f (x )＝|2x －1|－⎪⎪⎪⎪x ＋32. (1)求不等式f (x )<0的解集M ；(2)当a ，b ∈M 时，求证：3|a ＋b |<|ab ＋9|.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧52－x ，x <－32，－3x －12，－32≤x ≤12，x －52，x >12.当x <－32时，f (x )<0，即52－x <0，无解；当－32≤x ≤12时，f (x )<0，即－3x －12<0，得－16<x ≤12；当x >12时，f (x )<0，即x －52<0，得12<x <52.综上，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－16<x <52. (2)证明：要证3|a ＋b |<|ab ＋9|，只需证9(a 2＋b 2＋2ab )<a 2b 2＋18ab ＋81， 即证a 2b 2－9a 2－9b 2＋81＞0， 即证(a 2－9)(b 2－9)＞0.因为a ，b ∈M ，所以－16<a <52，－16<b <52，所以a 2－9<0，b 2－9<0， 所以(a 2－9)(b 2－9)>0， 所以3|a ＋b |<|ab ＋9|.8．已知函数f (x )＝m －|x ＋4|(m >0)，且f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 都是正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)法一：依题意知f (x －2)＝m －|x ＋2|≥0， 即|x ＋2|≤m ⇔－m －2≤x ≤－2＋m .由题意知不等式的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，－2＋m ＝－1，解得m ＝1.法二：因为不等式f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]，所以－3，－1为方程f (x －2)＝0的两根，即－3，－1为方程m －|x ＋2|＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －|－3＋2|＝0，m －|－1＋2|＝0，解得m ＝1.(2)证明：由(1)可知1a ＋12b ＋13c＝1(a ，b ，c >0)，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c2b ≥9，当且仅当a ＝2b ＝3c ，即a ＝3，b ＝32，c ＝1时取等号。