第三章 重积分及其应用 第二节 二重积分的计算
二重积分的计算方法及应用
二重积分的计算方法及应用二重积分是微积分中重要的计算方法之一，它用于计算二元函数在平面区域上的累积效应。
本文将介绍二重积分的计算方法和其在实际问题中的应用。
一、二重积分的计算方法1. 矩形区域上的二重积分计算当被积函数在矩形区域上有明显的解析表达式时，可以使用矩形区域的特点进行计算。
首先，将矩形区域划分成小矩形，计算每个小矩形上函数值的加权累计，然后将这些小矩形的累加值相加得到最终结果。
2. 极坐标下的二重积分计算在某些情况下，函数的表达式在直角坐标下很难处理，但在极坐标下却具有较简单的形式。
对于极坐标下的二重积分计算，我们需要根据被积函数的性质选择适当的极坐标变换，并利用极坐标系下的面积微元进行计算。
3. 变量替换法变量替换是一种常用的二重积分计算方法。
通过引入新的变量替换原有的积分变量，可以简化被积函数的形式，使问题变得更易处理。
变量替换法的关键在于选择合适的变换关系，并确定新的积分范围。
4. 利用对称性简化计算当被积函数具有一定的对称性时，我们可以利用对称性简化计算。
例如，如果被积函数关于某个坐标轴对称，可以将积分区域关于对称轴进行映射，再利用对称性将两边的积分结果相等。
二、二重积分的应用1. 物理学中的应用二重积分在物理学中有广泛的应用。
例如，通过对平面区域上的力场进行二重积分计算，可以求解物体的质心、转动惯量等物理量。
二重积分还可以用于计算电场、磁场等物理场的分布情况。
2. 统计学中的应用统计学中的某些问题可以通过二重积分来求解。
例如，在概率密度函数已知的情况下，可以通过二重积分计算随机变量落在某一区域内的概率。
这在统计推断和假设检验中有着重要的应用。
3. 经济学中的应用在经济学中，二重积分可以用于计算产量、收入、消费等指标。
通过对经济模型中的生产函数或效用函数进行二重积分计算，可以分析经济变量之间的相互作用关系。
4. 工程学中的应用工程学中常常需要对平面区域上的物理量进行计算和分析。
第2节 二重积分的计算法
23
例 2 计算 ex2 y2dxdy ，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D : 0 a,0 2 .
ex2 y2dxdy 2 d ae2 d
0
0
D
(1 ea2 ).
24
例 3 求广义积分 ex2dx . 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
y x 所围的闭区D 域.
y
解法1.
将D看作X–型区域,
则D
:
1
y
x
y
yx
2x
2
1 x 2 1
I dx x ydy
11
1
1 2
x
y2
x dx
1
0 1x2 x
解法2.
2
2
1 2
x3
1
将D看作Y–型区域,
2
2
1x dx9
28则Fra bibliotekD:
y 1
x y
2 2
2
I dy x ydx
1 2
x2y
2d
y
y
2y
1 2
y3
1y
1
1
dy9 8
8
例 2
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
9
例3. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x2
I d x 2 f ( x, y)d y d x
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用在微积分中，二重积分是一种对二维平面上的函数进行求和的数学工具。
它广泛应用于物理、经济学、工程学以及其他领域。
本文将介绍二重积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、二重积分的计算方法二重积分可以通过多种方法进行计算，包括直接计算、极坐标变换和换元积分等方法。
1. 直接计算直接计算是最常用的方法之一，它将二重积分分解为两个一元积分的乘积。
假设要计算的函数为f(x, y)，定义在区域D上，可以将二重积分表示为：∬D f(x, y) dA其中dA表示面积元素。
可以通过将区域D划分为小的面积元素，并在每个面积元素上进行函数值的计算，然后对所有面积元素求和，最终得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换极坐标变换是一种常用的简化二重积分计算的方法，特别适用于具有旋转对称性的函数。
通过将直角坐标系下的变量x和y表示为极坐标下的变量r和θ，可以将二重积分转化为极坐标下的形式。
例如，对于函数f(x, y)，可以进行如下的极坐标变换：x = rcosθy = rsinθ同时，面积元素dA可以表示为：dA = rdrdθ将函数f(x, y)和面积元素dA用极坐标形式表示后，就可以将二重积分转化为对r和θ的一元积分进行计算。
3. 换元积分换元积分是一种将二重积分转化为更简单形式的计算方法。
通过选择适当的变量替换，可以减小积分的难度。
例如，当被积函数具有形如f(x, y) = g(x + y)的形式时，可以进行变量替换u = x + y，将二重积分转化为对u的一元积分进行计算。
二、二重积分在实际问题中的应用二重积分在各个领域中都有广泛的应用，下面将介绍二重积分在物理学和经济学中的一些具体应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，二重积分可以应用于计算质心、质量、转动惯量等物理量。
例如，计算平面上杂质浓度分布可以利用二重积分来求解。
通过将杂质浓度表示为函数f(x, y)，然后计算其在给定区域上的二重积分，就可以得到平均浓度。
二重积分的计算及其具体运用
二重积分的计算及其具体运用二重积分是多元积分学的内容，它是以多元函数的一些重要性质及计算为基础的，例如多元函数的表示法、连续性、偏导与全微分及极值的求法等，在一元函数积分学的基础上，我们知道定积分是某种确定形式的和的极限，其定义的方法可以简单地记为“分割、求和、取极限”，本文所要概括的二重积分的计算是将这种极限的思想推广到空间中，本文将介绍二重积分的概念与性质、计算方法和这些计算方法的一些具体运用。
一， 二重积分的概念与性质1， 概念若(,)f x y 在有界区域D 上有定义，把D 划分为n 个小区域12,,,,nεεε∆∆∆ 并用σ∆和d 分别表示第i 个小区域的面积和直径。
任取(,)i i ξησ∈∆，若极限0lim λ→1(,)i i in i f ξησ=∆∑存在，其中 12max{,,,}nd d d λ= ，则称(,)f x y 在D 上可积，并称此极限为函数(,)f x y 在D 上的二重积分，记为01(,)lim (,)i i i ni D f x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰ (,)f x y 称为被积函数，,x y 称为积分变量，d σ称为积分元素，D 称为积分区域， 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，或分块连续且有界，则(,)f x y 在D 上可积。
几何意义：例题：2， 二重积分的重要性质（1）若A ，B 为两个常数，函数(,)f x y 与(,)g x y 都在D 上可积，则(,)(,)Af x y Bg x y +也在D 上可积，且 [(,)(,)](,)(,)D D DAf x y Bg x y d A f x y d B g x y d σσσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）若(,)f x y 在D 上可积，D 被分成只有公共边界的两个区域1D 与2D 之和，则12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）若(,)(,)f x y g x y ≤在D 上成立，且(,)f x y ，(,)g x y 都在D 上可积，则(,)(,)D Df x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰ （4）若(,)f x y 在有界闭区域上连续，则存在(,)D ξη∈，使得(,)(,)Df x y d f D σξη=⎰⎰ 其中D 是D 的面积，这个性质称为二重积分的中值定理。
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用二重积分是微积分中重要的计算工具之一，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍二重积分的定义、计算方法和应用。
一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在一个有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，则二重积分的定义如下：∬D f(x,y) dA = lim Δσ→0 ∑ f(xi,yi) Δσ,其中D是平面上的一个有界闭区域，Δσ是D中的一个小面积，Δσ=ΔxΔy，xi和yi是Δσ的中点。
二、二重积分的计算方法1.直角坐标系中的二重积分直角坐标系中的二重积分可以通过重积分法进行计算，即首先对其中的一个变量积分，再对另一个变量积分。
2.极坐标系中的二重积分对于极坐标系中的二重积分，可以将二元函数表示为极坐标形式，再进行积分计算。
设D是在极坐标系下的一个有界闭区域，则有：∬D f(x,y) dA = ∫θ1^θ2 ∫r1^r2 f(rcosθ, rsinθ) r dr dθ,其中θ1和θ2是θ的取值范围，r1和r2是r的取值范围。
三、二重积分的应用二重积分在许多领域中都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用。
1.面积计算二重积分可以用于计算平面区域的面积。
设D是平面上的一个有界闭区域，用f(x,y)=1表示D上每一点的函数，那么二重积分∬Df(x,y)dA就等于D的面积。
2.质量、质心和转动惯量二重积分可以用于计算平面物体的质量、质心和转动惯量。
设D是平面上的一个有界闭区域，其上的密度函数为ρ(x,y)，则二重积分∬Dρ(x,y)dA就等于D上物体的质量。
质心的坐标可以通过二重积分的计算得到，分别为Xc=∬Dxρ(x,y)dA/∬Dρ(x,y)dA，Yc=∬Dyρ(x,y)dA/∬Dρ(x,y)dA。
转动惯量的计算也可以类似地进行。
3.二维几何中心和弧长二重积分可以用于计算平面曲线的几何中心和弧长。
设曲线L由参数方程x=f(t)，y=g(t)表示，其中a≤t≤b，则曲线的几何中心的x坐标为Xc=1/L ∫a^b x(t) ds，y坐标为Yc=1/L ∫a^b y(t) ds，其中L=∫a^b √[f'(t)^2+g'(t)^2] dt。
高等数学 第二节 二重积分的计算
4
又解 :
1 ≤ x ≤ 2 D= 1 ≤ y ≤ x
2 x 1 1
y
y=x y =1
x=2
∫∫ x y d x d y = ∫ d x ∫ x y d y
D
9 ⌠ 1 3 1 . = x − x d x = 8 2 ⌡1 2
2
1
2
x
(∫
x
1
1 2 1 3 1 x y d y = xy = x − x) 2 2 2 y=1
1 y 1 x 0 0 0 0
(1,1) y=x
I = ∫ d y ∫ f ( x) f ( y)d x = ∫ d x ∫ f ( y) f ( x) d y
1 1
x
y
d x + 1 f ( x) x f ( y) d y d x 2 I = ∫ f ( x )∫ f ( y ) d y ∫0 ∫0 0 x 1 x f ( y) d y + 1 f ( y) d y d x = ∫ f ( x) ∫ ∫x 0 0 1 1 f ( y ) d y d x = A2 . A2 . = ∫ f ( x ) ∫ ∴ I= 13 0 0 2
≤
∫∫ e
D1
− x2 − y2
2R
x
18
∫∫e
D
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D2
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D 1
−x2 − y2
dx dy
又因为
∫∫ e
D2
− x2 − y2
d x dy = ∫
R − x2 R − y2 e dx ⋅ e dy 0 0
(完整版)第二节二重积分的计算
即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),(0,1)
D
为顶点的三角形.
解 因 e y2dy 无法用初等函数表示,
所以, 积分时必须考虑次序.
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
0
D
e1 y2
y3 dy
1
1 y2e y2dy2 1 1 2
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
D
3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (利用积分区域的可加性)
y
D3
D1 D2
O
x
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
0
3
60
6 e
例3 交换积分次序:
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
(
x,
y)dx)dy
D
即
f y)dx.
D
c
1( y)
第二节 二重积分的计算
D
α ≤ϕ ≤ β,
ρ = ρ2 (θ )
ρ 1 (ϕ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (ϕ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ
D
= ∫α dθ ∫ρ12(ϕ ) f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρ .
β
ρ (ϕ )
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（２）
π
a cos ϕ
I = ∫ dϕ ∫0
2 π − 2
f ( ρ ,ϕ )dρ
(a ≥ 0).
思考题解答
π π − ≤ϕ ≤ D: 2 2 , 0 ≤ ρ ≤ a cos ϕ
I = ∫0 dρ ∫
a a ρ − arccos a arccos
y
ϕ = arccos
D
ρ
a ρ = a cosϕ
D
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = ρ cos ϕ 解 在极坐标系下 y = ρ sin ϕ 所以圆方程为 ρ = 1, 1 直线方程为 ρ = , sin ϕ + cosϕ
所求面积σ =
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
D1
= 4 ∫0 dϕ ∫a
6
π
a 2 cos 2ϕ
ρ dρ
π = a ( 3 − ). 3
2
三、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ D β ρ (ϕ ) = ∫α dϕ ∫ρ (ϕ ) f ( ρ cosϕ , ρ sinϕ ) ρ dρ .
高数讲义第二节二重积分的计算(一)
方法一：将 D 看做 Y 型区域
y x2
y x y2
(4 , 2)
2
y
x y2
0 1
x
(1 , 1)
1 y 2 , y2 x y2
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
1 2
x
2
1 0
y
(
d xd
x2
y
x4
)
1 2
dx
1 x2
0
1 2
(1 ( x3
3
x2)dx x5) 1
5
0
1 15
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解：画积分区域 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
· y M 2 y 2( x )
y
· M 2 y 2( x )
D
D
· M 1 y 1( x )
0a x b x
· M 1 y 1( x )
0 a x bx
类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线
y 1( x ) 和 y 2( x ) 所围成，即
D { ( x, y ) | a x b, 1( x) y 2( x) }
dx
y
A(x)
0
a
z f ( x, y)
y 1( x )
第二节_二重积分的计算法
第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。
则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。
二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。
计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。
1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。
具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。
(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。
(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。
(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。
2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。
具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。
(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。
(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。
3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。
具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。
(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。
(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。
(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。
4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。
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解
I
0 y 4 x D : 2 x 2
2
2
o
2
x
2
2
dx
0
2
4 x
2
x ln( y
1 y ) dy
2 2
由于
[ 2 , 2 ],
0
4 x
x ln( y
1 y ) dy
为奇函数，积分区间是
所以
I 0
- 13 -
第二节
二重积分的计算法
2
1 2
x x dx
3 1 2
9 8
解法2. 将D看作 y 区域, 则
I d y x yd x
1 2
y x 2o D: 1 y 2
1 x 2x
2
2
y
1
1 2
2 x y dy y
2
1 2 y
2
1 2
y
3
d y
9 8
-6-
第二节
D
y 3x
D2
在 D2上 , f ( x , y ) f ( x , y )
I
x ln( y
D1 D2
1 y )d xd y
2
o
x
x 1
x ln( y
1 y )d xd y
2
(1 , 3 )
0
- 15 -
第二节
二重积分的计算法
例9 求由两直交圆柱面 x 2 y 2 R 2 , x 2 z 2 R 2
y y
d
x ( y)
y ( x)
D
y ( x)
o a x
y
D
x ( y)
c o x
b
x
-2-
第二节
二重积分的计算法
设曲顶柱体的底是 x 型区域D
a x b,
( x ) y ( x ).
顶为连续函数 z f ( x , y )( 0 ), 对于任意固定 x [ a , b ]
二重积分的计算法
例2. 计算
x yd , 其中D 是抛物线
D
及直线
y
所围成的闭区域.
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
y x y2 D: 1 y 2
2
2
(4, 2)
x y
2
D
x yd
1 d y y
D 重 ( f ( x , y ) f ( x , y )), x 积 如果函数 f ( x , y ) 为 的偶函数 ( f ( x , y ) f ( x , y )), 分 y 及 y 其 积分区域 D 关于 则 轴对称， x 应 用 f ( x , y ) dxdy 2 f ( x , y ) dxdy D
所围立体的体积。
第 解 第一象限部分立体如图 九 设其在 xoy 面投影为D 章所示，
2 2
z
z
R x
2
2
重 0 y R x 积 D : 分 0 x R x 及 2 2 其由对称性得V 8 R x dxdy 应 D 用 2 2 R R x 2 2 dx 8 R x dy
y
2
2
y x
x 2y y
8 x y
2
x
2
D1
o
D
D2
2
2 2 x
I
D
f ( x, y) d x d y
0 d y
2
8 y 2y
2
f ( x , y )d x
- 10 -
第二节
二重积分的计算法
例 5 计算积分 I
y
1 2 1 4
dy
y
1 2
y
e x dx
dy
b
(x)
f ( x , y ) dy
无论函数 f ( x , y ) 符号如何，只要积分区域D为
a x b,
( x ) y ( x ).
b
重 积 f ( x , y ) dxdy 分 D 及 y 其 总成立。 应 用
a dx ( x )
y (x)
(x)
1
1
解
用 y x 分积分区域
2
y x
1
x
x
2
1
0
1 ( 2
1
x
2
x
4
2
)d x
1 1
x
4
dx
11 15
- 12 -
2
第二节
二重积分的计算法
例7 计算
y 4 x , y 0
2
其中D 由 所围成.
y 4 x
2
y
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
x 积分不行,
y
y x
0 y x D: 0 x
D
sin x x
dxdy
0
sin x x
d x d y
0
x
o
x
0 sin x d x
-9-
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
第二节
2 x 0
2
二重积分的计算法
2 2 2 8 x 0
2
例4. 交换下列积分顺序
I
第 九 章
0
dx
2
f ( x , y )d y
dx
f ( x , y )d y
解: 积分域由两部分组成:
2
2 0 y 1x 0 y 8 x 2 D2 : D1 : 重 2 x 2 2 0 x 2 积 分 及 将 D D1 D2 视为 y 型区域 , 则 其 2 应 2y x 8 y 用 D: 0 y 2
f ( x , y ) dy
先对 y 后对 x 的二次积分
D
o a
y (x)
b
x
-4-
第二节 二重积分的计算法 积分区域D ：c y d , ( y ) x ( y ).
y
第 九 章
D
f ( x , y ) dxdy
d
x ( y)
c
d
dy
( y ) f ( x , y ) dx
2
其中D 由
y
2
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
解: 令 f ( x , y ) x ln( y 1 y )
D D1 D2 (如图所示)
在 D1上 , f ( x , y ) f ( x , y )
( 1,3 )
D1
y 4 x
2
(1 , 3 )
y 3 x
第 九 章
则称D为 x 型 函数 ( x )、 ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续，
区域。 x 型区域的特点：穿过区域且平行于 y 轴的直线 重 与区域边界相交不多于两个交点. 积 y 型区域D ：c y d , ( y ) x ( y ). 分
及 其 应 用
1 2
1
y y
y
e x dx .
解 e x dx 不能用初等函数表示 先改变积分次序.
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
D1 :
1 2
x
y
1 2
1 4
y
y x y D2 : 1 y1 2
y 1
y x
0 .5 0 . 25
x y
D
1 x 1,0 y 1 .
( 1 .1 )
y 1
D
D1
y
(1 .1 )
2
第 D2 九 D D1 D 2 章 1 o 2 2 x y 1 0 y x 重 D1 : D2 : 积 1 x 1 1 x 1 分 2 2 2 及 | y x | dxdy ( y x ) dxdy ( x y ) dxdy 其 D1 D2 D 应 2 1 1 用 x 1 2 2 dx ( y x ) dy ( x y ) dy dx
D1
f ( x , y ) dxdy 0
其中
D 1 {( x , y ) ( x , y ) D , x 0 }
D1 {( x , y ) ( x , y ) D, y 0}
- 14 -
第二节
二重积分的计算法
例8 计算
y 4 x , y 3 x , x 1 所围成.
V
D
f ( x , y ) dxdy
b
y
D
x
b
a [ ( x )
(x)
f ( x , y ) dy ]dx
-3-
a
y x ( x )
第二节
二重积分的计算法
a [ ( x )
第 九 章 公式
b
(x)
f ( x , y ) dy ]dx
a dx ( x )
2
y2
2
o
1
xyd x
1
2
x 2 y (1, 1)
x
2
1 1 2
x y
2