浅谈中学数学不等式的证明方法
中学数学不等式证明的常用方法
中学数学不等式证明的常用方法不等式证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样，但常见的几种方法有：放缩法、判别式、换元法、函数法、数学归纳法等]4[.在这里通过学习，总结前人巧妙的证明方法，使中学生可以轻松地理解并掌握进而灵活运用常用的不等式证明方法解决有关不等式的证明问题.下面试图通过一些例子来说明.一、一般思路不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法.利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述．分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.二、典型方法分析(1)放缩法不等式的传递性，若A ＞B ，B ＞C 则A ＞C 告诉我们要证明A ＞C 时就可以先把A 缩小B ，再把B 缩小为C ，从而证明A ＞C ；同样A 放大为B ，再把B 放大为C ，可以证明A ＜C ．例１ 求证：１＋)(213121+∈<+++N n n n ．分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母 n 1 ＝)1(21222--=-+<n n n n n ,每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当.证明: n 1＝)1(21222--=-+<n n n n n ， ∴21＜2（2－１）， ),23(231-<……),21(211---<-n n n n 1＜2（1--n n ）． 以上各式相加，得１＋21＋…n 1＜2n －１＜2n ．所以原不等式成立． 【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递．例2 已知数列{}n a ,n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n L 求证：<+2)1(n n n a ＜.2)1(2+n 分析: 注意到左边的式子2)1(+n n 是前ｎ个自然数的和，与n a 比较只须缩小为１﹑2﹑3……n 即可．仿此把各项放大2﹑3﹑……（n+1）所得结论过弱，只能放弃，于是转而联想到关系式2)1()1(+<+n n n n ，右边的不等式证明，由此可证得．证明 由于 n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n >2322321n ++++=1+2+3+…+n=2)1(+n n 又由2)1()1(+<+n n n n ＜212+n 有n a ＝)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n ＜++++ 272523212+n ＜2)1()]12(7531[212+=++++++n n 综上所述<+2)1(n n n a ＜2)1(2+n ． 【评注】放缩法的基本思路: ,,.a b b c a c >>⇒>[3]技巧与方法:(1) 适当添上或舍去某些项,例:22131()()242a a ++>+;(2) 如果是分式则需放大或缩小分子或分母,如:211111(1)(1)1k k k k k k k<<=-+--放大缩小切记适度. (2) 判别式法有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式；或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2]．例 已知z y x ,,是实数，且满足条件222870660x yz x y z yz x ⎧--+=⎪⎨++-+=⎪⎩ 求证：１.9≤≤x证明 由已知等式得：yz =782+-x x(z y +)=-+=662x yz 782+-x x +6x-6=2x -2x+1=(x-1)2于是z y ,是方程t ()1(2+-±t x 782+-x x )=0的两个实根△＝(x-1)2－４（782+-x x ）＞０解得１.9≤≤x【评注】本题可以将原方程组变形得到的表达式和z y yz +,再把x 看作常数写成关于t 的一元二次方程，最后用判别式来求解．用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．(3) 换元法有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2]．例1 设a ,b ∈R +且a +b =1.求证：22)1()1(b b a a +++≥225. 证明： a +b =1可设：a =θ2sin ,b =θ2cos又222y x +≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 则 22)1()1(bb a a +++ ≥2)11(21ba b a +++ ＝(21θ2sin ＋θ2cos ＋222)cos 1sin 1θθ+ ＝225)41(21)2sin 41(2122=+≥+θ． 例2 设a ,b >0，求证：33b a +＋3332a b a <-． 证明：设33b a +＝m,n b a =-33,则33n m +=2a于是要证的不等式等价于3)(n m +＜4（33n m +）只要证：4（33n m +）－0333223>---n mn n m m而33m +3n 22333mn n m --=3)(3)(22m n n n m m -+-=3(m-n)(m 2-n 2)=3(m-n)2(m +n )>0∴m n m (4)(3<-)22n - 成立.【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示. 换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有:(1)若;(sin ,cos ,122为参数）可设θθθ===+b a b a(2)若为参数）；可设θθθ(sin ,cos ,122r b r a b a ==≤+(3)对于θθθcos 1sin 1cos ,1,12=≤≤≤-x x x 知，可设或由 或θsin =x ;(4)若知由C b A C B A xyz z y x tan tan tan tan tan tan ,=++=++,,tan A x ==y ).(tan ,tan π=++=C B A C z B(4)函数法有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明.例:求证:||1||2121n n x x x x x x ++++++≤||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++ 分析:要证不等式的每一项结构都是x x +1的形式,于是可以构造函数)(x f =x x +1 证明: 构造函数)(x f =xx +1 )1)(1(11)()(2121221121x x x x x x x x x f x f ++-=+-+=- 当x 021>≥x 时,显然)()(21x f x f <所以函数)(x f 当0≥x 时是增函数||||||||2121n n x x x x x x +++≤+++L L Q ∴||12121n n x x x x x x +++++++ ≤||||||1|||||||112121n n n x x x x x x x ++++++++++ ≤ ||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.不等式的证明，方法多种多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其它数学知识，是高中数学的一个难点.不等式证明综合题是每年高考的必备题，只要我们遵循《考试说明》的要求，以不等式的性质、定理为理论依据，借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法，就能很好的“把脉”不等式的证明.但这些方法不是孤立的，而是相互渗透的.因此，在证明不等式时要灵活运用这些方法,以使题目更容易解决.解题时只要充分展开想象，打开思路，选择恰当的的证明方法，问题便可迎刃而解.。
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
高中数学中不等式的证明方法浅析
好家长 / 经验交流高中数学中不等式的证明方法浅析山东省青岛第五十八中学/柏荔升【摘要】不等式是高中数学中较为重要的学习内容，也是学生学习的重难点。
然而，很多学生都不了解应该怎样正确证明不等式，为弥补这一不足，本文将联系实际情况，提出几种有效的证明方法，帮助学生快速解题。
【关键词】高中数学 不等式 证明方法前言尽管不等式一直都是高考重点，但由于不等式形式并不相同，也就没有确确切的证明程序可言，为做好不等式证明，让学生掌握不等式解题技巧，这就需要从多角度对不等式进行讲解与研究。
一、在不等式证明中常用思想不等式证明是高中数学教学重点，要做好不等式证明，就要结合一定的思想，为正确解题奠定基础。
首先，分类思想。
这一思想是按照研究对象属性确定的，运用分类思想可以让学生更透彻的理解数学知识，帮助学生形成良好的获取知识的能力，让学生有更为完善的认知结构，进而形成良好知识网络。
其次，数形结合思想。
利用该思想可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，这对学生尽快掌握不等式证明知识具有重要作用。
最后，函数方程思想，利用这种思想可以帮助学生更全面掌握数学知识，将不等式证明看做函数方程，有助于学生理解。
二、不等式证明方法1.比较法。
对于比较法来说，就是利用两个实数之间的差或商比较它们的大小，确定两者关系。
具体来讲可以分为作差法与作商法。
如在已知a,b大于0的情况下，证明(a+b)/2不小于就可以运用比较法，由于(a+b)/2不小于意味着(a+b)/2大于或等于，即(a+b)/2≧，进一步证明得知，(a+b)/2-=(a+b-)/2≧0，最终求得(a+b)/2≧。
同样，这种方法也适用于求商中。
2.分析法。
分析法也是高中数学不等式证明中一种常用的解题方法，在利用分析法的过程中就是先分析不等式的成立条件，同时将用于证明不等式的问题变为这些条件是否具有问题，若可以肯定这些条件，则意味着不等式成立，这就是分析法。
3.均值法。
均值法是不等式证明中一种较为常见的方法，对于均值不等式来说，需要保证两端次数相同，且带有一定的对称性与排比性，利用均值法证明不等式，只要保证具有以上特点即可。
中学数学不等式证明的方法
８ ７
证明 ：因为 ａ ｂ ｃ ＝ １ 且ａ ， ｂ ， Ｃ 为互不相容的正数 ，
所以 ＋ Ｉ＋ － ｂ ｃ ＋ ａ ｃ ＋ ａ ｂ ＝ 丁 ｂ ｃ ＋ ａ ｃ＋
一
个范 围，所以不等式 的证 明是 非常有趣 和富有挑战的。文章例谈 了初等数学 中不等式 的一些证 明方法 ， 关键词 ：不等式 ；中学 数学 ；方 法
通过学习这些证 明方法 ，可以帮助我们培养逻辑推理论证能力和抽象思维 的能力。
不等式作为一个重要的分析工具和分析手段 ，在数学 中具有举足轻重 的作用和地位 ，不等式 的证明可分为推理性 问题和探索性问题 ，推理性问题是指在特定条件下 ，阐释证明过程 ，解释内 在规律 ，基本方法有 比较法、分析法 、综合法 ； 探索性问题大多是与 自 然数有关的证明问题 ，常 采用观察一归纳一猜想—证 明的方法思路 ，以数学归纳法完成证 明。
第２ ３ 卷第 ２ 期
２ ０ １ ３ 年 ６月
临沧师范高等专科学校学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ｉ ｎ ｃ ａ ｎ ｇＴ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ ’Ｃ ｏ Ｕ ｅ ｇ ｅ
Ｖ０ １ ． ２ ３ Ｎｏ ． ２
Ｊ ｕ ｎ ｅ ． ２ ０１ ３
中学数学不等式证明的方法
２ 综合法
综合法是由题设条件出发 ，根据不等式的性质 ，推导 出要证的不等式 。综合法利用 已知事实 作为基础 ，借助不等式 的性质和有关定理 ，经过逐步 的逻辑推理 ，最后推出所要证明的不等式 ， 其特点和思路是 “ 由因导果” ，从 “ 已知”看 “ 需知” ，逐步推出 “ 结论” 。 例２ ａ ， ｂ ， ｃ 为互不相容的正数 ，且 ａ ｂ ｃ ＝ ｌ ，
中学数学中不等式的证明
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数列求和：利用不等式证明数 列求和公式
数列极限：利用不等式证明数 列极限的存在性
数列收敛：利用不等式证明数 列的收敛性
在实际生活中的应用
工资计算：根据工作时间和工 资标准计算工资
商品定价：根据成本和利润率 确定商品价格
投资决策：根据投资回报率和 风险评估进行投资决策
资源分配：根据需求和资源限 制进行资源分配
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中学数学中不等式的证明
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目录
01.
不等式证明 的基本概念
02.
不等式的 性质和基 本定理
03.
不等式的证 明技巧
04.
常见不等式 的证明
05.
不等式证明 的实践应用
不等式证明的基本概念
伯努利不等式
伯努利不等式：a^2 + b^2 ≥ 2ab
应用范围：解决不等式问题，如 求最大值、最小值等
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证明方法：利用数学归纳法
添加标题
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推广：推广到多元情况，如a^2 + b^2 + c^2 ≥ 2(ab + bc + ca)
不等式证明的实践应用
05
在几何中的应用
证明线段相等：利用边角关 系证明线段相等
应用：在证明不等式时，反 证法是一种常用的证明技巧
注意事项：在使用反证法时， 需要注意假设的合理性和推
导的严密性
综合法与分析法
综合法：从已知 条件出发，逐步 推导出结论
数学论文【不等式的证明方法】(汉)
黔南民族师范学院（贵定分院）毕业论文题目：不等式的证明姓名：丁成义班级：12级数学（2）班学号：2012052206专业：数学教育指导教师：张大书日期：2015年2月26日2不等式的证明方法不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。
其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。
1．证明不等式的基本方法1．1比较法比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下：比差法。
主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。
即 ，0,0,0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔=基本解题步骤是：作差——变形——判断符号。
（1）作商比较法。
当欲证的不等式两端是乘积形式幂指数式可采用作商比较法。
当0b > 欲证a b >只需证1ab > 欲证a b <只需证1ab< 基本解题步骤是：作商——变形——判断。
（与1的大小）例1．求证： 222(2)5a b a b +≥--322224254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥22(44)(21)0a a b b -++++≥ 2,1a b ==-时等号成立。
所以222(2)5a b a b +≥--成立。
例2．已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥证： ,a b R +∈又()a b a b b a a b aa b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b-≥⇔≥ （1）当a b >时，1a b >，0a b ->所以()1a b ab -> （2）当a b <时01,a a b o b <<-<所以()1a b ab-> （3）当a b =时不等式取等号。
高中数学中不等式的证明方法总结
江苏省天一中学高三八班渊圆员源园园园冤 孙逸科 荫
摘 要院本文对高中数学中不等式证明方法进行总结袁针对不同类型题目采取有效的解题方法援
关键词院高中数学曰不等式曰证明方法
中图分类号院郧远猿圆
文献标识码院月
文章编号院员园园愿 原 园猿猿猿渊圆园员苑冤园猿 原 园园圆怨 原 园员
沂渊园袁仔冤 袁所以 云忆渊 曾冤 约 园袁所以 云 渊 曾冤 越 泽蚤灶曾 原 曾 在区间
渊园袁仔冤 上是单调递减的袁并且 云渊园冤 越 园援 所以 云渊 曾冤 越 泽蚤灶曾
原 曾 约 云渊园冤 越 园援 因此当 曾沂渊园袁仔冤 时袁泽蚤灶曾 约 曾 成立援
通过导数求出函数的最值也是解决不等式问题的重
不等式问 题 是 高 中 数 学 中 的 重 难 点袁 并 且 解 决 方 法
有很多种援 在学习这部分知识时应不断积累袁做好总结袁
熟练掌握不等式的证明方法援
一尧采用分析法证明不等式
在学习不等 式 的 证 明 方 法 时袁 应 在 学 习 过 程 中 反 思
有哪些证明方法袁以及每种方法的具体应用和特点援 在应
二尧通过常数变易法证明不等式
常数变易法也是解决不等式问题的常用方法援 一般
是用来证明数 值 不 等 式袁 这 种 类 型 的 需 要 作 辅 助 函 数 来
进行证明援 基本的证明步骤是院一将不等式中的某个常数
变易为 曾袁二对不等式进行移项袁通过移项使得不等式一
端为 园袁另一端令其为 云渊 曾冤袁三求 云忆渊 曾冤 或者 云忆忆渊 曾冤袁然
约
葬 遭
垣 垣
员员援
解析
想要证明
葬 遭
约
葬 遭
垣 垣
不等式证明方法
不等式证明方法不等式在数学中占有重要的地位，它是描述数之间大小关系的一种数学工具。
不等式证明方法是数学中的重要内容之一，本文将介绍不等式证明的几种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握不等式的证明技巧。
一、数学归纳法。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它通常用于证明某个命题对于一切自然数成立。
在不等式证明中，我们可以利用数学归纳法证明不等式的成立。
具体来说，我们首先证明不等式对于n=1时成立，然后假设不等式对于n=k时成立，再证明不等式对于n=k+1时也成立。
通过数学归纳法，我们可以比较简单地证明一些不等式的成立。
二、换元法。
换元法是不等式证明中常用的一种方法。
当我们遇到复杂的不等式时，可以通过适当的换元将不等式化简为更简单的形式，从而更容易进行证明。
换元法的关键在于选择合适的变量替换原不等式中的变量，使得不等式的结构更加清晰，证明过程更加简单明了。
三、分析法。
分析法是一种直接从不等式的定义出发，通过分析不等式的性质和特点来进行证明的方法。
在不等式证明中，我们可以通过分析不等式两边的大小关系，利用数学运算性质和数学规律，推导出不等式成立的条件，从而完成不等式的证明。
四、综合利用不等式性质。
不等式有许多性质，如传递性、对称性、反对称性等，我们可以通过综合利用这些性质来进行不等式的证明。
具体来说，我们可以利用不等式的传递性将复杂的不等式化简为简单的形式，再利用对称性和反对称性来推导不等式的成立条件，从而完成不等式的证明。
五、几何法。
在不等式证明中，几何法也是一种常用的证明方法。
通过几何图形的分析，我们可以直观地理解不等式的性质和特点，从而更容易进行证明。
在利用几何法进行不等式证明时，我们可以通过构造合适的几何图形，利用几何关系和几何性质来推导不等式的成立条件，完成不等式的证明。
六、数学推理法。
数学推理法是不等式证明中常用的一种方法，通过逻辑推理和数学推理来证明不等式的成立。
在利用数学推理法进行不等式证明时，我们可以通过分析不等式的性质和特点，运用数学推理规律和数学推理方法，推导出不等式成立的条件，完成不等式的证明。
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本科生毕业论文学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学届别 2015 届题目浅谈中学数学不等式的证明方法学生姓名徐亚娟学号 201111401138 指导教师吴万勤教务处制云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文(设计)，是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。
除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。
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毕业论文(设计)作者签名：日期：年月日……………………………………………………………………………关于毕业论文(设计)使用授权的说明本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文(设计)的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文(设计)。
（保密论文在解密后应遵守）指导教师签名：论文(设计)作者签名：日期：年月日目录摘要 (4)引言 (6)1、预备知识 (6)1.1不等式的概念 (6)1.2不等式的性质 (6)1.3基本不等式 (7)1.4几个重要不等式 (7)1.4.1柯西不等式 (7)1.4.2伯努利不等式 (7)2、证明不等式的常用方法 (7)2.1比较法 (8)2.1.1求差法 (8)2.1.2求商法 (8)2.1.3过度比较法 (8)2.2分析法 (9)2.3综合法 (9)2.4缩放法 (10)2.4.1放缩法的常见技巧 (10)2.5反推法 (10)2.6数学归纳法 (11)2.7反证法 (11)2.7.1反证法的基本思路 (11)2.7.2反证法的步骤 (11)2.8判别式法 (12)2.9等式法 (12)2.10中值定理法 (12)2.11排序法 (12)2.12分解法 (13)2.13函数极值法 (13)3 .利用构造法证明不等式 (13)3.1构造函数模型 (13)3.1.1构造一次函数模型 (14)3.1.2构造二次函数模型 (14)3.1.3构造单调函数证明不等式 (14)3.2构造复数模型 (14)3.3构造方程法 (15)4.换元法证明不等式 (15)4.1.三角换元法 (15)4.2均值换元 (16)4.3几何换元法 (16)4.4增量换元法 (17)5.利用著名不等式证明 (17)5.1利用均值不等式 (17)5.2柯西不等式证明法 (18)5.3利用契比雪夫不等式 (18)5.4利用绝对值不等式 (18)5.5利用重要不等式 (19)总结 (19)参考文献： (20)致谢 (21)浅谈中学数学不等式的证明方法徐亚娟云南民族大学数学与计算机科学学院摘要在中学数学中不等式是十分重要的内容，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。
不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。
在初等数学不等式的证明中常用到的方法是：比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、换元法、换缩法、判别式法、函数法、几何法等等。
在高等数学不等式的证明中经常利用中值不等式、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些证明不等式，如：均值不等式、柯西不等式、伯努利不等式等，从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明，通过学习这些方法，可以为我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。
【1】【关键词】中学数学；不等式；证明方法；函数AbstractIn the middle school inequalities are very important content, penetration in the middle school mathematics branches, has a very wide range of applications. So the inequality reflects the comprehensive application, certain flexibility and diversity, mastery of mathematics knowledge of each part, played a very good role in promoting. In solving the problem, according to the questions set structure characteristics, and conclusion inner relation, selection of the appropriate solution, finally go to solve or proof of inequality. But the inequality proof method, flexible, and a lot of content combination, so the concrete analysis of concrete problems is the essence of the proof of inequality. Embodiment of proving inequalities are also all kinds of method of thinking, so difficult. The way to solve this problem is to master the nature of inequality and some basic inequalities, flexibility in the use of commonly used methods of proof. In this paper, I summarized some mathematical inequality proof methods. Methods in the elementary mathematical proof inequality to the commonly used are: the comparative method, for commercial, analysis, synthesis method, mathematical induction method, reduction to absurdity, change element method, change the shrinkage method, the discriminant method, function method, geometric method and so on .In equality in higher mathematics proof is usually used in the mean value inequality, Taylor formula, Lagrange function, as well as some proof of inequality, such as: mean inequality, Cauchy inequality, Bernoulli inequality, thus making the method to prove inequality more perfect, is favorable for us to further explore and research proof of inequality, through the study of these methods, we can to solve some practical problems, develop logical reasoning ability and abstract thinking ability and develop diligent in thinking, good at thinking of good learning habits.Keywords: Middle school mathematics；Inequality；The proof method；Function引言众所周知，在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系是基本的数学关系，在数学研究和数学应用中起着重要的作用。
因此，研究不等式的证明方法显得尤为重要，许多前辈在此领域取得了非常好的成绩，得出了许多证明不等式的方法，在他们的成绩基础上，本文对各种方法进行了归纳与总结。
证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强。
所以我们在证明不等式时要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。
通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，两者为沟通、联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。
【2】通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，使数学知识间相互融合，得到全面透彻的理解，从而提高分析问题解决问题的能力。
在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意。
1、预备知识1.1不等式的概念用不等号(如“≥ ”、“≤ ”、“＞”、“＜”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式.其中用“＞”或“＜”连接的式子叫严格不等式；用“≤ ”或“≥ ”连接的不等式叫做非严格不等式。
[3]1.2不等式的性质性质1:如果a>b,b>c,那么a>c.(不等式的传递性).性质2：如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;性质3:如果a>b,而c为任意实数或整数，那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc;性质5：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.性质6:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质7:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么a n>b n.性质8：倒数原则)性质9：含绝对值不等式的性质：(1)∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣(2)∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣(3) ∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣1.3基本不等式(1)若a,b∈R,a2+b2 ≥ 2ab,且a=b等号成立.推广到n个正数x1,x2,x3,x4,…x n,(x1+x2+x3+...+x n )/n当且仅当 x1=x2=x3=x4…=x n时，等号成立。