平面直角坐标系下常见题型总结

平面直角坐标系下的常见题型总结-----枣营中学初三备课组知识网络图示：基础知识详解：比较全面地了解确定位置的方法，掌握平面直角坐标系的知识，感受坐标与图形的变化是本章的重要内容，平面直角坐标系的知识是最基础和重要的内容，具体可分为以下几个部分：1．确定平面上的点的位置通常需要两个量，且方式很多。

建立直角坐标系是常用的方法之一。

2．平面直角坐标系的基础知识。

3．图形变换与坐标变化的关系，可以由图形上的点的位置变化与其坐标变化的关系而得到。

具体可从下面两方面把握：（1）对称与平移（2）距离4．注意：（1）同一个点，在不同的直角坐标系中，其坐标一般也不相同。

所以，我们说一个点的坐标，都是就某一个确定的坐标系来说的。

（2）对一个图形建立不同的坐标系，其顶点的坐标也不相同。

要根据图形的特点建立恰当的坐标系以使所求的点的坐标尽可能简捷。

专题总结及应用例1．如图所示，是王亮家周边地区的平面示意图，借助刻度尺，量角器，解决如下问题：（1）相对王亮家的位置，说出书店所在的位置。

（2）某楼位于王亮家的南偏东66度的方向，到王亮家的实际距离约为280米，说出这一地点的名称。

分析：本题主要考查点的位置的确定和比例尺的换算，解题关键要清楚点的位置的确定，需要两个数据及比例尺的实际运用。

解： (1) 北偏东 45 度，图上距离约为 2.3cm ，实际距离约为 2.3×10000×1%=230( 米 ) 。

(2) 电影院，因为图上距离为280×1/10000×100 = 2.8cm 且位于南偏东 66 度方向上的只有电影院 D 。

例2．已知P（a,b），求其关于x轴，y轴，原点的对称点的坐标。

分析：解此类问题时，我们应采用数形结合的方法，可令 a=3,b=2, 在坐标系中描出此点，然后根据对称的性质，便可得出 P 点关于 x 轴， y 轴，原点的对称点的坐标分别为 (a, － b),( － a,b ), ( － a, － b) 。

例3．如图所示的直角坐标系中，四边形OABC各个顶点的坐标分别为O（0，0），A（14，0），B（12，8），C（4，10），求这个四边形的面积。

分析：本题主要考查平行于坐标轴的线段上的点的坐标的特点和利用分割法求不规则四边形的面积。

解题关键是熟知与 x 轴 (y 轴 ) 平行的线段上的点，纵 ( 横 ) 坐标相同，线段的长度等于两端点的横 ( 纵 ) 坐标的差。

解：如图，将这个四边形分割成三个直角三角形和一个矩形，因为 BF//x 轴 ,DF//y 轴 , 所以 F 点的坐标为 (4,8), 因此 BF=12 － 4=8 ；同理， OD=4 ， CD=10 ， CF=2 ， BE=8 ，AE=2 ；例4．（1）求点P （－3，－4）到x 轴，y 轴，原点的距离；（2）求点P （－3，－4）和B （－3，6）的距离；（3）求到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5的点的坐标。

解： (1) P( － 3 ，－ 4) 到 x 轴的距离是|-4|=4 ，到 y 轴的距离是|-3|=3 ， 到原点的距离是 5(2) 因为 P( － 3 ，－ 4) ， B( － 3 ， 6) 两点的横坐标相同，故 PB//y 轴，如图所示，容易求得 PB=6+4=10 。

(3) 因为到 x 轴的距离为 2 ，所以纵坐标为±2， 因为到 y 轴的距离为 5 ，所以横坐标为±5 。

所以符合条件的点的坐标为： (5 ， 2) 或 (5 ，－ 2) 或 ( － 5 ， 2) 或 ( － 5 ，－ 2) 。

方法技巧：（1）与x 轴平行的直线的坐标特征：与x 轴平行的直线上的纵坐标相同。

（2） 与y 轴平行的直线的坐标特征：与y 轴平行的直线上的横坐标相同。

（3）点P （a ，b ）到x 轴的距离为，到y 轴的距离为；点M 到x 轴的距离为a ，到y 轴的距离为b （其中a>0, b>0）,则点M 的坐标有四种情况：（b ，a ），（b ，－a ），（－a ，b ），（－a ，－b ）。

在平面内建立起平面直角坐标系以后，平面内的点与坐标（有序实数对）就有了一一对应的关系，数与形有机地结合在一起。

与平面直角人材系有关的题目很好地体现了“数形结合”思想。

例５．（2010珠海）已知：正比例函数y=k 1x 的图象与反比例函数xk y 2=(x>0)的图象交于点M （a,1），MN ⊥x 轴于点N （如图），若△OMN 的面积等于2，求这两个函数的解析式. 解：∵MN ⊥x 轴，点M （a ，1）∴S △OMN=a 21=2 ∴a=4 ∴M(4,1) ∵正比例函数y=k 1x 的图象与反比例函数xk y 2=(x>0)的图象交于点M （4,1）∴ 414121k k == 解得44121==∴正比例函数的解析式是x y 41=，反比例函数的解析式是BCNP M OxyA 例6(2010遵义市)如图，在第一象限内,点P,M ()2,a 是双曲线)0(≠=k xky 上的两点,PA ⊥x 轴于点A,MB ⊥x 轴于点B,PA 与OM 交于点C,则△OAC 的面积为 ▲ .答案：34例7（2010年兰州）如图，P 1是反比例函数)0(＞k x ky =在第一象限图像上的一点，点A 1 的坐标为(2，0)．（1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1O A 1的面积 将如何变化？（2）若△P 1O A 1与△P 2 A 1 A 2均为等边三角形，求 此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．第答案（本题满分9分） （1）解：（1）△P 1OA 1的面积将逐渐减小．（2）作P 1C ⊥OA 1，垂足为C ，因为△P 1O A 1为等边三角形，所以OC=1，P 1C=3，所以P 1)3,1(．代入x ky =，得k=3，所以反比例函数的解析式为x y 3=． 作P 2D ⊥A 1 A 2，垂足为D 、设A 1D=a ，则OD=2+a ，P 2D=3a ，所以P 2)3,2(a a +． 代入x y 3=，得33)2(=⋅+a a ，化简得0122=-+a a解的：a=-1±2 ∵a ＞0 ∴21+-=a 所以点A 2的坐标为﹙22，0﹚例8、如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线x=1交x 轴于点B 。

P 为线段AB 上一动点，作直线P C ⊥P O ，交直线x=1于点C 。

过P 点作直线MN 平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线x=1于点N 。

（1）当点C 在第一象限时，求证：△OP M ≌△PCN ；（2）当点C 在第一象限时，设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x=1上移动，△PBC 是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰直角三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由。

[解] （1）∵OM ∥BN ，MN ∥OB ，∠AOB=900，∴四边形OBNM 为矩形。

∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900 ∵AM PMAO BO=，AO=BO=1， ∴AM=PM 。

∴OM=OA -AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM∴OM=PN∵∠OPC=900∴∠OPM+CPN=900又∵∠OPM+∠POM=900∴∠CPN=∠POM ∴△OPM≌△PCN（2）∵AM=PM=APsin450=m2∴NC=PM=m2∴BN=OM=PN=1-m2∴BC=BN-NC=1-m 2-2=12112211022OPB PBCS S S OB OM BC PNm m∆∆=+=+⎛⎫=+≤≤⎪⎪⎝⎭（3）△PBC可能为等腰三角形。

①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）②当点C在第四象限，且PB=CB时，有BN=PN=1m∴-m∴NC=BN+BC=1－2m-m由⑵知：NC=PM=2∴1－2m-m=2m∴m=1∴PM=2m=2，BN=1－2m=1－2∴P（2,1－2）∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（2,1－2）总结：此题的设计比较精巧，将几何知识放在坐标系中进行考查，第1题运用相似形等几何知识不难得证，第2小题需利用第1小问的结论来建立函数解析式，第3小题需分类讨论，不要漏解，运用方程思想可以得到答案。

在解此类题目时应注意进行距离与坐标之间进行相互转化时。

例9（2010年金华）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M 落在反比例函数y = 2x-的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m 取何值，符合上述条件的正方形只有．．两个，且一个正方形的顶点M 在第四象限，另一个正方形的顶点M 1在第二象限.（1）如图所示，若反比例函数解析式为y = 2x-，P 点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN ，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ 1M 1N 1，并写出点M 1的坐标； M 1的坐标是（2） 请你通过改变P 点坐标，对直线M 1 M 的解析式y ﹦kx ＋b 进行探究可得 k ﹦ ， 若点P 的坐标为（m ，0）时，则b ﹦ ； （3） 依据(2)的规律，如果点P 的坐标为（6，0）， 请你求出点M 1和点M 的坐标．解：（1）如图；M 1 的坐标为（－1，2） （2）1-=k ，m b =（3）由（2）知，直线M 1 M 的解析式为6+-=x y 则M (x ，y )满足2)6(-=+-⋅x x解得1131+=x ，1132-=x ∴ 1131-=y ，1132+=y ∴M 1，M 的坐标分别为（113-，113+），（113+，113-）．例10．以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x ，y 轴的正半轴于点A ，B .（1）如图一，动点P 从点A 处出发，沿x 轴向右匀速运动，与此同时，动点Q 从点B 处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点Q 的运动速度比点P 的运动速度慢，经过1秒后点P 运动到点(2,0)，此时PQ 恰好是O 的切线，连接OQ . 求QOP ∠的大小；x（2）若点Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，点P 停留在点(2,0)处不动，求点Q 再经过5秒后直线PQ 被O 截得的弦长. （1）解：如图一，连结AQ ．由题意可知：OQ =OA =1.∵OP =2, ∴A 为OP∵PQ 与O 相切于点Q ,∴OQP △为直角三角形.∴112AQ OP OQ ====即ΔOAQ 为等边三角形. ∴∠QOP =60°．2）解：由（1）可知点Q 运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q 点落在O 与y 轴负半轴的交点处（如图二）.设直线PQ 与O 的另外一个交点为D ，过O 作OC ⊥QD 于点C ，则C 为QD 的中点. ∵∠QOP =90°，OQ =1，OP =2,∴QP =. ∵1122OQ OP QP OC ⋅=⋅, ∴OC .∵OC ⊥QD ，OQ =1，OC , ∴QC .∴QD ．习题1 、若点P （a ，b ）在第二象限，则点Q （―a ，―b ―1）在（ ） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析与解：这是一道数形结合题，要根据各象限内点的坐标的符号特征来解。