机电一体化(机电一体化系统建模与分析)

一、机电一体化系统的建模
（一）动态系统的经典数学模型及其分析
物理的动力学系统，动态过程；能量、信号的转换作用。 系统数学模型的建立方法：
1）分析法（解析法），得到解析模型（机理模型）； 2）系统辨识。 系统的非线性、时变性的处理
用解析法建立系统微分方程、传递函数的一般步骤（经典模型）
➢分析系统工作原理和系统中变量的关系，确定系统的输入量与输 出量 ➢选择合适的中间变量，根据基本的物理定律，列写出系统中每一 个元件的输入与输出的微分方程式 ➢消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式 ➢对非线性项加以线性化 ➢或做拉普拉斯变换，变代数方程消元或用方框图等效、梅逊公式 等方法形成传递函数。
电气网络
（a）R-C电路1
（b）R-C电路2 R、C换位
（c）Ｒ-L-C电路
（d）R-C滤波网络
以（d）为例说明
I1sUr sR1Uc1s,I2sUc1sR2Ucs Uc1sI1sC1SI2s ,UcsC12SI2s
负载效应
机械网络 (机械振动基础)
单自由度系统
c
md2 dyt2 (t)cdyd(tt)ky(t)F(t)
状态变量的个数一般等于系统所包含的独立储能元件 的数目。一个n阶系统有n个独立的状态变量，为状态的最 大线性无关组，或称最小变量组。选择不唯一，一般取系统 中易于测量观测的量作状态变量。
前述的M-C-K系统的状态空间表达式即为： R-L-C系统的状态空间表达式即为：
状态空间表达式为现代控制理论的基本模型！同时也是动力学系 统研究的一种重要模型。 现代控制理论与经典控制理论特性的比较：
三自由度系统及其固有模态振型
连续体振动系统 均匀简支梁：
简支梁的前三阶主振型可形如下图所示：
均匀悬臂梁： 悬臂梁的前三阶主振型可形如下图所示：
对于多输入-多输出的系 统，要用传递函数关系 阵去描述它们间的关系， 如右图所示的系统
Y1sG11sU1sG12sU2s 二输入二输出系统 Y2 s G21sU1sG22sU2 s
弹簧-质量-阻尼器系统
(a)主动隔振力学模型 (b) 被动隔振力学模型
隔振的力学模型
二自由度振动系统：
具有黏性阻尼的二自由度 系统强迫振动：
m m 1 2 x x 1 2 (c c 2 1 x 2c 2 k )x 2 1 x 2 (k c 1 2 x 1 k 2 ) k x 2 1 x 1 c 2 F x 2 2 ( t)k 2 x 2 F 1 (t) m 0 1m 0 2 x x 1 2 c 1 c 2 c 2 c c 2 2 x x 1 2 k 1 k 2 k 2 k k 2 2 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t) )
对于以上SISO线性系统，既可用高阶微分方程来描述 输入-输出关系：
也可用一阶微分方程组来描述：
对于MIMO系统，更适于用一阶微分方程组的形式来描述：
状态与状态变量 设以上MIMO系统的状态变量记为：
输 入 函 数 ： u T ( t ) u 1 ( t ) ,u 2 ( t ) ,,u m ( t ) T
称为输出方程，描述了输出变量与状态变量Байду номын сангаас和输入 变量）间的线性组合变换关系，为代数方程。
C称为输出矩阵，D为直接传递矩阵。 状态方程与输出方程一起构成为系统的状态空间表达 式。状态空间描述把系统的运动归结为“输入-状态-输出”， 能更深刻地揭示系统运动的本质。
SISO系统的 系统状态图
MIMO系统的系统状态图
(1)状态空间描述是系统输入、状态和输出诸变量间的时域描述， 涉及系统全部信息，比传递函数法更为完善，为系统的内部描述法；
(2)状态空间描述特别适于多变量系统的描述； (3)状态空间描述法不仅适于线性系统，还适于时变系统，非线性 系统以及非零初始条件下的系统分析求解； (4)用向量、矩阵表达系统的状态空间方程，系统状态空间描述的 形式及其求解计算适于计算机处理、分析和设计，直观简单、方法统一； (5)n个一阶微分方程组的求解比一个n阶微分方程的求解简单，并 有标准型法、状态分解法等求解方法。 (6)输出反馈、状态反馈，可达到极点的任意配置，以及最优控制， 所用方法严谨统一，而基于传递函数的根轨迹法、频率响应法等经典设计 法，实质为一种试凑法，不能得到某种意义下的最优性能。
输 出 函 数 ： c T ( t ) c 1 ( t ) ,c 2 ( t ) , ,c r ( t ) T
系统的动态特性可用一阶微分方程组来描述如下：
矩阵形式为：
称为状态方程，记为： xA xB u
描述了输入作用下的系统状态运动过程。
称A为系统矩阵，B为输入矩阵或控制矩阵。
输出变量则可列写成：yCxDu
或写作
Y1s Y2s
G11s G21s
G12sU1s G22sU2s
Gs就是该系统的传阵递函数
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
其它： 机械传动系统； 液压系统； 机电系统； 热力学系统；等等
微分方程的求解 系统响应的求解、分析
（二）动态系统的现代数学模型及其分析
y x1
y x1
为形式：M X C X K X F 称为振动方程
第一主振型
第二主振型
二自由度系统的自由振动
主振型图
三自由度阻尼 振动系统
运用隔离体法，对每个质量块进行分析，可得该三自由 度系统的运动微分方程为：
..
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m 1x1(t)F1(t)k1x1(t)c1x1(t)k2(x2(t)x1(t))c2(x2(t)x1(t))
..
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m 2x2(t)F2(t)k2(x2(t)x1(t))c2(x2(t)x1(t))k3(x3(t)x2(t))c3(x3(t)x2(t))
..
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m 3x3(t)F3(t)k3(x3(t)x2(t))c3(x3(t)x2(t))
m 1 00 x 1 c 1 c 2 c 2 0 x 1 k 1 k 2 k 2 0 x 1 F 1 ( t) 0m 2 0 x 2 c 2 c 2 c 3 c 3 x 2 k 2 k 2 k 3 k 3 x 2 F 2 ( t) 00m 3 x 3 0 c 3 c 3 x 3 0 k 3 k 3 x 3 F 3 ( t)