第五届中国数学奥林匹克 (1990年)
奥数简介
奥数简介“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛。
国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。
有关专家认为，只有5%的智力超常儿童适合学奥林匹克数学，而能一路过关斩将冲到国际数学奥林匹克顶峰的人更是凤毛麟角。
1934年和1935年苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。
1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加，在布加勒斯特举办了第一届国际数学奥林匹克竞赛，从此每年举办一次，至今已举办了43届。
近年来中国代表在数学奥林匹克上的成绩就像中国健儿在奥运会的成绩一样，突飞猛进，从40届到第43届，中国代表队连续四年总分第一。
奥数分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。
奥数与一般数学有一定的区别:奥数相对比较深.小学数学奥林匹克活动的蓬勃发展,极大地激发了广大少年儿童学习数学的兴趣,成为引导少年积极向上,主动探索,健康成长的一项有益活动.国际奥林匹克数学竞赛奖项名称: 国际奥林匹克数学竞赛其他名称: International Mathematics Olympiad创办时间: 1959年主办单位: 由参赛国轮流主办奖项介绍：国际奥林匹克数学竞赛是国际中学生数学大赛，在世界上影响非常之大。
国际奥林匹克竞赛的目的是：发现鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系。
这一竞赛1959年由东欧国家发起，得到联合国教科文组织的资助。
第一届竞赛由罗马尼亚主办，1959年7月22日至30日在布加勒斯特举行，保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联共7个国家参加竞赛。
中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)
+
√
3 6 2 i, z
= 1, |z | = 1.
√ 3 2 i)
−e
iπ 3
− 1 = (1 2 −
− (− 1 2 −
√
3 2 i)
− 1 = 0.
− z − 1 = 0有模为1的复根.
若z n+1 − z n − 1 = 0有模为1的复根eiθ = cos θ + i cos θ. 则z n+1 − z n − 1 = (cos(n + 1)θ − cos nθ − 1) + i(sin(n + 1)θ − sin nθ) = 0.
中国 数 学奥 林 匹 克 (CMO) 历届试题及解答
1986-2005
第一届中国数学奥林匹克(1986年)
天津 南开大学
1.已知 a1 , a2 , . . . , an 为实数, 如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 x1 + x2 + · · · + xn = 1 的任意非负实数 x1 , x2 , . . . , xn , 有不等式 a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 成立.请证明上述命题及其逆命题. 证明:原命题的证明:由0 (1)若ai 以ai + a1 xi 1, xi − x2 i 0, xi x2 i (i = 1, 2, . . . , n).
过P2 作 平 行 于BC 的 直 线
EP2 P3 . ABC .证毕.
DP2 P3 ,也就不大于S
5.能否把1,1,2,2,. . . ,1986,1986这些数排成一行, 使得两个1之间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,. . . , 两 个1986之间夹着1986个数.请证明你的结论. 解:不能.假设可以做出这样的排列,将已排好的数按顺序编号为1,2,. . . ,3972. 当n为奇数时,两个n的编号奇偶性相同;当n为偶数时,两个n的编号奇偶性不同. 而1到1986之间有993个 偶数,所以一共有2k + 993个编号为偶数的数.(k ∈ N∗ ) 但是1到3972之间有1986个偶数,k = 496.5.矛 盾.所以不能按要求排成这样一行. √ 6.用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色. 求证:一定存在一个边长为1或 3的正三角形,它的
竞赛中的组合计数问题和概率
组合计数问题和概率组合计数问题是教学竞赛中常见的一类问题，也是数学竞赛中与实际生活联系最为直接的内容。
计数问题的顺利解决会给其他排列组合问题的解决打下竖实的基础。
概率作为新增内容，拓展了排列组合的研究和应用的领域。
实则是以排列组合为基础的内容，所以概率的考查通常与计数问题联系在一起，既要用到排列组合的知识来解答，也要用到排列、组合的解题思路。
解组合计数问题的基本方法有枚举法和利用基本计数原理及基本公式、映射方法、算二次方法、递推方法、容斥原理等，其中蕴含的数学思想有分类讨论的思想、化纳和转化的思想、函数与方程的思想等重要的数学思想。
例1． （2004年全国高中联赛题）设三位数为abc n =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个解：选C 。
理由：a , b , c 要构成三角形边长，显然不为零，即a , b , c ∈{1, 2, 3, …, 9}。
（1）若构成等边三角形，则c b a ==可取{1, 2, …, 9}中任何一个值，所以这样的三位数的个数为9191==C n 。
（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三角形个数为n 2，且等腰三角形的三边长为a 1, b 1=c 1。
当111c b a =<时，即腰大于底边时，等腰（非等边）三角形由数组(a 1, b 1)惟一确定，有29C 个；当111c b a =>时，即腰小于底边时，这时数组(a 1, b 1)有29C 个，但必须1112b a b <<才能构成三角形。
而不能构成三角形的组数(a 1, b 1)是共20种情况，故这时等腰（非等边）三角形只有2039-C 个。
同时，每个数组(a 1, b 1)可形成23C 个三位abc ，故156)20(2929232=-+=C C C n 。
综上，16521=+=n n n ，故选C 。
中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]
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CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题1987第二届年中国数学奥林匹克1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。
2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。
已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。
ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。
试求3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。
4.所有结点上数的总和S。
3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。
结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。
4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。
5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。
如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。
6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。
1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成立，求r1, r2, ... , r n的值。
1990年小学数学奥林匹克竞赛初赛、决赛
1990年全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试卷1.计算：2.如果时针现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是__________点钟．3.钱袋中有1分、2分和5分3种硬币，甲从袋中取出3枚，乙从袋中取出两枚，取出的5枚硬币仅有两种面值，并且甲取出的3枚硬币的和比乙取出的两枚硬币的和少3分，那么取出的钱数的总和最多是_________分．4.六年级有四个班，不算甲班，其余3个班的总人数是131人，不算丁班，其余3个班的总人数是134人，乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人．4个班的总人数是_________人．5.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12至多能选出__________个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．6.计算：7.有一个算式，左边方框里都是整数，右边答案只写出了四舍五入的近似值，，那么算式左边3个方框中的整数从左至右依次是__________．8.从1、1、3、3、5、5、7、7、9、9中取出5个数，其中至少有4个数不重复并且它们的乘积的个位数字是1，那么这5个数的和是____________．9.有30个数1.64，1.64＋，1.64＋，…，1.64＋，1.64＋，如果取每个数的整数部分（例如1.64的整数部分是1，1.64＋的整数部分是2），并将这些整数相加，那么，其和等于____________．10.有一批文章共15篇，各篇文章的页数分别是1页，2页，3页，…，14页和15页稿纸，如果将这些论文按某种次序装订成册，并统一编上页码．那么每篇文章的第一页是奇数页码的论文最多有____________篇．11.一个水池子，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满．如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时开2小时才能灌满（这时乙管关闭）那么乙管单独灌满水池需要____________小时．12.任取一个4位数乘3456，用A来表示积的数字和，用B表示A的数字和，C 表示B的数字和，那么C＝____________．13.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右向左每隔6厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有____________根．14.有一个6位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面时所得到的新的六位数是原数的4倍．那么这个6位数是____________．15. 在黑板上任意写一个自然数，在不是它的约数中，找出最小的自然数，擦去原数，写上找到的这个最小的自然数，例如，写的数是12，不是12的约数中，最小的自然数是5，擦去12，写上5．这样继续做下去，直到黑板上出现2为止，对于任意一个自然数，最多擦____________次，黑板上就可以出现2．1990小学数学奥林匹克试题决赛1. 计算：2. 如果10个互不相同的两位奇数之和等于898，那么这10个数中最小的一个是__________．3. 在直线上两个相距一寸的点A和B上各有一只青蛙．A点的青蛙沿直线跳往关于B点的对称点，而B点的青蛙沿直线跳往关于A点的对称点．然后，点的青蛙沿直线跳往关于点的对称点，点的青蛙沿直线跳往关于点的对称点，如此跳下去．两只青蛙各跳了7次以后，原来在A点的青蛙跳到的位置距离B点有__________寸．4. 小萌在邮局寄了3种信：平信每封8分钱，航空信每封1角钱，挂号信每封2角钱．她共用了1元2角2分钱，那么小萌寄的3种信的总和最少是_____________封．5. 图中的每个小正方形的面积都是1，那么图中这只狗所占的图形的面积是__________．6. 3种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的，兔子的速度是松鼠的2倍，一分钟松鼠比狐狸少跑14米，那么半分钟兔子比狐狸多跑__________米．7. 甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色，首先甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为____________厘米．8. 小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个．肥皂泡吹出之后，经过1分钟有一半破了，经过2分钟还有没破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了．小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有__________个．9. 如图是一个6×6的方格棋盘，现将部分1×1的小方格涂成红色．如果随意划掉3行3列，都要使得剩下的小方格中一定有一个是红色的，那么至少要涂__________个小方格．10. 有一电话号码是6位数，其中左边3位数字相同，右边3位数字是3个连续的自然数，6个数之和恰好等于末尾的两位数．这个电话号码是__________．11. 某水池的容量是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时．水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管排水，需6小时将池中水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将池中水放完．那么池中原有水__________立方米．12. 我们把3和5，33和55这样的两个数都叫做两个连续的奇数，已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个连续奇数的和是__________．13. 一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个人都与其余9名选手各赛一盘，每盘棋的胜者都得1分，负者都得0分，平局各得0.5 分．结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分，那么甲、乙、丙3队参赛选手的人数依次是__________．14.用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9各数字组成质数，如果每个数都要用到，并且只能用一次，那么这9个数最多能组成__________个质数．15.在23×23方格纸中，将1—9这9个数填入每个小方格如图所示，并对所有形如此图的“十”字图形中的5个数字求和，和数相等的“十”字图形至少有__________个．预赛：1.【解】原式＝＝＝方框内应填的教是12.【解】最小的一个是898－(99＋97＋95＋…＋83)＝79．3.【解】如果取出的硬币没有5分的，那么乙的两枚至多4分，而甲的三枚至少3分，不可能比乙的少3分，所以取出的硬币必有5分的。
历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO
历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO（1985年，芬兰赫尔辛基）吴思皓（男）上海向明中学确规定铜牌上海交通大学王锋（男）北京大学（根据yongcheng先生提供的信息修订）目前作企业软件第27届IMO（1986年，波兰华沙）李平立（男）天津南开中学金牌北京大学方为民（男）河南实验中学金牌北京大学张浩（男）上海大同中学金牌复旦大学荆秦（女）陕西西安八十五中银牌北京大学，现在美国哈佛大学任教林强（男）湖北黄冈中学铜牌中国科技大学第28届IMO（1987年，古巴哈瓦那）刘雄（男）湖南湘阴中学金牌南开大学滕峻（女）北京大学附中金牌北京大学林强（男）湖北黄冈中学银牌中国科技大学潘于刚（男）上海向明中学银牌北京大学何建勋（男）广东华南师范大学附中铜牌中国科技大学高峡（男）北京大学附中铜牌北京大学，现在北大任教第29届IMO（1988年，澳大利亚堪培拉）团体总分第二陈晞（男）上海复旦大学附中金牌复旦大学，美国密苏里大学，美国哈佛大学，现在加拿大Alberta大学数学系任教授韦国恒（男）湖北武汉武钢三中银牌北京大学查宇涵（男）南京十中银牌北京大学，在中科院数学所任副研究员邹钢（男）江苏镇江中学银牌北京大学王健梅（女）天津南开中学银牌北京大学何宏宇（男）以满分成绩获第29届国际数学奥林匹金牌，1993年破格列入美国数学家协会会员，1994年获博士学位，现任亚特兰大乔治大学教授、博士生导师，从事现代数学研究前沿的《李群》《微分几何》等方向的研究，在《李群》的研究上已有重大突破。
第30届IMO（1989年，原德意志联邦共和国布伦瑞克）团体总分第一罗华章（男）重庆水川中学金牌北京大学俞扬（男）吉林东北师范大学附中金牌吉林大学霍晓明（男）江西景德镇景光中学金牌中国科技大学唐若曦（男）四川成都九中银牌中国科技大学颜华菲（女）北京中国人民大学附中银牌北京大学本科，1997年获美国麻省理工博士，现任Texax A&M Uneversity 数学系教授，美国数学会常务理事会成员，Mathematical Reviews评论员。
奥林匹克数学竞赛简介
奥林匹克数学竞赛简介“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛。
国际数学奥林匹克(IMO)作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题的国际性大赛。
我国奥林匹克数学竞赛由中国科技部下属的中国数学会，奥林匹克数学委员会负责组织和安排。
数学奥林匹克活动在我国已有一段普及的历史，也多次在国际大赛上取得了优异的成绩。
奥林匹克数学研究也已成为数学教育的重要课题。
目前在我国大部分高等师范院校的数学系中，也都开设了“数学竞赛研究”或“奥林匹克数学理论”的必修或选修课。
奥林匹克数学理论正逐渐成为一门独立的数学教育分支。
因此，系统的研究和探讨奥林匹克数学理论，无论对高等师范数学教育，还是对中学数学奥林匹克活动都有十分重要的现实意义和理论意义。
数学奥林匹克国内赛况我国的数学竞赛起步不算晚。
解放后，在华罗庚教授等老一辈数学家的倡导下，从1956年起，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省、市都恢复了中学数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛;1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区全部举办了中学数学竞赛。
此后，全国各地开展数学竞赛的热情有了空前的高涨。
1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。
同时，我国数学界也在积极准备派出选手参加国际数学奥林匹克的角逐。
1985年，开始举办全国初中数学联赛;1986年，开始举办“华罗庚金杯”少年数学邀请赛;1991年，开始举办全国小学数学联赛。
现在.我国的高中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛;次年一月的CMO(冬令营);次年三月开始的国家集训队的训练与选拔.为使我国的数学竞赛活动能广泛而有序、深入而持久地开做好各级各类数学竞赛的培训选拔工作，国内采取了一系列有效措施。
—中国数学奥林匹克竞赛试题
—中国数学奥林匹克竞赛试题1986-2002中国数学奥林匹克1986年第⼀届中国数学奥林匹克1.已知a1, a2, ... , a n为实数，如果它们中任意两数之和⾮负，那么对于满⾜x1+ x2+ ...+x n=1的任意⾮负实数x1, x2, ... , x n，有不等式a1x1+ a2x2+ ...+a n x n≧a1x12+ a2x22+ ...+a n x n2成⽴.请证明上述命题及其逆命题.2.在三⾓形ABC中，BC边上的⾼AD=12，∠A的平分线AE=13，设BC边上的中线AF=m，问m在甚么范围内取值时，∠A分别为锐⾓，直⾓、钝⾓？3.设z1, z2, ... , z n为复数，满⾜| z1|+ | z2 |+ ...+| z n|=1.求证：上述n个复数中，必存在若⼲个复数，它们的和的模不⼩于1/6.4.已知：四边形的P1P2P3P4的四个顶点位于三⾓形ABC的边上.求证：四个三⾓形△P1P2P3、△P1P2P4、△P1P3P4、△P2P3P4中，⾄少有⼀个的⾯积不⼤于ABC的⾯积的四分之⼀.5.能否把1, 1, 2, 2, ... , 1986, 1986这些数排成⼀⾏，使得两个1之间夹着⼀个数，两个2之间夹着两个数，....，两个1986之间夹着⼀千九百⼋⼗六个数.请证明你的结论.6.⽤任意的⽅式，给平⾯上的每⼀点染上⿊⾊或⽩⾊.求证：⼀定存在⼀个边长为1或3的正三⾓形，它的三个顶点是同⾊的.1987第⼆届年中国数学奥林匹克1.设n为⾃然数，求⽅程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除.2.把边长为1的正三⾓形ABC的各边都n等分，过各分点平⾏于其它两边的直线，将这三⾓形分成⼩三⾓形，和⼩三⾓形的顶点都称为结点，在第⼀结点上放置了⼀个实数.已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c.ii.在每个由有公共边的两个最负三⾓形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等.试求3.放置最⼤数的点积放置最⼩数的点之间的最短距离.4.所有结点上数的总和S.3.某次体育⽐赛，每两名选⼿都进⾏⼀场⽐赛，每场⽐赛⼀定决出胜负，通过⽐赛确定优秀选⼿，选⼿A被确定为优秀选⼿的条件是：对任何其它选⼿B，或者A胜B，或者存在选⼿C，C胜B，A胜C.结果按上述规则确定的优秀选⼿只有⼀名，求证这名选⼿胜所有其它选⼿.4.在⼀个⾯积为1的正三⾓形内部，任意放五个点，试证：在此正三⾓形内，⼀定可以作三个正三⾓形盖住这五个点，这三个正三⾓形的各边分别平⾏于原三⾓形的边，并且它们的⾯积之和不超过0.64.5.设A1A2A3A4是⼀个四⾯体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球⼼的球，它们两两相切.如果存在⼀点O，以这点为球⼼可作⼀个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作⼀个半径为R的球积四⾯体的各棱都相切，求证这个四⾯体是正四⾯体.6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最⼤值是多少？请证明你的结论.1988年第三届中国数学奥林匹克1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成⽴，求r1, r2, ... , r n的值.2.设C1、C2为同⼼圆，C2的半径是C1的半径的2倍，四边形A1A2A3A4内接于C1，将A1A4延长，交圆C2于B1.设A1A2延长线交C2于B2，A2A3延长线交圆C2于B3，A3A4延长线交圆C2于B4.试证：四边形B1B2B3B4的周长2(四边形A1A2A3A4的周长).并确定的号成⽴的条件.3.在有限的实数列a1, a2, ... , a n中，如果⼀段数a k, a k+1, ... , a k+l-1的算术平均值⼤于1988，那么我们把这段数叫做⼀条“龙”，并把a k叫做这条龙的“龙头”(如果某⼀项a n>1988，那么单独这⼀项也叫龙).假设以上的数列中⾄少存在⼀条龙，证明：这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定⼤于1988.4.(1)设三个正实数a、b、c满⾜(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4).求证：a、b、c⼀定是某个三⾓形的三条边长.(2)设n个正实数a1, a2, ... , a n满⾜(a12+ a22+ ... + a n2)2>(n-1)(a14+ a24+ ... + a n4)其中n≧3.求证：这些数中任何三个⼀定是某个三⾓形的三条边长.5.给出三个四⾯体A i B i C i D i(i=1, 2, 3)，过点B i、C i、D i作平⾯αi、βi、γi(i=1, 2, 3)，分别与棱A i B i、A i C i、A i D i垂直(i=1, 2, 3)，如果九个平⾯αi、βi、γi(i=1, 2, 3)相交于⼀点E，⽽三点A1、A2、A3在同⼀直线l上，求三个四⾯体的外接球⾯的放条(形状怎样？位置如何？).6.如n是不⼩于3的⾃然数，以f(n)表⽰不是n的因⼦的最⼩⾃然数，例如f(12)=5.如果f(n)3，⼜可作f(f(n)).类似地，如果，f( f(n) )≧3，⼜可作f( f( f(n)))等等.如果f( f(...f(n) ...)) =2，共有k个f，就把k叫做n的“长度”.如果l n表⽰n的长度，试对任意⾃然数n (n≧3)，求l n.并证明你的结论. 1989年第四届中国数学奥林匹克1.在半径为1的圆周上，任意给定两个点集A、B，它们都由有限段互不相交的弧组成，其中B的每段的长度都等于π/m，m是⾃然数.⽤A j表⽰将集合A反时针⽅向在圆同上转动jπ/m弧度所得的集合(j=1, 2, ...).求证：存在⾃然数k，使得L(A j∩B)≧L(A)L(B)/(2π).这⾥L(x)表⽰组成点集x的互⽰相交的弧段的长度之和.2.设x1, x2, ... , x n都是正数(n≧2)且x1+ x2+ ...+x n=1.求证：.3.设S为复平⾯上的单位圆同(即模为1的复数的集合)，f为从S到S的映射，对于任意S的元素z，定义f(1)(z)=f(z)，f(2)(z)=f( f(z))，...，f(k)(z)=f( f(k-1)(z) ).如果S的元素c，使得f(1)(z)≠c，f(2)(c)≠c，...，f(n-1)(c)≠c，f(n)(c)≠c.则称c为f的n─周期点.设m是⼤于1的⾃然数，f定义为f(z)=z m，试计算f的1989─周期点的总数.4.设点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上，且△AEF、△BFD、△CDE的内切圆有相等的半径r，⼜以r0的R分别表⽰△DEF 和△ABC的内切圆半径.求证：r+r0=R.5.空间中有1989个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何三个不同的组中各取⼀点为顶点作三⾓形.6.设f：(1, +∞)→(0, +∞)满⾜以下条件：对于任意实数x、y>1，及u、v>0，有f(x u y v)≦f(x)1/(4u) f(y)1/(4v).试确定所有这样的函数.1990年第五届中国数学奥林匹克1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平⾏，圆O1过A、B且与边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于E、F.求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD.2.设x是⼀个⾃然数，若⼀串⾃然数x0=1,x2, ... , x n=x满⾜x i-1{ x0 , x1 , ... , x n}为x的⼀条因⼦链.l称为该因⼦链的长度.L(x)与R(x)分别表⽰x的最长因⼦链的长度和最长因⼦链的条数.对于x=5k×31m×1990n，k、m、n都是⾃然数，试求L(x)与R(x).3.设函数f(x)对x>0有定义，且满⾜条件：i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)；ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M.求证：f(x)≦x2 .4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定⽅程组：x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3有整数解的充份必要条件(⽤A、B的关系式表⽰，并予以证明).5.设X是⼀个有限集合，法则f使的X的每⼀个偶⼦集E(偶数个元素组成的⼦集)都对应⼀个实数f(E)，满⾜条件：a.存在⼀个偶⼦集D，使得f(D)>1990；b.对于X的任意两个⽰相交的偶⼦集A、B，有f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990.求证：存在X的⼦集P、Q，满⾜iii.P∩Q是空集，P∪Q=X；iv.对P的任何⾮空偶⼦集S，有f(S)>1990v.对Q的任何偶⼦集T，有f(T)≦1990.6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对⾓线组成的图形称为⼀个剖分图.求证：当且仅当3|n时，存在⼀个剖分图是可以⼀笔划的圈(即可以从⼀个顶点出发，经过图中各线段恰⼀次，最后回到出发点). 1991年第六届中国数学奥林匹克1.平⾯上有⼀凸四边形ABCD.i.如果平⾯上存在⼀点P，使得ΔABP、ΔBCP、ΔCDP、ΔDAP⾯积都相等，问四边形ABCD应满⾜甚么条件？ii.满⾜(i)的点P，平⾯上最多有⼏个？证明你的结论.2.设I=[0,1]，G={ (x, y) | x、y为I的元素}，求G到I的所有映像f，使得对I的任何x、y、z有i.f( f(x,y), z) =f( x, f(y,z) )；ii.f(x, 1) =x，f(1,y)=y；iii.f(zx, zy) =z k f(x,y).这⾥，k是与x、y、z⽆关的正数.3.地⾯上有10只⼩鸟在啄⾷，其中任意5只⼩鸟中⾄少有4只在⼀个圆上，问有鸟最多的圆上最少有⼏只鸟？4.求满⾜⽅程x2n+1-y2n+1=xyz+22n+1的所有正整数解组(x, y, z, n)，这⾥n≧2，z≦5×22n.5.求所有⾃然数n，使得min⾃然数k( k2+[n/k2] )=1991.这⾥[n/k]表⽰n/k的整数部份.6.MO牌⾜球由若⼲多边形⽪块⽤三种⽰同颜⾊的丝线缝制⽽成，有以下特点：i.任⼀多边形⽪块的⼀条边恰与另⼀多边形⽪块同样长的⼀条⽤⼀种六⾊的丝线缝合；ii.⾜球上每结点，恰好是三个多边形的顶点，每⼀结点的三条缝线不相同.求证：可以在MO牌⾜球的每⼀结点上放置⼀个不等于1的复数，使得每⼀多边形的所有顶点上放置的复数的乘积都相等. 1992年第七届中国数学奥林匹克1.设⽅程x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+....+a1x+a0=0的系数都是实数，且适合条件0≦....≦a n-1≦1.已知λ为⽅程的复数根且适合条件|λ|>1，试证：λn+1=1.2.设x1, x2, ... , x n为⾮负实数，记x n+1= x1，a=min{x1, x2, ... , x n}，试证：n Σ i=11+x i_1+x i+1≦n+1(1+a)2nΣi=1(x i-a)2，3.且等式成⽴当且仅当x1 =x2= ...=x n.4.在平⾯上划上⼀个9x9的⽅格表，在这上⼩⽅格的每⼀格中都任意填⼊+1或-1.下⾯⼀种改变填⼊数字的⽅式称为⼀次变动；对于任意⼀个⼩⽅格有⼀条公共边的所有⼩⽅格(不包含此格本⾝)中的数作连乘积，于是每取⼀个格，就算出⼀个数，在所有⼩格都取遍后，再将这些算出的数放⼊相应的⼩⽅格中.试问是否总可以经过有限次变动，使得所有⽅⼩⽅格中的数都变为1？5.凸四边形内接于圆O，对⾓线AC与BD相交于P，ΔABP与ΔCDP的外接圆相交于P和另⼀点Q，且O、P、Q三点两两不重合.试证∠OQP=90.6.在有8个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的是⼤值是多少？7.已知整数序列{a1, a2, ...... }满⾜条件：1.a n+1=3a n-3a n-1+a n-2，n=2, 3, ......2.2a1= a0+a2-2.3.对任意的⾃然数m，在序列{a1, a2, ...... }中必有相继的m项a k, a k+1, ... , a k+m-1都为完全平⽅数.试证：序列{a1, a2, ...... }的所有项都是完全平⽅数.1993年第⼋届中国数学奥林匹克1.设n是奇数，试证明存在2n个整数a1, a2, ... , a n；b1, b2, ... , b n，使得对于任意⼀个整数k，02.给定⾃然数k及实数a>0，在下列条件k1+ k2+ ...+k n=k，k i为⾃然数其中1≦r≦k下，求a k1+ a k2+ ... + a kr的最⼤值.3.设圆K和K1同⼼，它们的半径分别为R和R1，R1>R.四边形ABCD内接于圆K，四边形A1B1C1D1内接于圆K1，点A1、B1、C1、D1分别在射线CD、DA、AB、BC 上，求证：S A1B1C1D1 /SABCD≧R12/R2.4.给定集合S={z1, z2, ... , z1993}，其中z1, z2, ... , z1993是⾮零复数(可看作平⾯试的⾮零向量).求证可以把S中的元素分成若⼲组，使得i.S中每个元素属于且仅属于其中⼀组；ii.每⼀组中任⼀复数与该组所有复数之和的夹⾓不超过90.；iii.将任意两组中复数分别求和，求得和数之间的夹⾓⼤于90..5.10⼈到书店买书，已知i.每⼈都买了三种书；ii.任何两⼈所买的书，都⾄少有⼀种相同.问购买⼈数最多的⼀种书最(⾄)少有⼏⼈购买？说明理由.6.设函数f：(0, +∞)→(0, +∞)满⾜以下条件：对于任意正实数x、y，有f(xy)≦f(x)f(y).试证：对任意的正实数x及⾃然数n，有f(x n)≦f(x)f(x2)1/2...f(x)1/n.1994年第九届中国数学奥林匹克1.设ABCD是⼀个梯形(AB//CD)，E是线段AB试⼀点，F是线段CD上⼀点，线段CE与BF相交于点H，线段ED与AF相交于点G，求证：S EHFG≦S ABCD/4.如果ABCD 是⼀个任意的凸圆边形，同样结论是否成⽴？请说明理由.2.n(n≧4)个盘⼦⾥放有总数不少于4的糖块，从任意的两个盘⼦各取⼀块糖，放⼊另⼀个盘⼦中，称为⼀次操作，问能可经过有限次操作，将所有的糖块集中列⼀个盘⼦⾥去？证明你的结论.3.求适合以下条件的所有函数f：[0, +∞)→[0, +∞)，i.f(2x)≦2(x+1)；ii.f(x+1) = [ f(x)2 -1]/x.4.已知f(z)=C0z n+C1z n-1+C2z n-2+....+C n-1z+C n是⼀个n次复系数多项式，求证：⼀定存在⼀个复数z0，|z0|≦1，满⾜|f(z0)|≧|C0|+|C n|.5.对任何⾃然数n，求证：，其中0C0=1，[(n-k)/2]表⽰(n-k)/2的整数部份.6.设M为平⾯试坐标为(Px1994,7Px1994)的点，其中P是素数，求满⾜下述条件的直⾓三⾓形的个数：i.三⾓形的三个顶点都是整点，⾯且M是直⾓顶点；ii.三⾓形的内⼼是坐标原点.1995年第⼗届中国数学奥林匹克1.设2n个实数a1, a2, ... , a n；b1, b2, ... , b n(n≧3)满⾜i.a1+ a2+ ...+a n=b1+ b2+ ...+b n；ii.0iii.0求证：a n-1+ a n≦b n-1+b n.2.设N为⾃然数集合，f：N→N适合条件：f(1)=1，对于任何⾃然数n都有o3f(n) f(2n+1) =f(2n) ( 1+3f(n) )；o f(2n) < 6 f(n).试求⽅程f(k) +f(l)=293，其中k3.试求的最⼩值，其中x和y是任意整数.4.空间有四个球，它们的半径分别为2、2、3、3，每个球都与其余3个球外切，另有⼀个⼩球与那圆球都外切，求该⼩球的半径.5.设a1, a2, ... , a10是10个两两不同的⾃然数，它们的和为1995，试求a1a2+a2a3+...+a9a10+a10a1的最⼩值.6.设n是⼤于1的奇数，已给.设，i=1, 2, .... , n 其中.记，k=1, 2, ....若正整数m满⾜，求证：m是n的倍数.1996年第⼗⼀届中国数学奥林匹克1.设H是锐⾓△ABC的垂⼼，由A向BC为直径的圆作切线AP、AQ，切点分别为P、Q.求证：P、H、Q三点共线.2.设S={1, 2, ... , 50}，求最⼩⾃然数k，使S的任⼀k元素中，都存在两个不同的数a和b，满⾜(a+b)整除ab.3.设R为实数集合，函数f：R→R适合条件f( x3+y3 )=(x+y)( f(x)2 -f(x)f(y) +f(y)2 )，x、y为实数.试证：对⼀切实数x，都有f( 1996 x ) = 1996 f(x).4.8位歌⼿参加艺术会，准备为他们安排m次演出，每次由其中4位登台表演.要求8位歌⼿中任意两位同时演出的次数都⼀样多，请设计⼀种⽅案，使得演出的次数m最少.5.设n为⾃然数，，且.求证：.6.在△ABC中，∠C=90.，∠A=30.，BC=1，求△ABC的内接三⾓形(三顶点分别在三边上的三⾓形)的最长边的最⼩值.1998年第⼗三届中国数学奥林匹克1.在⼀个⾮钝⾓△ABC中，AB>AC，∠B=45.，O和I分别是△ABC的外它和内⼼，且√2 OI =AB - AC，求sin∠A.2.对于给定的⼤于的正整数n，是否存在2n个两两不周的正整数，同时满⾜以下两个条件：1.a1+a2+....+a n =b1+b2+....+b n ；2..请说明理由.3.设S={1, 2, .... , 98}，求最⼩⾃然数n，使得S的任⼀n元⼦集中都可以选出10个数，⽆论怎样将这10个数均分成两组，总有⼀组中存在⼀个数与另外4个数都互质，⽽另⼀组总有⼀个数与另外4个数都不互质.4.求所有⼤于3的⾃然数n，使得得1+n C1+n C2+n C3整除22000.5.设D为锐⾓三⾓形ABC内部⼀点，且满⾜条件：DAxDBxAB + DBxDCxBC + DCxDAxCA=ABxBCxCA.试确定D点的⼏何位置，并证明你的结论6.设n≧2，x1, x2, ...., x n为实数，且.对于每⼀个固定的⾃然数k (1≦k≦n)，求| x k |的最⼤值.1999年第⼗四届中国数学奥林匹克1.在锐⾓△ABC中，∠C >∠B，点D是边BC上⼀点，使得∠ADB是钝⾓，H是△ABD的垂⼼，点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆周上.求证点F是△ABC垂⼼的充份必要条件是：HD平⾏于CF且H在△ABC的外接圆周上.2.给定实数a，设实数多项式序列{ f n(x) }满⾜f0(x)=1，f n+1(x)=xf n(x)+f n(ax)，其中n=0,1, ....1.求证：f n(x)=x n f n(1/x)，其中n=0, 1, ....2.求证：f n(x)的明显表达式.3.MO太空城由99个空间站组成，全两空间站之间有管形通道相联.规定其中99条通道为双向通⾏的主⼲道，其余通道严格单向通⾏，如果某四个空间站可以通过它们之间的通道从其中任⼀站到达另外任⼀站，则称这四个站的集合为⼀个互通四站组.试为MO太空城设计⼀个⽅案，使得互通四站组的数⽬最⼤(请具体算出该最⼤数，并证明你的结论).4.设m是给定的整数，求证：存在整数a、b和k，其中a、b均不能被2整除，k≧0，使得2m=a19+b99+k × 21999.5.求最⼤的实数λ，使得当实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是⾮负实数时，只要x≧0，就有f(x)≧λ(x - a)3.并问上式中等号何时成⽴？6.设4x4x4的⼤正⽅体由64个单位正⽅体组成.选取其中的16个单位正⽅体涂成红⾊，使得⼤正⽅体中每个由4个单位正⽅体椭成的1x1x4的⼩长⽅体中，都恰有1个红正⽅体.问16个红正⽅体共有多少种不同取法？说明理由.2001年第⼗六届中国数学奥林匹克1.给定a，. 内接于单位圆ABCD的凸四边形适合以下条件：1.圆⼼在这凸四边形内部；2.最⼤边长是a , 最⼩边长是.过点A、B、C、D依次作圆Γ的四条切线L A、L B、L C、L D.已知L A与L B、L B与L C、L C与L D、L D与L A分别相交于A'、B' 、C' 、D' 四点. 求⾯积之⽐S A'B'C'D' /S ABCD的最⼤值与最⼩值.2.设X={1,2,3, … 2001}, 求最⼩的正整数m，适合要求：对X的任何⼀个m元⼦集W, 都存在u、v ( u和v允许相同)，使得u+v是2的⽅幂.3.在正n边形的每个顶点上各停有⼀只喜鹊.偶受惊吓，众喜鹊都飞去. ⼀段时间后，它们⼜都回到这些顶点上，仍是每个顶点上⼀只，但未必都回到原来的顶点. 求所有正整数n，使得⼀定存在3只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三⾓形或同为锐⾓三⾓形，或同为直⾓三⾓形，或同为钝⾓三⾓形4.设a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c是7个两两不同的质数, 且a, b, c中有两数之和是800.设d 是这7个质数中最⼤数与最⼩数之差.求d的最⼤可能值.5.将周长为24的圆周等分成24段. 从24个分点中选取8个点，使得其中任何两点间所夹的弧长都不等于3和8.问满⾜要求的8点组的不同取法共有多少种？说明理由.6.记a=2001.设A是适合下列条件的正整数对(m，n)所组成的集合：1.m < 2a；2.2n | (2am-m2+n2)；3. n2-m2+2mn≦2a(n-m).令，求和.2002年中国数学奥林匹克上海1⽉27⽇-28⽇早上8:00-12:30，每题21分.1.三⾓形ABC的三边长分别为a、b、c，bBC上.1.求在线段AB、AC内分别存在点E、F(不是顶点)满⾜BC=CF 和∠BDE=∠CDF的充份必要条件(⽤⾓A、B、C表⽰)；2.在点E和F存在的情况下，⽤a、b、c表⽰BE的长.2.设多项式序列{ P n(x) }满⾜：P1(x)=x2-1，P2(x)=2x(x2-1)，且P n+1(x)P n-1(x)=( P n(x) )2-(x2-1)2，n=2, 3, .....设S n为P n(x)各项系数的绝对值之和，对于任意正整数n，求⾮负整数k n使得2-k n S n 为奇数.3.18⽀⾜球队进⾏单循环赛，即每轮将18⽀球队分成9组，每组的两队赛⼀场，下⼀轮重新分组进⾏⽐赛，共赛17轮，使得每队都与另外17⽀队各赛⼀场.按任意可⾏的程序⽐赛了n轮之后，总存在4⽀球队，它们之间总共只赛了1场.求n的最⼤可能值.4.对于平⾯上任意四个不同点P1、P2、P2、P4，求的最⼩值.5.平⾯上横纵坐标都为有理数的点称为有理点.证明平⾯上的全体有理点可以分为三个两两不相交的集合，满⾜条件：1.在以每个有理点为圆⼼的任⼀圆内⼀定包含这三个集个中每个集合的点.2.在任意⼀条直线上不可能有三个点分别属于这三个集合.6.给定实数c，1/2≦....≦a n，只要满⾜，总有，其中m不超过cn的最⼤整数.。
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第五届中国数学奥林匹克(1990年)
1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与
边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于
E、F。
求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。
2.设x是一个自然数，若一串自然数x0=1,x2, ... , x n=x满足x i-1<i=1,
2, ...,l，则称{ x0 , x1 , ... , x n}为x的一条因子链。
l称为该因子链的长度。
L(x)与R(x)分别表示x的最长因子链的长度和最长因子链的条数。
对于x=5k×31m×1990n，k、m、n都是自然数，试求L(x)与R(x)。
3.设函数f(x)对x>0有定义，且满足条件：
i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)；
ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M。
求证：f(x)≦x2。
4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定方程组：
x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3 有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示，并予以证明)。
5.设X是一个有限集合，法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成
的子集)都对应一个实数f(E)，满足条件：
a.存在一个偶子集D，使得f(D)>1990；
b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B，有f(A∪
B)=f(A)+f(B)-1990。
求证：存在X的子集P、Q，满足
iii.P∩Q是空集，P∪Q=X；
iv.对P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990
v.对Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。
6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分
图。
求证：当且仅当3|n时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点)。