复旦大学计算机科学与工程系 吴永辉 离散数学 超图
2016年计算机学院硕士研究生招生复试名单
12
346 81200 计算机科学与技术
12
335 81200 计算机科学与技术
12
335 81200 计算机科学与技术
12
332 81200 计算机科学与技术
12
331 81200 计算机科学与技术
12
331 81200 计算机科学与技术
12
330 81200 计算机科学与技术
12
272 81200 计算机科学与技术
6
410 81200 计算机科学与技术
7
367 81200 计算机科学与技术
7
351 81200 计算机科学与技术
7
348 81200 计算机科学与技术
7
347 81200 计算机科学与技术
7
53 100136020030178 王佳林 54 100136144030688 于潇飞 55 100136164030760 李永春 56 100136101030437 莫歧 57 100136111310937 张琼 58 100136111311074 杨宇行 59 100136010030103 王晓明 60 100136111311209 于悦 61 100136252030957 孙璐 62 100136040030248 朱颖奇 63 100136111311093 江裕锋 64 100136111310774 张文纪 65 100136111310819 曹师久 66 100136111030483 洪钟 67 100136013030141 刘竹辰 68 100136111310762 赵鑫禄 69 100136018030168 赵文骏 70 100136111311135 秦景坤 71 100136101030440 吴亚彬 72 100136234030907 翟馨沂 73 100136012030114 刘昭 74 100136111311194 徐峰 75 100136111310987 胡维 76 100136096030427 李天阳 77 100136090030384 苏展 78 100136111311042 于通 79 100136111310859 吴蕾蕾 80 100136111311041 耿欢 81 100136111310993 孙明欣 82 100136022030202 杨宁 83 100136111310856 刘雅东 84 100136079030323 孔硕 85 100136111311217 常重 86 100136111310936 李令飞 87 100136111311214 高文慧 88 100136089030370 于瑷玮 89 100136111310883 董雄雄 90 100136111311055 王晓磊 91 100136020030184 马彦彦 92 100136043030250 刘佳琦 93 100136101030444 郑赫慈 94 100136101030447 轩婷婷 95 100136111310930 齐佳敏 96 100136085030358 唐鑫 97 100136301031051 李坤昌 98 100136111311216 华健 99 100136111311123 宋安宇 100 100136111310890 吕月 101 100136111311167 桑志杰 102 100136111311049 陈默也 103 100136144030686 李童俊 104 100136111311145 李鸣野 105 100136111311048 段秀玉 106 100136111310992 陈锐奇
复旦大学计算机科学与工程系 吴永辉 离散数学 平面图
平面图G嵌入平面后将Ğ分成若干 个连通闭区域，每一个连通闭区域称为G 的一个面。
恰有一个无界的面，称为外部面。 其余的面称为内部面。
6.1 平面图与欧拉公式
2 欧拉公式 （1）定理6.1
若连通平面图G有n个顶点，e条边和f 个面，则
n-e+f=2 称为欧拉公式。 证明方法：归纳法
球面等，如果图G能画在曲面S上使得它 的边仅在端点处相交，则称G可嵌入曲面 (embeddable in the surface) S。
2. 定理6A.
图G可嵌入球面S
面P。
G可嵌入平
/*证明基于球极平面射影。*/ /*图嵌入平面与球面是一回事。*/
二、平面图
1 边界和度数
1）定义6A：
证明：
（1）归纳基础：一条边，欧拉公式成立；
（2）归纳步骤：假设m-1条边，欧拉公式成立；
考察m条边的连通平面图：
1）若有度数为1的顶点，则删去该顶点及其关联边， 便得到连通平面图G’，G’满足欧拉公式，再将删去 的点和边加回G’得到G也满足欧拉公式；
2）若没有度数为1的顶点，则删去有界面边界上的 任一边，便得到连通平面图G’， G’满足欧拉公式， 再将删去的边加回G’得到G也满足欧拉公式。
设G是有n个顶点，e条边，f个面的连 通平面图；又设G的几何对偶G*有n*个 顶点，e*条边，f*个面，则n*=f, e*=e, f*=n。
证明方法：前两个关系式直接由G*的定义 给出，第3个关系式由欧拉公式推出。
3 定理6.5 G是连通平面图G**同构于G。
6.1 平面图与欧拉公式（补充）
一、球面与平面 1. 嵌入曲面 设S是一个给定的曲面，比如平面，
融合嵌入空间优化的超图神经网络会话推荐模型
融合嵌入空间优化的超图神经网络会话推荐模型作者：黄文涛潘宇程树林来源：《电脑知识与技术》2024年第13期摘要：在会话推荐领域中，基于图神经网络挖掘和提取项目特征是一种主流方法。
由于会话中的项目转换通常受到多个项目的协同影响，且大多数推荐算法忽略了项目和会话的嵌入表示在嵌入空间中的分布情况对推荐任务的影响，使得推荐系统难以获得高质量的嵌入表示，从而影响了推荐性能。
为此，提出一种基于超图神经网络和嵌入空间优化的会话推荐方法。
该方法首先基于会话序列特征采用超图来建模项目间隐含的高阶联系，然后通过对比学习优化项目的空间嵌入表示，最后通过注意力机制来划分用户的长短期兴趣。
通过在两个真实的公开数据集上进行多个实验，验证了该方法相对于基准方法具有更好的推荐性能。
关键词：推荐系统；会话推荐；超图神经网络；对比学习；注意力机制中图分类号：TP181 文献标识码：A文章编号：1009-3044（2024）13-0004-05 开放科学（资源服务）标识码（OSID）：0 引言推荐系统在应对用户信息过载问题中发挥着重要的信息过滤作用，尤其在电子商务和搜索引擎等场景下应用广泛，成为用户信息筛选的重要途径。
传统的推荐方法主要是学习用户历史数据以提供个性化的推荐结果。
然而，受限于冷启动和用户隐私保护等问题，在许多实际应用中，系统不能完整地获得长期高度相关的用户数据[1]。
相比之下，基于会话的推荐系统[2-3]（Session-based Recommendation System）作为推荐系统的重要分支，通过对当前会话中的用户行为进行建模，预测下一个可能点击的项目，具有广泛的工业应用，特别适用于电子商务和搜索领域，并且弥补了传统方法中的不足，成为当前研究的热点课题。
会话推荐的相关研究主要分为三个方面，即传统会话推荐方法[4]、基于RNN[5-8] （Recurrent Neural Net⁃work）的方法以及基于GNN[9]（Graph Neural Network）的方法。
软件需求分析复习资料
计算机系统本身是无用的
������ ������ ������ ������ ������ ������
软件开创了新的可能性
目录
首页
上页
下页
末页
软件需求包括三个不同的层次—业务需求、用户需求和 功能需求（非功能需求）
业务需求（ business requirement）反映了 组织机构或客户对系统、产品高层次的目标 要求
原型法
适合于开发方清楚 对于开发方要求较 在以往类似项目应 项目需求但用户方 高 用系统的基础上进 不清楚项目需求的 行少量修改得出一 情况 可运行系统
节省开销 无法满足个性化软 重用建好的领域模 件要求 型，获得新系统需 13 复旦大学计算机科学与工程系 软件工程课程 求
目录 首页 上页 下页 末页
复旦大学计算机科学与工程系 软件工程课程 31
目录
首页
上页
下页
末页
类图
当你考虑如何将问题域对象映射到系统对象， 并进一步细化每个类的属性和操作时，面向对 象技术可以方便需求开发到设计阶段的转换。 类图(class diagram)是用图形方式叙述面向对 象分析所确定的类以及它们之间的关系。 用统一建模语言（UML）的符号为化学制品跟 踪系统的一部分（你所假设的）绘制类图。
末页
业务需求
•业务需求是组织或客户对于系统的高层次目标要求，定义 了项目的远景和范围，即确定软件产品的发展方向、功能 范围、目标客户和价值来源。 •业务需求的内容
–业务：产品属于哪类业务范畴？应该完成什么功能？需要为什么
服务？ –客户：产品为谁服务？目标客户是谁？
《数据结构编程实验大学程序设计课程与竞赛训练教材（附光盘）》（吴永辉，王建德）（论文资料）
windows7怎么自动关机如果想设置Win7按照自己意愿自动关机，而又不希望下载安装第三方软件，那么windows7怎么自动关机呢?今天店铺与大家分享下windows7设置自动关机的具体操作步骤，有需要的朋友不妨了解下。
windows7设置自动关机方法一、使用命令1、设置特定时间关机假设我们设置系统在晚上11点关闭，按下“Windows徽标键+R”，在弹出的“运行”窗口中输入“at 23:00 shutdown -s”，按下回车键即可。
在系统关闭前一分钟，会弹出提醒窗口。
注意：上述命令包含3个空格，不含引号。
在命令符窗口输入命令也会达到相同效果。
使用此命令时，计划服务必须在运行中。
命令详解：•“at”命令安排在特定日期和时间运行命令和程序•“23:00”处指定了运行命令的时间。
格式为24小时制•“shutdown”为系统内置的一个命令，我们可以配合它的参数对系统进行关机、重启等操作• “-s”是“shutdown”命令的一个参数，运行“sh utdown -s”代表“关闭计算机”的操作。
常见参数还有“-a”“-t”“-f”等▼运行效果图(下为命令输入示例，上为弹出窗口示例;命令输入后“运行”窗口会自动关闭，两个窗口并不会同时出现)。
2、设置一段时间后关机设置系统在一段时间后关闭，我们会用到“shutdown”命令的一个新参数“-t”。
这个参数指定系统在一段特定的时间后关闭，单位为秒(s)。
此处我们以设置系统半小时后关闭为例，需要输入的命令为：“shutdown -s -t 1800”,上述命令包含3个空格，不含引号。
运行后系统任务栏右下角会弹出提醒窗口。
▼运行效果图(上为命令输入示例，下为弹出窗口示例;命令输入后“运行”窗口会自动关闭，两个窗口并不会同时出现)。
这两个操作均会分别生成一个计划任务，我们用软媒优化大师可以查看，具体在“启动项”标签页的“计划任务”中。
例如我们运行了一次设置特定时间关机的命令，在“软件名称”栏中，会增加一个显示为“At1 Windows关闭和注释工具”的项目。
离散数学教程(集合论与图论)-FudanUniversity
离散数学教程（集合论与图论）离散数学：计算机科学与技术的数学基础课内容：集合论，图论，组合数学，代数结构，数理逻辑集合论:（第1-4章）组合数学初步:（第5-7章）图论:（第8-11章）教师介绍⏹教师：吴永辉博士副教授⏹简历：⏹1984-1988 上海科技大学计算机系本科⏹1988-1991 复旦大学计算机系硕士⏹1991-2003 华东师范大学计算机系工作⏹1998-2001 复旦大学计算机系博士⏹2003-复旦大学计算机系工作⏹答疑E-mail: yhwu@《集合论与图论》课件制作软件⏹Microsoft PowerPoint⏹MathType Equation《集合论与图论》课程大纲⏹课程性质与目的⏹教学内容与要求⏹使用教材、参考书籍⏹命题说明和题型课程性质、目的与基本要求⏹课程性质本课程讲授计算机科学与技术的数学基础课《离散数学》的部分主要内容：集合论、图论与组合数学初步，是计算机专业的主干课程之一。
本课程前行课程为线性代数，数学分析(上)。
⏹课程目的使学生掌握集合论、图论与组合数学初步的基本内容，并对证明的思想和方法深入理解和体会，初步培养学生的思维过程的数学化。
⏹基本要求：⏹掌握集合论、组合学和图论的基本概念，清楚了解引入基本概念的实际背景、各概念间相互关系；掌握基本定理以及有关理论题的证明技巧；掌握解决计数问题的基本方法和技巧；掌握图论中各算法设计的思想、正确性证明以及算法的应用。
为进一步学习计算机其他课程打下坚实的基础。
教学方式本课程以课堂讲授为主。
考核方式⏹平时作业；⏹集合论、组合数学和图论3次课堂练习；⏹期中，期末的两次笔试考试。
教学内容与要求----集合论⏹第一章集合的基本概念掌握：集合的基本概念，集合的运算。
了解：集合论的悖论。
掌握证明两个集合相等的基本法和公式法。
⏹第二章关系掌握：关系的性质、运算和关系的闭包，以及等价关系和偏序关系。
了解：关系在关系数据库中的应用。
掌握证明的类型。
复旦大学计算机科学与工程系 吴永辉 离散数学 排列组合基础知识
二项式定理证明方法
证明方法1 证明方法2
二项式定理证明方法1
通过n个对象的r-组合数可得出表达式(a+b)n的 展开式。 在n个因子中选k个b和n-k个a，可得项an-kbk。 因为从n个对象中选择k个共有C(n, k)种方法， 所以项an-kbk共有C(n, k)个。 所以(a+b)n =C(n, 0)anb0+C(n, 1)an-1b1+ C(n, 2)an-2b2+…….+ C(n, n-1)a1bn-1+ C(n, n)a0bn
2 二项式定理的推论 1)推论11.2 对任何正整数n，有： C(n, 0)+C(n, 1)+……+C(n, n)=2n
证明：令x=y=1，根据二项式定理，则有2n =(1+1)n=C(n, 0)+C(n, 1)+……+C(n, n) 。
2)推论11.3 对任何正整数n，有： C(n, 0)-C(n, 1)+C(n, 2)-……+(-1)nC(n, n)=0
二、二项式系数及组合恒等式
1 定理 定理11.6（二项式定理） （二项式定理） 设n为正整数，对一切x和y有：
(x + y) =
n
∑
n k =0
C (n, k ) x y
k
n−k
Pascal三角形/杨辉三角形
Pascal三角形/杨辉三角形 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 。。。。。。。。
组合数学在研究记数时经常要用到最基 本的原理：加法原理和乘法原理。
11.1 基本计数原理
1 加法原理 1）定理11.1（加法原理） 设A和B是有限集合S的两个互不相 交的子集，且A∪B=S，则|S|=|A|+|B|。
计算机科学导论-思想与方法 第3版 第5章
函数是程序设计的基础
程序定义了计算函数的算法。 而定义函数的方法又影响着程序语言的设计。 好的程序设计语言一般都便于函数的计算。
关系
每个关系对应于一个谓词；该谓词的定义域是由k元组组成 的集合，值域为{0, 1}。
二元关系：由有序对组成的集合。 对于每个有序对，称其第一个元素与第二个元素具有相应
集合的补
设I为全集，A为I的任意一子集，则将I–A则为A的补集。
表示为：A =｛x｜x∈I 并且 xA｝。
求补集的运算称为补运算。
例5.4 若I= {x｜–5﹤x﹤5}, A={x｜0﹤x﹤1}，求 A。 解：A = I–A = {x｜–5﹤x﹤0∨1﹤x﹤5}
集合的运算
集合的乘积
等价关系
对于集合A上的任一二元关系R (即R A×A)，如果R满足以下3 个条件，则称R为A上的一个等价关系：
自反性：对于集合中的每个元素a都有aRa； 对称性：对于集合中的任意两个元素a和b，aRb成立当且仅当bRa成
立； 传递性：对于集合中的任意元素a, b, c，如果aRb和bRc成立，则
练习
血缘关系是不是等价关系？ 分析：血缘关系满足自反性和对称性，但不满足传递性，
因此不是等价关系。
“相似”关系 “平行”关系 “相等”关系 “”关系 “朋友”关系 “同学”关系
等价类
等价关系的一个重要应用在于对集合进行等价划分。
集合A上的一个等价关系R可以将A划分为若干个互不相交的 子集；
例5.5 若A={1，2，3}，B={a，b}，求A×B
解：A×B = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
复旦大学计算机科学与工程系吴永辉离散数学组合数学
问题的组合学算法. ¡ 2) 组合数学对于过去很少与数学正式接
触的学科的适用性
PPT文档演模板
复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
二、组合数学两类一般性问题
¡ 组合数学涉及将一个集合的物体排列成满足 一些指定规则的格式。
复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
第十章 鸽笼原理
¡ 10.1 鸽笼原理的简单形式 ¡ 10.2 鸽笼原理的加强形式
PPT文档演模板
复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
10.1 鸽笼原理的简单形式
¡ 1, 问题的引入 ¡ 实例：
某次会议有n位代表参加，每位代表认识 其他代表中某些人，则至少有两个人认识的 人数是一样的。
¡ 例２ 10双手套中任取11只，其中至少有两 只是完整配对的。
PPT文档演模板
复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
¡ 3, 鸽笼的扩展（抽象）
¡ 定理10.2
¡ s（s1）个元素分成t个组，那么必存在
一个组至少含有s/t（这里 为“上整数” 记号）个元素。
¡ 证明方法：反证法。
PPT文档演模板
PPT文档演模板
复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
¡ 3）例10.3 1, 2, ……, 2n中任取n+1个互不 相同的数中，必存在两个数，其中一个数是 另一个数的倍数。
PPT文档演模板
复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
¡ 证明：因为任何正整数n可以表示成
n=2ab（这里a=0, 1, 2,…，且b为奇
计算机图形学-复旦大学精品课程
© 2004 Dept. of Computer Science and Engineer
2020/3/25
6 / 19
关于本课程 ▪ 预备知识 ▪ 学习目标 ▪ 学习内容 ▪ 与相关学科关系 ▪ 其它参考文献 ▪ 如何考试？
© 2004 Dept. of Computer Science and Engineer
▪ David F. Rogers. Procedural Elements for Computer Graphics, 2nd Ed., McGraw-Hill Companies, 1998
▪ 罗振东，廖光裕， 计算机图示学原理和方法，复旦大学出版社， 1993
▪ 董士海，《计算机用户界面及其工具》，科学出版社，1994 ▪ 倪明田等，“计算机图形学”，北京大学出版社，1999。
© 2004 Dept. of Computer Science and Engineer
2020/3/25
2 / 19
教材（Textbook）
计算机图形学(第三版)
孙家广等编著 清华大学出版社 2000
© 2004 Dept. of Computer Science and Engineer
2020/3/25
▪ J.D.Foley et al, Computer Graphics: Principles & Practice, 2nd Ed. In C, Addision Wesley, Reading Massachusetts, 1996.
▪ James D. Foley, Andries van Dam etc., “Introduction to Computer Graphics”, Addision-Wesley, 1996
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
投影图
设H=<V, E>是一个超图，结点集V’V， 则我们称超图RED(<V’, EV’>)为H到V’的 投影, 记作HV’，其中EV’={eEV’: eE}{}，EV中的每一条边通常也称作H的一 条子边。
连通
在超图H中，如果两个结点（或边）之间 存在一条通路，则称它们是连通的。 如果一个边的集合中每一对边都是连通 的，则称该边集是连通的。
连通支
一个超图H中的任一极大连通边集以及它 们的关联结点一起称作H的一个连通支。
子图
设H=<V, E>，H’=<V’, E’>都是超图，如 果V’V，E’E，则称H’是H的一个子 图。
超图表示
结点用标号表示 超边用环绕它的全部关联结点的封闭曲 线表示
通路
设H=<V, E>是一个超图，A、B是V中的 结点，则H中从A到B的一条通路是一个 边的序列E1, E2, …, Ek (k1)，该序列满 足下列条件： （1）AE1, BEk； （2）对于所有1ik，EiEi+1。 边序列E1, E2, …, Ek为从E1到Ek的通路。
超图
线图的缺陷
线图中限定每条边的关联结点为两个， 限制了线图的表达能力。现实世界中， 广泛地存在着各种各样的多元联系，难 以用线图直观地表达。
超图
一个超图H是一个有序二元组H=<V, E>， 其中V是一个有限集，V中的元素称为H 的结点，E是一个超边的集合。E中每一 条超边都是V的一个非空子集，并使得V 中每个结点至少属于E中的一条超边。