中科大考研 期中复习——2007秋

输出y (t )，输入 x (t ) : 方程： y (t ) = cos(ω 0 t ) x (t )
x(t ) cos(ω0 t )
y (t )
此系统是线性，时变， 因果的系统
信号与系统
EE BUPT
f (t )பைடு நூலகம்=
n =−∞
Fn
∑
∞
∞
e j nω1t , 请画出此信号的时域波形。
这是一个傅里叶级数，频谱图为
L L
偶函数，只有余弦项
−T
2 T 4E 4 a 2 = 2 ∫ E cos(ω1t ) cos(2ω1 t )dt = T 0 3π f 2 (t ) = a 2 cos 2ω1 t 1 平均功率： P2 = T
信号与系统
TO − 4
2π ω1 = T
T 4
T
t
∫
T
1 2 f 2 (t )dt = a 2 2
2
H (ω )
1
O
1
ω
信号与系统
EE BUPT
f s (t )
h(t )
f (t )
h(t )
1
f s (t )
（0.5 ）
(1)
(1.5)
2Ts
(2 )
O
Ts
t
O
Ts
3Ts
t
求上图所示函数h ( t ) 的傅里叶变换。画出信号f ( t ) 波形。
解：f ( t ) = fs ( t ) ⊗ h ( t )
信号与系统期中复习
尹霄丽 北京邮电大学电子工程学院 2007.11.9
Electronic Engineer School of BUPT
−4 ( ) 1.e δ t − 1 1.e δ ( t − 1) = __________ 1 1 2. u t − t 2 ___ 2 2.∫ sin πτδ (2τ − 1)dτ = __________
−2( t + 1)
−∞ ∞
k 3.∫ Sa(kt )dt = _____ −∞ π 4.[u(t ) − u(t − 6)] ⊗ δ ′(t ) =
3.
1
4.
δ (t ) − δ (t-6)
信号与系统
EE BUPT
求信号f(t)的傅里叶变换。
(1)F ( ω ) = ∫
−T − 3T
e − jω t dt + ∫ e− jω t dt
信号与系统
线性性质 时移性质
EE BUPT
帕斯瓦尔定理
能量信号时域内信号的能量等于频域内信号的 能量，即
+∞ −∞ +∞
∫
1 f ( t ) dt = 2π
2
−∞
∫
F (ω ) dω
2
该式称为_______________________。
信号与系统
EE BUPT
左端即为2π 的傅里叶反变换 1 ∞ jω t 2π e dω ∫ 2π −∞ 而2π 的反变换为2πδ ( t ) ，即为右端。
t
( 1)
− 3T
−T
0
( 1)
T
3T
( −1 )
( −1 )
t
信号与系统
EE BUPT
(3)利用已知的变换对
f 1 (t )
1
f (t )
1
−
T 2
0
T 2
t
− 3T
−T 0
T
3T
t
ωT F1 ( ω ) = TSa 2 F ( ω ) = 6TSa ( 3ωT ) − 2TSa ( ωT ) F ( ω ) = 2TSa ( ωT ) ( e− j2ωT + e j2ωT )
2
EE BUPT
求信号f ( t ) = e− t u ( t ) + et u ( −t ) 的傅里叶变换，并画出频谱图。
解： f1 ( t ) = e u ( t ) ，f ( t ) = f1 ( t ) + f1 ( −t )
−t
1 ,F F1 ( ω ) = f1 ( −t ) = F1 ( −ω ) 1 + jω 1 1 2 F (ω ) = + = 1 + jω 1 − jω 1 + ω 2
8 ωs 9
ω
EE BUPT
f (t ) 1.5
2 1
f (t ) 1 0.5
2 1.5
0.5 O
信号与系统
Ts
2Ts
3Ts 4Ts t
O
Ts
2Ts
3Ts 4Ts t
EE BUPT
已知信号x ( t ) = cos ( ω mt ) , 理想抽样时δ T ( t ) =
n =−∞
∑ δ ( t − nT ) ,
∞
2π 8 T= ，n为整数，ω m = ω s。请画出抽样后信号的频谱图， ωs 9
e
j ( − ω1 ) t
ϕn
π 4
2
π 2
ω
O
j π 2 jω1t
+2e e
π j − 4
+
−π 2
−π 4
e e j 2ω1t π π f ( t ) = 2 + 4 cos ω1t + + 2cos 2ω1t − 2 4
信号与系统
EE BUPT
解： X ( ω ) = π δ ( ω + ω m ) + δ ( ω − ω m ) 1 ∞ X s ( ω ) = ∑ X ( ω − nω s ) T n =−∞
L
ω ≤ ω s。
X s (ω ) π T 1 ωs 9
L
8 − ωs 9
信号与系统
1 − ωs 9
证明∫ e jωt dω = 2πδ ( t )
−∞
∞
信号与系统
EE BUPT
已知信号的双边频谱，请写出 此信号对应的时域形式f ( t ) .
f (t ) = e e
j π 4 j ( − 2 ω1 ) t
2
1
2
Fn
2 ω1
1
− 2ω 1 − ω 1 O
2ω 1 ω
+2e +2
π j − 2
f (t ) = T
n =−∞
∑ δ ( t - nT )
2π T = ω1
1
L L
− 2ω 1 − ω 1
O f (t )
ω1
2ω 1 ω
L
(T )
−T
信号与系统
L
O
T
EE BUPT
t
求半波整流信号f ( t ) 的二次谐波分量。并计算其二次 f (t ) 谐波分量的平均功率。 E
T
3T
f (t )
1
(2)利用微分性 f ′ ( t ) = δ ( t + 3T ) − δ ( t + T ) δ ( t − T ) − δ ( t − 3T ) + e − jωT − e− jω 3T jω F ( ω ) = e jω 3T − e jωT
− 3T
−T 0
f ′(t)
T
3T