用规则空间模型和属性层次方法进行认知诊断

同一规则（不论正确与否）的情况下的得分模式。由于猜测或失
误，被试的反应模式会偏离理想反应模式。Ｔａｔｓｕｏｋａ（１９８７）给出 了这些反应模式的统计分布［４］。
ＲＳＭ 通过分析测验项目得到描述项目与属性的关系的二
值关联矩阵 Ｑｋ×ｎ （ｋ 是属性数，ｎ 是项目数），Ｑｋ×ｎ 的第 ｉ 行第 ｊ 列 元素 ｑｉｊ 若为 １，则表示项目 ｊ 具有属性 ｉ，反之 ｑｉｊ 则为 ０。 Ｔａｔｓｕｏｋａ 用布尔代数相关性质把不可观察的属性掌握模式转
即产生（０－ ＞１）的错误，概率为 Ｐｊｋ（"），其中 Ｐｊｋ（#）是第 ｋ 个理想反
应模式（其对应的能力值为 $）答对第 ｊ 题的概率，Ｐｊｍ（%）类同。记
Ｋ
Ｍ
! ! ＰｊＥｘｐｅｃｔｅｄ（&）＝ Ｐｊｋ（θ） ［１－ Ｐｊｍ（’）］表示发生了 Ｋ 个从（０－ ＞１）的错
ｋ＝１
ｍ＝１
误，Ｍ 个从（１－ ＞０）的错误时的概率，把 Ｖα 归到使 ＰｊＥｘｐｅｃｔｅｄ（(）值 最大的类中。
ｔ（1），．．．，ｔ（2）］＇。通过计算可知：ｆ（ｘ）的期望值为 ０，方差 ｖａｒｆ（ｘ）＝
ｎ
１
!ｐｊ（3）ｑｊ（4）［ｐｊ（5）－ Ｔ（6）］２。定义 7＝ｆ（ｘ）／［ｖａｒｆ（ｘ）］ ２ ，从而得出（8，9）。
ｊ＝１
Ｔａｔｓｕｏｋａ 把由 : 和 ; 构成的二维空间称为规则空间，这样项目
反应模式就转化为空间中的变量。
０ 引言
无论是观察分数还是能力分数都只是对被试的一个大概 描述，对具有相同分数或相同能力的学生，却有不同的知识状 态及不同认知结构这一现象无法做出合理解释；相同分数的个 体间差异无法区分；被试掌握了什么知识，未掌握什么知识等 信息无法反映。而认知诊断能对被试在完成测验项目时的认知 过程或心理加工过程进行诊断和评估。
４ 结束语
本文介绍了 ＲＳＭ 和 ＡＨＭ 模型，并对这两种模型的归类
计算机时代 ２００８ 年 第 ６ 期
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基于 ＡｒｃＸＭＬ 的 Ｗｅ ｂＧＩＳ 原理及相关技术
王朋飞，赵 强 （华北电力大学计算机科学与技术系，北京 １０２２０６）
①按此法由 １６ 个理想反应模式 （包括全 ０ 的模式） 产生 １０００ 个被试的得分阵 Ｘ１，用参数估计软件 ＡＮＯＴＥ１．６０ 估计反 应模式对应的能力参数和项目参数；②根据能力值估计值 *、项 目区分度估计值 ａ 和难度估计值 ｂ 可计算每一理想模式对每 一项目的答对概率 Ｐ 和答错概率 Ｑ，其中 Ｐ＝（１＋ｅｘｐ（－ Ｄａ（+－ ｂ）））－１ （其中 Ｄ＝１．７），Ｑ＝１－ Ｐ。然后利用模式变体思想对理想模式进行 变体，一个理想模式可以得到 ３ 个模式变体，而全 ０ 和全 １ 模 式只能各得到 １ 个模式变体，这样可得 ４４ 个新模式，其中有 １２ 个模式与理想反应模式相同，因而只有 ２２ 个非理想反应模式； ③由 ３８ 个反应模式 （１６ 个理想模式、２２ 个非理想模式） 产生 ２０００ 个被试的得分阵 Ｘ２，用 ＡＮＯＴＥ１．６０ 估计反应模式对应的 能力参数和项目参数；④把 ３８ 个反应模式看作观察模式，然后 用各种分类方法把它们归类到 １６ 个理想反应模式中，３８ 个模 式的正确归类个数如表 １。
模拟的基本思想是在保证反应模式的总得分服从正态分 布的前提下来产生项目反应模式、估计项目反应模式对应的能 力值和项目参数值。故设计模拟方法如下：
产生得分阵方法：求出每个反应模式的总得分及得分人数 Ｋ，总得分按从小到大排序，把区间［－ ３，３］平均分成 Ｋ 个小区 间，每个小区间上根据正态分布函数求出相应的面积就是该类 被试占总人数的比例，区间［－ ３，３］之外的面积平均分给得分最 小和最大的，总人数乘以被试比例就可以得到该类被试人数， 其中得分相同的模式平均分配人数。
１ 规则空间模型（ＲＳ Ｍ）
Ｔａｔｓｕｏｋａ 的 ＲＳＭ 是一种认知错误诊断模型，是将被试在 测验项目上的作答反应划归为某种与认知技能相联系的属性 掌握模式的统计方法［５］。模型的一个基本假设是测验项目可以 用特定的认知技能（又称属性）描述，属性包括被试正确求解测 验项目必须具有的各方面的能力，如技能、策略、加工过程或知 识点等。属性掌握模式一般不可观察，要把它转化为与之相对 应的可观察的理想项目反应模式。把观察模式归类到理想模式 就能诊断出被试的知识状态。这里“理想”是指始终一贯地使用
至终用错误规则导出的反应模式。
⑤ 根据被试的观察反应模式，把被试归类到相应的理想
项目反应模式中。分类方法有两种，称为方法 Ａ 和方法 Ｂ。
方法 Ａ：把观察反应模式 Ｖα 与所有的理想项目反应模式
Ｖｔ 逐元比较，记 Ｄｔα＝Ｖｔ－ Ｖα，当 Ｄｔα 元素 ｄｔαｊ＝０ 时，即无错；当
ｄｔαｊ＝１ 时，即产生（１－ ＞０）的错误，其概率为 １－ ｐｊｍ（!）；当 ｄｊ＝－ １ 时，
计算机时代 ２００８ 年 第 ６ 期
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用规则空间模型和属性层次方法进行认知诊断＊
祝玉芳 １，邓丽萍 ２，周世科 １，丁树良 １ （１． 江西师范大学计算机信息工程学院，江西 南昌 ３３００２２；２． 江西赣江职业技术学院）
摘 要：认知诊断能区分分数相同的被试间的差异，它被视为新一代的心理与教育测量学研究的核心之一。规则空间模 型是最有影响的诊断模型之一，属性层次方法是其一种变体。文章介绍了规则空间模型（ＲＳＭ）和属性层次方法（ＡＨＭ）的 理论和应用，并对这两个模型进行了比较研究，用蒙特卡洛模拟比较了规则空间和属性层次方法的归类优劣。结果表明， 属性层次方法中的方法 Ａ 最好；规则空间的归准率比属性层次方法中的方法 Ｂ 高，但比方法 Ａ 低。 关键词：认知诊断；规则空间模型（ＲＳＭ）；属性层次方法（ＡＨＭ）；分类法；蒙特卡洛模拟
ｔ（#）＝
１ ｎ
ｐｊ（$）。
ｊ＝１
③ 计算异常反应模式指标（Ｃａｕｔｓｉｏｎ Ｉｎｄｅｘ）%，它反映实际
反应模式与理想反应模式间的差异。& 的计算方法如下：ｆ（ｘ）＝（Ｐ
（’）－ Ｘ）（Ｐ（(）－ Ｔ（)））＇，其中 Ｐ（*）＝（ｐ１（+），ｐ２（,），．．．，ｐｎ（-）），Ｘ 是被试的
项目反应向量。Ｔ（.）是项目答对概率的均值向量，即 Ｔ（/）＝［ｔ（0），
国内目前对 ＲＳＭ 的研究比较少。国外对 ＲＳＭ 的研究集中 在两个方面：一是模型的理论研究，主要对模型中的一些评价 指标及 ＲＳＭ 维度进行研究；二是模型在考试与评价实践中的 应用。关于属性层次方法的研究目前国内还没有。因为国内对 ＲＳＭ 和 ＡＨＭ 研究很少，可它们在认知诊断应用中又非常重 要，所以本文介绍 ＲＳＭ 和 ＡＨＭ 的理论及应用方法，以便应用 于实践中。本文首先介绍 ＲＳＭ；然后介绍 ＡＨＭ；接着比较了 ＲＳＭ 和 ＡＨＭ 的不同之处，并用蒙特卡洛模拟比较 ＲＳＭ 和 ＡＨＭ 的归类优劣；最后进行了总结和讨论。
化为可观察的理想项目反应模式，然后按如下的步骤进行判别
分类，诊断出被试的知识状态：
① 通过参数估计法求出每一组项目反应模式（包括理想和
观察的）对应的能力值 !，及每个项目的参数（如区分度 ａ、难度 ｂ
以及猜测度 ｃ）。
② 计算某种项目特征曲线的项目答对概率 ｐｊ（"）（ｊ＝１，２，．．．，ｎ）、
ｎ
! 被试的真分数
④ 将理想反应模式得到的 Ｒｉ＝（<Ｒｊ ，=Ｒｊ ）作为纯规则点，再计
算被试 ｉ 作答反应模式对应的规则点 Ｘｉ＝（>Ｘｊ ，?Ｘｊ ）与所有纯规则
点
Ｒｉ＝（@Ｒｊ
，AＲｊ
２
） 的 马 氏 距 离 ：Ｄ ｉｊ
＝（Ｘｉ－
Ｒｊ）＇ ∑ － １（Ｘｉ－
Ｒｊ）
（ｉ＝１，２，．．．，Ｎ；
ｊ＝１，２，．．．，ｋ）， 其 中 ∑ 是 变 量 BＲ ｊ 和 Ｆ （ＸＲ ｊ ） 的 协 方 差 阵 ∑ ＝
２ 属性层次模型（ＡＨＭ）
Ｌｅｉｇｈｔｏｎ 等人［８］指出，ＲＳＭ 没有强调认知属性的层级关系，
也没把该关系指定在邻接矩阵中。ＡＨＭ 在此基础上进行了改
进，同时他们也提出了两种分类方法。ＡＨＭ 把认知理论和心理
测量结合了起来，只要属性层级关系是正确的，就可以根据简
化 Ｑ 阵来编制测验项目。属性的层级关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是否符合被试观察的
反应模式，可以通过 ＨＣＩ 指标来检验［７，８］。
ＡＨＭ 诊断被试知识结构的具体过程如下：
① 确定待考察的属性、个数（假设有 ｋ 个）及其层级关系。
② 由层级关系得出 ｋ 阶邻接矩阵 Ａ 来表征属性间的直接
关系，进而得到可达阵 Ｒ 表征属性间直接或间接关系。
③ 构造 ｋ 行 ２ｋ－ １ 列矩阵 Ｑ（ｋ），即 Ｑ（ｋ）中包含所有的属性
组合（扣除不含任一属性的组合），把 Ｑ（ｋ）中不符合 Ｒ 中关系的
列去掉，求出简化关联矩阵 Ｑｒ。 ④ Ｑｒ 转置得到被试属性掌握模式矩阵 Ｅ，再得出期望项
目反应模式全集。这里的期望反应模式跟 Ｔａｔｓｕｏｋａ 的 ＲＳＭ 中
的理想反应模式是相似概念，不过 Ｌｅｉｇｈｔｏｎ 等人定义的更严
格，期望反应模式只含正确应用规则所得到的反应，不含自始
应模式中，即归类到最可能发生该类错误的模式中。下面用蒙 特卡洛模拟比较 ＲＳＭ 和 ＡＨＭ 的归类优劣。 ３．１ 实验方法
本文采用 ＡＨＭ 中 １６ 种理想反应模式［８］，并对其变体讨论 分类结果。对于每一种理想反应模式，得 １ 分的项目计算答对 概率为 Ｐ，将 Ｐ 最小的项目得分改为 ０ 可得一种理想模式的变 体；得 ０ 分的项目计算答错概率为 Ｑ，Ｑ 最小的项目得分改为 １ 又可得到一种新的变体；再把 Ｐ 最小的项目得分改为 ０，Ｑ 最小 的项目得分改为 １ 得到一种变体。除去与理想反应模式相同的 模式，得到的理想反应模式的变体称为“非理想反应模式”。本 研究把理想反应模式和非理想反应模式的正确归类个数作为 分类方法的优劣指标。 ３．２ ＡＨＭ 中参数估计的模拟方法