随机事件的概率与概率的意义分解
高二数学随机事件的概率知识精讲
高二数学随机事件的概率【本讲主要内容】随机事件的概率事件的定义、随机事件的概率、概率的性质、基本事件、等可能性事件、等可能性事件的概率【知识掌握】【知识点精析】1. 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
随机现象的两个特征⑴结果的随机性：即在相同的条件下做重复的试验时，如果试验的结果不止一个，则在试验前无法预料哪一种结果将发生。
⑵频率的稳定性：即大量重复试验时，任意结果（事件）A出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这一常数的偏差大的可能性越小。
这一常数就成为该事件的概率。
2. 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作()P A。
理解：需要区分“频率”和“概率”这两个概念：（1）频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的随机事件出现的可能性。
（2）概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。
大量重复试验时，任意结果（事件）A出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这一常数的偏差大的可能性越小。
这一常数就成为该事件的概率。
3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。
4. 概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。
5. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件。
例如：投掷硬币出现2种结果叫2个基本事件，通常试验中的某一事件A由几个基本事件组成（例如：投掷一枚骰子出现正面是3的倍数这一事件由“正面是3”、“正面是6”这两个基本事件组成）。
6. 等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件。
必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：
高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
随机事件与概率知识点
随机事件与概率知识点随机事件和概率是概率论中的基本概念，它们揭示了不确定性现象背后的规律性。
本文将介绍随机事件的定义及性质，以及概率的概念、性质和计算方法。
一、随机事件的定义随机事件是指在一定条件下，具有不确定性的事件。
简单来说，就是不知道会发生什么的事件。
一个事件发生与否，可以用0或1表示，其中0代表事件不发生，1代表事件发生。
这种不确定性使得我们需要运用概率论的知识来描述和研究。
对于一个随机试验，其样本空间为Ω，由所有可能出现的结果组成。
样本空间中的每一个元素称为一个样本点，记作ω。
而样本空间中的子集，称为事件。
简单来说，事件就是样本空间的一个子集，用来描述某些结果的集合。
二、随机事件的性质1. 必然事件和不可能事件：必然事件是指在所有可能的结果中，一定会发生的事件。
记作Ω，其对应的概率为1。
例如，在一次掷骰子的实验中，必然事件就是出现的点数在1至6之间。
不可能事件是指在所有可能的结果中，一定不会发生的事件。
记作∅，其对应的概率为0。
例如，在一次掷骰子的实验中，不可能事件就是出现的点数为7。
2. 事件的互斥与对立：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是互斥事件，因为在一次实验中，掷出奇数的点数和掷出偶数的点数不可能同时发生。
对立事件是指两个事件必定有一个发生，但不能同时发生的情况。
例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是对立事件。
三、概率的概念与性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。
1. 古典概型：古典概型是指所有样本点出现的概率相等的情况。
例如，在一次掷骰子的实验中，每个点数出现的概率都是1/6。
2. 几何概型：几何概型是指样本空间是一个有限的几何图形的情况。
例如，在一个正方形平面内随机选择一个点，那么点落在正方形的某个子区域中的概率就可以通过计算子区域面积与正方形面积的比值得到。
随机事件的概率、概率的意义 课件
题型一 事件的分类
例1 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件. (1)从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签； (2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大； (3)函数y＝logax(a＞0且a≠1)在其定义域内是增函数； (4)平行于同一直线的两条直线平行； (5)某同学竞选学生会主席成功.
典例 (1)某转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后， 指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方 案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符， 则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种： A.猜“是奇数”或“是偶数”； B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”. 请回答下列问题： ①如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
知识点二 概率与频率
1.频数与频率 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中_事__件__A_ 出现的次数nA 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nnA 为事件A出 现的频率.
2.概率 (1)含义：概率是度量随机事件发生的 可能性大小 的量. (2)与频率联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的 频率fn(A) 随着试验 次数的增加稳定于 概率P(A)，因此可以用 频率fn(A) 来估计 概率P(A).
知识点三 概率的意义 1.概率的正确理解 随机事件在一次试验中发生与否是 随机 的，但随机性中含有 规律性，认识了 这种随机性中的 规律性 ，就能比较准确地预测随机事件发生的 可能性 . 2.实际问题中的几个实例 (1)游戏的公平性 ①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权
随机事件的概率、概率的意义 课件
对事件分类的两个关键点 (1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言 的，没有条件，无法判断事件是否发生； (2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结 果包含的各种情况．
利用频率与概率的关系求概率
[典例] 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1
000 支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统
两面是不相同的
(2)某转盘被平均分成 10 等份(如图所示)，转 动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转 出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定 猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与 转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜 数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”； B．猜“是 4 的整数倍数”或“不是 4 的整数倍数”． 请回答下列问题： ①如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？ ②为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
计，统计结果如表所示：
分组
[500,900) [900,1 100) [1 100,1 300)
频数
48
121
208
频率
[1 300,1 500) [1 500,1 700) [1 700,1 900) [1 900，＋∞)
223
193
165
42
(1)求各组的频率； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足 1 500 小 时的概率．
2.频数与频率 (1)前提：对于给定的随机事件A，在相同的条件S下重复 n次试验，观察事件A是否出现． (2)频数：指的是n次试验中事件A出现的_次__数__n_A_.
nA 频率：指的是事件A出现的比例fn(A)＝_n__.
概率论中的随机事件及概率的定义及计算
概率论中的随机事件及概率的定义及计算在概率论中，随机事件是指一个结果是不确定的事件，例如掷骰子的结果、抽奖的结果、病人是否能成功治愈等。
通过对随机事件的概率进行计算，我们可以预测它们发生的可能性大小，从而对未来的结果进行预测和控制。
随机事件的概率定义在概率论中，随机事件的概率定义为该事件在所有可能结果中出现的比例。
例如，在掷一次骰子时，获得6面的概率为1/6，因为6面是6个可能结果中的一个。
概率的计算方法一般来说，概率的计算方法有两种：相对频率方法和古典概型方法。
1. 相对频率方法相对频率方法是指通过实验来计算概率。
具体来说，我们可以对随机事件进行多次实验，然后统计该事件发生的次数与实验总次数之比。
例如，如果我们想要计算投掷骰子获得6面的概率，我们可以对骰子进行大量实验，并记录6面出现的次数。
然后，我们可以计算该事件发生的次数与实验总次数之比，即得到6面出现的概率。
2. 古典概型方法古典概型方法是指对于已知的固定有限集合，每个结果的概率相等时，对随机事件进行计算。
例如，对于投掷一枚骰子的情况，我们可以通过以下公式计算获得特定面的概率：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)是事件E中有利结果的数量，n(S)是样本空间中的所有结果数。
概率的性质在概率论中，概率具有以下几个重要的性质：1. 非负性：概率是非负的，即概率不会小于零。
2. 正则性：所有可能事件的概率之和等于1。
3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
4. 乘法性：对于两个事件A和B，它们的联合概率等于它们各自的概率的积。
总结概率论是应用广泛的一门学科，在许多领域都有着重要的应用，例如统计学、经济学、金融学等。
随机事件及概率的定义和计算方法是概率论中最基础的概念，建立了整个概率论体系的基础。
了解概率论的基本概念和方法，可以帮助我们更好地理解和应用它们，在实际应用中更加准确地估计未来的结果和降低风险。
随机事件的概率及概率的意义
币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。你认为对吗？
不对
①.共有几种可能的结果？
三种
两正
1 4
两反
一正一反
1 4
1 2
②.每一种结果的概率是多少？
第1次
正 正 反 反
第2次
正 反 正 反
概率
1 4 1 4 1 4 1 4
③.至少一次正面朝上的概率是多少？
3
4
有4个等可能性事件
2.思考：
气象局预报说，明天本地降水概率为90%,你认为下面哪个解释正确？
y--隐性因子
子叶的颜色 种子的性状 茎的高度
第2代： YY, Yy, yY, yy
显性：黄色占
3 4
黄色：绿色=3：1
母本：
第1代：
第2代：
纯黄色的豌豆 YY 纯绿色的豌豆 yy
Yy
YY, Yy, yY, yy
显性：黄色占
3 4
黄色：绿色=3：1
3
问：第2代中任意一个豌豆是黄色的概率为_____
问题反馈
事件一：
事件二：
地球在一直运动吗？
人会死亡吗？
必然发生
必然事件
事件三：
事件四：
水 中 捞 月℃时，这里的雪会融化 吗？
不可能发生
不可能事件
事件五：
事件六：
中奖了…
科比能投中三分吗？
可能发生也可能不发生
随机事件
定义
随机事件： 必然事件：
在条件S下可能发生也可能不发生的事件 在条件S下必然要发生的事件
3.1随机事件的概率
初稿：赵志刚 赵所所 苏艳
学习目标
知识与技能目标：
了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进 一步认识随机现象，了解概率的意义。
随机事件与概率的基本概念
随机事件与概率的基本概念随机事件与概率是概率论中的两个基本概念，它们在统计学、经济学、数学等领域都有着广泛的应用。
随机事件是指在一次试验中可能发生也可能不发生的事件，而概率则是用来描述随机事件发生的可能性大小。
一、随机事件的定义和性质随机事件是对可能发生的结果进行描述的概念。
在概率论中，将随机事件用集合的形式来表示，常用大写字母A、B、C等来表示随机事件。
一个样本空间Ω包含了所有可能的结果，而一个随机事件A则是样本空间Ω的一个子集。
概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用P(A)来表示随机事件A发生的概率。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
当概率为1/2时，表示事件A的发生可能与不发生的可能相等。
随机事件与概率具有以下性质：1. 对于任意的随机事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 1；2. 必然事件的概率为1，即P(Ω) = 1；3. 不可能事件的概率为0，即P(∅) = 0；4. 若A和B是两个互不相容的事件，则P(A∪B) = P(A) + P(B)；5. 若A和B是两个相互独立的事件，则P(A∩B) = P(A) × P(B)。
二、概率的基本计算方法计算随机事件的概率是概率论的核心内容之一。
在计算概率时，可以通过直观法、频率法和几何法等不同的方法，具体选择方法取决于问题的特点。
1. 直观法直观法是一种根据直觉和经验来估计概率的方法。
当试验的样本空间不是很大且试验结果具有明显的规律性时，可以采用直观法来计算概率。
例如，投掷一个均匀的六面骰子，每个面的概率都是1/6。
2. 频率法频率法是一种通过大量试验来估计概率的方法。
当试验次数足够多时，通过观察事件发生的频次，可以估计事件发生的概率。
例如，抛掷硬币的结果为正面或反面，通过多次抛掷硬币来观察正面出现的频率，从而估计正面出现的概率。
3. 几何法几何法是一种通过几何模型来计算概率的方法。
当问题具有明显的几何特征时，可以利用几何模型来计算概率。
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例2 某射手在同一条件下进行射击，结 果如下表所示：
射击次数n
10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率 m 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
n
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概
优等品频率 m 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951 n
当抽查的球数很多时，抽到优等品的频 率m 接近于常数0.95，在它附近摆动。
n
随机事件及其概率
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽
发芽的频率m 接近于常数0.9，在它附近摆
动。
n
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一 事件A是否出现，称n 次试验中事件A出现的次 数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例 fn(A)=nA/n为事件A出现的频率。
3.1.1随机事件的概率
知识探究（一）：必然事件、不可能事件和 随机事件
思考1：考察下列事件： （1）导体通电时发热； （2）向上抛出的石头会下落； （3）在标准大气压下水温升高到100°C 会沸腾. 这些事件就其发生与否有什么
共同特点？
我们把上述事件叫做必然事件. 在条件S下，一定会发生的事件，叫做 相对于条件S的必然事件.
思考：事件A发生的频率fn(A)是不 是不变的？事件A发生的 概率P(A) 是不是不变的？
频率与概率的区别与联系
1、频率本身是随机的，在试验前 不能确定。做同样次数的重复试验 得到事件的频率会不同。
2、概率是一个确定的数，是客观 存在的，与每次试验无关。是用来 度量事件发生可能性大小的量。
3、频率是概率的近似值，随着试 验次数的增加，频率会越来越接近 概率。
7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
n5
n 50
n 500
nH
f
nH
51 0.502
3
0.6
在251 处波0动.50较大 249 2
0.498
1
0.2 21 0.42 256 0.512
5 1
在随11n处.0的波增动大2较5, 频小率0.f50呈现出24稳7 定0性.494 20.2 24 0.48 251 0.502
思考2：考察下列事件： （1）在没有水分的真空中种子发芽； （2）在常温常压下钢铁融化； （3）服用一种药物使人永远年轻.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
我们把上述事件叫做不可能事件.
在条件S下，一定不会发生的事件，叫 做相对于条件S的不可能事件
思考3：考察下列事件： （1）某人射击一次命中目标； （2）马林能夺取北京奥运会男子乒乓球 单打冠军； （3）抛掷一个骰字出现的点数为偶数.
思考：频率的取值范围是什么？ [0，1]
必然事件出现的频率为1，不可能事件 出现的频率为0。
对于给定的随机事件A，如果随着试验 次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定 在某个常数上，把这个常数记做P（A）， 称为事件A的概率，简称为A的概率。
思考：概率的取值范围是什么？ [0，1]
频率与概率的区别与联系
问题一：现在有10件相同的产
品，其中8件是正品，2件是次品。 我们要在其中任意抽出3件。那么， 我们可能会抽到怎样的样本?
可能： A、三件正品 B、 二正一次 C、 一正二次
（随机事件）
我们再仔细观察这三种可能情况，还能得到 一些什么发现、结论？
问题一：现在有10件相同的产
品，其中8件是正品，2件是次品。 我们要在其中任意抽出3件。那么， 我们可能会抽到怎样的样本?
2
0.4 18 0.36 波26动2 最0小.524
4
0.8 27 0.54 258 0.516
掷硬币试验 随机事件及其概率
历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验， 结果如下表 ：
抛掷次数
（m）
正面向上次数
（频数n ）
频率（m ） n
发2现04：8 当抛掷硬1币061的次数很多0.5时181，
出现正40面40的频率值是204稳8 定的，接0.近506于9
3、不可能事件
在条件S下一定不会发生的事件，叫做相 对于条件S的不可能事件，简称不可能事件。
4、确定事件
必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的
确定事件，简称确定事件。
确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A、 B、C……表示。
掷硬币试验 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
我们把上述事件叫做随机事件。
在条件S下，可能发生也可能不发生的 事件，叫做相对于条件S的随机事件.
知识探究(二）：事件A发生的频率与概 率
物体的大小常用质量、体积等来 度量，学习水平的高低常用考试分数 来衡量.对于随机事件，它发生的可能 性有多大，我们也希望用一个数量来 反映.
理论迁移 例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪 些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）如果a＞b，那么a一b＞0； （2）在标准大气压下且温度低于0°C时， 冰融化； （3）从分别标有数字l，2，3，4，5的5 张标签中任取一张，得到4号签; （4）某电话机在1分钟内收到2次呼叫； 〈5）手电筒的的电池没电，灯泡发亮；
可能： A、三件正品
B、 二正一次 （随机事件）
C、 一正二次
结论1：必然有一件正品
（确定事件）
结论2：不可能抽到三件次品
相关概念
1、随机事件
在条件S下可能发生也可能不发生的事件， 叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。
2、必然事件
在条件S下一定会发生的事件，叫做相对 于条件S的必然事件，简称必然事件。
常数01.250，00 在它左右6摆019动． 0.5016
24000
12012
05005
30000
14984
0.4996
72088
36124
0.5011
随机事件及其概率
又如：某批乒乓球产品质量检查结果表：
抽取球数 m 50 100 200 500 1000 2000
n 优等品数
45 92 194 470 954 1902
率约是多少？
0.90
练习
1．下列事件中，属于随机事件的是 （ ）．
A．物体在重力的作用下自由下落 B．x为实数，x2<0 C．在某一天内电话收到呼叫次数为0 D．今天下雨或不下雨