代数结构与初等数论2014下试卷A
2014级线代试题及解答
线性代数期末试题一、填空题 （每小题3分，共15分）1．设3阶矩阵A 与B 相似，且B 的特征值为1,2,2，则14A E --=2．若四阶行列式的第1行元素依次为1,0,2,,a - 第3行元素的余子式依次为5,6,4,1,-则a =_________3．若向量组1(,1,1,1)T αλ=，2(1,,1,1)T αλ=，3(1,1,,1)T αλ=，4(1,1,1,)T αλ=，其秩为3，则 λ=4．设方阵A 满足方程2(0),A bA cE O c ++=≠ E 为单位矩阵，则=-1A5. 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A 和B 都是n 阶方阵, 下列正确的是( )（A ） 222()2A B A AB B +=++ （B ）111()A B A B ---+=+（C ）若0AB =, 则0A =或0B = （D ）()T T T AB A B =2．设,,A B C 均为n 阶方阵，且AB BC CA E ===. 则222A B C ++=（ ）（A ） 3E （B ） 2E （C ） E （D ） 03．设βααα,,,321均为n 维向量，又βαα,,21线性相关，βαα,,32线性无关，则下列正确的是（ ）（A ）321,,ααα线性相关 （B ）321,,ααα线性无关 （C ）1α可由βαα,,32线性表示 （D ）β可由21,αα线性表示4．设A 和B 都是n 阶非零方阵, 且0AB =, 则A 的秩必( )（A ）等于n （B ）小于n （C ）大于n （D ）不能确定5．设n 阶矩阵A 的伴随阵为12340,,,,A ηηηη*≠是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解向量, 则0Ax = 的基础解系向量个数为 ( )（A ）不确定 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个三、（10分） 已知2AB A B =+， 其中110011101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求B 四、（12分）设向量组1(2,1,4,3)T α=，2(1,1,6,6)T α=--，3(1,2,2,9)T α=---，4(1,1,2,7)T α=-，5(2,4,4,9)T α=. 求该向量组的最大无关组向量，并把其余向量用最大无关组向量线性表示.五、（13分）设矩阵433231213A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1.求A 的特征值与特征向量；2. 判断A 是否可以对角化，并说明理由.六、（15分）讨论λ取何值时, 线性方程组1231232123244x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩1.有惟一解；2. 无解；3.有无穷多个解, 并求其通解.七、（10分）设123,,ααα均为三维列向量，矩阵123(,,)A ααα=，且1A =. 若123123123(,23,34)B ααααααααα=++++++ ，计算B .八、（10分）设0ξ是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r -ξξξ 是对应的齐次线性方程组的基础解系. 证明： 向量001010,,,n r n r --==+=+ηξηξξηξξ是非齐次线性方程组Ax b =线性无关的解向量.线性代数 解答一、填空题1. 3 ;2. -3 ; 3 -3 ; 4. A bEc+-; 5. 2 二、单项选择题1. C;2. A;3. C;4. B;5. D三、(2)A E B A += ⇒ 1(2)B A E A -=+～100011010101001110⎛-⎫ ⎪ - ⎪⎪ -⎭⎝011101110B ⎛-⎫⎪=- ⎪⎪-⎭⎝四、 ()1234521112101041121401103,,,,,46224000133697900000A ααααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即124,,ααα为一个极大无关组. 312,ααα=-- 5124433.αααα=+-五、2433231(2)(4)0,213A E λλλλλλ----=--=--=-A 的特征值1234, 2.λλλ===由0331014211011,211000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 基础解系为111,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ得对应1λ=0的全部特征向量为111111,(0)1k k k ⎛⎫⎪=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭ξ由2331002211011,211000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基础解系为201,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ对应232λλ==的全部特征向量为222,(0)k k ≠ξ；2.不能对角化。
14数论历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案
1981年~2019年全国高中数学联赛二试试题分类汇编数论部分2019A 5、在1,2,3,,10中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10----中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为 ．◆答案：37100★解析：首先数组(),a b 有1010100⨯= 种等概率的选法． 考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．①若a 被 3 整除，则b 也被 3 整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(),a b 有339⨯=组．若a 不被 3 整除，则()21mod3a ≡，从而()1mod3b ≡-．此时a 有7 种选法，b 有4种选法，这样的(),a b 有7428⨯=组． 因此92837N =+=．于是所求概率为37100。
2019A 三、（本题满分 50 分）设m 为整数，2m ≥．整数数列12,,a a 满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n ，均有21n n n a a ma ++=-．证明：若存在整数,r s , (2r s >≥ )使得1r s a a a ==，则r s m -≥．★解析：证明：不妨设12,a a 互素（否则，若()12,1a a d =>，则12,1a a d d ⎛⎫=⎪⎝⎭互素，并且用12,,a a d d代替12,,a a ，条件与结论均不改变）．由数列递推关系知()234mod a a a m ≡≡≡． ①以下证明：对任意整数3n ≥，有()()2123mod n a a a n a m m ≡-+-⎡⎤⎣⎦． ② ………10 分 事实上，当3n =时②显然成立．假设n k =时②成立（其中k 为某个大于2的整数），注意到①，有()212mod k ma ma m -≡，结合归纳假设知()()()21122221232mod k k k a a ma a k a m ma a a k a m +-≡-≡+--=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即1n k =+时②也成立．因此②对任意整数3n ≥均成立． ………………20 分注意，当12a a =时，②对2n =也成立． 设整数,r s , (2r s >≥ )，满足1r s a a a ==． 若12a a =，由②对2n ≥均成立，可知()()()221221233mod r s a a r a m a a a a s a m m -+-≡≡≡-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即()()()121233mod a r a a s a m +-≡+-，即 ()()20mod r s a m -≡． ③ 若12a a ≠，则12r s a a a a ==≠故3r s >≥．此时由于②对3n ≥均成立， 故类似可知③仍成立． ………………30 分 我们证明2,a m 互素．事实上，假如2a 与m 存在一个公共素因子p ，则由①得p 为23,,a a 的公因子，而12,a a 互素，故/|p 1a ，这与1r s a a a ==矛盾．因此，由③得()0mod r s m -≡．又r s >，所以r s m -≥． ………………50分2018A 四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 与∑=ni ia1互素，且不等于n a a a ,.,,21 的最小正整数，证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现。
《初等代数研究》试卷(A)和试卷(B)
铜仁学院2008级数学本科班 《初等代数研究》期末考试卷（A ）一，填空题：每题4分，共40分1、已知实数y x ,满足1≤+≤22y x 4，则22y xy x u ++=的最大值是2、方程22)6(117236-=-+-x x x 的解是3、函数的值域是x x y -+=14、设=+=++141421,01xx x x 则5、设=⨯=+=+n n n n a a a a 则通项,23,0116、方程 012sin 22=+-xx x π的所有实数根是7,的值域是则是实数已知2222,3,,y xy x z y xy x y x +-==++8,已知数列{n a }的前n 项之和n S 满足11log 2+=+n S n ,则通项n a =9，若恒成立，则是正数，且y x a y x y x a +≤+,,的最小值为a10,若且R p ∈p x x p x p +>++<2222log 21log log ,2）不等式（恒成立，则实数x 的取值范围是二、解答题（每题10分，共70分 ）班级________________ 姓 名1，设,,+∈N b a 证明：2在a b 与ba b a ++2之间。
2，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+x y xy x x 100lg8lg 268)(lg 42解方程组3，已知.2,,=++∈+c b a R c b a 且（1） 求证：;964)2(≤-a a （2） 求S=的最大值。
333222c b a c b a ---++4考虑以下数列｛n a ｝,*∈N n(1) n a =1ln)3(;12)2(;12+=+=++n n a n a n n n n . 其中满足性质“对任意的正整数都成立122,++≤+n nn a a a n ”的数列有_____（写出所有满足条件的序号）；若数列｛n a ｝满足上述性质，且,11=a ,5820=a 求10a 的最小值5已知()()().111,,,,2≤≤≤-+=++=x f x b ax x g c bx ax x f c b a 时，当是实数，函数（1），证明：当1≤c（2），证明：当.2)(11≤≤≤-x g x 时，（3），当).(2)(11,0x f x g x a ，求的最大值为时，≤≤-> 、6，已知函数[]且同时满足，的定义域为,10)(x f ①，对任意[];2)(1,0≥∈x f x 总有 ②，;3)1(=f③，若2)()()(1.0,021212121-+=+≤+≥≥x f x f x x f x x x x ，则有且 （1），求的值；)0(f （2），试求的最大值；)(x f（3），设数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，满足,11=a n S +∈--=N n a n ),3(21。
(24)--13-14学年高等代数(II)试卷及参考答案
得分 五、(10 分) 设 V 是数域 Ω 上的 n 维向量空间, σ 是 V 上线性变换. 证明: 存
在 V 上线性变换 τ , 使得 kerσ = τ (V ), kerτ = σ(V ).
第 5 页 (共 6 页)来自得分 六、(10 分) 设 A1, A2, . . . , Ak 均为 n 阶实对称矩阵, 并且对任意的 i, j 均有
¯ Ý:˦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
(σ + τ )(u)v = u(σ − τ )(v),
(1)
(σ + 2τ )(u)v = uσ(v).
Ý ¦ ÈÙ Þ (2) − (1)
u, v ∈ V ,
τ (u)v = uτ (v).
À τ Ï ©¦». Á Ý (1) ¸ (3) ¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
b
a + 3b
0
1
下对应的矩阵为
.
5. 设 V 是数域 Ω 上的有限维向量空间, 若 V 上线性变换 σ 的特征多项式
为 f (λ) = nk=1(λ − k)k, 则 dim ker(σ − k∗)k =
, 其中 k = 1, 2, . . . , n.
6. 设 V 是 2014 维欧氏空间, 若 V 上线性变换 σ 既是正交变换, 又是反对称
变换, 则 σ 的特征多项式为
.
7. 设 1, 2 都是 30 阶方阵 A 的特征根, 1 的代数重数为 29, 几何重数为 27,
则满足此条件且互不相似的 A 的总个数为
.
第 1 页 (共 6 页)
得分 二、(15 分) 设 A, B 均是 n 阶实对称矩阵. 证明: A, B 都是半正定矩阵, 当且
《初等数论》期末考试A卷（闭卷）
五、
六、显然 m 是公倍数 假设不是最小 则设最小公倍数是 p 且 m=kp k>1 设 p/a1=q1 p/a2=q2
…… pn/an=qn 则 m/a1=kq1 m/a2=kq2 ……
mn/an=kqn 这样则 m/a1,m/a2,……,m/an 不是互素，因为有大于 1 的公倍数 k 和已知条件矛盾 所以假设错误 所以 m 是最小公倍数
一、填空
《初等数论》期末考试 A 卷（闭卷）
1、8
2、完全
3、0,1,2,3,4,5,6
4、28
5、
6、28 7、33 个 8、x=2mn
y=m^2-n^2 z=m^2+n^2 二、
三、 (1) a=3k(k∈Z)时， a^2+a=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(a+1)=3k(3k+1). 3|(a^2+a), ∴a^2+a≡0(mod3). (2) a=3k+1(k∈Z)时,
a^2+a+1=3(3k^2+3k+1). 3|(a^2+a+1), ∴a^2+a+1≡0(mod3). (3) a=3k+2(k∈Z)时,
2014年10月04184自学考试线性代数精彩试题(卷)与问题详解
将其单位化，得 ......7分
令 ,则 为正交矩阵，
经正交变换 ，化二次型为标准形 ......9分
4、证明题（本题7分）
23.证 由于向量组 线性相关，故存在不全为零的常数 ，使得
......2分
其中必有 。否则，如果 ，则上式化为
其中 不全为零，由此推出 线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分
类似地，可证明 ........7分
19.设向量
,试确定当 取何值时 能由 线性表出，并写出表示式。
20.求线性方程组 的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。
21.设矩阵 与对角矩阵 相似，求数 与可逆矩阵 ，使得 。
22.用正交变换将二次型 化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。
四、证明题（本题7分）
23.设向量组 线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数 使得 。
3.设向量组 的秩为2，则 中 【 】
A.必有一个零向量
B.B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4.设3阶矩阵 ,则下列向量中是 的属于特征值 的特征向量为 【 】
A. B. C. D.
5.二次型 的正惯性指数为 【 】
A.0 B.1 C.2 D.3
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式 =2，若元素 的代数余子公式为 （i,j=1,2,3)，则 【 】
A. B.0 C.1 D.2
2.设 为3阶矩阵，将 的第3行乘以 得到单位矩阵 ，
初等数论习题与答案、及测试卷
初等数论习题与答案、及测试卷1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证：)12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n从而可知12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数）b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax ba +∴故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b q a bs a t q s 2 ,2-=-==，则有22220b t b q b q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 2 1,21+-=-=+=，则有21212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 01,21++=-=+-=则同样有 2b t ≤综上存在性得证下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b 为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+?=+=?2,2,222211b t b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1）令S=n14131211+++++，取M=p k 75321-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
2014线性代数A卷答案
20142学期《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、选择题(每题2分，共计20分)1-5 D C C A C 6-10 C A A A C二、填空题(每题2分，共计20分)1、-122、1或33、10123321015432176543---⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪⎝⎭4、1815、28a6、11121321111222231331323322()2a a a a a a a a a aa a -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭7、R （A ）=R （A ，b ）或线性方程组系数矩阵的秩与线性方程组增广矩阵的秩相等。
8、21,αα3,α 9、无 10、16三、证明题(每题10分，共计20分)1、证明：线性方程组的系数矩阵为A=1100011000111001-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 线性方程组的增广矩阵为12341100011000111001a a A a a -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 又线性方程组有解的充分必要条件为R （A ）=R （A ）， （2分）12341100011000111001a a a a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭~12314110001100011011a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+⎝⎭~123214110001100011011a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-++⎝⎭~12332141100011000110a a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪+++⎝⎭（4分）∴3214a a a a +++=0 （2分） 证毕。
2、证明：假设存在一组数12,r k k k ，使得02211=+++r r k k k βββ 成立， （2分）即++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010011011121 r k k k ，因为01100110111≠= ,(6分） 故方程组只有零解，即当且仅当021====r k k k ，故r βββ,,,21 线性无关. （2分）四、计算题（共计40分）1、解：将第2，3…n 列都加到第一列得：(3分)()()()()1111a n bb b b a n b a bb a n b b a b a n b bba+-+-+-+-D =[]11(1)1b b b a b b a n b b a b =+-(4分)(1分)2、解：由 B AX X +=2，得 B X A E =-)2(. 因为032110111|2|≠=--=-A E ，所以矩阵A E -2可逆， (2分) B A E A E B A E X |2|*)2()2(1--=-=- 求出1(2)E A --得(4分)或者(2)E A E -=110100101010102001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭~1((2))E E A --=10002/31/301012/31/300101/31/3⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭,即1(2)E A --=02/31/312/31/301/31/3⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ X = 02112211321303330110311--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2分) 3、解：非齐次线性方程组的增广矩阵为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==b a A B 1223131121β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---225050501121~b a []10011101201j c bc a b a (n )b a b j ,,nab--======+--=-[]1(1)().n a n b a b -=+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---320010101121~b a (2分) 所以（1）当3,2-≠-=b a 时，()()B R A R ≠，非齐次线性方程组无解； (2分)（2）当2-≠a 时，()()3==B R A R ，非齐次线性方程组有唯一解； (2分)（3）当3,2-=-=b a 时，()()3<=B R A R ，非齐次线性方程组有无穷多解，(2分)当3,2-=-=b a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000010101101~000010101121~B =R (4分) 矩阵R 对应的线性方程组为1321,1.x x x -=⎧⎪=-⎨⎪⎩把3x 看成自由未知数，取3x =k,k 为任意实数得1231,1.x k x x k=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，其通解为123111*********x k k x x k x k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中k 为任意实数.） 4、解 (1) A 的特征多项式为|A -λE|=λλλ---111011002=(1-λ)2(2-λ)所以A 的特征值为λ1=2, λ2=λ3=1. (4分)当λ1=2时,解线性方程组(A-2E)x =0.由A-2E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111011000∽⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00021102101得基础解系x 1=(1/2，1/2，1)T所以对应于λ1=2的所有特征向量为k 1 x 1 （k 1≠0）当λ2=λ 3 =1时,解线性方程组(A-E)x =0.由 (4分)A- E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011001001∽⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001得基础解系x 2=(0，0，1)T所以对应于λ2=λ 3 =1的所有特征向量为k 2 x 2 （k 2≠0） (4分)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4、设 G 是非零实数集合，在 G 上定义的运算为数的普通乘法。请指出下述映射 f ( x) 哪 些是 G 到 G 的同态映射，并给出其同态核 ker( f )。 （6 分，每小题 1 分） (1) f ( x) x (2) f ( x) 2 x (3) f ( x) x 2 (4) f ( x) x (5) f ( x) x 1 (6) f ( x)
8 设 R 是实数集，“”是数值间的小于等于关系，S={xR|0 x 1}，于是， 〈S，〉是一个格。 （ ） 9 设〈L，〉 是任意一个有限格，于是，L 的任意非空子集 S 都有一个最大下界和最小上界。 （ ） 10 设〈L，〉是一个有余格，于是，L 中的每一个元素恰有一个余元素。 得 分 （ ）
（第 1 页 共 4 页）
得 分
二、填空题（共 20 分，每个空格 1 分）
1、 设 S 是非空有限集， 代数系统 ( S ), , 中， 关于运算 的幺元为 ,零元为 。 2、当有限群的阶为 时，它无非平凡子群。 3、设 Z 是整数集，则循环群<Z, +>的生成元为 和 ，周期均为 。 4、无限循环群共有 个生成元，若一个生成元为 a , 则另一个为 。 5、任何质数阶的群必是 群，并且其子群必是 。 6、设 R 是一个环，若 R 除自己和(0)外没有别的理想，则 R 称为 环。 7、设 H 是群 G 的子群，a，bG。于是，任意两个左陪集 aH 和 bH 或者 ，或者 。 8、若 R 是一个环，则 R 对它的乘法不可能作成一个群。因为 。 9、设〈L，，〉是一个代数格，于是，运算和满足结合律、 和 。 10、设〈L，〉是有界格，a，bL，若 a 和 b 互为余元素，则有 ab= 和 ab= 。 11、循环群 Z3 , 3 的生成元为 得 分 和 。
5
2 。 3
3、设 f ( x) 1 2 x 2x 2 x 4 2 x5 和 g ( x) 1 x 2 为域 R3 {0,1,2} 上的多项式。试列出
f ( x) 被 g ( x) 除的竖式并给出商式 q( x) 和余式 r ( x) 。 （4 分）
（第 3 页 共 4 页）
3、设偏序格〈L，〉与代数格〈L，，〉等价。试证明：对任意 a, b, c L ，若 b c 则
a b a 。 c
4、求证：在格 L, , 中，若 a b c a b a c, 则
a b c a b 8 (mod11) （4 分） 根据
（第 2 页 共 4 页）
2、设 Q 为有理数集，在 Q 上定义运算 为： a b a b ab ，其中， “+”和“-”为普通 数的加、减运算。请回答以下问题（6 分，每小题 2 分） ： (1) 求代数系统 Q, 中的幺元 e Q ，即对任意 x Q ，满足 e x x e x 的 e 。 (2) 求 Q, 中元素 a 的逆元（若存在） ，即满足 a b b a e （幺元）的 b 。 (3) 试计算 2 (3);
……………………………………………………………装…………………… 订……………………线…………………………………………………………………
： 制卷人签名： 制卷日期： 审核人签名： 审核日期： …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
（第 4 页 共 4 页）
湘潭大学 20
（A 卷）
适用年级专业 考试方式闭卷
年
学期级
《代数结构与初等数论》试卷
考试时间 120 分钟
班级
学院
信息工程学院 学号
专业 计算机科学与技术 姓名
题 号 得 分
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
阅卷 教师
………………………………………………………………………………………………………………
得 分
一、单项选择题（共 20 分，每小题 2 分）
三、判断题（共 20 分，每小题 2 分。你认为正确的请在题后的 括号内打“√” ，否则打“×” ）
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
1. 若 a 和 b 互质，而 a | bc ，则必有 a | c 。 2. 若 b 和 a1 , a2 ,, an 都互质，则 b 和 a1a2 an 不一定互质。 3 5 6 7 设a 、 b 、 c 是整数，且 ac bc(modm) ，于是， a b(modm) 域必是整环，但整环不一定是域。 无限循环群的所有子群都是无限循环群。 设 H 是 G 的正规子群，于是，对任意的 aG，hH，有 ah=ha 成立。 4. 设a 、 b 、 c 是整数。若 c 0 且 ac bc(modmc) ，则 a b(mod m)
1 x
得 分
五、 证明题（共 20 分，每小题 5 分）
1、设 N 为自然数集合， A {n n N , 且6 n, 24 n2} 。试证明集合 A 关于整数的加法运 算“+”是封闭的。
2、设 H 是群 G 的子群，令 K {x x G, xHx 1 H } 。试证：K 是 G 的子群。
1、设 a , b 都是整数。于是，若 a | b, 且b | a, 则（ ） 。 A a b； B． a b ； C． a b ； D． a b 。 2、质数 p 和整数 a( 1) 互质当且仅当（ ） 。 | a。 A a p； B． p a ； C． a p ； D． p 3、6 阶群的子群不可能是（ ）群。 A 2 阶； B．5 阶； C．3 阶； D．6 阶。 4、下列运算中在自然数集合 N 上可结合的是（ ） A a b max{a, b} ； B． a b a 2b ； C． a b a b ； D． a b a b 。 5、设 Q 为有理数集，在 Q 上定义运算*为 a b ab a b 。于是，<Q, *>的幺元是（ ） 。 A a； B．0； C． b ； D．1。 6、设 H 和 K 都是 G 的子群。于是， （ ）也是 G 的子群。 A．HK； B． H K ； C．H-K D. H K 。 7、设 G 是非空有限集合，若定义在 G 上的乘法运算是封闭的且满足结合律和消去律， 则 G（ ） 。 A．不一定是群； B．一定不是群； C．一定是群。 8、对于任意一个环 R，在 R 中（ ） 。 A．有零元并且有幺元； B．有零元但不一定有幺元； C．有零元无幺元； 9、设 S={1,2…,100}，x, y S，下面定义的运算关于集合 S 封闭的是（ ） 。 A．xy=x+y； B．xy=x 除 y 的余数； C．xy=max{x, y}； D. xy=x,y 的最小公倍数。 10、设〈L，〉和〈L，，〉是两个等价的格，x，yL。于是 xy=y 当且仅当 xy=x 当且仅当（ ） 。 A．xy； B．x<y； C．y< x； D. yx。