北师大版九年级数学下册_第二章_二次函数_单元检测试题 (2)

北师大版九年级数学下册_第二章_二次函数_单元检测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列函数是二次函数的是（ ）A ．21y x =+B ．y 2x 1=-+C ．2y x 2=+D ．1y x 22=- 2．抛物线2-2(3)5y x =++的顶点坐标是( )A ．(3，5)B ．(-3，-5)C ．(-3，5)D ．(3，-5) 3．二次函数2y x 的图象是（ ） A ．线段 B ．直线 C ．抛物线 D ．双曲线 4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，点P （a+b ，ac ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．二次函数y ＝2x 2﹣8x +m 满足以下条件：当﹣2＜x ＜﹣1时，它的图象位于x 轴的下方；当6＜x ＜7时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（ ）A ．8B ．﹣10C ．﹣42D ．﹣246．将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ） A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+- 7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝﹣2，与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示则下列结论：①4a ﹣b ＝0；②c ＜0；③c ＞3a ；④4a ﹣2b ＞at 2+bt （t 为实数）；⑤点（﹣72，y 1），（﹣52，y 2），（312,y ）是该抛物线上的点，则y 2＜y 1＜y 3，其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点,c P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭所在的象限是（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四9．对于任意实数t ，抛物线y=x 2+(2-t)x+t 总经过一个固定的点，这个点是（ ） A ．（1，0） B ．（-1，0） C ．（-1，3） D ．（1，3）10．二次函数2y ax bx c =++与一次函数y ax c =+的图象大致可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．将抛物线2y 2(x 1)3=-+向右平移2个单位后，得到的新抛物线解析式是________．12．已知抛物线221y x bx c =-+++经过点()1,1，当该抛物线顶点的纵坐标的值最小时，b =________，c =________．13．当0≤x ≤2时，二次函数y =x 2−2mx +m 2+2m 有最小值为3，则m 的值为________．14．经过()0,2A -，()1,0B ，()2,0C 点的抛物线解析式是________．15．二次函数y ＝a x 2的图象过（2，1），则二次函数的表达式为____________.16．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列结论：①0abc >；②a b =；③44a c =-；④方程21ax bx c ++=有两个相等的实数根，其中正确的结论是________．（只填序号即可）．17．设函数()()2145y x k x k =-+-+的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1:4，则k =________．18．如图所示，有一根长60cm 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积()2S cm 与它的一边长()x cm 之间的函数关系式________．19．如图，用长为20米的篱笆()20AB BC CD ++=，一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，围成的花圃面积为y 米2，则y 关于x 的函数关系式是________．三、解答题20．丁丁推铅球的出手高度为1.6m ，在如图所示的直角坐标系中，求铅球的落点与丁丁的距离．21．对于二次函数23(2)y x =-+．()1它的图象与二次函数23y x =-的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？()2当x 取哪些值时，y 的值随x 的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 的增大而减小？22．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线()240y ax ax c a =++≠经过()0,4A ，()3,1B -，顶点为C ．()1求该抛物线的表达方式及点C 的坐标；()2将()1中求得的抛物线沿y 轴向上平移(0)m m >个单位，所得新抛物线与y 轴的交点记为点D ．当ACD 时等腰三角形时，求点D 的坐标；()3若点P 在()1中求得的抛物线的对称轴上，联结PO ，将线段PO 绕点P 逆时针转90得到线段'PO ，若点'O 恰好落在()1中求得的抛物线上，求点P 的坐标． 23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？24．如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在线段BC 上，且PE PB =．()1求证：①PE PD =；②PE PD ⊥；()2设AP x =，PBE 的面积为y ．①求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与坐标轴分别交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD x ⊥轴于点C ，交抛物线于点E ．()1求抛物线的解析式．()2求ABE 面积的最大值．()3连接BE ，是否存在点D ，使得DBE 和DAC 相似？若存在，求出点D 坐标；若不存在，说明理由．26．今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图是y 与x 的函数关系图象．（1）求y 与x 的函数解析式（也称关系式），请直接写出x 的取值范围；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值．参考答案1．C【解析】根据二次函数的定义，形如2y ax bx c =++（其中a ，b ，c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是2y x 2=+．故选C ．2．C【解析】【分析】由题意根据二次函数y=a （x-h ）2+k （a ≠0）的顶点坐标是（h ，k ），求出顶点坐标即可．【详解】解：∵2-2(3)5y x =++； ∴顶点坐标为：（-3，5）．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质和二次函数的顶点式．熟悉二次函数的顶点式方程y=a （x-h ）2+k 中的h 、k 所表示的意义是解决问题的关键．3．C【分析】根据二次函数的图像是抛物线进行解答即可.【详解】解:∵2y x =是二次函数，∴2y x =的图象是抛物线，故选C.【点睛】本题考查函数图像，掌握二次函数的图像是抛物线是本题的解题关键.4．D【详解】试题解析：∵抛物线的开口向上，∴0a >；又对称轴0.2b x a=-< ∴a b 、同号，即0b >．∴0a b +>．该抛物线与y 轴交于负半轴，∴0c <，0ac ∴<，∴点()P a b ac +，位于第四象限．故选D ．5．D【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x 2=，通过顶点坐标位置特征求出m 的范围，将A 选项剔除后，将B 、C 、D 选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．【详解】抛物线22y 2x 8x m 2(x 2)8m =-+=--+的对称轴为直线x 2=，而抛物线在2x 1-<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当6x 7<<时，它的图象位于x 轴的上方， m 0∴<，当m 10=-时，则2y 2x 8x 10=--，令y 0=，则22x 8x 100--=，解得1x 1=-，2x 5=，则有当2x 1-<<-时，它的图象位于x 轴的上方；当m 42=-时，则2y 2x 8x 42=--，令y 0=，则22x 8x 420--=，解得1x 3=-，2x 7=，则有当6x 7<<时，它的图象位于x 轴的下方；当m 24=-时，则2y 2x 8x 24=--，令y 0=，则22x 8x 240--=，解得1x 2=-，2x 6=，则有当2x 1-<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当6x 7<<时，它的图象位于x 轴的上方；故选D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数2y ax bx c(a,=++b ，c 是常数，a 0)≠与x 轴的交点坐标，令y 0=，即2ax bx c 0++=，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标2.b 4ac =-决定抛物线与x 轴的交点个数：2b 4ac 0=->时，抛物线与x 轴有2个交点；2b 4ac 0=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；2b 4ac 0=-<时，抛物线与x 轴没有交点．6．D【解析】略7．C【解析】【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x 轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由x ＝﹣1时y ＞0可判断③，由x ＝﹣2时函数取得最大值可判断④；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x ＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．【详解】∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2，∴4a ﹣b ＝0，所以①正确；∵与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，即c ＜0，故②正确；∵由②知，x ＝﹣1时y ＞0，且b ＝4a ，即a ﹣b +c ＝a ﹣4a +c ＝﹣3a +c ＞0，所以③正确；由函数图象知当x ＝﹣2时，函数取得最大值，∴4a ﹣2b +c ≥at 2+bt +c ，即4a ﹣2b ≥at 2+bt （t 为实数），故④错误；∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x ＝﹣2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，∴y 2＞y 1＞y 3，故⑤错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．8．D【解析】【分析】根据函数图象可得各系数的关系：0a >，0b <，0c >，则点,c P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭所在的象限即可判定．【详解】解：由函数图象可得各系数的关系：0a >，0b <，0c >，则0a >，0c b <， 因此,c P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第四象限． 故选D ．【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数a 决定抛物线的开口方向，,a b 共同决定了对称轴的位置，常数项c 决定了抛物线与y 轴的交点位置.判断出0a >，0b <，0c >，即可求出点,c P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭所在的象限． 9．D【解析】【分析】先把二次函数的解析式变形得到关于t 的不定方程得（1-x ）t=y-x 2-2x ，由于t 有无数个值，所以1-x=0且y-x 2-2x=0，然后求出x 与y 即可得到固定的点的坐标．【详解】把y=x 2+（2-t ）x+t 变形得到（1-x ）t=y-x 2-2x ，∵对于任何的实数t ，抛物线y=x 2+（2-t ）x+t 总经过一个固定的点，∴1-x=0且y-x 2-2x=0，∴x=1，y=3，即这个固定的点的坐标为（1，3），故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．10．C【分析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点以及一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象，分别判断即可．【详解】解：A 、当a ＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A 选项错误； B 、当a ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故B 选项错误； C 、当a ＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，且两个函数图象交于y 轴上的同一点，故C 选项正确；D 、∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故D 选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．11．22(3)3y x =-+【分析】抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题．【详解】解：抛物线y=2（x-1）2+3的顶点坐标是（1，3），将其向右平移2个单位后的顶点坐标为（3，3），故平移后得到的新抛物线解析式是：y=2（x-3）2+3．故答案是：y=2（x-3）2+3．【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．12．1 -1【分析】根据二次函数的增减性，求出b 、c 的值即可．【详解】解：∵a=-1，∴抛物线开口向下，∴（1，1）为最高点时，抛物线顶点的纵坐标最小，设抛物线：y =-（x-1）2+1=-x 2+2x ，可得：2b=2，c+1=0，解得：b=1，c=-1．故答案为1，-1．【点睛】此题主要考查了根据二次函数的顶点公式求值，熟练记忆二次函数顶点公式是解题关键． 13．32或−3【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=m ，然后分①m ＜0时，x=0函数有最小值，②0≤m≤2时，x=m 函数有最小值，③m ＞2时，x=2函数有最小值分别列方程求解即可．【详解】解：∵y=x 2-2mx+m 2+2m=（x-m ）2+2m ，∴二次函数的对称轴为直线x=m ，①m ＜0时，x=0函数有最小值，此时，m 2+2m=3，解得m 1=-3，m 2=1（舍去），②0≤m≤2时，x=m 函数有最小值，此时，2m=3，解得m=32，③m ＞2时，x=2函数有最小值，此时，4-4m+m 2+2m=3，整理得，m 2-2m+1=0，解得m=1（舍去），综上所述，m 的值为32或-3．故答案为32或-3．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数增减性，难点在于根据对称轴的情况分情况讨论．14．232y x x =-+-【分析】已知了抛物线图象经过的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【详解】解：设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，依题意，有：42002a b c a b c c ++⎧⎪++⎨⎪-⎩＝＝＝，解得132a b c -⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝＝；∴此抛物线的解析式为y=-x 2+3x-2．故答案为y=-x 2+3x-2．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识． 15．214y x = 【分析】由题意二次函数y=ax 2的图象过（2，1），把点（2，1）代入函数的解析式求出a 值，从而求出二次函数的解析式．【详解】解：∵二次函数y=ax 2的图象过（2，1），∴a×4=1， ∴a=14， ∴二次函数的表达式为：y=14x 2． 故答案为y=14x 2． 【点睛】 此题考查二次函数的基本性质及用待定系数法求函数的解析式．16．③④【解析】【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴位置和抛物线与y 轴的交点坐标即可确定； ②根据抛物线的对称轴即可判定；③根据抛物线的顶点坐标及b=-a 即可判定；④根据抛物线的最大值为1及二次函数与一元二次方程的关系即可判定．【详解】①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，∴a ＜0．由对称轴在y轴的右侧知b＞0，∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，∴abc＜0．故①错误；②∵抛物线的对称轴直线x=-1 22ba=，∴a=-b．故②错误；③∵该抛物线的顶点坐标为（12，1），∴1=244ac ba-，∴b2-4ac=-4a．∵b=-a，∴a2-4ac=-4a，∵a≠0，等式两边除以a，得a-4c=-4，即a=4c-4．故③正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c的最大值为1，即ax2+bx+c≤1，∴方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根．故④正确．综上所述，正确的结论有③④．故答案为：③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．17．11【分析】已知OA与OB的长的比为1：4，可据此设出A，B的坐标，如A(－a，0)，B(4a，0)(a＞0)，然后根据根与系数的关系求解即可.【详解】∵线段OA与OB的长的比为1：4，可设A、B的坐标为(－a，0)，(4a，0)，其中a＞0，根据根与系数的关系得()41445a a k a a k -+=+⎧⎨-⨯=-+⎩，解得411a k =⎧⎨=⎩，∴11k =，故本题正确答案为11k =.【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，掌握数形结合思想是解决本题的关键.18．230(030)S x x x =-+<<【分析】先表示出矩形的另一边的长，然后根据矩形的面积公式进行计算即可.【详解】由题意得,矩形的一边长为x,则矩形的另一边长为12(60−x)， 故矩形面积S=x×12(60−x)=−x 2+30x.故答案为S=−x 2+30x.【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意列出方程进行求解. 19．2220y x x =-+【解析】【分析】由题意可知花圃的长为20-2x ，再利用矩形面积公式即可求解.【详解】解：由题意可知花圃的长为20-2x ，则y=x(20-2x)=-2x 2+20x ，故答案为：2220y x x =-+. 【点睛】本题考查了二次函数的应用.20．8m【解析】解：由题意知，点(01.6)，在抛物线20.1() 2.5y x k =--+上，所以21.60.1(0)2.5k =--+．解这个方程，得3k =或3k =-（舍去）．所以，该抛物线的解析式为20.1(3) 2.5y x =--+．········· 3分 当0y =时，有20.1(3) 2.50x --+=，解得18x =，22x =-（舍去）． 5分 所以，铅球的落点与丁丁的距离为8m ． 6分运用二次函数解决的实际问题21．(1)见解析；（2）见解析.【分析】（1）由于二次函数y=-3（x+2）2与y=-3x 2的二次项系数相同，所以将y=-3x 2的图象向左平移2个单位可以得到y=-3（x+2）2的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，二次项系数小于0，开口向下，再根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴； （2）由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性．【详解】()1将23y x =-的图象向左平移2个单位可以得到23(2)y x =-+的图象，∵30-<，∴抛物线开口向下，它是轴对称图形，对称轴为2x =-，顶点坐标是()2,0-；()2∵30-<，抛物线开口向下，∴当2x <-时，y 的值随x 的增大而增大；当2x >-时，y 的值随x 的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．22．（1）244y x x =++；顶点C 坐标为()2,0-；（2）D 坐标为()0,4；（3）P 的坐标为()2,2-，()2,1--．【分析】（1）将A 与B 坐标代入抛物线解析式中求出a 与c 的值，即可确定出抛物线解析式，配方后即可求出顶点C 的坐标；（2）由平移规律即C 的坐标表示出D 的坐标，在直角三角形AOC 中，由OA 与OC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，由图形得到∠DAC 为钝角，三角形ACD 为等腰三角形，只有DA=AC ，求出DA 的长，即为m 的值，即可确定出D 的坐标；（3）由P 在抛物线的对称轴上，设出P 坐标为（-2，n ），如图所示，过O′作O′M ⊥x 轴，交x 轴于点M ，过P 作PN ⊥O′M ，垂足为N ，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS 得到△PCO ≌△PNO′，由全等三角形的对应边相等得到O′N=OC=2，PN=PC=|n|，再由PCMN 为矩形得到MN=PC=|n|，分n 大于0与小于0两种情况表示出O′坐标，将O′坐标代入抛物线解析式中求出相应n 的值，即可确定出P 的坐标．【详解】() 1将A ，B 坐标分别代入抛物线解析式得：49121c a a c =⎧⎨-+=⎩， 解得：41c a =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为2244(2)y x x x =++=+，∴顶点C 坐标为()2,0-；()2由题意得：()0,4D m +，在Rt AOC 中，4OA =，2OC =，根据勾股定理得：AC ==，由图形得到DAC ∠为钝角，要使ACD 为等腰三角形，只有DA AC ==∴DA m ==则D 坐标为()0,4；()3设()2,P n -，如图所示，过'O 作'O M x ⊥轴，交x 轴于点M ，过P 作'PN O M ⊥，垂足为N ，易得'PO PO =，'90PCO PNO ∠=∠=，'CPO NPO ∠=∠，∴()'PCO PNO AAS ≅，∴'2O N OC ==，PN PC n ==，∵四边形PCMN 为矩形， ∴MN PC n ==，①当0n >时，()'2,2O n n -+，代入抛物线解析式得：220n n --=， 解得：2n =或1n =-（舍去）；②当0n <时，()'2,2O n n -+，代入抛物线解析式得：220n n --=， 解得：2n =（舍去）或1n =-，综上①②得到2n =或1-，则P 的坐标为()2,2-，()2,1--．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，平移及旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及坐标与图形性质，利用了数形结合及方程的思想，是一道中档题．23．当80x =时，4500y =最大值．【解析】试题分析：根据总利润=单件利润×数量，单价利润=x －50，数量=50+5（100－x ），然后根据二次函数的最值求法进行求解.试题解析：y=（x －50）[50＋5（100－x ）]=（x －50）（－5x ＋550）=－52x ＋800x －27500 ∴y=－52x ＋800x －27500=－52(80)x -＋4500∵a=－5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x ＝80，∴当x ＝80时，最大利润为4500元．考点：二次函数的应用.24．（1）证明见解析；（2）①212y x x =-+．(0x <<．②当x =时，14y =最大值． 【分析】 （1）可通过构建全等三角形来求解．过点P 作GF ∥AB ，分别交AD 、BC 于G 、F ，那么可通过证三角形GPD 和EFP 全等来求PD=PE 以及PE ⊥PD ．在直角三角形AGP 中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP 是等腰直角三角形，那么AG=PG ，而PB=PE ，PF ⊥BE ，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG ，同理可得出两三角形的另一组对应边DG ，PF 相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE ，∠GDP=∠EPF ，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD ⊥PE ．（2）求三角形PBE 的面积，就要知道底边BE 和高PF 的长，（1）中已得出BF=FE=AG ，那么可用AP 在等腰直角三角形AGP 中求出AG ，GP 即BF ，FE 的长，那么就知道了底边BE 的长，而高PF=CD-GP ，也就可求出PF 的长，可根据三角形的面积公式得出x ，y 的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y 的最大值以及对应的x 的取值．【详解】()1证明：①过点P 作//GF AB ，分别交AD 、BC 于G 、F ．如图所示．∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形， AGP 和PFC 都是等腰直角三角形．∴GD FC FP ==，GP AG BF ==，90PGD PFE ∠=∠=度．又∵PB PE =，∴BF FE =，∴GP FE =，∴()EFP PGD SAS ≅．∴PE PD =．②∴12∠=∠．∴132390∠+∠=∠+∠=度．∴90DPE ∠=度．∴PE PD ⊥．()2解：①过P 作PM AB ⊥，可得AMP 为等腰直角三角形，四边形PMBF 为矩形，可得PM BF =，∵AP x =，∴PM =，∴2BF PM x ==，12PF x =-．∴122PBE S BE PF BF PF x =⨯=⋅=•211222x x x ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭．即2122y x x =-+．(0x <<．②22111(224y x x x =-+=--+ ∵102a =-<，∴当x =14y =最大值． 【点睛】本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定以及二次函数的综合应用等知识点，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．25．（1）234y x x =--+．（2）存在点D ，使得DBE 和DAC 相似，点D 的坐标为()3,1-或()2,2-．【分析】（1）首先求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C 坐标为（m ，0）（m ＜0），则点E 坐标为（m ，-m 2-3m+4），从而得出OC=-m 、OF=-m 2-3m+4、BF=-m 2-3m ，根据S △ABE =S 梯形AOFE -S △AOB -S △BEF 得出S=-2（m+2）2+8，据此可得答案；（3）由于△ACD 为等腰直角三角形，而△DBE 和△DAC 相似，则△DBE 必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E 的坐标，由于点E 在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．【详解】() 1在直线解析式4y x =+中，令0x =，得4y =；令0y =，得4x =-，∴()4,0A -，()0,4B ．∵点()4,0A -，()0,4B 在抛物线2y x bx c =-++上， ∴16404b c c --+=⎧⎨=⎩， 解得：3b =-，4c =，∴抛物线的解析式为：234y x x =--+． ()2如图，连接AE 、过点E 作EF y ⊥轴于点F ，设点C 坐标为(),0(0)m m <，则点E 坐标为()2,34m m m --+， 则OC m =-，234OF m m =--+，∵4OA OB ==，∴23BF m m =--，则ABE AOB BEF AOFE S S S S =--梯形()()()()22111434443222m m m m m m =⨯-+--+-⨯⨯-⨯-⨯--．228m m =--22(2)8m =-++，∵40m -<<，∴当2m =-时，S 取得最大值，最大值为8．即ABE 面积的最大值为8．()3设点C 坐标为(),0(0)m m <，则OC m =-，4CD AC m ==+，BD ==，则(),4D m m +．∵ACD 为等腰直角三角形，DBE 和DAC 相似∴DBE 必为等腰直角三角形．)i 若90BED ∠=，则BE DE =，∵BE OC m ==-，∴DE BE m ==-，∴44CE m m =+-=，∴(),4E m ．∵点E 在抛物线234y x x =--+上，∴2434m m =--+，解得0m =（不合题意，舍去）或3m =-，∴()3,1D -； )ii若90EBD ∠=，则BE BD ==，在等腰直角三角形EBD 中，2DE m ==-，∴424CE m m m =+-=-，∴(),4E m m -．∵点E 在抛物线234y x x =--+上，∴2434m m m -=--+，解得0m =（不合题意，舍去）或2m =-，∴()2,2D -．综上所述，存在点D ，使得DBE 和DAC 相似，点D 的坐标为()3,1-或()2,2-．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．26．（1）y=﹣2x+340（20≤x≤40）；（2）5200【解析】试题分析：（1）待定系数法求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x 的取值范围可得W 的最大值．试题解析：（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，根据题意，得：， 解得：， ∴y 与x 的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x ﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x 2+380x ﹣6800=﹣2（x ﹣95）2+11250， ∵﹣2＜0， ∴当x≤95时，W 随x 的增大而增大， ∵20≤x≤40，∴当x=40时，W 最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．考点：二次函数的应用。