4.7 相似三角形的性质(一)
4.7.2相似三角形的性质(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示相似三角形在实际测量中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
（1）理解并运用相似三角形的性质。
（2）将相似三角形的性质应用到解决具体问题中。
（3）在实际问题中识别相似三角形，并运用其性质解决问题。
举例：
-难点一：学生可能会混淆相似三角形的性质与其他几何图形的性质，如全等三角形。需通过对比讲解，强调相似三角形的独特性质。
-难点二：学生在运用相似三角形的性质解决具体问题时，可能会不知道从何入手。教师应通过典型例题的讲解，引导学生逐步分析问题，找到解题思路。
此外，在小组讨论环节，有些学生表现得比较被动，可能是因为他们对讨论主题不够感兴趣，或者是不善于表达自己的观点。针对这一问题，我将在以后的课堂中，尝试引入更多贴近生活的实例，激发学生的学习兴趣。同时，鼓励学生们积极发表自己的看法，提高他们的交流与合作能力。
在实践活动方面，我发现学生们在实验操作过程中，对于相似三角形性质的应用有了更直观的认识，但也暴露出一些操作上的问题。例如，在测量过程中，部分学生对于如何准确找到相似三角形的对应角和对应边存在困难。针对这一问题，我将在后续的教学中，加强对实验操作的指导，让学生们在实践中掌握相似三角形的性质。
4.7.1 相似三角形的性质(课件)2024-2025学年九年级数学上册北师大版)
特别提醒：
(1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段；
(2)相似比是有顺序的，不能颠倒线段的顺序.
例题欣赏
☞
例题&解析
例1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，
且长边FG在BC上，AD与EH的交点为P，矩形相邻两边的比为1∶2.
若BC=30cm，AD=10cm， 求矩形EFGH的周长.
E
∴∠A′B′C′=∠ABC, ．
B
又AD、AD′分别为对应边的中线.
AB
BD
,
A' B ' B ' D '
AB
BC
A' B ' B 'C '
∴ △ABD∽△A′B′D′，
AD
k.
A'D'
C
D
A'
E'
B'
C'
D'
探索&交流
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比
都等于相似比．
AC
3
，BD=4cm，求B′D′的长.
第四章 图形的相似
4.7.1 相似三Байду номын сангаас形的性质
北师大版九年级数学上册
学习&目标
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
情景&导入
问题1：△ABC与△A1B1C1相似吗？
A
B
A1
B1
△ABC∽ △A1B1C1
C
C1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质(教案)
4.对于学习困难的学生，给予更多的关注和个别辅导，确保他们能够跟上教、角度等。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理、数学抽象的核心素养，使学生能够通过观察、分析、归纳相似三角形的性质，并运用这些性质解决相关问题；
2.培养学生空间想象力和几何直观能力，能够通过画图、制作模型等方式，形象地理解相似三角形的性质及其应用；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的判定方法和性质这两个重点。对于难点部分，如相似比的应用，我会通过具体例题和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠纸张，观察相似三角形的形成和性质。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的定义、判定方法和性质，以及它们在实际问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对相似三角形性质的理解。希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-熟悉并能够运用相似三角形的性质，包括对应角相等、对应边成比例、对应高的比等于相似比、对应角平分线的比等于相似比等。
-学会通过实际问题的分析，构建相似三角形的模型，并利用相似性质解决问题。
-例：讲解如何判定两个三角形相似，并通过具体例题强调相似三角形的性质在解题中的应用。
2.教学难点
-难点一：相似三角形的判定方法，特别是AA（角角相似）、SAS（边角边相似）、SSS（边边边相似）的判定方法，学生容易混淆。
4.7(1) A 相似三角形的性质
同学们:还记得我们在第四节中学过的相似 多边形吗?还记得相似多边形的对应边、对 应角有什么关系吗？
相似多边形的对应边成比例、对应角相等。
一个三角形有三条重要线段： 高线、中线、角平分线 ________________ 如果两个三角形相似，那么这些对应线段有 什么关系呢？
学习目标（1分钟）
1、理解并掌握相似三角形中对应高的比、对应 角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
2、相似三角形性质在实际中的运用。
自学指导 1（1分钟）
1.完成p106 “想一想”以上内容。 答案：1（1）△ ACD∽ △ A′C′D′ .理由∠A= ∠A′， ∠ADC= ∠ A′D′C′ =90°。相似比是1:2 2.完成p106 “想一想 ” 答案:对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似 比k. 3、相似三角形的性质: 角平分线 相似三角形对应 高 的比，对应 中线 的比和对应 的比都等于相似比。 性质证明： 4、完成课本“议一议”内 容。 AD AE (1) ' ' k (2) ' ' k AD AE
当堂训练：（15分钟）
1.△ABC与△A′B′C′的相似比为1:5,如果A′C′边上 的中线B′D′＝20cm,则AC 边上的中线BD=____ 4cm . A A
C D D 2．如上图△ABC∽△A′B′C′，对应中线AD＝6cm， A′D′＝10cm，若BC＝4.2cm，则B′C′＝7cm ______.
2、已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别为△ABC和△DEF的 角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长. 解：∵ △ABC∽△DEF
BG BC （相似三角形对应角平分线的比等于相似比） EH EF
4.7 相似三角形的性质(一)
4.7 相似三角形的性质（一）●教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系. （二）能力训练要求1. 熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题. （三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识. ●教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题. ●教学难点相似三角形的性质的运用. ●教学方法 引导启发式 ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§4.7.1 A ） 第二张：（记作§4.7.1 B ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.Ⅱ.新课讲解 1.做一做投影片（§4.7.1 A ） 钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.（1）B A AB '',C B BC '',C A AC''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.（3）请你在图①中再找出一对相似三角形. （4）DC CD''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图①［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43（2）△ABC ∽△A ′B ′C ′∵B A AB ''=C B BC ''=CA AC ''∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得 ∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′）（4）D C CD ''=43∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴D C CD ''= C B BC ''=43 2.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .（1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程.［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''=C B BC''=k . ［生乙］如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= C A AC''=k .图②∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠ACD =∠A ′C ′D ′ ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= C A AC ''=k . ［生丙］如图③中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''= C A AC''=k .图③∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠A =∠A ′，C A AC ''= B A AB''=k . ∵CD 、C ′D ′分别是中线∴D A AD ''=B A AB''2121=B A AB ''=k . ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= C A AC''=k . 由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3.例题讲解投影片（§3.7.1 B ）图④如图④所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD,垂足为E .当S R=21BC 时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？ 解：∵ SR ⊥AD,BC ⊥AD,∴SR ∥BC .∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,∴△ASR ∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）. ∴BCSRAD AE =（相似三角形对应高的比等于相似比）， 即BCSRAD DE AD =-.当SR=21BC 时，得21=-h DE h ，解得DE=21h 当SR=31BC 时，得31=-h DE h ，解得DE=32hⅢ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是4∶5）. Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.Ⅴ.课后作业 完成习题Ⅵ.活动与探索图⑤如图⑤，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且B A AB ''=D B BD ''=D A AD'' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？ 解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立.∵B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′ ∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′ ∴∠BAC =∠B ′A ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′●板书设计§4.7.1 相似三角形的性质（一）一、1.做一做 2.议一议 3.例题讲解 二、课堂练习 三、课时小节 四、课后作业●备课资料如图⑥，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.图⑥（1）则图中有几对相似三角形. （2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD . （3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD .解：（1）∵CD ⊥AB∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90° 在△ADC 和 △ACB 中 ∠ADC =∠ACB =90° ∠A =∠A∴△ADC ∽△ACB同理可知，△CDB ∽△ACB ∴△ADC ∽△CDB所以图中有三对相似三角形. （2）∵△ACD ∽△CBD∴BD CDCD AD =即BD669= ∴BD =4 （cm ）（3）∵△CBD ∽△ABC ∴BC BD BA BC =. ∴152515BD = ∴BD =251515⨯=9 （cm ）.。
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形性质(课时1)教学设计
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的几何基础，对三角形的性质、全等三角形等知识有了较为深入的了解。在此基础上，学习相似三角形的性质，对学生来说是几何知识的拓展和深化。然而，学生在解决实际问题时，可能还未能熟练运用相似三角形的性质，需要教师在教学过程中给予引导和指导。
5.演示与操作，增强直观感受：运用几何画板等教学工具，动态演示相似三角形的性质，增强学生的直观感受，帮助学生理解并掌握性质。
6.精讲精练，提高解题能力：精选典型例题，详细讲解解题思路和方法，引导学生掌握几何证明的步骤和技巧。同时，布置适量练习题，让学生在练习中巩固所学知识。
7.评价与反馈，促进教学相长：采用多元化评价方式，如口头提问、课堂练习、小组讨论等，及时了解学生的学习情况，给予针对性的指导。同时，鼓励学生积极反馈，促进教学相长。
（二）过程与方法
1.通过实际问题的引入，激发学生的兴趣，引导学生自主探究相似三角形的性质。
2.通过动手操作、观察、猜想、验证等环节，培养学生的观察能力、动手能力和创新能力。
3.通过小组讨论、合作交流，提高学生的问题解决能力和团队协作能力。
4.引导学生运用几何画板等教学工具，直观演示相似三角形的性质，增强学生对知识点的理解。
2.自主探究，合作交流：在教学过程中，教师引导学生通过观察、猜想、验证等方法，自主探究相似三角形的性质。同时，组织学生进行小组讨论，合作交流，共同解决问题。
3.分层次教学，关注个体差异：针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题和思考题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.7 相似三角形的性质(2课时)
7相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质1一、基本目标1．通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，认识相似三角形的性质．2．熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比，并能用此来解决简单的问题．二、重难点目标【教学重点】运用相似三角形的性质解决实际问题．【教学难点】相似三角形的对应线段的比的运用．环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P106～P107的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比.2．如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′.(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗？解：图中还有其他的相似三角形，如：△ABD∽△A′B′D′；△ADC∽△A′D′C′.(2)△ABC与△A′B′C′的对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于k.3．如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是(B)A．1∶2 B．1∶4环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例题】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知，求证，然后根据相似三角形对应角相等可得∠B ＝∠B 1，∠BAC ＝∠B 1A 1C 1，再根据角平分线的定义求出∠BAD ＝∠B 1A 1D 1，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列式证明即可．【解答】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ，AD 、A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的角平分线．求证：ADA 1D 1＝k . 证明：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，∴∠B ＝∠B 1，∠BAC ＝∠B 1A 1C 1.∵AD 、A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的角平分线， ∴∠BAD ＝12∠BAC ，∠B 1A 1D 1＝12∠B 1A 1C 1，∴∠BAD ＝∠B 1A 1D 1， ∴△ABD ∽△A 1B 1D 1， ∴AD A 1D 1＝AB A 1B 1＝k . 【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两组角对应相等的两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．活动2 巩固练习(学生独学)1．如果两个相似三角形对应中线的比为8∶9，则它们的相似比为( A )C ．64∶81D ．22∶32．已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的对应高之比为( A ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．4∶9D ．9∶43．如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2 m ，CD ＝5 m ，点P 到CD 的距离是3 m ，则点P 到AB 的距离是( C )A.56 m B ．67 mC.65m D ．103m4．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB ＝2 cm ，A ′B ′＝113 cm ，则它们对应角平分线的比为3∶2.5．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 、A ′D ′分别是△ABC 、△A ′B ′C ′的高，AD ∶A ′D ′＝3∶4，△A ′B ′C ′的一条中线B ′E ′＝16 cm ，则△ABC 的中线BE ＝12 cm.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)相似三角形的性质1：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比．请完成本课时对应训练！第2课时 相似三角形的性质2一、基本目标1．熟练应用相似三角形的性质：周长比都等于相似比，而面积比等于相似比的平方，并能用此来解决简单的问题．2．利用相似三角形的周长比与面积比，猜想相似多边形的周长比与面积比，体会类比思想．二、重难点目标 【教学重点】运用相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系解决问题． 【教学难点】相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用．环节1 自学提纲、生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P109～P110的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比； 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 2．相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知△ABC ∽△DEF ，AB DE ＝12，则下列等式一定成立的是( )A ．∠B 的度数∠E 的度数＝12B ．BC DF ＝12C ．△ABC 的面积△DEF 的面积＝12D ．△ABC 的周长△DEF 的周长＝12【互动探索】(引发学生思考)∵△ABC ∽△DEF ，AB DE ＝12，∴△ABC 的周长△DEF 的周长＝12.【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了相似三角形的性质，正确把握：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；(2)相似三角形的周长比等于相似比；(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB A ′B ′＝12，则S △ABC ∶S △A ′B ′C ′＝( C )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶12．已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的面积之比为1∶2，若BC ＝1，则对应边EF 的长是( A )A. 2 B ．2 C ．3D ．43．设两个相似多边形的周长比是3∶4，它们的面积差为70，那么较小的多边形的面积是( B )A ．80B ．90C ．100D ．1204．若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是4∶9.5．已知△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，△ABC 的周长是12 cm ，面积是30 cm 2.(1)求△DEF 的周长； (2)求△DEF 的面积．解：(1)∵DE AB ＝23，∴△DEF 的周长为12×23＝8(cm)． (2)∵DE AB ＝23，∴△DEF 的面积为30×⎝⎛⎭⎫232＝1313(cm 2)．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于多少？(结果保留根号)【互动探索】先根据AB ＝2AD ，△ABC ∽△ADE ，△ABC 是面积为3求出△ADE 的面积，再判断出△ADE 的形状，根据等边三角形的面积求出AE 的长，作FG ⊥AE 于G ，由等边三角形及直角三角形的定义判断出△AFG 是等腰直角三角形，设AG ＝FG ＝h ，在Rt △FGE 中利用勾股定理即可求出h 的值，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】∵AB ＝2AD ，∴ABAD ＝2.又∵△ABC ∽△ADE ，△ABC 是面积为3， ∴S △ABCS △ADE＝4，∴S △ADE ＝34.∵△ABC ∽△ADE ，△ABC 是等边三角形， ∴△ADE 也是等边三角形，AE ＝1. 作FG ⊥AE 于G .∵∠BAD ＝45°，∠BAC ＝∠EAD ＝60°， ∴∠EAF ＝45°，∴△AFG 是等腰直角三角形． 设AG ＝FG ＝h ，在Rt △FGE 中， ∵∠E ＝60°，EG ＝1－h ，FG ＝h ， ∴∠EFG ＝30°，∴EF ＝2EG ＝2(1－h )． ∵EG 2＋GF 2＝EF 2，∴(1－h )2＋h 2＝4(1－h )2，解得h ＝3－32，∴S △AEF ＝12×1×3－32＝3－34.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题要求△AEF 的面积，先根据题意求出△ADE 的面积并判断出△ADE 的形状，求出AE 的长，再作辅助线FG ⊥AE 于G ，判断出△AFG 是等腰直角三角形，求出FG 的值，根据三角形的面积公式即可得出结论．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)相似三角形(多边形)的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．请完成本课时对应训练！。
北师大9年级上册4.7.1 相似三角形的性质 教学设计
4.7.1相似三角形的性质教学设计在生活中,我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房梁△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱.问题1:△ACD与△A'C'D'相似吗?为什么?如果相似,指出它们的相似比.问题2:如果CD=1.5 cm,那么模型房梁的立柱有多高?已知△ABC ∽△A ′B ′C ′， △ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论.解:∵△ABC ∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.∵AD ⊥BC ,A'D'⊥B'C',∴∠ADB=∠A'D'B'=90°. ∴△ABD ∽△A'B'D'. ∴AB ∶A'B'=AD ∶A'D'=k.师生共同总结:相似三角形对应高的比等于相似比.如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠BAC ，A ′D ′平分∠B ′A ′C ′; E 、E ′分别为BC 、B ′C ′的中点. 试探究AD :A ′D ′的比值关系，AE :A ′E ′呢？.,,.(1)..ABBAC B A C B B k A B AD BAC A D B A C BAD B A D BAD B A D AB BD AD k A B B AB D A D C A B C '''∴∠=∠'''∠=∠'=''∠''∠''⎡⎤'∴∠=∠'''∴'''∴===''''''⎣⎦∽，，平分平分∽两个角分别相等的两个三角形相小组解：△似△△△.,,11,22.,.,..AB BCB B k A B BC E E BC B C BE BC B E B C BE BC B E B C AB BCk A B B C AB BE k A B B E B B BAE B A E AB B ABC E AE k A B B E A E A B C '''∴∠=∠'=='''''''∴=''=''∴=''''==''''∴==''''∠=∠'∴'''∴===''''⎡⎦'⎣'⎤∽，，分别为的中点，，△∽△小组2解：△△ 小结：由此可知相似三角形还有以下性质. 相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.议一议：如图，已知△ABC ∽△A ′B ′C ′， △ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ；点D 、E 在BC 边上，点D ′、E ′在B ′C ′边上.（1）若∠BAD =13∠BAC ，∠B ′A ′D ′=13∠B ′A ′C ′，则ADA ′D′等于多少?（2）若BE =13BC ， B ′E ′=13B ′C ′，则AE A ′E′等于多少？（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.(),,.11,,33.11()..ABBAC B A C B B k A B BAD BAC B A D B A C BAD B A D BAD B A D AB BD ADk A B B ABC A B C D A D '''∴∠=∠'''∠=∠'=''∠=∠∠'''=∠'''∴∠=∠'''∴'''∴===''''''⎡⎤⎣⎦∽，∽两个角分别相等的两个三角形相小解：△△似组△△().11,,33.,.,().2.AB BCB B k A B BC BE BC B E BE BC B E B C AB BCk A B B C AB BE k A B B E B B BAE B A E AB BE ABC A B C B C AE k A B B E A E '''∴∠=∠'==''''=''=''∴=''''==''''∴==''''⎡⎤⎣⎦∠=∠'∴'''∴===''''''∽，，∽两边成比例且夹角相等的两个三角形小组2解△△相似：△△典例精析：如图，AD 是△ABC 的高，AD =h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E . 当SR =12BC 时，求DE 的长. 如果SR =13BC 呢？解：∵SR ⊥AD ，BC ⊥AD ∴SR//BC∴∠ASR=∠B ，∠ARS=∠C∴ΔASR ∽ΔABC ∴AE AD =SR BC 即AD −DE AD =SRBC. 当SR =12BC 时，得h −DE h =12.解得DE =12h.当SR =13BC 时，得h −DE h =13.解得DE =23h.归纳总结：通过类比的数学方法得到：1.两个相似三角形对应高之比为1：2，那么它们对应中线之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8 2.在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12．在AB上取一点E．使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为（）A．16 B．14 C．16或14 D．16或9 3.若两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形对应中线的比是．4.已知两个相似三角形的相似比为2：3，其中一个小三角形的最大边长为6，那么另一个三角形的最大边长为．5.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm，焦距是60 mm，求所拍摄的2m外景物的宽CD.。
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• 在生活中，我们经常利用相似的知识解 决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的 △ABC，以1：2的比例建造了模型房梁 △A’B’C’，CD和C’D’分别是它们的立柱。
六：布置作业
课本： 习题 1、2、3、4
结束寄语 • 只要你能勇敢地不断地攀登，你 就能更接近于知识的顶峰,祝愿善 于探索、善于发现的你早日到达 顶峰！
七、教学反思
AB AC BC AF AD AE k ∴ A' B' A' C ' B' C ' A' F ' A' D' A' E'
A A/
B
F
DE
C
B/ F‘ D/ E/
C/
议一议
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变式拓展探究： 如果把角平分线、中线变为对应角 的三等分线、四等分线、…n等分线， 对应边的三等分线、四等分线、…n等 分线，那么它们也具有特殊关系吗？
• 如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相 似比为k，AD平分∠BAC，A’D’平分 ∠B’A’C’；E、E’分别为BC、B’C’的中点。 试探究AD与 A’D‘的比值关系，AE与A’E’ 呢？
A A/
B
DE
C
B/
D/
E/
C/
相似三角形性质定理：
相似三角形对应高的比,对应角平分线 的比,对应中线的比都等于相似比。 ∵△ABC∽△A′B′C′
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(1)试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之 间的关系，对应角之间的关系。 (2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？ 如果相似，指出它们的相似比。
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(3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁 立柱有多高？ (4)据此，你可以发现相似三角形怎样 的性质？
2、类比探究相似三角形对应中线的比、 对应角平分线的比
第四章 图形的相似
第7节 相似三角形的性质（一）
一、温故知新
同学们:还记得相似三角形的定义吗?还记得 相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？
相似三角形的对应边成 比例、对应角相等。
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、 对应边成比例这个性质呢？本节课我们将 研究相似三角形的其他性质.
二、学习目标
（3）你能得到哪些结论？
相似三角形对应角的n等分线的比,对应 边的n等分线的比都等于相似比。
四、巩固拓展
两个相似三角形中一组对应角平分线 的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的 相似比。在这两个三角形的一组对应中线 中，如果较短的中线是3cm，那么较长的 中线多长？
五、课堂小结
同学们：经历了这节课的探索学 习，你在知识上和方法上什么收获呢？ 请说说看。 相似三角形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的 比,对应中线的比都等于相似比。