向量代数部分解答

第一章 向量代数 习 题 1.11.要使下列各式成立，向量αβ,应满足什么条件？(1) ||||+=-αβαβ; (2) ||||||+=+αβαβ;(3) ||||||+=-αβαβ; (4) ||||||-=+αβαβ (5) ||||||-=-αβαβ; (6)||||αβαβ=. 解：(1) ⊥αβ；(2) α与β同向；(3) α与β反向且≥αβ；(4) α与β反向,(5) α与β同向且≥αβ, (6)α与β同向且,≠≠00αβ2.已知向量方程组235x y x y -=⎧⎨+=⎩αβ，求解向量,x y .解：解关于,x y 的方程组得 531313121313αβαβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x y3.已知四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-αγαβγ,对角线,AC BD 的中点分别为,E F ,求EF.解：335EF αβγ=+-.4.已知平行四边形ABCD 的对角线为,AC BD ==αβ，求,.解：设,AB BC ==x y 则αβ+=⎧⎨-=⎩x y y x 解方程组得 1()21()2αβαβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y .5.证明：向量,,n l l m m n ---αββγγα共面.证明：因为()()()0n l l m m n αββγγα-+-+-=，所以三向量共面.习 题1.21．已知(3,5,4),(6,1,2),(0. 3.4)αβγ==-=--，求234++αβγ 解：()23412,1,2++=--αβγ.2．已知点(3,5,7)A 和(0,1,1)B -，求向量AB 并求A 关于B 的对称点C 的坐标.解：()()3,4,8,3,3,9AB C =------.3．判断下列向量中哪些是共线的：1234(1,2,3),(1,2,3),(1,0,2),(3,6,9),αααα==-==--()()5678123132,0,4,1,2,3,,,,,1,44422⎛⎫⎛⎫==---==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αααα解：167,,ααα共线，2α与4α共线，3α与5α共线. 4．判断下列向量,,αβγ是否共面：(1) (4,0,2),(6,9,8),(6,3,3)αβγ==-=-； (2) (1,2,3),(3,3,1),(1,7,5)αβγ=-==-； (3) (1,1,2),(2,4,5),(3,9,8)αβγ=-==. 解：(1)不共面；(2)、(3)共面.5．△ABC 中，︒=∠︒=∠30,90B A ，AD 是BC 边上的高，求点D 对坐标系{;,}A AB AC 的坐标.解：求点D 对坐标系{;,}A AB AC的坐标，实际上是要求用AC AB ,来表示AD .AC AB AD 4341+=. 6．在四面体OABC 中，M 是△ABC 的重心，F E ,分别是AC AB ,的中点，求向量MF ME EF ,,在坐标系{;,,}O OA OB OC 下的坐标.解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=61,31,61,31,61,61,21,21,0MF ME EF 7．求向量(1,3,2)=-α的方向余弦. 解：142cos ,143cos ,141cos 321-===θθθ. 8.已知线段AB 被点(2,0,2)C 和(5,2,0)D -三等分，试求这个线段两端点A 与B 的坐标.解 (1,2,2),(8,4,2)---A B习 题1.3１．已知向量α与β互相垂直，向量γ与α及β的夹角都是060，且||2,||3==αβ，计算：(1) 2()+αβ； (2) ()()+-αβαβ； (3) (32)(3)--αββγ； (4) 2(2)+-αβγ 解：(1) 5; (2) -3; (3) 72-; (4) 11. 2．在右手直角坐标系下，计算下列各题：(1) (3,0,6),(2,4,0)αβ=-=-，求⋅αβ及,<>αβ；(2) (5,2,5),(2,1,2)αβ==-，求α在β上投影向量及投影向量长. 解：(1) 51arccos,6； (2) ()4,2,4-，6；3.利用向量的数量积导出三角形的中线公式：2222221a cb m a -+=. 解：因为 ()12=+a mbc . 所以 ()()()()2222222222222211122||||cos 444112||||22442||||=+=++⋅=++⋅⎛⎫+- ⎪=++⋅=+- ⎪⋅⎝⎭a mbc b c b c b c b c Ab c a b c b c b c a b c故有 2222221a cb m a -+=. 4.用向量法证明三角形的重心分原三角形成等积的三个三角形. 证明：证1：如图所示，设M 为ABC ∆之重心，则()()()1,31,31.3AM AB AC BM BC BA CM CA CB =+=+=+S MBC=∴∆ ABCDFEM(第4题)+⨯+=；同理，CA CA BC BC S S MABMCA +⨯+==∴∆∆；MCA MBC MAB S S S ∆∆∆==∴.证2：MCA MBC S S ∆∆====221. 仿此可证：MAB MCA S S ∆∆=MCA MBC MAB S S S ∆∆∆==∴.证3：()()ABC MBC S BC BA BC BA S ∆∆=⨯=+==3121313121. 仿此可证：ABC MAB MCA S S S ∆∆∆==31；MCA MBC MAB S S S ∆∆∆==∴.5.已知向量123i j k =++a a a α，求α在各坐标轴上的投影. 答：分别为123,,a a a .6.已知向量223i j k,i j k =++=++αβ，试把α分解成k β与⊥β之和.解：(1k αββ⊥=+=+-7.用向量法证明三角形各边的垂直平分线共点，且这点到各顶点的距离相等.证明:设AB 的中垂线FG 与AC 的中垂线EG 相交于点G ，连接点G 与BC 的中点D ，只需要证明||||||GB GA GC ==和GD BC ⊥ 即可。

因为12()()0GA GB GA GB GF BA +-== ，所以22GA GB = ，所以||||GA GB = .同理可得||||GA GC = ，故||||||.GA GB GC ==又因为221122()()()0,GC GB GC GB GC GB +-=-= 即0GD BC = ,所以GD BC ⊥ . 8．用向量法证明空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等.证明：设四边形ABCD 各边所成向量依次为,,,,AB a BC b CD c DA d ====又因为0a b c d +++= ⇔()d a b c =-++ ⇔22()d a b c =++ ⇔22222()()2d a b c b c a b AC BD -+-=++= 0=.习题1.41.计算(1) (1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)=-=-=-αβγ，求⨯αβ，⨯αγ，()⨯+αβγ，()⨯⨯αβγ，()⨯⨯αβγ；解：()()()()()1,2,1,5,4,3,0,1,0,2,0,2,2,1,2-------(2) 直角坐标系内求以(1,1,2),(5,6,2),(1,3,1)---A B C 为顶点的△ABC 的面积及AC 边上的高.解：5.12，5.(3) 已知(2,3,1),(1,2,3)αβ=-=-，求与,αβ都垂直的单位向量. 解：)1,5,7(351(4) 已知||2,||5,3αβαβ==⋅=，求||αβ⨯与2[()()]αβαβ+⨯- 解：91，3642.设,,αβγ为两两不共线的三向量，试证明等式⨯=⨯=⨯βγγααβ成立的充要条件为0++=αβγ.3. 利用向量积证明三角形面积的海伦(Heron)公式：2()()()∆=---p p a p b p c ，式中c b a ,,为三角形三条边的边长，()c b a p ++=21，∆为三角形的面积.解：在ABC ∆中，设===,,c b a ===.那么ABC ∆的面积为=∆.所以()2241⨯=∆，又()()2222-=⨯，故 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆222241.因为=++.从而-=+，()22=+.所以()2222222121b a c b a c b a --=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=.故()()()()()b ac b a c c b a c b a b a c b a +--+-+++==⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∆16141412222222 ()()()a p b p c p p 2222222161---⋅=化简得：()()()c p b p a p p ---=∆2.习题1.51.已知四面体ABCD 的顶点坐标(0,0,0),(6,0,6),(4,3,0),(2,1,3)A B C D -，求它的体积,并求从顶点D 所引出的高的长度. 解：1；34612.在直角坐标系内判断向量,,αβγ是否共面，若不共面，求出以它们为三邻边构成的平行六面体体积.(1) (3,4,5),(1,2,2),(9,14,16)===αβγ； (2) (3,0,1),(2,4,3),(1,2,2)=-=-=--αβγ 解：(1）共面；（2）不共面，23．如0⨯+⨯+⨯=αββγγα，证明：,,αβγ共面.证明：对等式0⨯+⨯+⨯=αββγγα的两边与γ作数量积，可以得到(),,0=αβγ，故,,αβγ共面.4．如,⨯=⨯⨯=⨯αβγδαγβδ，证明：-αδ与-βγ共线. 解：因为()()-⨯-=⨯-⨯-⨯-⨯=⨯-⨯+⨯-⨯=0αδβγαβαγδβδγαβαγβδδγ所以-αδ与-βγ共线.5. 在直角坐标系内已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)=-=-=-αβγ求()⨯⨯αβγ和()⨯⨯αβγ.解：)5,4,3(-；)1,2,1(--6. 证明：()()()0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=αβγβγαγαβ 证明：αγββγαγβα)()()(⋅-⋅⋅=⨯⨯ βαγγαβαγβ)()()(⋅-⋅=⨯⨯ γβααβγβαγ)()()(⋅-⋅=⨯⨯上述三式相加可得：()()()0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=αβγβγαγαβ.7．证明：()()(,,)⨯⨯⨯=αβαδαβδα证明：αδβααδαββδααδαβα),,()]([)]([)()(=⨯⋅-⨯⋅=⨯⨯⨯.复习题一1．已知3,3i k j k =+=+OA OB ,求OAB ∆的面积.解：.|)1,3,3(|||2192121=--=⨯=∆OB OA S ABC2．已知四面体的体积5=V ，它的三个顶点为()()()3,1,2,1,0,3,1,1,2--C B A ，又知道它的第四个顶点D 在y 轴上，试求点D 的坐标和从顶点D 所引出的高的长h . 解：)14,0,1(-；53=h3．试用向量法证明：平行四边形成为菱形的充分必要条件是对角线互相垂直. 证明：如图：因为向量c a =，d b =，所以.,a d BD b a AC -=+=则⊥当且仅当0=⋅ 当且仅当0))((=-+ 当且仅当||||=.4．设{2,3,1}a =- ,{1,2,3}b =- ,{1,2,7}c =- ,已知向量d 垂直于a 和b 且10d c ⋅= ,求 d .解：(7,5,1).5．设向量α与1(3,0,2)M 、2(5,2,1)M 和3(0,1,3)M -所在的平面垂直,求α,并求以1M 、2M 和3M 为顶点的三角形的面积.解：(1,1,4)α=6．试用向量法证明：内接于半圆,并以直径为一边的三角形为直角三角形.证明：设内接于半径为r 的半圆的ABC ∆的一边AC 是过圆O 的直径，另一顶点在半圆上为点B .则()()AB CB AO OB CO OB =++ 22220AO AO OB OB AO OB r r =-+-+=-+=所以AB CB ⊥，即ABC ∆是直角三角形.7.设一四边形各边之长是d c b a 、、、，对角线互相垂直，求证：各边之长也是d c b a 、、、的任意一个四边形的两条对角线也必互相垂直.证明：同习题1.3第8题.8.梅耐劳斯(Menelaus)定理：在ABC ∆的三边AB CA BC ,,或其延长线上分别取N M L ,, 三点，它们的分割比是：NBAN MA CM LC BL ===νμλ,,，则N M L ,,三 点共线的充要条件是1-=λμν.证明：任取点O ，（1） 必要性：根据定比分点的向量分解表示式，111,,OC OA OB OC OA OB OL OM ON μλνλμν++++++===若,,L M N 三点共线，则有111()()()0OC OA OB OC OA OB l m n μλνλμν++++++++=其中,,l m n 不全为零.此即111111()()()0m n nv l l mv OA OB OC μλμνλλμ+++++++++++=所以111111000m n nv lvl m μμνλλλμ++++++⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，又因为方程组有非零解，故其系数行列式等于零 11111111000v vμμνλλλμ++++++=，展开解得1λμν=-.（2）充分性：这个推理过程是可逆的，故若1λμν=-，则,,L M N 三点共线.9.塞瓦(Cewa)定理：在ABC ∆中的三边AB CA BC ,,或C(第8题图)BCLNM(第9题图)AC(第8题图)其延长线上分别取N M L ,,三点，其分割比依次是：,,BL CM AN LC MA NBλμν===，于是CN BM AL ,,三线共点的充要条件是1=λμν.证明：（1）必要性：设,,AL BM CN 共点于p ，以p 为始点，则,,pL x pA pM y pB pN z pC === ，因为,,pA pB pC三个向量共面，必有不全为零的常数,,l m n 存在，使得0l pA mpB npC ++=.所以0lxpA mpB npC ++=，又因为,,B L C 三点共线，所以0lx m n ++=，即l m nx +=，lm n pL pA += ，由此推知n mBL LCλ==同理可得：l n CM MA μ==，mlANNBν==因此λμν=n m ln m l=1. （2）充分性：设1=λμν，且,AL BM 交于点p ，由（1）知m pB n pC lm n m n pL pA +++==故有nl m pN pC +=，由此得知,,p N C 三点共线，于是CN BM AL ,,共点于p .10.试用向量法证明三阶行列式的阿达玛(Hadmard)定理：证明：2123222222222123123123123123()()()≤++++++a a a b b b a a a b b b c c c c c c .证明：令123123123(,,),(,,),(,,)a a a a b b b b c c c c ===2123222222222222222123123123123123(,,)||()()()a a ab b b a bc a b c a b c a a a b b b c c c c c c ≤=⨯≤≤++++++。