福州大学高等数学(B)下第五章向量代数一解几习题
线性代数第五习题答案详解
第五章n 维向量空间习题一1． 解：a-b = a+(-b)= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T3a+2b-c = 3a+2b+(-c)= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T = (0,1,2)T2． 解： 3(a 1-a)+2(a 2+a) = 5(a 3+a) 3a 1+2a 2+(-3+2)a = 5a 3+5a 3a 1+2a 2+(-a) = 5a 3+5a3a 1+2a 2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 3 3a 1+2a 2+(-5)a 3 = 6a61[3a 1+2a 2+(-5)a 3] = 616a21a 1+31a 2+(-65)a 3 = a将a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T 代入a =21a 1+31a 2+(-65)a 3 中可得： a=(1,2,3,4)T .3． (1) V 1是向量空间.由(0,0,…,0)∈V 1知V 1非空.设a=(x 1,x 2,…,x n )∈V 1,b=(y 1,y 2,…,y n )∈V 1,则有x 1+x 2+…+x n =0，y 1+y 2+…+y n =0.因为(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x n +y n )= (x 1+x 2+…+x n )+( y 1+y 2+…+y n )=0所以a+b=( x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )∈V 1.对于k ∈R ，有 kx 1+kx 2+…+kx n =k(x 1+x 2+…+x n )=0所以ka=( kx 1,kx 2,…,kx n ) ∈V 1.因此V 1是向量空间.(2) V 2不是向量空间.因为取a=(1, x 2,…,x n )∈V 2 ,b=(1, y 2,…,y n )∈V 2,但a+b=(2, x 2+y 2,…,x n +y n )∉V 2.因此V 2不是向量空间.习 题 二1． 求向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式：(1) 解：设向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3+k 4a 4其中, k 1,k 2,k 3,k 4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T ,a 1=(1,1,1,1)T ,a 2=(1,1,1,0)T ,a 3=(1,1,0,0)T ,a 4=(1,0,0,0)T 向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式中可得： (0,2,0,-1)T =k 1(1,1,1,1)T +k 2(1,1,1,0)T +k 3(1,1,0,0)T +k 4(1,0,0,0)T 根据对分量相等可得下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====++++++1201213214321k k k k k k k k k k解此方程组可得：k 1=－1,k 2=1,k 3=2,k 4=－2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－a 1+a 2+2a 3－2a 4 .(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=+++++++++121332223212143214321k k k k k k k k k k k k k由方程组中的第一和第二个方程易解得：k 2=4,于是依次可解得：k 1=-2,k 3=-9, k 4=2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－2a 1+4a 2－9a 3+2a 4 .2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a 1,a 2 ,a 3,a 4线性相关.(2) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400510111220510111331621111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.(3) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00021011142012601117131442111321a a a因为()32321<=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性相关.(4) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=500410111320410111211301111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.3. 证明：假设有常数k 1,k 2,k 3,使 k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3=0又由于b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,于是可得 k 1a 1+k 2(a 1+a 2)+k 3(a 1+a 2+a 3)=0 即(k 1+k 2+k 3)a 1+ (k 2+k 3)a 2+k 3a 3=0 因为a 1,a 2,a 3线性无关，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧===000321k k k因此向量组b 1,b 2,b 3线性无关.4. 设存在常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0因为b 1=a 1+a 2,b 2= a 2+a 3,b 3=a 3+a 4,b 4= a 4+a 1 于是可得：k 1 (a 1+a 2)+k 2(a 2+a 3)+k 3(a 3+a 4)+k 4(a 4+a 1)=0 整理得：(k 1+k 4)a 1+ (k 2+k 1)a 2+(k 2+k 3)a 3+(k 3+k 4)a 4=0， （下用两种方法解）法 一：因为a 1,a 2,a 3,a 4为同维向量，则 (1) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性无关时，k 1+k 4=0， k 2+k 1=0，k 2+k 3=0，k 3+k 4=0可解得：k 2=- k 1，k 4=- k 1，k 3=k 1取k 1≠0可得不为0的常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0 因此b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。
高等数学第六版同济大学下册空间解析几何与向量代数的习题课件
x2 y2 z2 1
2
x
2
y
z
0
2
y
z
0
解得 n 0(2i1j2k ). 333
例2 求过直 :xx线 5zy4z0,0且与平x面 4y
8z120组成 角的平面 . 方程 4
解 过已知直线的平面束方程为
x 5 y z ( x z 4 ) 0 ,
( 2 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 0 .
即 410, 故 1
4
将 代入平面束方, 程 得 3 x y z 1 0 .
所求投影直线方程为 3xx2yyzz100.
例5 直线 L:x1yz绕z轴旋转,一周 0 11
第五章 习题课
一.主要内容 二.典型例题
一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
混合积
向量积
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 参数方程 一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面 柱面 二次曲面
参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
二、典型例题
例1 已a 知 i， b j2k ,c 2i2 jk , 求一单 n 0 ， 使 位 n 0 c ， 且 向 n 0,a ,量 b 共面
解 设 n 0 x i y j z k , 由题设条件得
n0 1 n0c n 0 a b
1 2 ( 4 )2 ( 8 )2(1 )2 5 2 (1 )2
线性代数第五章（答案）
线性代数第五章（答案）第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×）1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ )2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ )3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ )4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ )5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ )6．若112=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × )7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × )8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × )9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ )10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ )11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ )13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ )15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ )16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ )17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ )18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ )19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。
工程数学习题集(含部分湖大版《大学数学5》课后答案)
习题一1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数.①解②解：③解：④解：2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy )R);①：∵设z=x+iy则∴,．②解：设z=x+iy∵∴,．③解：∵∴,．④解：∵∴,．⑤解：∵．∴当时，，；当时，，．3.求下列复数的模和共轭复数①解：．②解：③解：．④解：4、证明：当且仅当时，z才是实数．证明：若，设，则有，从而有，即y=0∴z=x为实数．若z=x，x∈ ，则．∴．命题成立．5、设z,w∈ ，证明：证明∵∴．6、设z,w∈ ，证明下列不等式．并给出最后一个等式的几何解释．证明：在上面第五题的证明已经证明了．下面证．∵．从而得证．∴几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式①解：其中．②解：其中．③解：④解：.∴⑤解：解：∵．∴8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i的三次根．解：∴．⑵-1的三次根解：∴⑶的平方根．解：∴∴．9.设. 证明：证明：∵∴，即．∴又∵n≥2．∴z≠1从而11.设是圆周令,其中.求出在a 切于圆周的关于的充分必要条件.解：如图所示．因为={z : =0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA ⊥．过C作直线平行，则有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.解：(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、|z-1|=|z|．表示直线z =．(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
（4）、Re(z)>Im z．解：表示直线y=x的右下半平面5、Im z>1，且|z|<2．解：表示圆盘内的一弓形域。
习题二1. 求映射下圆周的像.解：设则因为,所以所以,所以即，表示椭圆.2. 在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或.（1）；（2）;(3) x=a, y=b.(a, b为实数)解：设所以(1) 记，则映射成w 平面内虚轴上从O到4i的一段，即(2) 记，则映成了w 平面上扇形域，即(3) 记，则将直线x=a 映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3. 求下列极限.(1) ;解：令,则.于是.(2) ;解：设z=x+yi ，则有显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.（3）；解：=.（4）.解：因为所以.4. 讨论下列函数的连续性：(1) 解：因为,若令y=kx,则,因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.(2)解：因为,所以所以f(z)在整个z平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数.(1) (n为正整数)；解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导..(2) .解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导.(3) .解：f(z)除外处处可导，且.(4) .解：因为.所以f(z)除z=0外处处可导，且.6. 试判断下列函数的可导性与解析性. (1) ;解：在全平面上可微.所以要使得，,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2) .解：在全平面上可微. 只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(3) ;解：在全平面上可微.所以只有当时，才满足C-R方程.从而f(z)在处可导，在全平面不解析.(4) .解：设，则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1) ;证明：因为，所以,.所以u,v为常数，于是f(z)为常数.(2) 解析.证明：设在D内解析,则而f(z)为解析函数，所以所以即从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数. (3) Ref(z)=常数.证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,因为f(z)解析，C-R条件成立。
福州大学高等数学(下)试题及答案
福州大学高等数学（下）试题及答案一、单项选择题1．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。
A 、 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。
2．设曲面),(y x f z =与平面0y y =的交线在点)),(,,(000y x f y x o 处的切线与x 轴正向所成的角为6π，则 。
A 、236cos ),(00==πy x f x ； B 、21)62cos(),(00=-=ππy x f y ； C 、336),(00==πtg y x f x ； D 、3)62(),(00=-=ππtg y x f y 。
3．0lim =∞→n n u是级数∑∞=0n n u 发散的 。
A 、 必要条件； B 、充分条件； C 、充要条件； D 、既非充分又非必要。
4．在区域D ：220x R y -≤≤上的σd xy D ⎰⎰2值为 。
A 、2R π； B 、24R π； C 、332R π； D 、0。
5．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解 。
A 、x y 2=；B 、2x y =；C 、x y 2-=；D 、2x y -=。
二、是非判断题（15分） 1．⎰+-L y x ydx xdy 22=0，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针转一周（ ） 2．如果x∂∂ϕ，y ∂∂ϕ均存在，则),(y x ϕϕ=沿任何方向的方向导数均存在（ ） 3．以),(y x f 为面密度的平面薄片D 的质量可表为σd y x f D ⎰⎰),(。
（ ） 4．)(x f 在],0(π上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且],0[π上收敛于)(x f 。
（ ）1． 微分方程的通解包含了所有的解。
（ ）三、计算题（16分）1． 设),(22xye y xf -=μ，其中f 具有一阶连续偏导数，求x ∂∂μ，y x ∂∂∂μ2。
线性代数第五章答案
线性代数第五章答案第五章相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)=931421111) , ,(321a a a ;解根据施密特正交化方法==11111a b , ???? ??-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ,-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b (2)---=011101110111) , ,(321a a a解根据施密特正交化方法-==110111a b-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)---121312112131211; 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)------979494949198949891. 解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3 设x 为n 维列向量 x Tx 1 令H E 2xx T证明H 是对称的正交阵证明因为 HT(E 2xx T )TE 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x TE 2xx T所以H 是对称矩阵因为 H THHH (E 2xx T )(E 2xx T )E 2xx T 2xxT (2xx T )(2xx T)E 4xx T 4x (x Tx )x TE 4xx T4xx TE所以H 是正交矩阵4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A B 是n 阶正交阵, 故A1A T B1B T(AB )T(AB )B T A TABB 1A 1AB E故AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)----201335212;解 3)1(201335212||+-=-------=-λλλλλE A故A 的特征值为1(三重). 对于特征值1 由----=+000110101101325213~E A得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 1 1)T向量p 1就是对应于特征值1的特征值向量.(2)633312321;解 )9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλλλλE A故A 的特征值为10 2139.对于特征值10, 由=000110321633312321~A得方程A x 0的基础解系p 1(1 1 1) T向量p 1是对应于特征值10的特征值向量. 对于特征值21, 由=+000100322733322322~E A得方程(A E )x0的基础解系p 2(1 1 0)T向量p 2就是对应于特征值21的特征值向量对于特征值39, 由--???? ??---=-00021101113333823289~E A得方程(A 9E )x 0的基础解系p 3(1/2 1/2 1)T向量p 3就是对应于特征值39的特征值向量.(3)0001001001001000.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考）解22)1()1(001010010100||+-=----=-λλλλλλλE A故A 的特征值为121341.对于特征值121, 由=+000000011010011001011001101001~E A得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 0 0 1) Tp 2(0 1 1 0)T向量p 1和p 2是对应于特征值121的线性无关特征值向量.对于特征值341, 由------=-00000000011010011001011001101001~E A得方程(A E )x 0的基础解系p 3(1 0 0 1)Tp 4(0 1 1 0)T向量p 3和p 4是对应于特征值341的线性无关特征值向量.6 设A 为n 阶矩阵证明A T与A 的特征值相同证明因为|ATE ||(A E )T ||AE |T |A E |所以A T与A的特征多项式相同从而A T与A的特征值相同7设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量证明设R(A)r R(B)t则r t n若a1a2a n r是齐次方程组A x0的基础解系显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量类似地设b1b2b n t是齐次方程组B x0的基础解系则它们是B 的对应于特征值0的线性无关的特征向量由于(n r)(n t)n(n r t)n故a1a2a n r b1b2b n t必线性相关于是有不全为0的数k1k2k n r l1l2l n t使k1a1k2a2k n r a n r l1b1l2b2l n r b n r0记k1a1k2a2k n r a n r(l1b1l2b2l n r b n r)则k1k2k n r不全为0否则l1l2l n t不全为0而l1b1l2b2l n r b n r0与b1b2b n t线性无关相矛盾因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量8设A23A2E O证明A的特征值只能取1或2证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则(A23A2E)x2x3x2x(232)x0因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或29设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1（需要说明）因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值10设0是m阶矩阵A m n B n m的特征值证明也是n阶矩阵BA 的特征值证明设x是AB的对应于0的特征向量则有(AB)x x于是B(AB)x B(x)或BA(B x)(B x)从而是BA 的特征值且B x 是BA 的对应于的特征向量11 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A27A |解令()3527 则(1)3 (2)2(3)3是(A )的特征值故 |A 35A27A ||(A )|(1)×(2)×(3)3231812 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A *3A 2E | 解因为|A |12( 3)60 所以A 可逆故A *|A |A 16A 1 A *3A 2E 6A13A 2E 令()6132 则(1)1 (2)5 (3)5是(A )的特征值故 |A *3A 2E ||6A 13A 2E ||(A )|(1)×(2)×(3)15(5)2513 设A 、B 都是n 阶矩阵且A 可逆证明AB 与BA 相似证明取P A 则P 1ABP A 1ABA BA即AB 与BA 相似 14设矩阵=50413102x A 可相似对角化求x解由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为l 1=6, l 2=l 3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于l 2=l 3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T是矩阵---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; 解设l 是特征向量p 所对应的特征值, 则(A -lE )p =0, 即=???? ??-???? ??------0001112135212λλλb a ,解之得l =-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A得A 的特征值为1231由-???? ??----=-00011010111325211~r b E A知R (A E )2 所以齐次线性方程组(A E )x 0的基础解系只有一个解向量因此A不能相似对角化16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)----020212022;解将所给矩阵记为A由λλλλ-------=-20212022E A (1)(4)(2)得矩阵A 的特征值为122134.对于12, 解方程(A 2E )x 0 即0220232024321=----x x x得特征向量(1 2 2)T单位化得T)32 ,32 ,31(1=p对于21, 解方程(A E )x 0即0120202021321=-----x x x 得特征向量(2 1 2) T单位化得T)32 ,31 ,32(2-=p对于34, 解方程(A 4E )x 0即0420232022321=-------x x x 得特征向量(2 2 1) T单位化得T)31 ,32 ,32(3-=p于是有正交阵P (p 1 p 2 p 3)使P 1AP diag(2 1 4)(2)----542452222. （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）解将所给矩阵记为A由λλλλ-------=-542452222E A (1)2(10),得矩阵A 的特征值为121310. 对于121, 解方程(A E )x 0即=???? ?????? ??----000442442221321x x x得线性无关特征向量(2 1 0)T和(2 0 1)T将它们正交化、单位化得T 0) 1, ,2(511-=pT5) ,4 ,2(5312=p对于310, 解方程(A 10E )x 0即=???? ?????? ??-------000542452228321x x x 得特征向量(1 2 2)T单位化得T)2 ,2 ,1(313--=p于是有正交阵P (p 1 p 2 p 3) 使P 1AP diag(1 1 10)17设矩阵------=12422421x A 与-=Λy 45相似求x y 并求一个正交阵P 使P 1AP解已知相似矩阵有相同的特征值显然54y 是的特征值故它们也是A 的特征值因为4是A 的特征值所以)4(9524242425|4|=-=---+---=+x x E A 解之得x 4 已知相似矩阵的行列式相同因为100124242421||-=-------=A yy2045||-=-=Λ所以20y 100 y 5 对于5 解方程(A5E )x 0 得两个线性无关的特征向量(1 0 1) T(12 0)T将它们正交化、单位化得T)1 ,0 ,1(211-=pT)1 ,4 ,1(2312-=p对于4解方程(A 4E )x 0 得特征向量(2 1 2)T单位化得T)2 ,1 ,2(313=p于是有正交矩阵?--=23132212343102313221P 使P 1AP18. 设3阶方阵A 的特征值为122231; 对应的特征向量依次为p 1(0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 解令P (p 1 p 2 p 3) 则P 1AP diag(2 2 1)A P P1因为---=???? ??=--1101110110111111101 1P所以 ???? ??---???? ?-???? ??=Λ=-1101110111000200020111111101P P A------=24435433219 设3阶对称阵A 的特征值为112130 对应1、2的特征向量依次为p 1(122)Tp 2(2 1 2)T求A 解设=653542321x x x x x x x x x A 则A p 12p 1A p22p 2 即=++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x ①=-+-=-+-=-+2 22122222653542321x x x x x x x x x ②再由特征值的性质有x 1x 4x 61230 ③由①②③解得 612131xx --= 6221x x =634132x x -=。
(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
大学-线性代数习题答案05
7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A)R(B)n 证明 A 与 B 有公共 的特征值 有公共的特征向量
证明 设 R(A)r R(B)t 则 rtn 若 a1 a2 anr 是齐次方程组 Ax0 的基础解系 显然它们
17
设矩阵 A142
2 x 2
124
与
5
4
y
相似
求 x y
并
求一个正交阵 P 使 P1AP
解 已知相似矩阵有相同的特征值 显然5 4 y 是
的特征值 故它们也是 A 的特征值 因为4 是 A 的特征值
所以
5 2 4 | A 4E| 2 x 4 2 9(x 4) 0
4 2 5
解之得 x4 已知相似矩阵的行列式相同 因为
2 5 1
1 a b
322 的一个特征向
量
(1)求参数 a b 及特征向量 p 所对应的特征值
解 设是特征向量 p 所对应的特征值 则
(AE)p0
即
2 5 1
1 a
b
2 3 2
111
000
解之得1 a3 b0
(2)问 A 能不能相似对角化？并说明理由
解由
2 1 2 | AE| 5 3 3 ( 1)3
由①②③解得
x1
1 3
1 2
x6
x2
1 2
x6
x3
2 3
1 4
x6
x4
1 3
1 2
x6
x5
2 3
1 4
x6
令 x60
得
x1
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2.在Oz轴上与点A(4,1,7), B(3,5, 2)等距离的
点是
14 (0,0, )
.
9
解 设所求点的坐标为(0,0, z),则
42 12 (z 7为(0,0, 14).
9
9
3.与三坐标轴正向成等角的单位向量是 1 (1,1,1) . 3
则OM
(3, 1, 3)
.
解
设M ( x, y, z),则由M1M
3
MM
得
2
( x, y, z) (3,5,3) 3[(3,3,5) ( x, y, z)],
4( x, y, z) (3,5,3) 3(3, 3,5) (12, 4,12),
( x, y, z) (3,1,3).
8.设 || a || 6,且a与x轴, y轴, z轴正向的夹角依次为
cos 1 ,cos 2 ,cos 1 ,
2
2
2
, ,cos .
34
3
6.已知向量a i 5 j k与b 3i j k共线,则
15, 1
5
.
解
5 1 , 15, 1 .
31
5
7.设M1(3,5, 3), M2(3, 3,5),且点M使M1M 3MM2,
解 设所求向量为 (cosa,cosb,cosc),则
cosa cosb cosc, cos2 a cos2 b cos2 c 1, cosa cosb cosc 1 ,
3
1 (1,1,1).
3
4.向量AB的终点为B(2,1,7),且在x轴, y轴, z轴上的 投影依次为4,4,7,则起点A的坐标是 (2,3,0) .
A r1
r3
G
D
B r2
OG OC CG r3 CG, O
1
1
OG
3 (r1
r2
r3 )
( AG 3
BG
CG ),
G是ABC的重心, AG BG CG 0,
1 OG 3 (r1 r2 r3 ).
§5.1向量及其运算p.1完
§5.2向量的乘法运算p.3
一.填空题
1.与a (2,1,2)共线且满足a x 18的向量 x 2a (4,2,4) .
|
a
|
5,|
b
|
8,
且(aˆ,
b)
3
,
则
||
a
b
||
7
.
6.已知a (1,1,4),b (1,2,2),则Pr j a b
3 .
(aˆ, b)
3 .
4
7.设a (3,5,2),b (2,1,4),又a b与z轴垂直,则
, 满足关系式 2
.
二.计算题p3
1.a (2,3,1),b (1,1,3),c (1,2,0),计算 : (1) (a b)c (a c)b; (2) (a b) (b c); (3) (a b) c. 解 (1) (a b)c (a c)b
(3)用 0 , 0 , 0表示 , , . 解 (1) || || 3, || || 38, || || 3;
(2) 0 1 (1,1,2), 0
3
0 1 (2, 1, 2);
3
1 (2, 3,5), 38
(3) 3 0, 38 0 , 3 0 .
2.ABC的边BC五等分,分点依次为D1, D2, D3, D4,再把
解 设A( x, y, z),则AB (2,1,7) ( x, y, z) (4, 4,7),
( x, y, z) (2,1,7) (4,4,7) (2,3,0).
5.向量a i 2 j k与各坐标轴的夹角分别
是
,,
.
343
解 a i 2 j k 2( 1 i 2 j 1 k), 22 2
(1)求 4a 3b c; (2)求 Pr jx; (3)求在y轴上的分量; (4)求的方向余弦; (5)求与平行的单位向量.
解 (1) 4a 3b c
4{3,5,8} 3{2,4,7} {5,1,4}, {13,7,15}.
(2)求 Pr jx 13;
(3) 在y轴上的分量为7 j; (4) 的方向余弦为 13 , 7 , 15 ;
2.同时垂直于a (2,2,1)与b (4,5,3)的单位向量是
1 (1, 2,2) 3
.
3.以a (1,3,1)和b (2,1,3)为两边的平行四边形
的面积S 3 10 .
4.已知a (2,1,1),b=(3,0,1),
则sin(aˆ, b)
1 11 165 2 15 30
.
5.已知
443 443 443
(5)求与平行的单位向量为 ( 13 , 7 , 15 ).
443 443 443
三.证明题p2
三.设ABC的重心为G,O是坐标原点,OA r1,OB r2,
OC
r3 ,求证:OG
1 3 (r1
r2
r3 ).
C
证明 OG OA AG r1 AG,
OG OB BG r2 BG,
各分点与点A连接,试以AB c, BC a表示D1A,
D2 A,D3 A和D4 A.
解
1 D1 A AD1 ( AB BD1 ) (c 5 a),
D2 A
AD2
(c
2 5
a),
A
3
D3 A
AD3
(c
a ), 5
D4 A
AD4
(c
4 5
a).
c
B
D 1
a D2 D3
D4
C
3.设a {3,5,8},b {2,4,7},c {5,1,4},
第五章向量代数与空间解析几 何
§5.1向量及其运算p.1
一.填空题
1.点M (4, 3,5)到Ox轴,Oy轴,Oz轴及原点O的距离分别是 d(M, x) 34 d(M, y) 41 , d(M,z) 5 , d(M,O) 5 2 .
解 d(M , x) (3)2 52 34. d(M , y) 42 52 41. d(M , z) 42 (3)2 5. d(M ,O) 42 (3)2 52 5 2.
, 和 ,则a (3,3,3 2).
.
33 4
解 a 6(cos ,cos ,cos ) (3,3,3 2).
334
二.计算题(p1)
二.计算题
1.设 {1,1,1}, {2,3,5}, {2,1,2},
(1)求 || ||,|| ||,|| ||; (2)求 , ,的单位向量 0 , 0 , 0;