数形结合思想在中学数学中的应用研究
数形结合思想在中学数学中的应用研究
作者：叶旭丹
来源：《成才之路》2015年第33期
摘要：文章主要研究了数形结合思想方法在学习数学中的应用，以提高学生数学的能力，培养学生的创新精神。
关键词：数形结合；创新精神；触类旁通
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2015）33-0073-02
一、引言
可以说数形结合思想贯穿于整个中学数学的学习过程中，在七年级学习的数轴与实数成一一对应关系中，学生初步体会了数形结合的思想方法；在八九年级的反比例及一二次函数的学习及运用函数的思想求方程的解、求不等式的解集中，学生初步理解了数形结合的思想方法；在高中的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的学习中，学生对它有了进一步的理解；在解析几何的学习中，让学生深刻体会其本质是用代数方法研究图形的几何性质，反过来用图形去解决代数中的问题，体现了数形结合的重要数学思想。
二、数形结合思想的含义、表现形式
（1）数学思想的认识是对数学知识本质的认识，是数学中的精髓之一。
只有重视培养学生对数学思想的认识，才能学会活用知识，达到促进迁移的效果；思想要以知识为载体，知识要以思想为活化剂，知识要通过思想去理解、去激化、去构建，没有思想，知识是空洞的，没有活力的，也是没有意义的。
然而令人遗憾的是，在数学教学过程中，很多教师并没有对思想方法的重要性引起足够的重视，还是传统的教学思想，注重对知识的传授，而忽视了知识发生过程中数学思想的渗透，导致一些学生对知识无法举一反三、触类旁通。
由此可见，做好数学思想方法的教学，可以让学生轻松快乐地学好数学，提高学生数学的能力，更能培养学生的创新精神。
中学数学蕴含着很多的数学思想，如数形结合思想、转换化归思想、分类讨论思想、方程与函数思想、类比联想思想、集合思想、归纳推理思想、抽象概括思想等，抓住突出这些基本思想，就相当于抓住了中学数学知识的本质和精髓。
（2）“数”与“形”是数学的两大基本概念，然而它们之间又是相辅相成的。
著名数学大师华罗庚先生写了一首诗：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离。
法国数学家拉格朗日认为，只要代数和几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄；但当两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，就可以快速的步伐走向完善。
这里的“数”是指数量关系，“形”是指空间形式。
数与形是数学中的两个最基本的概念。
数
学的内容和方法都是围绕对这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。
数学科学的发展，形与数常常是结合在一起的，内容上相互渗透的，方法上相互联系，在一定条件下相互转化的。
数学史表明，早在数学的萌芽时期，人们计算长度、面积、体积，就把数与形联系在一起了。
我国从北宋到元代前期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系表达成代数式之间的代数关系。
17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过引入坐标系，建立了数与形的联系，创立了解析几何学。
之后，几何学中许多长期没有解决的问题，如著名的尺规作图中的“立方倍积”“化图为方”“三等分已知角”等三大问题，最终都借助于代数方法得到彻底解决。
在我们的解题中，也有过这样的体会，有些代数题用图解法助解，常使人顿开茅塞，突破常规思维，使思维进入新的境界。
有些平面几何题，利用数量表示线段或角的大小后，可以巧妙地在纷繁的头绪中辟出捷径，收到事半功倍的效果。
数形结合还可以使形象思维与抽象思维协同作用，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化，化难为易。
（3）数形结合的途径。
1）转化。
在遇到抽象的数学问题感到酥手无策时，我们可以尝试涉及概念的图像表示，探索数量关系赋予的几何特征，思考数学问题背后隐含的几何意义，用直观形象支撑抽象思维。
如|x-a|⩽b的几何意义是数轴上两个数x和a所表示的点之间的距离小于等于b，而当x表示变数时，则表示数轴上到的a点的距离小于或等于b的动点的全体。
【典型例题】：例1：求方程sinx=lgx实解的个数。
分析：由于此题是一个超越方程，若用常规代数解方程的方法，显然难于解答，但只要把y=sinx和y=lgx的图像画在同一坐标系中，原方程解的个数问题转化成两个函数图像交点个数问题，答案一目了然。
说明：本题充分利用了“数”背后“形”的特征，采用数形结合的解题策略。
由本题可见，涉及超越方程问题时，借助函数图像是一个常可尝试的念头。
2）构造。
数形结合的思想方法，除了通过转化，把符号语言“翻译”为图像语言，寻求问题背后的几何意义外，另一种重要途径是探求问题隐含的几何模型，这就是构造。
如自然会联想到平面内（x1，y1），（x2，y2）两点的距离。
典型例题：例2：已知a，b，cR+，求证：++⩾（a+b+c）。
证明：如图，构造边长分别为（a+b+c），（b+c+a）型正方形，那么AB=，BC=，CD=，得++=AB+BC+CD，在等腰RtΔAPD：AD2=（a+b+c）2+（a+b+c）2，故AD=（a+b+c）。
根据AB+BC+CDAD，所以原不等式成立。
例3：已知：α+β+γ=180°，且α，β，γ均为锐角。
求证：sinα+sinβ+sinγ>。
证明：根据题设条件可构造锐角三角形ABC，使∠A=α，∠B=β，∠C=γ。
设O是△ABC外心，R为外接圆半径，由于△ABC为锐角三角形，故点O必在△ABC 内，从而a+b+c>3R。
由正弦定理知：a=2Rsinα，b=2Rsinβ，c=2Rsinγ，∴sinα+sinβ+sinγ>。
说明：此题把三角问题转化为几何中三角形中的边角关系问题，使解此问题简单易行。
3）坐标法。
坐标系的建立是中学数学学习的一个转折点，能使初等数学进入数形结合阶段，并在两个相反方向上进行应用：一方面把几何问题转化为代数问题，通过代数结论获得几何结论；另一方面也可以把代数问题转化为几何问题，通过几何结论获得代数结论。
例4：若0≤x≤1，0≤y≤2，且2y-x≥1，则z=y+2x的最大值等于多少？
分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到z最大值即可。
解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，最大值为y轴上的截距的最大值，当直线z=2x+y经过区域内的点B（1，2）时，z最大，最大值为4。
故答案为：4。
说明：本题主要通过建立坐标系，运用平面区域来表示二元一次不等式组，通过图像获得目标函数的最值问题。
三、结束语
在数学教学中要贯彻数形结合的教学原则，以形数结合的观点深入专研教材，理解数学中的有关概念、公式和法则，掌握形数结合进行分析问题和解决问题的思想方法。
参考文献：
[1]田万海.数学教育学[M].杭州：浙江教育出版社，2002.
[2]李冬胜.数学思维方法[M].太原：山西人民出版社，2010.
[3]王宪昌.数学思维方法[M].北京：人民教育出版社，2002.
[4]张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990.。
数形结合思想在中学数学中的解题应用
数形结合思想在中学数学中的解题应用数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。
教师要尽量发掘数与形的本质联系，促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题，从而提高学生的数学能力。
下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：1.函数中的数形结合思想例1：已知：点（-1，y1）（-3，y2）（2，y3）在y=3x2+6x+2的图象上，则： y1、y2、y3 的大小关系为（）a.y1>y2>y3b.y2>y1>y3c.y2> >y1d.y3>y2>y1分析：由y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1画出图象1，由图象可以看出：抛物线的对称轴为直线x=-1即：x=-1时，y有最小值，故排除a、b，由图象可以看出：x=2时y3的值，比x=-3时y2的值大，故选c.例2：二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点在第三象限，且不经过第四象限，则此抛物线开口向，c的取值范围，b的取值范围，b2-4ac的取值范围。
解：由题意画出图象，如图：从而判断：a>0，c≥0∴对称轴：x=- 0图象与x轴有两个交点：∴△>0即b2-4ac>0例3：如图3，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点c （0，），与x轴交于两点a（x1，0）、b（x2，0）（x2>x1），且x1+x2=4，x1x2=-5.求（1）a、b两点的坐标；（2）求二次函数的解析式和顶点p的坐标；（3）若一次函数y=kx+m的图象的顶点p，把△pab分成两个部分，其中一部分的面积不大于△pab面积的，求m的取值范围。
解：（1）∵x1+x2=4x1·x2=-5且x1<x2∴x1=5，x2=-1.∴a、b两点的坐标是a（5，0），b（-1，0）（2）由a（5，0），b（-1，0），c（0，），求得y=- （x-2）2+3.∴顶点p的坐标为（2，3）；（3）由图象可知，当直线过点p（2，3）且过点m（1，0）或n （3，0）时，就把△pab分成两部分，其中一个三角形的面积是△pab的面积的 .①过n（3，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-3x+9；过点a（5，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-x+5.又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5<m≤9.②过b（-1，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=x+1；过点m （1，0），p（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3≤m<1.∴m的取值范围是-3≤m<1或5<m≤9.2.求最值问题：例.已知正实数x，求y= + 的最小值.分析：可以把 + 整理为 + ，即看作是坐标系中一动点（x，0）到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题.解：y= + ，令p=（x，0）、a（0，2）和b（2，1），则y=pa+pb.作b点关于x轴的对称点b’（2，-1），则y的最小值为ab’= = .3.利用方程解决几何问题例：本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取a、b、c三根木柱，使得a、b之间的距离与a、c之间的距离相等，并测得bc长为240米，a到bc的距离为5米，如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.[解析]如图2，设圆心为点o，连结ob、oa，oa交线段bc于点d.因为ab=ac，所以ab= bc，∴oa⊥bc，且bd=dc= bc=120.由题意，知da=5.设ob=x米.在rt△bdo中，因为ob2=od2+bd2，所以x2=（x-5）2+120.得x=1442.5 .所以，滴水湖的半径为1442.5米.数形结合思想在对于培养和发展学生的空间观念和数感方面有很大的启发作用，利用数形结合思想进行解题可以使的有些复杂问题简单化，抽象问题具体化。
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用作者：邵凯来源：《中学课程辅导·教师教育》 2018年第2期深入探究当前初中数学学科教学实践活动后可知，“数形结合”方法在初中数学课堂教学活动中受到了广泛地运用和教育者的极力推崇。
数形结合的高效学习方法不仅仅被运用于数学课程中实数、函数、统计与概率以及不等式……诸多模块的知识讲解过程中，与此同时教师也注重将“数形结合”学思想渗透于每一环节的教学指导之中，以此实现引导初中生高效理解与掌握数学课程知识并且激发学生抽象逻辑思维能力的不断发展。
一、数形结合在初中数学实数模块教学中的应用在初中数学课程内容安排中，实数是重要的学习知识点之一。
根据新课程教学改革中设计的初中实数模块教学知识点中，数轴不仅仅是辅助学生学习数学实数知识的高效学习手段，同时也是数形结合思想和数学学习方法在教学活动中的具体应用。
借助数形结合数学思想从而找寻图形中与实数特性相同的事例，从而进行知识点的有效转换并且落实于数形结合理念，数轴便是以此而来的。
数轴上的每一个点都能够对应唯一的实数，数轴上有无数个点——这一特征也与实数的性质不谋而合。
与此同时，将数轴定义“左小右大”的数学关系，还将辅助学生根据实数在数轴上的具体对应位置而快速判断实数间的数量大小关系，不仅直观形象，同时还具有高效性。
另外，数形结合的数学方法在实数模块教学中还能够成为学生学习初中数学课程该模块重难点内容的有效学习手段，即有关相反数以及绝对值的数学内容。
数轴充分地运用了数学结合的数学思想，将直线从中心点一分为二，中心点定义为零点，零点往左则为复述，零点往右则为整数。
而数轴这一数学特征恰好符合相反数和绝对值的学习需求，有助于抽象逻辑思维能力水平发展较低的初中生根据直观的数轴图形理解相反数和绝对值的数学含义以及运算法则，这也是数形结合的教学目的。
二、数形结合在初中数学统计模块教学中的应用初中数学学科课程中，统计模块的数学知识不仅体现了数学知识与生活实际息息相关的特点，同时也反映出了数学课程知识的实用性。
中学数学中的数形结合思想的应用
中学数学中的数形结合思想的应用摘要：我将从以下几个典型例题来探讨数形结合思想在中学数学中的应用(函数思想)从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词：中学数学；数形结合；应用；思想方法1 数形结合思想在中学数学中的应用1.1 数形结合思想在集合中的应用1.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。
利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
例1．某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。
（选自《王后雄高考标准诠释》）解：我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。
用表示集合的元素，则有：即：参加竞赛总人数为人。
1.1.2 利用数轴解决集合的有关运算例2．已知集合，⑴若，求的范围。
⑵若，求的范围。
分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有：，这时的值不可能存在．要使，当时集合A应该覆盖集合B，应有成立，即。
当时，，显然成立．故时的取值范围为：在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法，数轴法取交并集，在例题一中通过画韦恩图表示出各集合，可以直观形象的表现出各部分数量间的关系，本题主要强化学生数形结合能力，解此类题目的技巧与方法是画出图形，形象的表示出各数量关系间的联系，从而求解。
在解例题二这一类题目时要先化简集合，确定各集合之间的包含关系，进一步在数轴上表示出来，通过数轴简便求解。
1.2 数形结合思想在解方程中的应用在很多情况下我们对于一些比较复杂的方程不能使用常规的方法去解，也不能使用求根公式，以至于无法求解，那么我们采用数形结合思想，将方程的跟转化为求函数的交点，通过作图可以很好的解答出来。
将数形结合应用到中学数学教学 提高学生综合能力
将数形结合应用到中学数学教学提高学生的综合能力摘要：数与形是数学中的两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
将数与形结合起来解决问题就形成了数形结合。
数形结合是一种数学思想方法，它可以将复杂难懂的数学问题变得简单易懂。
在数学教学中，尤其是中学数学教学中，数形结合是一种非常普遍且有效的数学教学方法，这样的教学方法可以提高学生分析解决数学问题的能力，从而提高学生的综合能力。
关键词：数与形；数形结合；中学数学一、数形结合思想的重要性中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。
数形结合作为一种数学思想方法，它的应用大致可以分为两种情形：一种是借助于数的精确性来阐明形的某些属性；另一种是借助形的几何直观性来阐明数与数之间的某种关系。
也就是说，数形结合包括两个方面：第一个方面是“以数解形”，另一个方面是“以形助数”。
“以数解形”就是当有些图形过于简单、对图形进行直接的观察无法看出什么规律来时，这时就需要借助于数来为图形赋值，如边长、角度等。
我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”数与形是事物的两个方面的属性。
数形结合，主要是指对数与形进行一一对应，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置结合起来，通过抽象思维与具体思维的结合，将复杂难懂的数学问题变得简单易懂，从而优化解题途径。
数形结合思想是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想可以解决以下问题：集合问题、函数问题、方程与不等式问题、三角函数问题、线性规划问题、数列问题、平面几何问题、立体几何问题等。
二、数形结合思想在中学数学教学中的作用1.数形结合思想可以激发学生学习数学的兴趣大多数的学生不喜欢学习数学的最主要的原因就是数学课程很单调而且有些数学问题非常复杂。
教师要想使学生喜欢学习数学、乐于解决数学问题，就必须要克服学生的这两点困难，而数形结合思想就是解决学生这两点抵触心理的最有效的方法。
“数形结合”思想在中学数学教学中的应用
“数形结合”思想在中学数学教学中的应用作者：黄迪来源：《中外企业家·下半月》 2015年第1期黄迪（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳 110034）摘要：数形结合思想现在越来越被广泛应用到很多领域与学科的学习，数形结合思想是数学学科的理解重点也是最主要用到的一个知识点。
数形结合的思想也是对学习数学整个学科的知识的掌握有着直接影响的思想内容，对高效率的提高数学学习有着积极的影响。
其中,数形结合思想其系统性以及直观形象的性质使之对于解决很多问题都有帮助，另外，数形结合思想对培养人们的分析、逻辑以及思维能力都有着非常明显的作用。
关键词：数形结合；中学教学；教学应用中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1000-8772-（2015）03-0159-01收稿日期：2014-12-17作者简介：黄迪（1994-），女，辽宁朝阳人，沈阳师范大学，数学与系统科学学院，本科在读。
研究方向：数学。
一、数学中数形结合思想的内涵数形结合思想也就是指一种思维，是指人们在利用数形结合的思想这样的思维应用到各个学科的总称。
其实按照内在联系的不同可以有很多数学思想，如化归思想、“分类讨论”思想，以及“由数到形” “由数想形”的思想，“数”与“形”的统一思想。
这些思想不仅被应用到中学数学以及高中整个数学学科教学当中，也被商场企业运用到了企业利润实际问题当中。
二、“数形结合思想”在中学数学中的重要性《新课标》指出：“应该使学生能够用所学的知识解决实际的问题的能力的提升，将理论与实践完好的结合的过程的实现”。
数学中的数形结合思想以及分析、逻辑、归纳等思想对于数学思维的能力的提高都是具有很大的帮助作用。
现在的高考对学生能力的考察不再是简单、无序的知识的考察，更加侧重对反向思维以及推理的考察。
三、数形结合思想在中学数学中的应用数形结合的思想，是充分利用其直观性，激发兴趣，寻找简洁巧妙的解题方法。
掌握数形结合的思想，将理论与实践完美结合会有更大的实际价值。
数形结合思想在中学数学中的应用
数形结合思想在中学数学中的应用学院名称：数学计算机科学学院专业名称： 10数学与应用数学专业*名：***同组人员：王帅帅指导教师：***数形结合思想在中学数学中的应用摘要数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。
数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。
本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。
通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词数与形；数形结合；中学数学The combination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and number thought in the middle school problem solving and so on. Through the analysis, comparison and induction,it shows the combination of shapes and number thought's characteristic and advantages in the problem solving, which in actual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shapes and number thought.Keywords Number and shape The combination of number and shapes The mathematics of the middle school目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (4)1 数形结合思想方法概述 (4)1.1 数形结合思想的研究背景 (4)1.2数形结合思想的研究意义及作用 (5)2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 (5)2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 (5)2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合 (5)2.3从高考题设计背景来看数形结合 (6)3 数形结合思想应用的途径和原则 (6)3.1．数形结合的途径 (6)3.2．数形结合的原则 (7)4 数形结合思想方法在中学解题中的应用 (7)4.1“数”中思“形” (7)4.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (7)4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 (8)4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用 (8)4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小 (9)4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用 (9)4.1.6数形结合解决最值问题 (10)4.2“形”中觅“数” (10)5 结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)前言在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。
数形结合思想应用于初中数学教学的课堂实践研究——以“完全平方
30上海中学数学・2019年第1（）期数形结合思想应用于初中数学教学的课堂实践研究——以“完全平方公式”一课为例201803上海市嘉定区金鹤中学朱玉杰摘要：新课程改革倡导以课堂教学为突破口.把数形结合落实到自主歸究性学习中.逐步培养学生数形结合的思维方式.笔者以“完全平方公式”一课为例.在教学过程中渗透数形结合思想.以三个教学片段呈现数形结合在教学中的应用，培养学生数形结合的思维方式，为提高学生自主学习能力和促进学生终生发展奠定基础.关键词：数形结合；完全平方公式一、设计意图数形结合是数学中常用的、重要的数学思想方法之一.新课程改革倡导以课堂教学为突破口，把数形结合落实到自主探究性学习中.逐步培养学生数形结合的思维方式.在“完全平方公式”一课的教学设计中，笔者把“利用图形面积的不同解法探究完全平方公式，感受完全平方公式的几何表征与代数表征的内在联系，领会数形结合思想在完全平方公式中的灵活应用”作为“完全平方公式”这节课的教学目标进行教学，从“探究公式”、“公式拓展”、“知识迁移”三个教学片段阐述设计过程及意图.二、教学片段、教学思考与呈现（一）活动引入，探究公式，体现数形结合1.不同版本教材分析对比与思考教学引入是教学的首要环节，关系到整节课的成败.为寻找一种好的引入方式，笔者查阅、分析了沪教版、人教版、华师大版、北师大版和浙科版等版本教材的教学引入方式.如表1所示.由表1可知，不同版本教材对这一内容引入特点不尽相同，一类是从具体例子出发，经历观察、发现、归纳概括的思维过程；另一类是从“形”的特征出发.发现数形之间的内在联系，抽象、归纳出数学公式.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中首次将完全平方公式单独呈现出来.其中卷二的命题4是“任意分一线段成两段，则整段上的正方形等于两分段上的正方形与两分段构成矩形的两倍之和”.这说明完全平方公式的图形（几何）表征出现在符号代数表征之前.浙科版教材要求学生直接求正方形的面积，进而得出完全平方公式•略显突兀，不够自然.缺少对公式的几何表征与代数表征之间联系的过渡.表1初中教材完全平方公式沪教版计算(a+b)?、(2a+3b)2(:r~y)2和(2/—3》)2,并找寻规律人教版计算（/）+1）2、（加+2）2、（p—I）?和（加一2）2,并找寻规律华师大版计算Ca+bY\并找寻规律北师大版（祝十3）2=（加+3）（加+3）=加'+2X3加+9；（2+3/）2=（2+3乂）（2+3』・）=2?+2X2X3/+9.丫2,找寻两等式的一般规律用两种方法计算大正方形的面积•你发现了浙科版b什么代数公式？a b笔者的课堂引入以活动形式展开，通过小组合作，让学生动手将三个正方形拼一拼.探究三个正方形的面积关系，得出完全平方公式的代数形式，让学生切身体会完全平方公式的几何表征与代数表征的不同点与相通之处•活动过程中，学生对图形面积拼接和分割的方式得出了多种方法.但所有方法都印证了完全平方公式代数表征的正确性，学生深刻体会到“完全平方”与“图形的面积”、“数”与“形”的内上海中学数学•2019年第10期31在联系.从“几何表征下的公式探究”到“从和的平方到差的平方”到“多项式相乘的公式验证”的活动设计，提升了学生的思维品质和认知水平，培养了学生的发散性思维，使学生感受到“一题多解”与“多解归一”的魅力.在活动探究的过程中.教师可以让小组进行比较总结“哪种拼割方式相对简洁”.实践发现，当将两个小正方形放在大正方形的对角位置时(图2和图4的最后一种形式)，公式的几何表征最为明显，计算也最简单.让学生体会数学图形的对称美和简单美.培养学生化繁为简的思维方式，培养学生的数学核心素养，同时也为拓展训练奠定基础.2.本节课教学引入设计活动1准备三张不同颜色且边长分别为a、6、(a+b)的正方形卡片，如图1.问题1三个正方形的面积分别是多少？牛1:(a+6)2、a?、&2.问题2动手操作，小组讨论，通过图形拼接，观察三个正方形的面积关系，探究上述三个代数式ab图2生2：通过计算，得出(a+b)2=a z+2ab+b2.活动2准备三张不同颜色且边长分别为a、》(a—b)的正方形卡片，如图3.问题1三个正方形的面积分别是多少？牛3：/、圧、(a—bY.问题2动手操作，小组讨论，通过图形拼接,b a-b图3观察三个正方形的面积关系，探究上述三个代数式存在怎样的数量关系？生4展示成果.如图4.疋=如生4：通过计算，得出(a-b)2=a2-2ab+b2.师：这两个公式叫做完全平方公式，而(a+6)2和(a~b)2其实是两个相同的多项式相乘，即(a+ b)(a+fe)与(a—b)(a—b)相乘，请通过多项式相乘法则验证这两个公式.(二)活动拓展，运用公式，体现数形结合1.指导思想通过几何图形之间的面积关系，让学生更深入地理解(a+fe)2与a2+62及2ab之间的区别与联系.让学生体会数形结合思想在公式验证和变形中的灵活应用，切实把握“数”与“形”的对应关系，加深学生对知识的理解和掌握.数学知识学习的目的在于透过表象深入本质，课堂教学应以揭示数学规律的本质为出发点，以教师为主导，学生为主体.学生主动探究知识的本质及相互联系.教师要基于学生的认知水平，采用合理的方式将知识点传达给学生，帮助学生体会知识的核心思想，提升学生对规律的理性认识.真正做到融会贯通.2.活动设计活动3准备五张不同颜色且边长分别为a、“c、(a+b)、(a+6+c)的正方形卡片，如图5,探究32上海中学数学•2019年第10期(a+6+c)2公式.图5生6:(a+6+c)2=a2+62+c2+2ai>+2ac+26c (如图6)；(a+6+c)2=(a+6)2+2c(a+fe)+c2=a2 ~\~b~+c2+2a6+2ac+26c(如图7).a+b+c图6图7设计意图：拓展训练，让学生用同样的活动方式探究(a+6+c)2,并利用代数式的乘法法则验证公式的准确性，一以贯之.考查学生对完全平方公式的理解和运用及几何表征与代数表征的转换，同时也融入了整体思想在完全平方公式中的灵活运用，通过对几何表征的探究，学生对公式中“2ab”、“2ac”和“2氏”会有更深入的认识，根据学生的认知能力，变式还可以拓展到(a-b-cV和(a+b~cY的计算，如图8和图9.A G B图8说明：S矩形ABFE=a(b+c),S矩形gbch=a(b+c)(a —b—》=公一2a(b+c)+(b+c)2=a2+62+c2—2ab—2ac+2bc.A G Ba+b图9说明：S矩形abfe=c(a+6),S^^gbch—c(.a+b)•(a+6—c)2=(a+6)2—2<:(<2+6)+/=疋+62+疋+2ab—Zac—26c.活动4准备不同颜色且边长分别为(a+6)、(a_b)的正方形卡片各一张，长为a,宽为b的长方形卡片四张.如图10,探究(a+6)2与(a—6严之间的数量关系.ba+b图］1图10生7(展示成果，如图ll)：(a+fe)2=(a —6)2+ \ab.(三)活动发散，知识迁移，体现数形结合1.指导思想设计思路：活动5是证明勾股定理的一种经典方法，不仅可以考查学生对完全平方公式的掌握情况.也拓展了学生的思维，实现了知识的迁移，更是数形结合思想灵活运用的体现.通过这道题目，学生虽然还不能体会到直角三角形三边数量关系的意义，但对勾股定理有了初步的认识，为学习勾股定理奠定了基础.这道题目充分调动了学生的积极性，使学生对新知探索与新知延伸产生了浓厚的兴趣.2.活动设计活动5准备四张完全相同且三边分别为a』、c的直角三角形纸片，一张边长为c的正方形(如图上海中学数学• 2019年第10期3312）,小组讨论.探究直角三角形三边a 、b 、c 之间的数量关系.bC图12生8 （展示成果，如图13）：c 2=a 2+62.三、思考与小结（一） 以形助数，以数 解形，运用数形结合代数的精确体现了数 学的严密性，但往往伴随着复杂的、难以理解的题 干和条件，通过图形表达复杂的代数.可以帮助学图13生在观察图像的过程中深层次地领悟题干表达的含义，正确梳理解题思路.几何图形的抽象性始终是一 个教学难点，学生无法建立图形之间的联系，解题便 无从下手.“数”的精确可以掀开“形”所蕴含的本质， “形”的直观可以揭示“数”的奥秘，因此在教学过程中，教师不仅要引导学生“以形助数”、“以数解形”，更要将数量关系和图形的性质串联使用，相互转换， 把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一.将抽象思维与形象思维相结合，帮助学生多层次、多角度地思考问题，培养学生的多向思维.（二） 强化实践，培养学生数学思维学生经历数学化活动习得的数学思维方式是数 学核心素养的重要成分之一.如何培养和利用学生 的数学思维，是值得教师关注的问题.单纯的记忆和应用公式，只会让学生迷失在计算的对与错中，反而忽略了知识本身所蕴含的数学思维和育人价值.因此.在实际课堂教学过程中•教师应设计数学化的活动.让学生动手操作实践•通过实践体会知识在不同 层面之间的联系.通过实践感受数形结合的奥妙，不 断提升思维应用能力.（三） 关注单元设计，贯穿数形结合《上海市普通中小学课程方案》指出，“教师要通 过对教学内容的’结构化'组织，加强模块或主题之间 的结合，注意各章节或单元中教学内容之间的联系， 帮助学生形成良好的认知结构”⑴因此•在教学过程 中.教师应把握关系结构，加强对单元的活动设计，注重教材单元中性质相同或有内在联系的知识点.“整式的乘法”这一单元的计算公式，均可以用其几何表征加以解释（如图14）,以拼割图形面积活动为载体， 展开教学,贯穿数形结合，以学定教，帮助学生构建严密的逻辑思维体系，培养学生的核心能力.n b(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab(m-a)(n-b)=mn-mb-an+ab」b —1a|m■------------------- n -----------------图14（四）培养知识生长点，用发展的眼光看数形结合教学的价值不仅仅体现在让学生获得数学知识与技能，更体现在数学本身的智力价值和德育价值， 提升学生的数学素养，让学生在学习数学的过程中，具备数学眼光、养成数学意识、开发数学思维、提炼 数学方法，用发展的眼光看待数学更为重要.教师的教学过程不仅仅是为了让学生关注公式的不同表征，更是让学生学习将“数”的准确和“形”的直观有 机结合的数学思想方法，培养知识的生长点，利用数 形结合的数学思想方法解决复杂的数学问题，感悟知识生长的力量，体会数学的魅力，从而形成正确的数学观.参考文献[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[S].上海：上海教育出版社.2004:18.[2] 栗小妮，沈中宇.“完全平方公式”:从历史中找动因、看形式[J].教育研究与评论（中学教育教学）,2018（3）:46-51.[3] 孔凡哲，史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J].教育科学研究,2017（6）:5-11.[4]滕敏.让数学思想之花在课堂中悄然绽放——《完全平方 公式》教学案例[J].科学大众（科学教育）,2016（1） =18+155.。
(完整版)谈数形结合思想在中学数学解题中的应用毕业论文
目录摘要 (2)Abstrqct (3)1引言 (3)2 方程问题 (4)2.1 方程实根的正负情况 (4)2.2 求方程实根的个数 (4)2.3 含参数的方程 (5)3 不等式问题 (6)3.1 无理不等式 (6)3.2 二元二次不等式组 (6)3.3 高次不等式 (7)3.4 绝对值不等式 (7)3.5 含参数的不等式 (7)4 最值问题 (8)4.1 转化为直线的截距 (8)4.2 转化为直线的斜率 (8)4.3 转化为距离 (9)5 函数问题 (10)5.1 比较函数值的大小 (10)5.2 函数的定义域 (11)5.3 函数的值域 (11)5.4 函数求值 (12)5.5 函数的单调区间 (12)5.6 函数的奇偶性,单调性 (13)6解决线性规划问题 (13)参考文献 (14)致谢 (14)谈数形结合思想在中学数学解题中的应用XXX数学与信息学院数学与应用数学专业2011级指导老师:XXX摘要：数形结合思想在中学数学中应用广泛, 本文将例举说明数形结合思想方法在方程问题，不等式问题，最值问题，函数问题，线性规划问题等方面的实际应用。
充分说明在解题中运用数形结合的方法，借助几何图形的直观描述，如何使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。
在中学数学解题中充分运用数形结合思想,有助于学生思维能力的培养, 有利于他们解题能力的提高。
关键词: 数形结合；数形结合思想；方程问题；不等式问题；最值问题；函数问题；线性规划问题On the combination of application of thought in middle schoolmathematicsXXXCollege of Mathematics and Information Mathematics and AppliedMathematicsGrade 2011 Instructor: XXXAbstrqct：Several form combining ideas is widely used in the middle school mathematics, this article will illustrate that number form combined with the thinking and methods in the equation, inequality problem, the most value problem, function problem, the practical application of linear programming problems.Full explanation in the problem solving, with the method of using the number form, with the help of a visual description of the geometry, how to make many abstract concepts and visual and simplify complex relationships. Full use of in the middle school mathematics problem-solving number form combining ideas, helps to develop students' thinking ability, is conducive to the improvement of their ability to problem solving.Key words:The number of combination form; Several form combining ideas; Equation problem; Inequality problem; The most value problems; Function problem; Linear programming problem1引言数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合思想在中学数学中的运用
ＡＡＢＣ的内角 Ａ满足 ｃｏｓＡ）＜０，则 Ａ的取值范 围
是
．
—
—
解 ：由于函数 厂（ ）是一个抽象 函数 ，因此可根
据 函数 有关性 质 ，由题 意构 造 出符合 条 件 的一个 特
殊 函数 图象 ，如右 图所示 ，由图象及 三角形 内角 范 围
· ５２ ．
《数学之友》
２０１３年第 ２０期
可知：０＜ｃ。 ＜丢或一１＜ Ｊ ，，
例４若不等式 ＞ ＋吾的解集是（４，６），求
｝ ／ 一ห้องสมุดไป่ตู้ ｃ。
１
＜ 一 ， 故 答 案 为 ： ／／ １ ｏ
一
口，ｂ的值． 解 ：本 题 中含 有 参 数 口，
（｝詈）ｕ（ ， ）．
例 ２ 函数 ）＝Ｍｓｉｎ（雠 ＋ ）（ ＞０）在 区 间 ［口，ｂ］上是增函数 ，且 口）＝一Ｍ＇，（ｂ）＝Ｍ，则函数
③ 构造 ，比如构 造 几何 图形 ，构 造 函数 ，构 造 图 表等． ２．２ 运 用数 形 结合 思 想 解题 的 三 种 类 型及 思 维
方 法
① “由形 化数 ”：借 助所 给 的 图形 ，仔 细 观 察 研 究 ，揭示 图形 中蕴含 的数量关 系 ，反 映几何 图形 内在 的属性．
ｂ，为避免繁杂 的讨论 ，可借 助 函数 图 象 ，因 此 需 构 造 已 知 函数．设 Ｙ。＝４７，它的图象
ｇ（ｘ）＝Ｍｃｏｓ（ ＋ ）在 区 间 ［口，ｂ］上 的最 值 为 是经过原点的函数 Ｙ＝ Ｔ的图象，设 Ｙ２＝似 ＋÷（
解 ：利用 特殊 值 法 ，构 造 一 个特殊 函数，并 通过 画 出图 象 进行观察．取 Ｍ ＝１， ＝１， ＝ ０，￣ｌｆ（ ）＝ｓｉｎｘ，ｇ（ｘ）＝ｃ０舛，在
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们通过图形来理解数学概念，同时也可以通过数学计算来解决图形问题。
在初中数学中，数形结合思想被广泛应用在几何和代数学习中，下面将重点介绍。
一、应用一：画图解题数形结合思想可以很好地帮助我们通过画图来理解并解决数学问题。
比如，对于初中学生来说，解决一个关于三角形的问题通常需要我们根据题目描述画出示意图，然后根据图形找到解题的关键，最后运用数学知识得到答案。
以求三角形面积为例，我们可以先根据题目描述画出三角形，然后根据三角形的高和底边长度来求面积。
这个时候，我们要注意的是利用数学知识来适当简化图形，使得问题更易于解决。
二、应用二：利用图像解释代数概念数形结合思想还可以帮助我们更好地理解代数学习中的概念。
比如，中学数学中的一些概念如方程、函数、不等式等都是需要通过图形来进行解释和理解的。
利用数形结合思想，我们可以通过画图把这些抽象的概念转化成易于理解的、实际的图形。
以函数为例，我们可以将函数看作是在坐标系中通过一些点来描述的模型。
这个模型可以通过一个函数方程来描述，同时我们也可以将其表示为一个图形。
通过观察这个图形，我们可以深入理解函数的性质和特点，比如函数的奇偶性、单调性等。
三、应用三：利用数学技巧来解决图形问题数形结合思想不仅可以帮助我们理解图形，还可以帮助我们利用数学技巧来解决一些复杂的图形问题。
比如，对于一些几何形体问题，我们可以通过通过数学计算把一些问题转化为求某些参数的问题，然后通过求解这些参数得到最终的解答。
以求圆的周长为例，我们可以先确定圆的半径，然后利用公式C=2πr来求解其周长。
同样的，对于其他几何形体问题，我们也可以尝试通过类似的方法来解决。