连续系统状态方程的建立

对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消 去其它中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。
对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。
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■
第2页
由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：
（1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为 状态变量； （2）对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程， 对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状 态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去， 然后整理给出标准的状态方程形式； （4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直 接列写输出方程，并整理成标准形式。
§8.2 连续系统状态方程的建立
一、由电路图直接建立状态方程
uC1
首先选择状态变量 。
通常选电容电压和电 感电流为状态变量。
必须保证所选状态变 量为独立的电容电压 和独立的电感电流。
uC2
uC3
(a) 任选两个电容电压 独立
iL1
iL3
iL2
uC1
us
uC2
(b) 任选一个电容电压 独立
iL1
is
iL2
解：由微分方程不难写出其系统函数 方法一：画出直接形式的信号流图
H (s)

2(s 4) s2 3s 2
设状态变量x1(t)、 x2(t) 由后一个积分器，有
x1 x2
由前一个积分器，有
1 f(t)
x2 2x1 3x2 f
系统输出端，有 y(t) =8 x1+2 x2
(t ) (t)


L 0
R2C

▲
0 1


uuss21
(t) (t)
R2C
■
第4页
二、由输入-输出方程建立状态方程
这里需要解决的问题是：
已知系统的外部描述（输入-输出方程、系统函数、 模拟框图、信号流图等）；如何写出其状态方程及输 出方程。
具体方法：
s 4 4s 3
H (s) 1
s
0
3 s2
1 s 4
4s 3
1 1

s
s2
111
4s 3

s2
s
1 4s
3
y+4 y + 3y= f (t) + f (t)
▲
■
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补充内容
• 将例1中的方法2：x1—x2，试试看？ • 并联形式：对角阵
sX(s)


4 3
10X(s) 11F (s)
(sI


4 3
1 0)X(s)

1 1
F
(s)
Y(s) 1 0X(s)
X(s)

(sI


4 3
1 0)
1
1 1
F
(s)
Y (s) 1
0(sI

x3 3x3 x2 x3 x2 3x3
输出方程 y1(t) = x2 y2(t) = -x3 + f
▲
■
第9页
三、由状态方程列输入-输出方程
例3 已知某系统的动态 方程如下，列出描述y(t) 与f(t)之间的微分方程。
x(t)


பைடு நூலகம்
4 3
10x(t) 11[ f (t)]
-1
-2
设中间变量 y1(t) y1 x1 4x1 3x1 f
x2 y1 2x2 3x1 2x2 f

x1 x2

1

3
0 2

x1 x2


1 1[
f
]
系统输出端，有 y(t) =2 x2
▲
■
第7页
方法三
H (s)

2(s 4) s2 3s 2

s
6 1

4 s2
画出并联形式的信号流图
设状态变量x1(t)、 x2(t)
x1 x1 f
f(t)
x2 2x2 f
x1

x2

1

0
0 2

x1 x2

y+a y + by=(13 –4a +b) x1+(–4+a) x2+ f (t) +(a–3) f (t) a=4，b=3 y+4 y + 3y= f (t) + f (t)
▲
■
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解法二 对方程取拉氏变换，零状态。
x(t
)


4 3
10x(t) 11[ f (t)]
0 1
R2

us1 us2
(t) (t)
C
uS2
R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0
代入整理得 输出方程：
x1(t)

x2
(t
)


R1
L 1
C
uR1(t) = R1x1(t)
1 L
1

1


x1 x2
2
s 1
s1 8
-3 x2 x1
-2
▲
■
y(t)
第6页
方法二：
H (s)

2(s 4) s2 3s 2

s4 s 1

s
2
2
画出串联形式的信号流图
1
x x 设状态变量x1(t)、 x2(t)
1 1 s1 4 y1 1
f(t)
x1
2 s1 2
x2 y(t)
x1 x1 f
x1 x1 y2
∑ f(t)
1 x1(t) s 4 x2(t)
s 1
s2
y1(t)
其中， y2= f - x3
x3(t) 1
x1 x1 x3 f
s3
x2 2x2 x1 4x1 3x1 x3 f
x2 3x1 2x2 x3 f
y(t) 1 0x(t)
解法一 由输出方程得 y(t)=x1(t)
y (t)=x1(t) = – 4 x1(t) + x2(t)+ f(t)
y(t)=– 4 x1(t) + x2(t)+ f (t) =–4[–4 x1(t) + x2(t)+ f (t)] + [–3 x1(t) + f (t)] + f (t) =13 x1(t) –4x2(t) –3 f (t) + f (t)

11[
f
]
系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2
x 1 1 s1
6
x1
-1
x 1 2s1
-4
y(t)
x2
-2
可见H(s)相同的系统， 状态变量的选择并不 唯一。
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■
第8页
例2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列 出其状态方程和输出方程。
解 对三个一阶系统
y2(t)
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第3页
例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电 流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。
解 选状态变量
a R1 iL L a R2 iR2
x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t)
uR1
uS1
uC
LC消uiRxxR去2112((((tttt)i)))R++2R(ti1)Rx,列R210((1tt)右)+=R网x10x22(1孔t()t)Kx=x12V(u(ttSL))1(方t) 程00：
（1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出 其信号流图或框图； （2）选一阶子系统(积分器）的输出作为状态变量； （3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方 程； （4）在系统的输出端列输出方程。
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例1 某系统的微分方程为
y(t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8 f (t) 试求该系统的状态方程和输出方程。
四种非独立的电路结构 (c) 任选两个电感电流 独立
(d) 任选一个电感电流 独立
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第1页
状态方程的建立：
根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。
由于
iC
C
d uC dt
uL

L
d iL dt
为使方程中含有状态变量uC的一阶导数 ， 可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程；
为使方程中含有状态变量iL的一阶导数 ， 可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。

4 3
10)
1
1 1
F
(s)
▲
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第 11 页
H (s) Y (s) 1
F (s)
0(sI


4 3
10)1
1 1
(sI


4 3
1 0
)
1

s
3
4
s 1
1 1
s


3 s2
串联形式：三角阵 重根形式：Jordan阵（任何矩阵都和约当阵 相似）
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第 13 页