浙江省201X中考数学复习第一篇教材梳理第四章图形的认识与三角形第13课时线段角相交线与平行线课件
中考数学总复习 第四章 几何初步知识与三角形 第13课
(2)内错角:若两个角位置交错,且都在两条直线之间,则称此两角 为内错角(如图中的∠2和∠8,∠3和∠5),内错角的形状像字母Z.
考点梳理 自主测试
1.如图,C,D是线段AB上两点,若CB=4 cm,DB=7 cm,且D是AC的中 点,则AC的长为( ) A.3 cm B.6 cm C.11 cm D.14 cm 答案:B 2.如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB,若∠EOB=55°, 则∠BOD的度数是( ) A.35° B.55° C.70° D.110° 答案:C
第13课时 几何初步知识及 相交线、平行线
考点梳理 自主测试
考点一 直线、射线和线段
1.直线、射线和线段的基本特征及表示方法
直线
端点个数 长度
无
无法 度量
图形
表示 方法
直线 AB(或 BA)
射线 一个
无法度量
射线 AB
线段 两个
可度量
线段 AB(或 BA)
2.直线的数学基本事实:经过两点有且只有一条直线,简称:两点 确定一条直线.
则 DE=AE+AD=20+8=28(cm). 综上(1)(2)可知,D 点与 E 点的距离是 12 cm 或 28 cm.
命题点1 命题点2 命题点3
考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3
考点梳理整合
命题点2 角的计算 【例2】 如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分 ∠AOE,∠1=15°30',则下列结论中不正确的是 ( )
浙江省2019中考数学复习 第一篇 教材梳理 第四章《图形的认识与三角形》第13课时 线段、角、相交
9．(2018·杭州)如图，已知 a∥b，直线 c 与直线 a，b 分别交 于点 A，B．若∠1＝45°，则∠2＝ 135° .
10．(2017·金华)如图，已知 l1∥l2，直线 l 与 l1，l2 相交于 C， D 两点，把一块含 30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°， 则∠2＝ 20 °.
温馨提示: 垂线是直线，垂线段是指一条线段，点到直线的距离是指垂 线段的长度，是一个有单位的量． 考点四 平行线 1．平行线的定义 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2．平行线的基本事实 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
3．平行线的性质 (1)两直线平行， 同位角 相等； (2)两直线平行， 内错角 相等； (3)两直线平行，同旁内角 互补 ．
【解析】如图，∵∠AGE＝32°，∴∠DGE＝180°－∠AGE ＝148°.由折叠，得∠1＝12∠DGE＝74°.∵AD∥BC，∴∠GHC ＝180°－∠1＝106°.故选 D．
答案：D
8．(2018·嘉兴、舟山)某届世界杯的小组比赛规则：四个球队
进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得 3 分，平一场得 1 D．70°
3．(2018·台州)下列命题正确的是( C ) A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．(2016·宁波)能说明命题“对于任何实数 a，|a|>－a”是假
负一场得 0 分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获
得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则
与乙打平的球队是( )
A．甲
B．甲与丁
C．丙
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中考考点梳理
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考点一 直线、射线、线段
1．直线、射线、线段的区别与联系
项目 名称
端点 个数
可延伸方 向的个数
表示
两个大写字母
直线
0
2
或一个小写字
母
射线
1
线段
2
1
两个大写字母
两个大写字母
0
或一个小写字
母
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图形
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2．直线的基本性质 经过两点有一条而且只有一条直线． 3．线段的基本性质 在所有连结两点的线中， 线段 最短． 4．两点间的距离 连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离．
A．30° C．60°
B．40° D．70°
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3．(2018·台州)下列命题正确的是( C ) A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
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4．(2016·宁波)能说明命题“对于任何实数 a，|a|>－a”是假
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温馨提示: 垂线是直线，垂线段是指一条线段，点到直线的距离是指垂 线段的长度，是一个有单位的量． 考点四 平行线 1．平行线的定义 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2．平行线的基本事实 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
第四章 图形的认识与三角形 第13课时 线段、角、相交线与平行线
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人教版九年级数学第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理
第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=12(∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=12∠A，∠O’=12∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形三、 知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲 相似三角形知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形五、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．。
中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第六节矩形、菱形、正方形精试
第六节矩形、菱形、正方形,贵阳五年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021解答18正方形的性质以正方形为背景考察全等三角形的判定，直角三角形的判定10解答22菱形的性质在直角坐标系中，以菱形为背景考察反比例函数、一次函数的有关知识10202021 解答18菱形菱形的性质及判定10102021解答18菱形菱形的性质及判定10102021解答20菱形利用菱形的性质：(1)1010定．命题预测预计2021年中考，特殊的平行四边形内容仍为重点考察内容，且以解答题形式出现，平时训练要加大对性质及判定的训练力度.,贵阳五年中考真题及模拟)菱形的性质及判定(4次)1．(2021贵阳22题10分)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB 在x轴上，反比例函数y＝x k(x＞0)的图象经过菱形对角线的交点A，且及边BC交于点F，点A的坐标为(4，2)．(1)求反比例函数的表达式；(2)求点F的坐标．解：(1)∵反比例函数y＝x k的图象经过点A，A点的坐标为(4，2)，∴2＝4k，∴k ＝8.∴反比例函数的表达式为y＝x8；(2)过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN ⊥x轴于点N，由题意可知，CN＝2AM＝4，ON＝2OM＝8，∴点C的坐标为C(8，4)，设OB＝x，那么BC＝x，BN＝8－x，在Rt△CNB中，x2－(8－x)2＝42，解得x＝5，∴点B的坐标为B(5，0)，设直线BC的函数表达式为y＝k1x＋b，直线BC过点B(5，0)，C(8，4)，∴8k1＋b＝4，5k1＋b＝0，解得：，20∴直线BC的表达式为yx2＝－1，∵点F在第一象限，∴点F ＝34x－320，根据题意得方程组，8解此方程组得：，4y2＝－8，的坐标为F(6，34)．2．(2021 贵阳18题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB 的中点，且AE∥CD，CE∥AB.(1)证明：四边形ADCE是菱形；(2)假设∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．(计算结果保存根号)解：(1)∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；(2)如图，过点D作DF⊥CE，垂足为点F，那么DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形．∵CE∥AB，∴∠BCE＝120°，∴∠DCE＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，DF＝3.3．(2021贵阳18题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)假设BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．解：(1)∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.∴AE＝CE，DE＝FE，∴四边形ADCF为平行四边形．∵点D，E是AB及AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB＝90°即BC⊥AC，∴DF⊥AC，∴平行四边形ADCF为菱形；(2)∵在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.∵点D是AB 边上的中点，∴AD＝5.∵四边形ADCF为菱形，∴AF＝FC＝AD＝5，∴C四边形＝8＋10＋5＋5＝28.ABCF4．(2021贵阳20题10分)：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC；(2)点F是线段BC的中点，理由如下：易得△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝21∠BAC＝30°，∴AF是△ABC 的角平分线，∵AF交BC于点F，∴AF是△ABC边BC上的中线，∴点F是线段BC的中点．正方形的性质(2次)5．(2021贵阳模拟卷②15题)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，阴影三角形局部的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，……，S n，那么S n的值为__24n－5__．(用含n的代数式表示，n为正整数) 6．(2021贵阳21题10分)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC与CD上．(1)求证：CE＝CF；(2)假设等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．解：(1)易证△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，又BC＝DC，∴BC－BE＝DC－DF，∴CE＝CF；(2)连接AC，交EF于G点，易得AC⊥EF，EC＝，设BE＝x，那么AB＝x＋，在Rt△ABE中，(x＋)2＋x2＝4，∴x＝26，∴AB＝26＋＝26，∴正方形的周长为2＋2.7．(2021 贵阳适应性考试)如图，E，F是菱形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)假设∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．解：(1)∵菱形ABCD，∴AB＝AD，对角线AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE，∴BE＝ED.连接BD交AC于点O，那么OD＝OB，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴▱BEDF为菱形；(2)在菱形ABCD中，连接BD交于AC于O点，∴DB⊥AC，又∵∠DAB＝60°，∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°，∵AD＝6，∴在Rt△ADO中，DO＝21AD＝3，∵AE＝ED，∴∠DAE＝∠ADE，∠ADE＝∠EDO＝30°，在Rt△DEO中，可求得DE＝2，∴菱形BEDF 的周长为8.,中考考点清单)矩形的性质及判定1．定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图(1)．2．性质文字描述字母表示[参考图(1)](1)对边平行且相等AD綊BC，AB綊CD(2)四个内角都是直角__∠DAB__＝∠ABC＝∠BCD ＝∠CDA＝90°(3)两条对角线相等且互相平分AC＝__BD__，OA＝OC＝OB＝OD(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形3.判定文字描述字母表示[参考图(1)](1)有一个角是直角的平行四边形是矩形假设四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD＝90°，那么四边形ABCD是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形假设∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，那么四边形ABCD是矩形(3)对角线相等的平行四边形是矩形假设AC＝__BD__，且四边形ABCD是平行四边形，那么四边形ABCD是矩形菱形的性质及判定(高频考点)4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图(2) 5．性质文字描述字母表示[参考图(2)](1)菱形的四条边都相等AB＝__BC__＝CD＝DA(2)对角相等∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝__∠ABC__(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CAB ＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形6．判定文字描述字母表示[参考图(2)](1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形假设四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB，那么四边形ABCD是菱形(2)四条边相等的四边形是菱形假设AB＝BC＝CD＝DA，那么四边形ABCD是菱形(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形假设AC⊥BD，且四边形ABCD 是平行四边形，那么四边形ABCD是菱形正方形的性质及判定7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图(3)8．性质文字描述字母表示[参考图(3)](1)四条边都相等即AB＝BC＝CD＝DA(2)四个角都是90°即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°(3)对角线互相垂直平分且相等即AC⊥__BD__，OA＝OC＝OD＝OB(4)对角线平分一组对角∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形9.判定文字描述字母表示[参考图(3)](1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形假设四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ADC＝90°，那么四边形ABCD是正方形(2)有一个角是直角的__菱形__是正方形假设∠ABC＝90°且四边形ABCD是菱形，那么四边形ABCD是正方形(3)有一组邻边相等的矩形是正方形假设AB＝BC，且四边形ABCD 是矩形，那么四边形ABCD是正方形(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形假设四边形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD，那么四边形ABCD是正方形,中考重难点突破)矩形的有关计算【例1】(2021天津中考)如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′，DC相交于点E，那么以下结论一定正确的选项是( ) A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AED．AE＝CE【解析】由折叠的性质得：∠CAB′＝∠∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝∠CAB′，∴AE＝CE.【学生解答】D1．(2021海南中考)如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a ∥b，∠1＝60°，那么∠2的度数为( C )A．30°B．45°C．60°D．75°,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2021南充中考)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB及DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展开纸片后∠DAG的大小为( C )A．30°B．45°C．60°D．75°3．(2021巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，那么∠E＝__15__°.菱形的性质及判定【例2】(2021南充中考)如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是________cm.【解析】菱形的四边形相等，故AB＝8÷4＝2(cm)．【学生解答】24．(2021无锡中考)以下性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直5．(2021雅安中考)如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，那么四边形ABCD的周长为( A )A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm6．(2021遵义中考)在▱ABCD中，，使▱ABCD成为菱形，以下给出的条件不正确的选项是( C )A．AB＝AD B．AC⊥BDC．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC7．(2021苏州中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB ＝90°.又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；(2)∵∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.正方形的性质及判定【例3】(2021广东中考)如图，正方形ABCD的面积为1，那么以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )A. B．2C.＋1 D．2＋1【解析】由题意可知，正方形ABCD的边长为1，那么CE＝CF＝21.由勾股定理，得EF＝＝）21＝22，故正方形EFGH的周长为2.【学生解答】B8．(2021益阳中考)以下判断错误的选项是( D )A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形9．(2021陕西中考)如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，假设M，N是AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于M′，N′两点，那么图中全等三角形共有( C )A．2对B．3对C．4对D．5对,(第9题图)) ,(第10题图))10．(2021西宁中考)如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC 边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.假设AE＝1，那么FM的长为__25__．。
浙江省中考数学考点复习第14课线段、角、平行线与相交线课件
3．平行线的性质常常用来证明角相等或互补，利用该性质时要注意“两 直线平行”这一前提条件．
4．平行线间的距离处处相等(等高)常用于求三角形的面积，等积变形 常通过作平行线实现．
3．只有当两直线相交时才能产生对顶角，且对顶角是成对出 现的．对顶角相等常在证明中作为已知条件．
特别关注
1．互补、互余的两个角不一定相邻，互补、互余是根据两角 的和来判断的．
2．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角．
【典例 1】 (2015 ·福建厦门)如图 14-1，在△ ABC 中，∠C
＝90°，点 D，E 分别在边 AC，AB 上．若∠B＝∠ADE，则
特别关注 在进行平行线的判定时，要准确识别是由哪对角相等或互
补能得到这两条直线平行．当直线较多时，要注意结合“三线八角” 的基本图形来寻找条件．
【典例 3】 (2015·河南)如图 14-3，直线 a，
b 被直线 c，d 所截．若∠1＝∠2，∠3＝125°，
则∠4 的度数为
()
A．55°
180°，称这两个角互补． 8．对顶角的性质：对顶角相等．
要点点拨
1．角的表示方法有多种，如∠BAC，∠1，∠α，∠A 等．但 当顶点处的角不止一个时，不能用一个字母来表示这个角， 只能用∠BAC 或∠1 的形式表示．
2．同角(或等角)的余角(或补角)相等，该性质常用于直角三角 形和矩形中证明角相等．
考点三 平行线的判定与性质、平行线间的距离
考点清单
1．“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直 线所截而成的八个角．
浙江省2019中考数学复习 第一篇 教材梳理 第四章《图形的认识与三角形》第14课时 三角形课件
解：若∠A 为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝80°. 故∠B＝50°或 20°或 80°.
(2)解答(1)后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数 的个数也可能不同，如果在等腰三角形 ABC 中，设∠A＝x°，当 ∠B 有三个不同的度数时，请你探索 x 的取值范围．
答案：78.
6．(2018·绍兴、义乌)数学课上，张老师举了下面的例题： 例 1 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝110°，求∠B 的度数．(答 案：35°) 例 2 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝40°，求∠B 的度数．(答 案：40°或 70°或 100°) 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝80°，求∠B 的度数． (1)请你解答以上的变式题；
2．三角形三边的关系 (1)三角形任何两边的和 大于 第三边； (2)三角形任何两边的差 小于 第三边．
3．三角形内角和 定理：三角形的内角和等于 180° ． 推论：(1)三角形的外角 等于 与它不相邻的两个内角的和； (2)三角形的一个外角 大于 任意一个和它不相邻的内角． 温馨提示: 任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有 一个钝角；最多有一个直角．
(1)若∠A＝28°，求∠ACD 的度数．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝28°， ∴∠B＝62°. ∵BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC＝180°－ 2 62°＝59°， ∴∠ACD＝90°－∠BCD＝31°.
(2)设 BC＝a，AC＝b． ①线段 AD 的长是方程 x2＋2ax－b2＝0 的一个根吗？请说明 理由．
浙江省201x中考数学复习第一篇教材梳理第四章图形的认识与三角形第15课时全等三角形
考点一 全等三角形的概念与性质 1．全等图形及全等三角形 (1)全等图形：能够 重合 的两个图形称为全等图形； (2)全等三角形：能够 重合 的两个三角形叫做全等三角形．
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温馨提示: 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点 的 字 母 写 在 对 应 的 位 置 上 .如 右 图 ，△ ABC 和 △DBC 全等，点 A 和点 D，点 B 和点 B，点 C 和 点 C 是对应顶点，记做△ABC≌△DBC.
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5．(2017·温州)如图，在五边形 ABCDE 中，∠BCD＝∠EDC ＝90°，BC＝ED，AC＝AD．
(1)求证：△ABC≌△AED；
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90°， ∴∠BCD－∠ACD＝∠EDC－∠ADC， 即∠BCA＝∠EDA． 在△ABC 和△AED 中，
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1. 如图，△ABC≌△EBD，∠E＝50°，∠D＝62°，则∠ABC 的度数是( A )
A．68° B．62° C．60° D．50°
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2. 如图，已知 BD 是△ABC 的角平分线，ED 是 BC 边的垂直 平分线．若∠BAC＝90°，AD＝3，则 CE 的长为( D )
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
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2．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°， BC，DE 相交于点 F，则∠DFB 的度数是( B )
A．15° B．20° C．25° D．30°
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3．(2018·台州书生中学检测)如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 延长线上的一点，且 AD＝DE，连结 BE 交 CD 于点 O，连结 AO，下列结论不正确的是( A )
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浙江考情分析
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三年中考精选
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1．(2018·衢州)如图，直线 a，b 被直线 c 所截，那么∠1 的 同位角是( C )
A．∠2 C．∠4
B．∠3 D．∠5
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2．(2017·衢州)如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则 ∠E 等于( A )
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温馨提示: 垂线是直线，垂线段是指一条线段，点到直线的距离是指垂 线段的长度，是一个有单位的量． 考点四 平行线 1．平行线的定义 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2．平行线的基本事实 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
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考点三 相交线 1．邻补角、对顶角及其性质 (1)如图，直线 a，b 相交，形成四个角．
图中的邻补角有∠1 和∠2，∠1 和∠4，∠2 和∠3，∠3 和∠4； 图中的对顶角有∠1 和∠3，∠2 和∠4.
(2)性质：邻补角互补；对顶角相等．
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2．垂线及其性质 (1)垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角， 那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做 垂足 ． (2)性质：①在同一平面内，过一点有一条而且只有一条直线 垂直于已知直线；②一般地，连结直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短． (3)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的 距离．
命题的一个反例可以是( A )
A．a＝－2
பைடு நூலகம்
B．a＝13
C．a＝1
D．a＝ 2
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5．(2016·湖州)如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直．若 AD＝8，则点 P 到 BC 的距离是( C )
A．8 C．4
B．6 D．2
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6．(2018·杭州)若线段 AM，AN 分别是△ABC 的 BC 边上的
高线和中线，则( D )
A．AM＞AN
B．AM≥AN
C．AM＜AN
D．AM≤AN
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7．(2018·衢州)如图，将矩形 ABCD 沿 GH 折叠，点 C 落在 点 Q 处，点 D 落在 AB 边上的点 E 处．若∠AGE＝32°，则∠GHC 等于( )
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考点二 角与角的计算 1．角的基本概念 由两条有公共端点的射线所组成的图形叫做角，也可以把角 看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． (1)1 周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°，1°＝60′，1′＝ 60″ ． (2)小于 90°的角叫做 锐角 ，大于 90°而小于 180°的角叫 做 钝角 ，等于 90°的角叫做 直角 ．
进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，
负一场得 0 分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获
得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则
与乙打平的球队是( )
A．甲
B．甲与丁
C．丙
D．丙与丁
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【解析】∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四 名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，∴甲得分为 7 分，胜 2 场平 1 场，乙得分为 5 分，胜 1 场平 2 场，丙得分为 3 分，胜 1 场平 0 场，丁得分为 1 分，胜 0 场平 1 场．∵甲、乙都没有输球， ∴甲一定与乙平．∵丙得 3 分，胜 1 场平 0 场，乙得 5 分，胜 1 场平 2 场，∴与乙打平的球队是甲与丁．故选 B．
答案：B
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9．(2018·杭州)如图，已知 a∥b，直线 c 与直线 a，b 分别交 于点 A，B．若∠1＝45°，则∠2＝ 135° .
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10．(2017·金华)如图，已知 l1∥l2，直线 l 与 l1，l2 相交于 C， D 两点，把一块含 30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°， 则∠2＝ 20 °.
A．30° C．60°
B．40° D．70°
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3．(2018·台州)下列命题正确的是( C ) A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
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4．(2016·宁波)能说明命题“对于任何实数 a，|a|>－a”是假
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5．线段的中点 (1)如图，点 B 在线段 AC 上，且 AB＝BC，则点 B 叫做线段 AC 的中点．
(2)线段中点的几何表示： AB＝ BC ＝12AC；AC＝2AB＝ 2BC ．
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6．线段的和与差 如图，在线段 AC 上取一点 B，则 AB＋BC＝AC；AB＝AC － BC ；BC＝AC－ AB ．
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中考考点梳理
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考点一 直线、射线、线段
1．直线、射线、线段的区别与联系
项目 名称
端点 个数
可延伸方 向的个数
表示
两个大写字母
直线
0
2
或一个小写字
母
射线
1
线段
2
1
两个大写字母
两个大写字母
0
或一个小写字
母
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图形
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2．直线的基本性质 经过两点有一条而且只有一条直线． 3．线段的基本性质 在所有连结两点的线中， 线段 最短． 4．两点间的距离 连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离．
A．112° B．110° C．108° D．106°
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【解析】如图，∵∠AGE＝32°，∴∠DGE＝180°－∠AGE ＝148°.由折叠，得∠1＝12∠DGE＝74°.∵AD∥BC，∴∠GHC ＝180°－∠1＝106°.故选 D．
答案：D
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8．(2018·嘉兴、舟山)某届世界杯的小组比赛规则：四个球队
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2．互为余角和互为补角 (1)互为余角：如果两个角的和是一个 直角 ，那么这两个角 互为余角； (2)互为补角：如果两个角的和是一个 平角 ，那么这两个角 互为补角； (3)性质：同角或 等角 的余角相等；同角或 等角 的补角相 等．
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3．角平分线 (1)角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分 成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． (2)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；角的内部 到角的两边距离相等的点在角的平分线上.