排列组合综合应用题
高中排列组合经典例题
运用两个基本原理例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。
例1．用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
A．24个 B.30个 C.40个 D.60个30。
例2．(1995年上海) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种．72例3．（2000年全国）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种.A33· A72＝252例4．从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？例5．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
练习1（89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个（用数字作答）。
36三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
排列、组合的综合问题
从 1，3，5，7，9 中任取三个数，从 2，4，6，8 中任取两 个数，则可以组成没有重复数字的五位数的个数为________． 解析：“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从 1，3， 5，7，9 中任取三个数，有 C35种取法；第二步，从 2，4，6，8 中任取两个数，有 C24种取法；第三步，将取出的五个数全排列， 有 A55种排法．共有符合条件的五位数 C35C24A55＝7 200(个)． 答案：7 200
• 处理有附加条件的排列、组合应用题的策略: • (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，
再考虑其他元素; • (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，
再考虑其他位置; • (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，
再减去不合要求的排列数或组合数.
【基础检测】
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜中选
个，再加上 3 开头的排列数才共有 180 个，如果加
上 4 开头的，则共有 240 个，所以第 200 项应该是
4 开头的数．
而形如 4 1
数，有 A24＝12 个．
故 200 项在形如 4 2
中．
又 421
， 423
各有 3 个数，故此数应在形如 4 2 5 中 的 第 二 个数、即符合 180＋12＋3＋3＋2＝200. 故所求第 200 项为：4253.
A．24
B．48
C．120
D．72
D
【解析】解法一：特殊位置法：第一步：从除
A 外的 4 人中选 2 人参加理、化竞赛，有 A24种选法； 第二步：从剩余 3 人中选 2 人参加数、英竞赛，有 A23种选法，共 A24·A23＝72 种．
解法二：特殊元素法：分选 A 及不选 A 两种， 共 C34·C12A33＋A44＝72 种．
排列组合典型例题
典型例题一之宇文皓月创作例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个∴没有重复数字的四位偶数有典型例题二例2三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种分歧的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种分歧的排法？（3）如果两端都不克不及排女生，可有多少种分歧的排法？（4）如果两端不克不及都排女生，可有多少种分歧的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元歧的排法．（2）（插空法）要包管女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生拔出这六个位置中，只要包管每个位置至多拔出一个女生，就能包管任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一中选出三个来让三个女生拔出都方法，因此共有（3）解法1：（位置分析法）因为两端不克不及排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位6位都解法2：3个女生和5种数．因此共有36000662388=⋅-A A A 种分歧的排法． 典型例题三例 3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（1）先排歌唱节目有55A 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有46A 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A 46A ＝43200.（2）先排舞蹈节目有44A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。
数字的排列组合应用题
数字的排列组合应用题在数学中，排列组合是一种常见且基础的数学概念，它涉及到数字的排列和组合方法。
排列指的是将一组数字按照特定的顺序进行排列，而组合则是选择一部分数字，不考虑顺序的组合方式。
在实际生活和问题求解中，我们经常会遇到一些需要使用排列组合的应用题，下面将介绍几个常见的应用例子。
1. 生日问题假设有一群人，每个人的生日都在同一年。
现在我们想知道，至少需要多少人，才能保证至少两人生日在同一天？解答：这个问题可以转化为排列组合的应用。
首先考虑没有重复生日的情况，第一个人可以选择任意一天作为生日，第二个人只能选择除去第一个人生日那天以外的364天作为生日，第三个人只能选择除去前两个人生日那两天以外的363天作为生日，以此类推。
所以，如果没有重复生日，需要至少365个人才能保证每个人的生日都不一样。
但是，题目中要求至少两人生日在同一天，所以我们需要计算至少两人生日在同一天的概率。
假设有n个人，每个人的生日都是365天中的任意一天，那么至少两人生日在同一天的概率可以表示为1 - 不同生日的概率。
不同生日的概率为：P(不同生日) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * ((365 - n +1)/365)当概率小于0.5时，即至少两人生日在同一天的概率超过了50%，我们可以得出结论至少需要的人数。
2. 幸运号码某个抽奖游戏中，参与者需要选择5个不同的数字作为幸运号码，每个数字的取值范围是1-30。
现在我们想知道，一共有多少种不同的幸运号码组合？解答：这个问题可以看作是一个排列问题。
由于选取的数字不能重复，所以我们需要计算的是从30个数字中选取5个数字的排列数。
根据排列的计算公式：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n代表总数字个数，r代表需要选择的数字个数。
“！”表示阶乘运算。
根据上述公式，我们可以计算得出一共有多少种不同的幸运号码组合。
排列组合应用题
例6 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班 长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程. 解 43人中任抽5人的方法有C 种,正副班长,团支部 书记都不在内的抽法有C 种,所以正副班长,团支部书 记至少有1人在内的抽法有 C C 种. 结论6 排异法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它 的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中 排除.
巩固练习7 ：有6名同学站成一排，求：
（１）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法：
（２）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法： （３）甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不 相邻，共有多少种不同的坐法？
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待. 所涉及问题是排列问题. 8 A8 种排法,然后把老师插入学生 解 先排学生共有 之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共 4 有 A7 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 A88 A74 种. 结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲 的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列 中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种 情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避 免了问题的复杂性. 解 不加任何限制条件,整个排法有 A99 种,“语文安排 在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法 1 9 A 是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 9 2 种. 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与 结论5
排列组合应用题
排列组合问题
1、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双; (2) 4只鞋子恰好成双；
(3) 4只鞋子有2只成双，另2只不成双
2、有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划右舷, 现要
从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?
3、要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛，每班至少选1人，这10个名额有多少种分配方法?
4、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法有多少种？
5、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有多少种方法？
6、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？
7、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
8、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至
少有1人参加，则有不同参赛方法______种.
9、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
10、(1)6本不同的书分给5个人，每人至少一本,多少种不同的分法?
(2)6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本,有多少种不同的分法？
(3)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
(4)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?。
排列组合应用题—综合[1]
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排列组合应用题—综合一．选择题1.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法共有 （ ）（A ）90种 （B ）180种 （C ）270种 （D ）540种2．从8盒不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．3603.20个不加区别的小球放入编号为1号，2号，3号三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于盒子的编号数，则不同的放法总数是 （ ）（A ）760 （B ）764 （C ）120 （D ）914．从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 （ ）A ．231040A AB ．2323104043C C A A C ．23510405C C AD ．231040C C 5．编号1，2，3，4，5，6的六个球分别放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，其中有且只有三个球的编号与盒子的编号一致的放法种数有 （ ）A ．20B ．40C ．120D ．4806．如果一个三位正整数形如“123a a a ”满足1232a a a a <<且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为 （ ）A ．240B ．204C ．729D ．9207．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是( ) A ．234 B ．346 C ．350D ．363 8．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( ) A ．2426C A B ．242621C A C ．2426A A D ．262A 9．4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有( ) A ． 12 种 B ． 24 种 C 36 种 D ． 48 种10．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 ( )A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种 12．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是A ．48B ．36C ．28D ．1213．已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6}，设映射B A f →:，使集合B 中的元素在A 中都有原象，这样的映射个数共有（ ）A ．16B ．14C ．15D ．12 14．ABCD —A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→……，黑蚂蚁爬行的路是AB →BB 1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第i i 与第2+段所在直线必须是异面直线（其中i 是自然数）.设白、黑蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0 15. 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为( ) A.480 B.240 C.120 D.9616.从1，2，3，4，5，6中任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面,若只有1和3其中一个时,也应排在其它数字的前面,这样的不同三位数个数有( ) A 321144432A A C C ++ B.311443A A C + C.3612A +24A D.36A 17.有7名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 ( )（A ）240 （B ）192 （C ）96 （D ）48二．填空题1．五个不同的球放入四个不同的盒子，每盒不空，共有____ 种放法。
高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解
高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和技巧。
排列组合主要涉及对对象的选择和排列，而概率则是研究事件发生的可能性。
在解决实际问题时，这两个概念常常会结合起来使用。
本文将通过具体的题目来说明如何应用排列组合与概率的知识解决综合应用题。
题目一：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，其中至少有1个男生。
求这样的小组的可能数。
解析：这是一个典型的排列组合问题，我们需要从10个男生中选出至少1个男生，再从8个女生中选出剩下的2个人。
根据排列组合的知识，我们可以得出解题步骤如下：1. 选出1个男生的可能数：C(10, 1) = 102. 从8个女生中选出2个人的可能数：C(8, 2) = 283. 将步骤1和步骤2的结果相乘，得到最终的结果：10 * 28 = 280所以，这样的小组的可能数为280。
通过这个题目，我们可以看到排列组合的应用，以及如何将多个步骤结合起来求解问题。
这对于高中学生来说，是一个很好的练习。
题目二：某班有10个男生和8个女生，从中随机选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有1个男生的概率。
解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。
根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：1. 满足条件的小组数：根据题目一的解析，我们已经知道满足条件的小组数为280。
2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。
3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：280 / 816 ≈ 0.343。
所以，这样的小组中至少有1个男生的概率约为0.343。
通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。
这对于高中学生来说，是一个很好的练习。
题目三：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有2个男生的概率。
解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。
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例3、有6本不同的书，试问：
（1）平均分成三堆，每堆2本，有几种不同的分法？ （2）平均分给甲、乙、丙三人，有几种不同分法？ （3）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有几种
分法？
（4）分给甲、乙、丙三人，一人得1本，一人得2本， 一人得3本，有几种分法？
（（35））分不成均三匀堆分，堆一问堆题四本：，由另于两各堆堆每不堆同1本的，元有素几种个数
（6）分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另两人每人 得1本，有几种分法？
例3、有6本不同的书，试问：
（1）平均分成三堆，每堆2本，有几种不同的分法？ （2）平均分给甲、乙、丙三人，有几种不同分法？ （3）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有几种
分法？
2 2 2 （（4）1）分均给匀甲、分乙堆、问丙题三：人注，意一人则得分1堆本过，一程人中得要2本消，除
C C C A （（46））分得分不是 用1法给均本是再？甲匀，每除、有分堆。乙几配的、种61问丙特分题三征法人5：2，？，在不一不出3人3均现得匀重四33分本复堆，情另的况两问，人题所每上以人排不
列
练 习
按下列要求分别有多少种不同的送书方法：
1、5本不同的书送给6个人；
（)
2、5本不同的书送给6个人，每人至多1本；
3、6本不同的书全部送给5个人，每人(至A少65 )1
本；
(C62 A55 )
4、3本相同的书送给5个人，每人最多1本；
5、3本相同的书送给5个人。一一三本本本一一一人人人(，CCC二55135本3 一人) A52
例3、有6本不同的书，试问：
（1）平均分成三堆，每堆2本，有几种不同的分法？ （2）平均分给甲、乙、丙三人，有几种不同分法？ （3）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有几种
分法？
（4）分给甲、乙、丙三人，一人得1本，一人得2本， 一人得3本，有几种分法？
（5）分成三堆，一堆四本，另两堆每堆1本，有几种 分法？
2、排列数、组合数公式
Anm
n(n
1)......(n
m
1)
(n
n! m)!
1、排列、组合的定义
（从1）n个相不同同点元：素都中取是出从mn(个m≤不n）同个的元元素素， （按同从成素2）元的照一n个素一一组不不定，取个同同出的叫组点元顺做合m：素个序 从. 中排序排中元排 n取个取序.列素成出不出，对的一同m一m而于列(元m个个，组取≤素排元叫n合出中）列做素则的取个.从；不元出元n管素个m素个不顺并要元
C C C 6 4 2 3 2 2 2 一分人堆得3时本无，形有中几种产分生法的？有序因素，即除以均
（5）分匀成堆三堆数，的一全堆排四列本.，另两堆每堆1本，有几种
A C C C 3 3 6 4 2 （（6）2）分分均法给匀？甲、分乙配、问丙题三：人在，均一人匀得分四堆本的，基另础两上人每排人序. A3 得1本，有几种分法？
例2、从1，3，5，7，9中任取3个数字，从 2，4，6，8中任取2个数字，一共可以 组成多少个没有重复数字的五位数？
C C A 7200 解决排53列组●合混合问42题，●先考虑5组5 合的各
种可能，然后再作排列，即采取“先取后 从排1”、3的、方5、法7.、 从2、4、6 取出的5位
9中任取3个数字 8中任取2个 数进行排列
1、排列、组合的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不 同元素取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素并 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合.
2、排列数、组合数公式
1、取是出从mn(个m≤不n）同个的元元素素， （按同从成素2）元的照一n个素一一组不不定取个，同同出叫的组点元顺做合m：素个序从. 中排序排中元排n取个取序.列素成出不出，对的一同m一m而于列(元m个个，组取≤素排元叫n合出中）列做素则的取个.从；不元出元n管素个m素个不顺并要元
例
不同方法的种数是 35 243
；
题 （对4）于集排合列A组有m合个的元应素用，问集题合，B有解n题个元的素关，
键类是问从的做题两方到 还个 法两是集 种个分合 数“步中 是各分问取清题出”；m1n:二个一元是是素要要.，分分不清清同是是分
方 排列问题还是组合问题.即分步相乘、 法 分类相加，有序排列、无序组合.
2、排列数、组合数公式
Cnm
n(n
1)......(n m!
m
1)
n! m!(n
m)!
例1、填空
（1）有3张参观券，要在5人中确定3人去
参观，不同方法的种数是 C53 10 ；
典
（2）要从5件不同的礼物中选出3件送3位 同学，不同方法的种数是 A53 60 ；
型 （3）5名工人分别要在3天中选择1天休息，