15梁内力计算及内力图绘制(一)
材料力学第3讲-绘制梁内力图的基本方法
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律， 分别称作剪力方程和弯矩方程.
①剪力方程(Shear- force equation)
FS= FS(x)
②弯矩方程(Bending-moment equation)
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截
面的内力偶矩.
FRAy
m
m
FS M
C
②剪力(Shear force) FS
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面 的内力.
M C
FS
F B
FRB
F FRB
2）梁的内力的正负号规定 (Sign convention for internal force)
m FS
①剪力的正负号规定
左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩
右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
【例题2-3-4】轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN， a = 230mm，b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面
M= M(x)
2）剪力图和弯矩图(Shear-force & bending-moment diagrams)
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图 FS(x)
x O
O
x
FS 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
钢筋混凝土简支梁设计精选全文
可编辑修改精选全文完整版钢筋混凝土简支梁设计某厂房（3级建筑物），砖墙上支撑简支梁，该梁处于二类环境条件。
其跨长、截面尺寸如图所示。
承受的荷载为：均布荷载g k=20KN/m，均布活载q k=15KN/m(荷载分项系数取1.15)，G k=28.6KN。
采用C25混凝土，纵向受力钢筋为HRB335级钢筋，箍筋为HPB235级钢筋试设计此梁并绘制配筋图。
钢筋混凝土简支梁设计一、基本资料（一）荷载分项系数1、永久荷载对结构有利r G=1.0，不利r G=1.22、可变荷载分项系数，一般情况下r Q=1.4,可控制r Q=1.15（二）材料强度设计值1、取G k=27KN,C25混凝土ƒc=11.9MPa, ƒt=1.27 MPa.2、钢筋级别为：纵向受力钢筋HRB335 ƒy= ƒy、=310 MPa，箍筋及其他纵向构造钢筋HPB235 ƒy=210 MPa.3、混凝土保护层厚度（环境类别二类环境）c=35㎜；最小配筋率ρmin=0.2%二、截面几何尺寸拟定（一）梁的截面高度h根据相应结构和设计经验与并考虑构造要求及施工方面等因素，按不需要作挠度验算的最小截面高度h，计算梁的高度.取表中独立梁：h=1/12×l0=1/12×5.84=487㎜；取h=550 （二）当梁的高度确定以后、梁的截面宽度可由常用的高宽比估计计算：矩形截面梁b=（1/2-1/3）h=（1/2-1/3）×550=183.3～275㎜，当量的宽度、高度计算完成后按建筑模数取整数；取b=200㎜,故截面几何尺寸为b×h=200×550㎜，如下图所示（三）计算跨度l0（式中a为支撑长度）l n=l-a=5840-240=5600㎜由l0=1.025 l n=5600×1.025=5740㎜l0= l n+a=5600+240=5840㎜取两者较小值；得l0=5740㎜（四）计算简图三、荷载计算钢筋混凝土容重r钢筋砼=25KN/㎡；水泥砂浆容重r砂浆=17 KN/㎡1、梁的自重计算标准值（包括侧梁、底15㎜抹灰重）g k=0.2×0.55×25+17×0.015×0.55×2+17×0.015×0.2=3.08KN/m22、荷载计算对于基本组合，荷载效应组合的设计值S应从下列组合中取最不利值（1）由可变荷载控制集中力：S F=r G G k=1.2×27=32.4KN均布荷载：S g= r G G k +r Q q k=1.2×3.08+1.4×15=24.70KN (2) 可永久荷载控制集中力：S F=r G G k=1.0×27=27KN均布荷载：S g= r G G k +r Q q k=1.0×20+1.15×15=37.25KN两者取较大集中值：S F=32.4KN均布荷载：S g=37.25KN四、内力计算内力图绘制(一)支座反力计算该结构为对承结构；根据材料力学理论可知，对承结构在对称荷载作用下，其支座反力为：R A=R B=S F+1/2×S g l0=32.4+1/2×37.25×5.74=139.31KN(二)设计值计算(式中a为集中力至支座边缘的距离)由材料力学理论得知，对称结构在对称荷载作用下采用叠加法得结构跨中控制截面弯矩设计值为：M max=S F a’+1/8S g l02=32.4×0.48+1/8×37.25×5.742=168.96KN/m（三）支座边缘截面的最大剪力设计值计算(a为支座的支撑长度)因：VＡ =VＢ=ＲＡ=139.31KN故：VＡ右=VＢ左=ＲＡ-1/2S g a=139.31-1/2×37.25×0.24=134.84KN（四）集中力（G+Q）处的剪力设计值计算(a为集中力至支座边缘的距离)V c右=ＲＡ- 1/2（g+q）a=139.31- 1/2×37.25×0.48=130.37KNV c左=ＲＡ- 1/2（g+q）a-(Q+G)=139.31- 1/2×37.25-25×0.48-32.4=97.97KN简支梁内力汇总表（五）弯矩与剪力图绘制五、截面几何尺寸复核因弯矩设计值较大设钢筋排二排：a s=c+d+e/2=35+10+25/2=57.5㎜,故a=60㎜;则截面有效高度h0=h-a=550-60=490㎜；因为是矩形截面好h0=h w；则h w/b=490/200=2.45﹤4；由0.25ƒc bh0=0.25×11.9×200×490=291.55KN﹥VＡ右；说明截面积和尺寸符合要求。
静定结构的内力计算图文
30 30
4m
4m
4m
4m
12kN
12kN 12kN
M 图（kN·m）
9kN
9kN
2kN/m
7kN
5kN
9kN
4.5kN
7.5kN
39
第40页/共76页
作业
习题3-5、3-6、3-9 习题3-10、3-12
40
第41页/共76页
§3-3 三铰拱
41
第42页/共76页
一、 概述
1、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
AC段受力图：
q
MC
t
C
FNC
FQC
n
x
FAY
FAYSinα
（2）求内力方程：
MC = 0 Ft = 0 Fn= 0
M = 1 qlx 1 qx2 (0 x l) 22
FN
=
q(1 l 2
x) sin
(0 x l)
FQ
=
q(1 2
l
x) cos
(0 x l)
FAYcosα
FAY
M中 =162 / 8 6.23/ 2 =1.385kN.m(下拉)
弯矩图见下图。
1kN/m
6.23 D
C 1.385
6.23 E
1.385kN A
4.5kN
M 图(kN.m)
B 1.385kN
1. 5kN
38
第39页/共76页
例：主从刚架弯矩图。
12kN
2kN/m
36 36
6m
12 42 30
F
F
曲梁
拱
f / l : 高跨比（1～1/10）
建筑力学5内力内力图
结合内力图和概率论的知识，可以对结构的可靠性进行分析和评估 ，确保结构在各种可能出现的荷载作用下都能保持安全。
利用内力图进行施工模拟
模拟施工过程
通过内力图，可以模拟施工过程 ，预测在施工过程中可能出现的 内力变化和结构变形，从而采取
相应的措施来保证施工安全。
控制施工过程
在施工过程中，通过实时监测结 构的内力变化，可以及时发现施 工中的问题，并采取相应的措施 进行调整和控制，确保施工质量
压力图是关于拱顶和拱脚的直线分布 ，弯矩图是关于拱顶和拱脚的二次函 数分布，剪力图则根据具体情况而定 。
05
CATALOGUE
内力图的应用
利用内力图进行结构设计
确定结构构件的截面尺寸
根据内力图，可以确定结构中各个构件所承受的最大和最小内力 ，从而根据这些值来选择合适的截面尺寸。
优化结构设计
通过分析内力图，可以发现结构中的薄弱环节，从而对结构进行优 化设计，提高结构的承载能力和稳定性。
内力图的绘制方法
解析法
根据结构力学的基本原理，通过 建立数学模型和方程组来求解内
力，并绘制内力图。
实验法
通过实验测试来测量结构的实际内 力，并绘制内力图。实验法通常用 于实际工程中，以验证结构的承载 能力和安全性。
数值分析法
利用计算机数值模拟软件，对结构 进行有限元分析，求解结构的内力 并绘制内力图。数值分析法广泛应 用于工程设计和研究中。
分布力作用下的内力计算
总结词
利用微积分原理计算分布力作用下的内力。
详细描述
分布力作用下，利用微积分原理，将分布力在受力范围内积分，得到内力的总和 ，并确定内力的方向和大小。
弯矩与剪力的计算
本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算1
图10
图11
图12
3.3.2
多跨静定梁的内力计算
由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并不 影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会以支 座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定梁的内 力计算时，应先计算高层次的附属部分，后计算低层 次的附属部分，然后将附属部分的支座反力反向作用 于基本部分，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图 联成一体，即为多跨静定梁的内力图。
例6 试作出如图13(a)所示的四跨静定梁的弯矩图和剪 力图。
解：（1） 绘制层次图，如图13(b)所示。
（2） 计算支座反力，先从高层次的附属部分开 始，逐层向下计算：
① EF段：由静力平衡条件得
∑ME=0: ∑Y=0: YF×4-10×2=0 YF=5kN YE=20+10-YF=25kN
解：（1）求支座反力 先假设反力方向如图所示，以 整梁为研究对象： ∑X=0: XA-P=0 XA=P=4kN ∑MB=0: YA*l-q*l*0.5*l=0 YA=0.5ql =0.5×3×4kN=6kN ∑Y=0: YA+YB=ql YB=ql-VA =(3×4-6) kN=6kN
即:
q′l′=ql q=q′l′/l=q′/cosα
下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进 行内力分析，如图(b)所示。 根据平衡条件，可以求出支座反力为： XA=0, YA=YB=1/2ql
则距A支座距离为x的截面上的内力可由取隔离体求出。 如图(c)所示，荷载qx、YA，在梁轴方向（t方向）的分 力分别为qxsinα、YAsinα；在梁法线方向（n方向） 的分力分别为：qxcosα、YAcosα。则由平衡条件得： ∑T=0： YAsinα-qxsinα+NX=0 NX=(qx-1/2ql)sinα ∑N=0: YAcosα-qxcosα-QX=0 QX=(1/2ql-qx)cosα ∑MX=0: YAx-qx· x/2-MX=0 MX=1/2qx(1-x)
(完整版)梁的内力计算
（2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等；
（3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：
（a）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4—3（a）所示。这
种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移， 其支座反力过铰心且垂直于支
（1）求支座反力
正，如图4-7（c）o
由
Y0
Q2
qa
0
得
Q2qa
由
M20
m2
a小
qa 0
2
得
m2
2
qa
2
（4）求3-3截面（D截面左侧边一点）内力
取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D点，线分布力q的分布长度趋于0,则3-3
截面上Q=0，M=0o
2.2截面法直接由外力求截面内力的法则
上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。因脱离体的平衡条件丫0的 含义为：脱离体上所有外力和内力在丫轴方向投影的代数和为零。其中只有剪力Q为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则：
对称平面内，称为弯矩
则得
由Mc0，有YaxM0
则得MYaX
注意此处是对截面形心C取矩，因剪力Q通过截面形心C点，故在力矩方程中为 零。同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n上的内力Q和M,其结果与 左脱离体求得的Q M大小相等，方向(或转向)相反，互为作用力与反作用力 关系。
为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。 若从梁m-n处取一微段梁dx，由于剪力Q作用会使微段发生下错动的剪切变形。 我们规 定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q为正(如图4—6(a))，反之为负(如图4—6(b));使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M为正，反之为负
梁 弯矩图 梁 内力图 (剪力图与弯矩图)
简单载荷梁内力图（剪力图与弯矩图）表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
常用截面几何与力学特征表表2-5标准标准标准标准标准标准标准注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
实用文档2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
[解] M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－0.188×29.4×5）＝（－36.75）＋（-27.64）＝－64.39kN ·m V B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－0.688×29.4）＝（－36.75）＋（－20.23）＝－56.98kN[例2] 已知三跨等跨梁l ＝6m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩。
梁-弯矩图-梁-内力图--(剪力图与弯矩图)
简单载荷梁内力图（剪力图与弯矩图）表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
常用截面几何与力学特征表表2-5授课：XXX授课：XXX授课：XXX授课：XXX授课：XXX授课：XXX授课：XXX注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：m axy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
[解] M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－0.188×29.4×5）＝（－36.75）＋（-27.64）＝－64.39kN ·m V B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－0.688×29.4）＝（－36.75）＋（－20.23）＝－56.98kN[例2] 已知三跨等跨梁l ＝6m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩。
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用截面法求梁任一截面内力：
P m A n Y
A
B Y
B
( )
V M c Y
A
P
M ( )
c V
( )
Y
B
图1（b）可知，左脱离 体A端原作用有一向上 的支座反力YA，要使 它保持平衡，在切开的 截面m-n上必然存在两 个内力分量：内力V和 内力偶矩M。内力分量 V位于横截面上，称为 剪力；内力偶矩M位于 纵向对称平面内，称为 弯矩。
m P外 M (+)
(b)
m P 外
左顺右逆 弯矩为正
图6
五、运用上述两法则求指定截面内力 例2、如下图7所示简支梁，在点C处作用一集中力P=10kN, 求截面n-n上的剪力和弯矩。
图7
解 ： 求梁的支座反力。 由 mA 0 ， 4RB 1.5P 0 由 Y 0 ， RA RB P 0 取左段 Q RA 6.25 kN M RA 0.8 5 kN· m 取右段 Q P RB 6.25 kN
解得 RB 3.75 kN 解得 RA 6.25 kN
பைடு நூலகம்
M RB 4 0.8 P1.5 0.8 5 kN· m
第三部分 学习检验
1、提问：弯矩、剪力正负号的判断？ 2、用所学法则完成下图1-1、2-2截面的内力。
图8
第四部分 小结与作业
小结：弯矩、剪力的正负号判断是重点。直接由外力 求截面内力的法则必须熟练掌握。
左上右下 剪力为正
图5
2、某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩 的代数和，即 M M （或 M ）
c左侧外力
c右侧外力
代数和中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或 力偶矩（或右边绕截面逆时针转的力矩或力偶矩）使截面产 生正的弯矩，反之产生负弯矩。如图6所示，截面上的弯矩 为正。
图1
用截面法求梁的内力
二、剪力和弯矩的正负号规定 当截面上的剪力绕梁段上任一点有顺时针转动趋势 为正（如图2（a）），反之为负（如图2（b））；剪力
的单位为牛顿（ N ）或千牛顿（kN）。
图2
使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M为正，反之为负（如 图2（c）、(d)）。（柱子的弯矩的正负号可随意假设，但弯 矩图画在杆件受拉的一侧，图中不标正负号）。弯矩的单位 为牛顿· 米（ N·m）或千牛顿· 米（ kN ·m ）。
第六章 受弯构件
第二节 静定梁的内力计算及 内力图绘制（一）
第一部分 复习提问
1、什么是受弯构件？工程中哪些是受弯构件？ 2、轴力的计算方法是什么？其步骤如何?
第二部分 新课内容 第六章 受弯构件
第二节 静定梁的内力计算及内力图绘制
一、梁的内力：剪力和弯矩的概念 当作用在直杆上的外力与杆轴线垂直时，直杆的轴线将 由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲, 以弯曲变形为 主的杆件称为受弯构件，即梁。截面上产生的内力为剪力与 弯矩 。
图3
三、用截面法求梁指定截面内力： 例1：外伸梁如图4（a），已知均布荷载q和集中力偶,求指
定1-1、2-2、3-3截面内力。
m=qa2 A 1C 1 Y
A
2 B 2 Y
(a)
B
q
3 D 3
m
q M
1
M
2
M
3
q 3 V (d )
3
2 Y
A
V
1
V
2
(c)
(b)
图4
解（1）求支座反力 设支座反力YA、YB如图所示。 5 YB 2a m qa a 0 由平衡方程 M A 0 ， 2 7 得 YB 4 qa (↑) 由Y 0 ， 得 YA 3 qa (↑) YA YB qa 0 4 由 M B 0 校核支座反力 a 3 qa 2 2 YA 2a m qa qa 2a qa 0 2 4 2 所求反力无误。 （2）求1-1截面内力 由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪 力V1和弯矩M1均为正，如图6.2.5（b）所示。 3 由 Y 0 ，-YA—V1=0 得 V1=-YA= 4 qa 3 q 由 M1 0 ，YA a M 1 m 0 得 M m Y a qa 4 qa 4 a 求得的V1结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为 负剪力；M1结果为正值，说明弯矩实际转向与假设相同， 且为正弯矩。（同第二步骤求2-2、3-3截面内力）
作业：提问并完成习题集P29-34页。
2 2 2 1 A
四、截面法直接由外力求截面内力的法则
1、某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代 数和，即Q V Y 左侧外力 （或 Y右侧外力）
代数和中的符号为截面左侧向上的外力（或右侧向下 的外力）使截面产生正的剪力（即截面左边的外力向上取 正值），反之产生负剪力 。
P外 P外 V (+) (a)