电影院座位的选择

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进一步，算出各排的视角值 排数 视角 排数 视角 1 35.816 8 15.533 2 31.023 9 14.257 3 26.988 10 13.167 4 23.7 11 12.225 5 21.03 12 11.405 6 18s1 .846 13 10.686 7 17.042 14 10.05
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仰角 α ，就是说有四个目标要优化，无疑使问题得讨论非常复杂，在衡量目标的主次上也会 比两两比较困难。 所以，为化简问题，我们将四个目标化简为 1 个------“基本视效” 。定义为：人直视 屏幕时，屏幕在人的视野中所占比例。
1
模型的假设 A. 人的观影感受只与视觉感受与颈部舒适度有关。 B. 忽略人头顶到眼镜的距离，忽略人两眼之间的距离。 C. 人的有效视野为椎定为 20°的正 4 棱锥，人只能看见以其眼睛为锥定，锥角 为 20°的 4 棱锥范围内的事物。 且忽略围墙和屋顶的阻挡作用 （如下图所示）
一、 引言
有效视角是指人的有效视觉范围， 一般， 双眼正常有效视角大约为水平 90°， 垂直 70°， 考虑双眼余光时的视角大约为水平 180°，垂直 90°。观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、 下边缘视线的夹角。经医学实验得知：10°以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色 及细节部分的分辨能力最强。 20°以内能正确识别图形等信息， 称为有效视野。 20°～30°， 虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。但 是人们又发现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一 个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。即虽然图像内容是二维平面的，但结合在一起 后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图像时，会令人感觉出画面有自然 感和动人逼真的临场感。也就是说观影时，视角越大，越能达到一种身临其境的满足感。 但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、 斜角也是不行的， 其中仰角指观众眼睛 到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。例如，坐在第一排看电影，虽然视角很大，但观影者须 在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰角越小，观影过程越舒适。同样， 定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与水平线的夹角中大的角度值，那么坐的越偏， 斜角越大， 座位过偏时， 也会导致颈部向一侧扭曲， 甚是难受， 无疑坐的越靠近影院中轴线， 斜角越小，越舒适。 由上面的分析，在影院看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈斜视，要么“曲 项向天” ，着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。怎样选择一个好座位呢，下 面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。 具体考察某大学的影院，其中中央部分约 200 个座位。
θ
3) 模型的求解
因为经过如上假设， 最佳的位置一定位于影院最中央的一列座位， 所以问题便转化成一 个平面几何问题。为达到“视角尽可能大，仰角尽可能小”的目的，就是在 λ 线 上选择合 适的点使得角（ α + β ）尽量大，但角 α 尽量小。由于 α 和 β 的变化范围都在-90°-90° 之 间 ， 所 以 可 以 用 函 数 arctan 来 衡 量 角 的 大 小 。 如 图 所 示 ，
Sσ SP L2 k 测量得
： ： ： ： ： : w=3 米
屏幕所在的平面 观众眼睛所在的平面 视线 4 棱锥在平面的投影与 σ 区域重合部分的面积 视线锥在屏幕所在平面的投影面积 观众眼睛距屏幕中截面的高度 基本视效值S σ /SP W=7 米
3
模型的解释
此模型将人的视线看成光线， 于是眼睛被看成一个特殊的光源， 只能射出一个正 4 棱锥 形的光束，锥角固定为 20°。那么，看电影的问题就转化成投影问题。即光源垂直地向屏 幕所在的平面 ϕ 发射光线，最终在 ϕ 平面上得到一个正方形光区，那么屏幕与光区重合部 分在光区中所占比例越大，基本视效越好。 依据此思想，建立 3 维直角坐标系，分析此问题。 s1
α
β
θ
d D s1 l L a
λ线
经过实地测量，影院中央部分的座位有 14 排×13 列，座位与座位之间左右间隔 0.54
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米，前后间隔 1 米。并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长度单位均为米） ： H D a 4 18 1.1 12.1° h d H1 tan θ 3 4 3 3/14
下图为影院侧面简图 屏幕
λ线
H
h
α
β
a
H-h d s1
θ
L
l
H1
D 影院侧视图 2) 参量变量 H h H1 ： ： : ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： 屏幕上边缘到地面的高度 屏幕的高度 最后一排距地面的高度 观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角 观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角 近似座位面与水平面所夹的二面角 第一排座位与屏幕的水平距离 最后一排座位与屏幕的水平距离 观众眼睛到屏幕的水平距离 观众所处的座位面上的点到水平面的距离 观众眼睛到水平面的距离 观众平均坐高 观众眼睛所在位置构成的直线
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影院座位选择
李祖苑
北京师范大学数学科学学院 (100875）
Emai:cathydogyuan@
摘 要:本文针对如何在影院选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。由于座位的满意 程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适，因此是一个多目标规划问题。本 文先建立了模型 1，采用主目标法找出了影院最优的一个位子。而后建立模型 2，进行了巧 妙的假设，提出了“基本视效”的概念将目标化为单一的一个，运用几何的方法，给出了各 个座位的基本视效值， 从而基本视效值大的座位满意度高。 模型 2 的优点在于避免了其他方 法，如权重法的主观性。因此模型也更加可信。此后，文章初步讨论了影院地板倾斜角度的 问题。 关键词：多目标规划 视角 仰角 几何 基本视效
tanα =
用数学语言写为： f1(s)=
s1 H-L H-L L+h-H + arctan s1 s1
T
f2(s)= arctan
F（s）=[f1(s1),f2(s1)]
在解的可行域 R 内,求多目标的极值问题可记为：
max F ( s1)
s1∈R
这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用“化多为单”的方法。 下面就用“主目标优化法”对模型进行求解。所谓“主目标法”[2]就是分清目标的主要与 次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优化，而使其他的目标降为约束条 件。 进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进电影院看电 影的原因，而通过调整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会给人的身体带来太大的 不适感的，特别是当电影内容比较精彩时，人们更会忽略颈部的不适感，而更追求观影的视 觉效果。查资料知，当仰角不大于 20°时，短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。 也就是说，视角大给人们带来的满足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。所以 f2(s1) 为主要目标，f1(s1)降为约束条件 f2(s1)<tan(20°)。 那么问题转化为一个非线性规划：
下图为影院俯视图： w 屏幕 中轴面
δ
ξ
W s2 座位区
影院俯视图
这样，问题就不能只考虑垂直的情况，还要考虑水平的情况，具体的说，就是如果最 佳位置已有人坐了， 而它旁边和后面的位置都还空着， 那么是坐在最佳位置的后面还是坐在 最佳位置的旁边，可以更好的享受这次观影呢？ 同样，在考虑水平的情况时，根据人的视觉感受，坐的太偏离屏幕中心，需扭转颈部 才能达到更好的观影效果，因此，和水平情况的讨论结果相同，水平视角 δ 越大越好，斜 角 ξ 越小越好。于是，问题就变成一个空间立体几何问题，考虑到对称性，我们只讨论最中 间一列位置和它左边区域的位置。而同时讨论水平视角 δ 、水平斜角 ξ 、垂直视角η 、垂直
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maxf2(s1) d ≤ s1 ≤ D f1(s1)<tan(20°) 在求 f2(s1)极值时，利用 f2’(s1)=0,即：
(arctan
H-L L+h-H ) '+ (arctan ) ' =0 s1 s1
L−H H −L−h + 2 =0 2 s1 + ( H − L) s1 + ( L + h − H ) 2
2
将 L=（s1-d）*tan θ +a=(s1-4)*3/14+1.1,H=4,h=3,代入整理得
3( s1 − 4) 3( s1 − 4) − 2.9 + 0.1 14 14 − =0 3( s1 − 4) 3( s1 − 4) 2 2 2 2 − 2.9) s1 + ( + 0.1) s1 + ( 14 14
用 matlab 解得 s1=1.6223<4
H-L L+h-H ) '+ (arctan ) ' 的图像（见下图） s1 s1 H-L L+h-H 由图像看出 f2(s)= arctan + arctan 的导数值恒负 s1 s1
画出 f= (a
-0.04
-0.05
k
P
σ
j j
o s2
ϕ
L2
i
如图，以屏幕的中心为坐标原点 O,建立{O； i, j , k }单位右手标架。使向量 i, j 张成 平面 ϕ ，空间中任一点 A（s2，s1，L2）关于单位右手正交基{ i, j , k }的分量就为三元有序 实数组（s2，s1，L2） 。其中 s2 的几何意义为观众眼睛到影院中轴面的距离，s1 的几何意 义为观众眼睛到屏幕的水平距离，L2 的几何意义为观众眼睛距屏幕中截面的有向高度。观 众的眼睛 P 在平面