【苏教版】2018-2019学年高中数学选修2-1新学案：同步练习(含答案)
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 模块综合 Word版含答案
模块综合试卷(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0，则綈p 为________．答案∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0解析全称命题的否定是存在性命题．2．设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇏p .3．抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标是________．答案(0，－2)解析抛物线方程化为标准方程为x 2＝－8y ，∴2p ＝8，∴p2＝2.∵抛物线开口向下，∴抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标为(0，－2)．4．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为________．答案y24－x24＝1解析由题意设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)，则a ＝2,2a ＋2b ＝22c ，得b ＝2c －2，结合a 2＋b 2＝c 2，得b ＝2，故双曲线方程为y24－x24＝1.5．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________．答案1解析λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)．∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0.∴λ－1＝0，即λ＝1.6．设F 1和F 2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是等边三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为________．答案2解析由题意知tan π6＝c 2b ＝33，所以3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝ca＝2.7．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的________条件．答案充分不必要解析由q ⇒綈p 且綈p ⇏q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇏p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 8．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．答案4解析根据题意知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，即p2＝2，解得p ＝4.9．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．答案4解析抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，故焦点F 到抛物线准线的距离等于4.10．已知a ＞0且a≠1，设p ：y ＝a x 是R 上的单调递减函数；q ：函数g (x )＝lg(2ax 2＋2x ＋1)的值域为R ；如果“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则a 的取值范围是________．答案⎝⎛⎭⎫12，1解析由题意知，p ：0＜a ＜1，q ：0＜a ≤12，当p 真q 假时，得12＜a ＜1；当p 假q 真时，无解．故a ∈⎝⎛⎭⎫12，1.11．已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，MF ＋NF ＝6，则MN 的中点的横坐标为________． 答案2解析∵F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，∴F (1,0)，准线为直线x ＝－1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴MF ＋NF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝6，解得x 1＋x 2＝4.∴线段MN 的中点的横坐标为2.12．设P 为直线y ＝b3ax 与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.答案324解析由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a .又因为点P 在直线y ＝b 3a x 上，所以－b2a＝b 3a ×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝22b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324. 13．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案120°解析在椭圆x29＋y22＝1中，a 2＝9，a ＝3，b 2＝2，又c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝7.因为PF 1＝4，且PF 1＋PF 2＝2a ＝6，所以PF 2＝6－4＝2.所以cos ∠F 1PF 2＝PF21＋PF22－F1F222PF1·PF2＝错误!＝－错误!，因为0°<∠F 1PF 2<180°，所以∠F 1PF 2＝120°.14．已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________． 答案63解析以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D 1(0,0,1)，所以BD1→＝(－1，－2,1)．因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB →＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量． 设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成的角为θ， 则有sin θ＝|cos 〈AB →，BD1→〉|＝|AB →·BD1→||AB →||BD1→|＝错误!＝错误!.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围．解对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝|1－m|2<1，∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根，∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4， ∴错误!或错误!解得0<m <4.∵綈p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得2＋1≤m <4.故m 的取值范围是[2＋1,4)．16．(14分)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示线段AB 的长；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．解(1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝x －p2，得x 2－3px ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p24，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x1－p 2⎝⎛⎭⎫x2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p24＝p24－3p22＋p24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p24－p 2＝－3p24＝－3，解得p 2＝4，∵p ＞0，∴p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .17．(14分)已知命题p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解由x 2－8x －20>0，得x <－2或x >10，即命题p 对应的集合为P ＝{x |x <－2或x >10}，由x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，得[x －(1－m )][x －(1＋m )]>0(m >0)，解得x <1－m 或x >1＋m (m >0)，即命题q 对应的集合为Q ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以P 是Q 的真子集． 故有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≥－2，1＋m<10或⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m>－2，1＋m≤10.解得0<m ≤3.所以实数m 的取值范围是(0,3]．18．(16分)如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·OB →＝8x ＝0，n·OE →＝－4y ＋3z ＝0， 解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)，所以平面BOE 的一个法向量为n ＝(0,3,4)．由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，所以FG →⊥n .又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .19．(16分)已知椭圆x2b2＋y2a2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝59上，求m 的值．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2＝2b ，b2＝a2－c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，由Δ＝4m 2－12(m 2－2)＝－8m 2＋24＞0，得－3＜m ＜ 3.所以x 0＝x1＋x22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝59上， 所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m 32＝59，解得m ＝±1，满足Δ＞0，故m ＝±1.20．(16分)如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2，点E为AB 的中点．(1)求证：BD 1∥平面A 1DE ；(2)求证：D 1E ⊥A 1D ；(3)在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1－MC －D 的大小为π6？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明由题意可得D 1D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,2,0)， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，B (1,2,0)，E (1,1，0)．DA1→＝(1,0,1)，DE →＝(1,1,0)，设平面A 1DE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n1·DA1—→＝0，n1·DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＋z1＝0，x1＋y1＝0，取x 1＝1，则n 1＝(1，－1，－1)是平面A 1DE 的一个法向量，又BD1—→＝(－1，－2,1)，且BD1—→·n 1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故BD1—→⊥n 1，又BD 1不在平面A 1DE 内，故BD 1∥平面A 1DE .(2)证明由题意得D1E —→＝(1,1，－1)，DA1—→＝(1,0,1)，D1E —→·DA1—→＝(1,1，－1)·(1,0,1)＝0，D1E —→⊥DA1—→，故D 1E ⊥A 1D .(3)解设M (1，y 0，0)(0≤y 0≤2)，因为MC →＝(－1,2－y 0，0)，D1C —→＝(0,2，－1)， 设平面D 1MC 的一个法向量为v 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧v1·MC →＝0，v1·D1C —→＝0，得错误!取y ＝1，则v 1＝(2－y 0,1,2)是平面D 1MC 的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为v 2＝(0,0,1)，要使二面角D 1MCD 的大小为π6，则cos π6＝|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v1·v2||v1||v2|＝错误!＝错误!，解得y 0＝2－33(0≤y 0≤2)．所以当AM ＝2－33时，二面角D 1MCD 的大小为π6.。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 疑难规律方法 Word版含答案
1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．第1层 用已知向量表示未知向量例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N ―→；(3)MP →＋NC 1―→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1―→＋A 1D 1――→＋D 1P ―→＝a ＋AD →＋12D 1C 1――→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A ―→＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1―→＝NC →＋CC 1―→＝12BC →＋AA 1―→＝12AD →＋AA 1―→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1―→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 第2层 化简向量例2 如图，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD .设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋12(BD →＋BC →)；(3)AG →－12(AB →＋AC →)．解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12BC →＋12BD →＝AB →＋BM →＋MG →＝AG →. (3)AG →－12(AB →＋AC →)＝AG →－AM →＝MG →. AD →，AG →，MG →如图所示．点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．第3层 证明立体几何问题例3 如图，已知M ，N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，又∵BN →与BG →有公共点B ， ∴B ，G ，N 三点共线．2 空间向量易错点扫描易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例1 “a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 错解 a·b <0⇔cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |<0⇔〈a ，b 〉为钝角，所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的充要条件．错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况． 剖析 当〈a ，b 〉＝π时，a·b <0，但此时夹角不为钝角， 所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的必要不充分条件． 正解 必要不充分易错点2 忽略两向量的夹角的定义例2 如图所示，在120°的二面角α—AB —β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．错解 ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，∵二面角α—AB —β的平面角为120°，∴〈CA →，BD →〉＝120°. ∴CD 2＝CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 120°＝72，∴CD ＝6 2.错因分析 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念．向量CA →，BD →的夹角与二面角α—AB —β的平面角互补，而不是相等． 正解 ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，∵二面角α—AB —β的平面角为120°， ∴〈CA →，BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD 2＝CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12. 易错点3 判断是否共面出错例3 已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间的一个基底的是________．(将正确答案的序号填上) ①OA →；②OB →；③OC →；④OA →或OB →.错解 a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →， 相加得OA →＋OB →＝12(a ＋b )，所以OA →，OB →都与a ，b 共面，不能构成空间的一个基底，故填④.剖析 OA →＋OB →＝12(a ＋b )，说明OA →＋OB →与a ，b 共面，但不能认为OA →，OB →都与a 、b 共面．设OA →＝x a ＋y b ，因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，代入整理得(x ＋y －1)OA →＋(x ＋y )OB →＋(x －y )OC →＝0，因为O ，A ，B ，C 四点不共面， 所以OA →，OB →，OC →不共面，所以x ＋y －1＝0，x ＋y ＝0，x －y ＝0， 此时，x ，y 不存在，所以a ，b 与OA →不共面， 故a ，b 与OA →可构成空间的一个基底． 同理a ，b 与OB →也可构成空间的一个基底．因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，相减有OC →＝12(a －b )，所以OC →与a ，b 共面，故不能构成空间的一个基底． 正解 ③易错点4 混淆向量运算和实数运算例4 阅读下列各式，其中正确的是________．(将正确答案的序号填上) ①a ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝c ②a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0 ③(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )④OA →·BO →＝|OA →||BO →|cos(180°－∠AOB ) 错解 ①(或②或③)剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ，故①③错误；若a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故②错误；OA →·BO →的夹角是180°－∠AOB . 正解 ④易错点5 忽略建系的前提例5 四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，AE ⊥平面ABCD ，AE ＝2，F 为CE 的中点，试合理建立坐标系，求AF →，BC →所成角的余弦值．错解 以A 为坐标原点，以AB →，AD →，AE →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz .此时AF →＝(1,1,1)，BC →＝(0,2,0)，所以cos 〈AF →，BC →〉＝33.剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB 与AD 不垂直． 正解 设AC ，BD 交于点O ，则AC ⊥BD . 因为F 为CE 中点，所以OF ∥AE ，因为AE ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，OF ⊥AC ，OF ⊥BD ，以O 为坐标原点，以OC →，OD →，OF →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .此时AF →＝(1,0,1)，BC →＝(1，3，0)， 所以cos 〈AF →，BC →〉＝24.易错点6 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误 例6 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求二面角A －BD 1－C 的大小．错解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知DA 1―→是平面ABD 1的一个法向量，DA 1―→＝(1,0,1)，DC 1―→是平面BCD 1的一个法向量，DC 1―→＝(0,1,1)，所以cos 〈DA 1―→，DC 1―→〉＝DC 1―→·DA 1―→|DC 1―→||DA 1―→|＝12.所以〈DA 1―→，DC 1―→〉＝60°.所以二面角A －BD 1－C 的大小为60°.剖析 利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的确切位置．正解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知DA 1―→＝(1,0,1)是平面ABD 1的一个法向量，DC 1―→＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向量． 所以cos 〈DA 1―→，DC 1―→〉＝DC 1―→·DA 1―→|DC 1―→||DA 1―→|＝12，所以〈DA 1―→，DC 1―→〉＝60°.结合图形知二面角A －BD 1－C 的大小为120°.3 空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如． 1．利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)， 所以BC 1―→＝(－2，－3,2)，CD →＝(0，－1,0)． 所以cos 〈BC 1→，CD →〉＝BC 1―→·CD ―→|BC 1―→||CD ―→|＝31717.故异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为31717.点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可． 2．利用线面垂直关系例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中点，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．解 过B 点作BP ⊥BB 1交C 1C 于点P ， 因为AB ⊥平面BB 1C 1C ， 所以BP ⊥平面ABB 1A 1，以B 为原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 因为AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3，所以CP ＝12，C 1P ＝32，BP ＝32，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，2)，B 1(0,2,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，C 1⎝⎛⎭⎫32，32，0，E ⎝⎛⎭⎫32，12，0，A 1(0,2，2)．点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥平面BB 1C 1C ”，可作为建系的突破口． 3．利用面面垂直关系例3 如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点．将△ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AEC (如图2)，连结BC ，BD .求平面ABE 与平面BCD 所成的锐角的大小．解 取AE 中点M ，连结BM ，DM .因为在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， 所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形， 所以BM ⊥AE ，DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ，所以BM ⊥MD .以M 为原点，分别以ME ，MD ，MB 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M －xyz ，如图，则M (0,0,0)，B (0,0，3)，C (2，3，0)，D (0，3，0)， 所以DC →＝(2,0,0)，BD →＝(0，3，－3)， 设平面BCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝2x ＝0，m ·BD →＝3y －3z ＝0.取y ＝1，得m ＝(0,1,1)，又因为平面ABE 的一个法向量MD →＝(0，3，0)， 所以cos 〈m ，MD →〉＝m ·MD →|m ||MD →|＝22，所以平面ABE 与平面BCD 所成的锐角为45°.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．4 用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动． 1．求解、证明问题例1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .证明 以O 为坐标原点，OA ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )． 设AE ＝BF ＝x ，∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．∴A 1F ―→＝(－x ，a ，－a )， C 1E ―→＝(a ，x －a ，－a )．∵A 1F ―→·C 1E ―→＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a ) ＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴A 1F ―→⊥C 1E ―→，即A 1F ⊥C 1E . 2．定位问题例2 如图，已知四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，且边长为1，在DG 上是否存在点M ，使得直线MB 与平面BEF 的夹角为45°？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．解题提示 假设存在点M ，设平面BEF 的法向量为n ，设BM 与平面BEF 所成的角为θ，利用sin θ＝|BM →·n ||BM →||n |求出点M 的坐标，若满足条件则存在．解 因为四边形CDGF ，ADGE 均为正方形， 所以GD ⊥DA ，GD ⊥DC .又DA ∩DC ＝D ，DA ，DC ⊂平面ABCD ， 所以GD ⊥平面ABCD .又DA ⊥DC ，所以DA ，DG ，DC 两两互相垂直，如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，F (0,1,1)． 因为点M 在DG 上，假设存在点M (0,0，t )(0≤t ≤1)使得直线BM 与平面BEF 的夹角为45°. 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 因为BE →＝(0，－1,1)，BF →＝(－1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BE →＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0， 令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1,1,1)为平面BEF 的一个法向量．又BM →＝(－1，－1，t )，直线BM 与平面BEF 所成的角为45°，所以sin 45°＝|BM →·n ||BM →||n |＝|－2＋t |t 2＋2×3＝22， 解得t ＝－4±3 2.又0≤t ≤1，所以t ＝32－4.故在DG 上存在点M (0,0,32－4)，且DM ＝32－4时，直线MB 与平面BEF 所成的角为45°.点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果．5 向量与立体几何中的数学思想1．数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．例1 如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，且A 1A ＝AB ＝AD ＝2BC ＝2，点E 在棱AB 上，平面A 1EC 与棱C 1D 1相交于点F .(1)证明：A 1F ∥平面B 1CE ；(2)若E 是棱AB 的中点，求二面角A 1－EC －D 的余弦值；(3)求三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值．(1)证明 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱柱，所以平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1.又因为平面ABCD ∩平面A 1ECF ＝EC ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF ＝A 1F ，所以A 1F ∥EC .又因为A 1F ⊄平面B 1CE ，EC ⊂平面B 1CE ，所以A 1F ∥平面B 1CE .(2)解 因为AA 1⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，所以AA 1，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A 1(0,0,2)，E (1,0,0)，C (2,1,0)，所以A 1E ―→＝(1,0，－2)，A 1C ―→＝(2,1，－2)．设平面A 1ECF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ A 1E ―→·m ＝0，A 1C ―→·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，2x ＋y －2z ＝0. 令z ＝1，得m ＝(2，－2,1)．又因为平面DEC 的法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13， 由图可知，二面角A 1－EC －D 的平面角为锐角，所以二面角A 1－EC －D 的余弦值为13. (3)解 过点F 作FM ⊥A 1B 1于点M ，因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1，FM ⊂平面A 1B 1C 1D 1，FM ⊥A 1B 1，所以FM ⊥平面A 1ABB 1，所以VB 1－A 1EF ＝VF －B 1A 1E ＝13×11A B E S ×FM＝13×2×22×FM ＝23FM . 因为当F 与点D 1重合时，FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合)，所以当F 与点D 1重合时，三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值为43.2．转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求二面角A －DF －C 的平面角的余弦值．分析 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(1)证明 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)．∵E 为AB 的中点，∴E (1,1,0)，∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F ―→＝23D 1E ―→＝23(1,1，－2)＝⎝⎛⎭⎫23，23，－43， ∴DF →＝DD 1―→＋D 1F ―→＝(0,0,2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x 1＋23y 1＋23z 1＝0，2y 1＝0.取x 1＝1，得平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0，－1)．设p ＝(x 2，y 2，z 2)是平面D 1EC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F ―→＝0，p ·D 1C ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x 2＋23y 2－43z 2＝0，2y 2－2z 2＝0，取y 2＝1，得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1,1,1)，∵n ·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴n ⊥p ，∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解 设q ＝(x 3，y 3，z 3)是平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x 3＋23y 3＋23z 3＝0，x 3＝0，取y 3＝1，得平面ADF 的一个法向量q ＝(0,1，－1)，设二面角A －DF －C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos θ＝－|n ·q ||n ||q |＝－|0＋0＋1|2×2＝－12， ∴二面角A －DF －C 的平面角的余弦值为－12. 3．函数思想例3 已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，且c ＝a ＋t b ，a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)．问|c |能否取得最大值？若能，求出实数t 的值及对应的向量b 与c 夹角的余弦值；若不能，请说明理由．分析 写出|c |关于t 的函数关系式，再利用函数观点求解．解 由题意知Δ≥0，得－4≤t ≤－43， 又c ＝(－1,1,3)＋t (1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t )，∴|c |＝(－1＋t )2＋(3－2t )2＋1＝ 5⎝⎛⎭⎫t －752＋65. 当t ∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时，f (t )＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65是单调递减函数，∴f (t )max ＝f (－4)，即|c |的最大值存在，此时c ＝(－5,1,11)．b·c ＝－27，|c |＝7 3.而|b |＝5，∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－275×73＝－91535. 点评 凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．4．分类讨论思想例4 如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P A ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD上方)，问BC 边上是否存在点Q ，使PQ →⊥QD →？分析 由PQ →⊥QD →，得PQ ⊥QD ，所以在平面ABCD 内，点Q 在以边AD 为直径的圆上，若此圆与边BC 相切或相交，则BC 边上存在点Q ，否则不存在．解 假设存在点Q (Q 点在边BC 上)，使PQ →⊥QD →，即PQ ⊥QD ，连结AQ .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥QD .又PQ →＝P A →＋AQ →且PQ →⊥QD →，∴PQ →·QD →＝0，即P A →·QD →＋AQ →·QD →＝0.又由P A →·QD →＝0，∴AQ →·QD →＝0，∴AQ →⊥QD →.即点Q 在以边AD 为直径的圆上，圆的半径为a 2. 又∵AB ＝1，由题图知，当a 2＝1，即a ＝2时，该圆与边BC 相切，存在1个点Q 满足题意； 当a 2>1，即a >2时，该圆与边BC 相交，存在2个点Q 满足题意； 当a 2<1，即0＜a <2时，该圆与边BC 相离，不存在点Q 满足题意． 综上所述，当a ≥2时，存在点Q ，使PQ →⊥QD →；当0<a <2时，不存在点Q ，使PQ →⊥QD →.。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版第2章 圆锥曲线与方程 §2.1 Word版含答案
§圆锥曲线学习目标.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点，处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案＋是常数(大于)．梳理平面内到两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点，叫做焦点椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点或，拉开或闭拢拉链，拉链头经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考图中动点的几何性质是什么？答案－为一个正常数．思考若－＝，则动点的轨迹是什么？答案以为端点，向右边延伸的射线．等于常数绝对值平面内到两个定点，的距离的差的梳理(小于的正数的点的轨迹叫做双曲)线，两个定点，叫做双曲线的焦点焦距．，两焦点间的距离叫做双曲线的知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点和定直线，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点的轨迹．则动点的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点到定点和定直线距离相等，且不在上．梳理平面内到一个定点和一条定直线(不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做焦点抛物线的，定直线叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一圆锥曲线定义的理解例平面内动点到两点(－)，()的距离之和为，问取何值时的轨迹是椭圆？。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 滚动训练(二) Word版含答案
滚动训练(二)一、填空题1、已知命题p ：∃x ∈R ,x 2＋ax ＋a <0,若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是________、 答案 [0,4]解析 ∵p 是假命题,∴∀x ∈R ,x 2＋ax ＋a ≥0恒成立,∴Δ＝a 2－4a ≤0,∴0≤a ≤4.2、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是________、考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 椭圆解析 设椭圆的右焦点为F 2,由题意,知PO ＝12MF 2,PF 1＝12MF 1, 又MF 1＋MF 2＝2a ,所以PO ＋PF 1＝a >F 1O ＝c ,故由椭圆的定义,知P 点的轨迹是椭圆、3、命题“∀x ∈R ,∃n ∈N *,使得n ≥x 2”的否定形式是________、答案 ∃x ∈R ,∀n ∈N *,使得n ＜x 2解析 原命题是全称命题,条件为∀x ∈R ,结论为∃n ∈N *,使得n ≥x 2,其否定形式为存在性命题,条件中改量词,并否定结论、4、已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是________、答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ,则MF ＋ME ＝10,∴ME ＝8,又ON 为△MEF 的中位线,∴ON ＝12ME ＝4.5、直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是________、答案 ⎝⎛⎭⎫－23，13 解析 将直线y ＝x ＋1代入椭圆x 2＋2y 2＝4中,得x 2＋2(x ＋1)2＝4,∴3x 2＋4x －2＝0,∴弦的中点的横坐标是x ＝12×⎝⎛⎭⎫－43＝－23, 代入直线方程y ＝x ＋1中,得y ＝13, ∴弦的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－23，13. 6、设函数f (x )＝|log 2x |,则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________、 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图所示,可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1， 故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件、7、已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率e 的取值范围是________、答案 ⎝⎛⎭⎫0，22 解析 设M (x ,y ),∵MF 1→·MF 2→＝0,∴点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝c 2,点M 的轨迹是以原点为圆心的圆,其中F 1F 2为圆的直径、 由题意知,椭圆上的点P 总在圆外,所以OP >c 恒成立,由椭圆性质知OP ≥b ,∴b >c ,∴a 2>2c 2,∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12,∴0<e <22.8、若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32,则m ＝________. 答案 14或4 解析 方程化为x 2＋y 21m ＝1,则有m >0且m ≠1. 当1m<1,即m >1时,依题意有1－1m 1＝32, 解得m ＝4,满足m >1；当1m>1,即0<m <1时,依题意有1m －11m ＝32, 解得m ＝14,满足0<m <1. 综上,m ＝14或4. 9、椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中,F 1,F 2分别为其左、右焦点,M 为椭圆上一点且MF 2⊥x 轴,设P 是椭圆上任意一点,若△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍(O 为坐标原点),则该椭圆的离心率e ＝________.考点 椭圆的离心率问题题点 求a ,b ,c 得离心率答案 53解析 由题意,可得M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a 或M ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍,∴12×2c ×b ＝3×12×c ×b 2a, ∴b ＝23a ,∴c ＝a 2－b 2＝53a , ∴e ＝c a ＝53. 10、已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1.与椭圆相交于A ,B 两点,则弦AB 的长为________、考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 553解析 由题意知,椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0),直线AB 的方程为y ＝2(x －1)、由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1， 消去y ,整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝53,x 1x 2＝0. 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553. 11、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)及点B (0,a ),过B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ,F 为椭圆的右焦点,则∠ABF ＝________.考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 90°解析 由题意知,切线的斜率存在,设切线方程为y ＝kx ＋a (k ＞0), 与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y , 整理得b 2x 2＋a 2(kx ＋a )2－a 2b 2＝0,即(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 4－a 2b 2＝0,由Δ＝4a 6k 2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0,得k ＝c a, 从而y ＝c ax ＋a ,交x 轴于A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0, 又F (c,0),所以BA →＝⎝⎛⎭⎫－a 2c ，－a ,BF →＝(c ,－a ),则BA →·BF →＝0,故∠ABF ＝90°.二、解答题12、已知方程x 25－2m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆,求实数m 的取值范围、 考点 椭圆的标准方程题点 已知椭圆的焦点位置、焦距求参数解 (1)当方程表示焦点在x 轴上的椭圆时,则有5－2m >m ＋1>0,解得－1<m <43； (2)当方程表示焦点在y 轴上的椭圆时,则有m ＋1>5－2m >0,解得43<m <52. 综上,m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，43∪⎝⎛⎭⎫43，52. 13、在平面直角坐标系xOy 中,点A (－2,0),B (2,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是－34. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)直线l ：y ＝x －1与曲线C 相交于P 1,P 2两点,Q 是x 轴上一点,若△P 1P 2Q 的面积为62,求Q 点的坐标、考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积解 (1)设M (x ,y ),则y x ＋2×y x －2＝－34, 化简整理得,点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)、 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x －1，消去y ,得7x 2－8x －8＝0. 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝87,x 1x 2＝－87, ∴P 1P 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝247. 设Q (m,0),则Q 到直线l 的距离d ＝|m －1|2, 依题意,得12×P 1P 2×d ＝62, 化简得|m －1|＝7,解得m ＝8或m ＝－6,故所求点为Q (8,0)或Q (－6,0)、 三、探究与拓展14、已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,若△F 1PF 2为直角三角形,则这样的点P 有______个、答案 6解析 当∠PF 1F 2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时,这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时,∠F 1PF 2最大,且为直角,此时这样的点P 有2个、故符合要求的点P 有6个、15、已知圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B ,过圆外一点(m,0)(m ＞a )且倾斜角为3π4的直线l 交椭圆于C ,D 两点、 (1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部,求m 的取值范围、 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中定点、定值、取值范围问题解 (1)∵圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过点F ,B ,∴F (1,0),B (0,3),∴c ＝1,b ＝3,∴a 2＝4,故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )(m ＞2)、由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝－(x －m )，消去y , 得7x 2－8mx ＋(4m 2－12)＝0.设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝8m 7,x 1x 2＝4m 2－127, ∴y 1y 2＝[－(x 1－m )]·[－(x 2－m )] ＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2.∵FC →＝(x 1－1,y 1),FD →＝(x 2－1,y 2), ∴FC →·FD →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝2x 1x 2－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋1＋m 2 ＝7m 2－8m －177. ∵点F 在圆E 的内部,∴FC →·FD →＜0,即7m 2－8m －177＜0, 解得4－3157＜m ＜4＋3157. 由Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0, 解得－7＜m ＜7.又m ＞2,∴2＜m ＜4＋3157.。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 滚动训练(四) Word版含答案
滚动训练(四)一、填空题1、“相似三角形的对应角相等”的否命题是________、 答案 不相似的三角形的对应角不相等 解析 否命题是条件、结论都否定、2、已知a ＝(t ＋1,1,t ),b ＝(t －1,t,1),则|a －b |的最小值为________、 答案 2解析 |a －b |2＝22＋(1－t )2＋(t －1)2＝2(t －1)2＋4, 所以当t ＝1时,|a －b |取得最小值2.3、双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是________、答案 m ＞1解析 依题意知,e ＝c a ,e 2＝c 2a 2＞2,得1＋m ＞2,所以m ＞1.4、已知A (1,5,－2),B (2,4,1),C (x,3,y ＋2),且A ,B ,C 三点共线,则实数x ,y 的值分别为________、 答案 3,2解析 若A ,B ,C 三点共线,则AB →,BC →也共线、 又AB →＝(1,－1,3),BC →＝(x －2,－1,y ＋1), ∴1x －2＝1＝3y ＋1,∴x ＝3,y ＝2. 5、已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标为(3,2,－1),则p 在基底⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，－b ，12c 下的坐标是________、答案 ⎝⎛⎭⎫32，－2，－2 解析 由已知得p ＝3a ＋2b －c , 则p ＝32(2a )＋(－2)(－b )＋(－2)⎝⎛⎭⎫12c . 故p 在基底⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，－b ，12c 下的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－2，－2. 6、已知直线l 1,l 2的方向向量分别为a ,b ,且a ＝(1,2,－2),b ＝(－2,3,m ),若l 1⊥l 2,则实数m 的值为________、 答案 2解析 ∵l 1⊥l 2,∴a ⊥b .∴a ·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝4－2m ＝0, ∴m ＝2.7、已知a ＝3m －2n －4p ≠0,b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ,且m ,n ,p 不共面,若a ∥b ,则x ,y 的值分别为________、 答案 －13,8 解析 ∵a ∥b 且a ≠0,∴b ＝λa ,即(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ＝3λm －2λn －4λp . 又∵m ,n ,p 不共面,∴x ＋13＝8－2＝2y －4,∴x ＝－13,y ＝8.8.如图,在三棱锥A －BCD 中,AB ＝AC ＝AD ＝2,∠BAD ＝90°,∠BAC ＝60°,则AB →·CD →＝________.答案 －2 解析 AB →·CD → ＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－|AB →||AC →|cos60° ＝2×2×cos90°－2×2×cos60°＝－2.9、在底面为直角梯形的四棱锥S －ABCD 中,∠ABC ＝90°,SA ⊥平面ABCD ,SA ＝AB ＝BC ＝1,AD ＝12,则平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为________、答案63解析 以点A 为坐标原点,AD ,AB ,AS 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),D ⎝⎛⎭⎫12，0，0,C (1,1,0),S (0,0,1), 平面SAB 的一个法向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0, 并求得平面SCD 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12, 则cos 〈AD →,n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝63.10.如图,AB ＝AC ＝BD ＝1,AB ⊂平面α,AC ⊥平面α,BD ⊥AB ,BD 与平面α成30°角,则C ,D 间的距离为________、答案2解析 |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD →|＝ 2.11、平面α的法向量为m ＝(1,0,－1),平面β的法向量为n ＝(0,－1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为______、 答案 60°或120° 解析 ∵cos 〈m ,n 〉＝m·n|m||n |＝－12×2＝－12, ∴〈m ,n 〉＝120°,即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°. 二、解答题12.如图所示,在四棱锥P －ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC ＝2,在四边形ABCD 中,∠B ＝∠C ＝90°,AB ＝4,CD ＝1,点M 在PB 上,PB ＝4PM ,PB 与平面ABCD 成30°的角、求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 以C 为坐标原点,CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz,∵PC ⊥平面ABCD ,∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角, ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2,∴BC ＝23,PB ＝4.∴D (0,1,0),B (23,0,0),A (23,4,0),P (0,0,2),M ⎝⎛⎭⎫32，0，32,∴DP →＝(0,－1,2),DA →＝(23,3,0),CM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32,(1)方法一 令n ＝(x ,y ,z )为平面P AD 的一个法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2,得n ＝(－3,2,1)、∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0,∴n ⊥CM →,又CM ⊄平面P AD ,∴CM ∥平面P AD . 方法二 ∵PD →＝(0,1,－2),P A →＝(23,4,－2),令CM →＝xPD →＋yP A →,则⎩⎨⎧32＝23y ，0＝x ＋4y ，32＝－2x －2y ，方程组有解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝14，∴CM →＝－PD →＋14P A →,由共面向量定理知CM →与PD →,P A →共面,又∵CM ⊄平面P AD ,∴CM ∥平面P AD . (2)取AP 的中点E ,连结BE ,则E (3,2,1),BE →＝(－3,2,1), ∵PB ＝AB ,∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3,2,1)·(23,3,0)＝0, ∴BE →⊥DA →,∴BE ⊥DA ,又P A ∩DA ＝A , P A ,DA ⊂平面P AD ,∴BE ⊥平面P AD ,又∵BE ⊂平面P AB , ∴平面P AB ⊥平面P AD .13、已知A ,B 是抛物线y 2＝52x 上不同于原点O 的两点,OA ⊥OB .(1)求证：直线AB 恒过定点T ,且以OT 为直径的圆过点D (2,1)； (2)若直线AB 与⊙O ：x 2＋y 2＝5相切,求切点坐标及直线AB 的方程、 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线的综合问题(1)证明 设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ,t ＞0,代入y 2＝52x ,得2y 2－5my －5t ＝0.Δ＝25m 2＋40t＞0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)、则y 1y 2＝－5t 2,x 1x 2＝2y 215·2y 225＝425(y 1y 2)2＝t 2.又OA →⊥OB →,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即t 2－5t 2＝0,解得t ＝52或t ＝0(舍)、所以直线AB 的方程为x ＝my ＋52,恒过点T ⎝⎛⎭⎫52，0. 所以OD →·TD →＝(2,1)·⎝⎛⎭⎫－12，1＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1＝0, 所以OD →⊥TD →,即OD ⊥TD , 所以点D 在以OT 为直径的圆上、(2)解 由(1)知直线AB 的方程为2x －2my －5＝0, 由题意得|－5|4＋4m 2＝5,解得m ＝±12.当m ＝12时,切线AB 的方程为2x －y －5＝0,此时,切点坐标为(2,－1)、当m ＝－12时,切线AB 的方程为2x ＋y －5＝0,此时,切点坐标为(2,1)、 三、探究与拓展14、已知Rt △ABC 的两条直角边BC ＝3,AC ＝4,PC ⊥平面ABC ,PC ＝95,则点P 到斜边AB 的距离是______、 答案 3解析 以C 为坐标原点,CA ,CB ,CP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系、则A (4,0,0),B (0,3,0), P ⎝⎛⎭⎫0，0，95, 所以AB →＝(－4,3,0),AP →＝⎝⎛⎭⎫－4，0，95,所以AP 在斜边AB 上的投影长为|AP →·AB →||AB →|＝165,所以点P 到斜边AB 的距离为d ＝|AP →|2－⎝⎛⎭⎫1652＝16＋8125－25625＝3.15.如图,在五面体ABCDEF 中,F A ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ∥FE ,AB ⊥AD ,M 为EC 的中点,AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成角的大小； (2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角ACDE 的余弦值、(1)解 如图所示,以点A 为坐标原点,AB ,AD ,AF 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设AB ＝1,依题意得B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),E (0,1,1),F (0,0,1),M ⎝⎛⎭⎫12，1，12. BF →＝(－1,0,1),DE →＝(0,－1,1),于是cos 〈BF →,DE →〉＝|BF →·DE →||BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°. (2)证明 由AM →＝⎝⎛⎭⎫12，1，12,CE →＝(－1,0,1), AD →＝(0,2,0),可得CE →·AM →＝0,CE →·AD →＝0. 因此,CE ⊥AM ,CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ,AM ⊂平面AMD ,AD ⊂平面AMD , 故CE ⊥平面AMD .又CE ⊂平面CDE ,所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解 设平面CDE 的法向量为u ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0，令x ＝1,可得u ＝(1,1,1)、 又由题设知,平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)、 所以,cos 〈u ,v 〉＝u·v |u||v |＝0＋0＋13×1＝33.因为二面角ACDE 为锐角,所以其余弦值为33.。
【苏教版】2018-2019学年高二数学选修2-1课时跟踪训练全集(含答案)
课时跟踪训练(一) 四 种 命 题1．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5>0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是________________________．3．命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．4．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是__________． 5．给出下列命题：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“若{a n }既是等差数列，又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)”的逆命题；③“若m >1，则不等式x 2＋2x ＋m >0的解集为R ”的逆否命题．其中所有真命题的序号是________．6．把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)奇函数的图像关于原点对称；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－3或x ＝1；(3)a <0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大．7．证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2.8．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac <0，则该函数图像与x 轴有交点．答 案1．解析：①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立，所以是真命题．答案：①③⑤ ⑤2．若|a |＝|b |，则a ＝－b3．解析：逆命题：对于正数a ，若lg a >0，则a >1.否命题：对于正数a ，若a ≤1，则lg a ≤0.逆否命题：对于正数a ，若lg a ≤0，则a ≤1.根据对数的性质可知都是真命题．答案：44．解析：将条件与结论分别否定，再交换即可．答案：若tan α≠1，则α≠π45．解析：①的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{a n }中，若a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0……；对于③当m >1时，Δ＝4－4m <0恒成立，x 2＋2x ＋m >0的解集为R 是真命题．因此逆否命题是真命题．答案：①③6．解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称，是真命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－3或x ＝1，是假命题．(3)若a <0，则函数y ＝ax ＋b 的值随着x 值的增大而增大，是假命题．7．证明：将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”．由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2， 所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．8．解：(1)该命题为真．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．(2)该命题为假．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点，则b2－4ac<0，为假．否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则函数图像与x轴无交点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无交点，则b2－4ac≥0，为假．课时跟踪训练(二)充分条件和必要条件1．(安徽高考改编)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．2．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.3．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；③“a<5”是“a<3”的必要条件；④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．其中真命题的序号为________．4．(北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的____________条件．5．若p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．6．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.7．求直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件．8．已知p：－6≤x－4≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．答 案1．解析：由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或x ＝0，因为“x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分2．解析：由1×3－a ×(a －2)＝0，得a ＝3或－1，而a ＝3时，两条直线重合，所以a ＝－1.答案：－13．解析：①“a ＝b ”是ac ＝bc 的充分不必要条件，故①错，②a >b 是a 2>b 2的既不充分也不必要条件，故②错．③④正确．答案：③④4．解析：由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．解析：p ：0<x <3，q ：x <3＋m 2， 若p 是q 的充分不必要条件，则3＋m 2≥3，即m ≥3. 答案：[3，＋∞)6．证明：(1)必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝c a<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.7．解：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y －3＝0，3x －5y ＋1＝0，得交点P (174，114)． 若直线l ：ax －y ＋b ＝0经过点P ，则a ×174－114＋b ＝0.∴17a ＋4b ＝11.设a ，b 满足17a ＋4b ＝11，则b ＝11－17a 4， 代入方程ax －y ＋b ＝0，得ax －y ＋11－17a 4＝0， 整理，得⎝⎛⎭⎫y －114－a ⎝⎛⎭⎫x －174＝0. ∴直线l ：ax －y ＋b ＝0恒过点⎝⎛⎭⎫174，114，此点即为l 1与l 2的交点．综上，直线l ：ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1：2x －2y －3＝0和l 2：3x －5y ＋1＝0交点的充要条件为17a ＋4b ＝11.8．解：p ：－6≤x －4≤6⇔－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为q 是p 的充分不必要条件．即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，如图，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的范围为{m |0<m ≤3}．课时跟踪训练(三) “且”“或”“非”1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”的构成形式是________．2．如果原命题是“p 或q ”的形式，那么它的否定形式是________________________．3．由命题p ：6是12的约数，q ：6是24的约数，构成的“p 或q ”形式的命题是 _________________________________________________________________________， “p 且q ”形式的命题是____________________________________________________， “非p ”形式的命题是______________________________________________________．4．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是_____________________， 否命题是__________________________________________________________________．5．分别用“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”填空：(1)命题“非空集A ∩B 中的元素既是A 中的元素，也是B 中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．6．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)12可以被3或4整除；(2)3是12和15的公约数．7．分别写出由命题p：方程x2－4＝0的两根符号不同，q：方程x2－4＝0的两根绝对值相等构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．8．写出下列各命题的否定形式及否命题：(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.答案1．解析：正方形的两条对角线互相垂直并且平分，是p且q的形式．答案：p且q2．綈p且綈q3．6是12或24的约数6是12的约数且是24的约数6不是12的约数4．解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除5．解析：(1)命题可以写为“非空集A ∩B 中的元素是A 中的元素，且是B 中的元素”，故填p 且q ；(2)“是A 中元素或B 中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p 或q ；(3)“不是A 中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p .答案：(1)p 且q (2)p 或q (3)非p6．解：(1)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：12可以被3整除；q ：12可以被4整除．(2)这个命题是“p 且q ”的形式，其中p ：3是12的约数；q ：3是15的约数．7．解：p 或q ：方程x 2－4＝0的两根符号不同或绝对值相等．p 且q ：方程x 2－4＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p ：方程x 2－4＝0的两根符号相同．8．解：(1)否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形；否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定形式：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零；否命题：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2≠0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零．(3)否定形式：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0；否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0.课时跟踪训练(四) 含逻辑联结词的命题的真假判断1．若p 是真命题，q 是假命题，则下列说法错误的是________．①p ∧q 是真命题 ②p ∨q 是假命题 ③綈p 是真命题 ④綈q 是真命题2．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)，则下面为真命题的是________．①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q .3．已知命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 或q ”“p 且q ”和“非p ”形式的命题中，真命题为________．4．已知命题p ：所有自然数都是正数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①綈p 且q ；②p 或q ；③綈p 且綈q ；④綈p 或綈q5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．①(綈p )∨(綈q )；②p ∨(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨q .6．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)，q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)．7．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若q ⇒綈p ，求实数a 的取值范围．8．命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数，分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)p ∨q 为真命题；(2)“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假．答 案1．解析：p 是真命题，则綈p 是假命题．q 是假命题，则綈q 是真命题．故p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题．答案：①②③2．解析：当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x <log a x ，故p 为假命题．命题q ，由等差数列的性质，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨((綈q )为真命题．答案：②3．解析：命题p 是假命题，因为当a <0或a ＝0时解集与已知不同；命题q 也是假命题，因为不知道a ，b 的大小关系．所以只有非p 是真命题．答案：非p4．解析：因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以綈p 且綈q 为真命题，綈p 或綈q 为真命题．答案：③④5．解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p )∨(綈q )．答案：①6．解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数；p 且q ：5是有理数且5是整数；非p ：5不是有理数．因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)．因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．7．解：(1)由于a ＝1，则x 2－4ax ＋3a 2<0⇔x 2－4x ＋3<0⇔1<x <3.所以p ：1<x <3.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.由于p ∧q 为真，所以p ，q 均是真命题，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3得2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p ：x 2－4ax ＋3a 2≥0，a >0，x 2－4ax ＋3a 2≥0⇔(x －a )(x －3a )≥0⇔x ≤a 或x ≥3a ，所以綈p ：x ≤a 或x ≥3a ，设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，由(1)知q ：2<x ≤3，设B ＝{x |2<x ≤3}．由于q ⇒綈p ，所以B A ，所以3≤a 或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥3， 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23∪[3，＋∞)． 8．解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1.① 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12.② (1)当p ∨q 为真时，即p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－12或a ＞13； ∴“p ∨q ”为真时，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13. (2)当“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p ，q 有且只有一个是真命题时，有两种情况：当p 真q 假时，13＜a ≤1；当p 假q 真时，－1≤a ＜－12. ∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假时，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | 13＜a ≤1或－1≤a ＜－12.课时跟踪训练(五) 量 词1．下列命题：①有的质数是偶数；②与同一平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形的三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(只填序号)2．下列命题中的假命题是________．①∀x ∈R,2x －1>0； ②∀x ∈N *，(x －1)2>0；③∃x ∈R ，lg x <1；④∃x ∈R ，tan x ＝2.3．用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题：(1)实数的平方大于或等于0： _________________________________________________；(2)存在一对实数，使3x －2y ＋1≥0成立： ________________________________.4．命题“∀x ∈R ＋，2x ＋1x＞a 成立”是真命题，则a 的取值范围是________． 5．已知“∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋1>0”为真命题，则实数a 的取值范围是________．6．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)对任意x ∈R ，z x ＞0(z >0)；(2)对任意非零实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则1x 1>1x 2； (3)∃α∈R ，使得sin(α＋π3)＝sin α； (4)∃x ∈R ，使得x 2＋1＝0.7．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12； (2)∃α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β；(3)∀x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ；(4)∃x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3.8．(1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．答 案1．解析：根据所含量词可知②④是全称命题，①③是存在性命题．答案：②④ ①③2．解析：对②，x ＝1时，(1－1)2＝0，∴②假．答案：②3．(1)∀x ∈R ，x 2≥0(2)∃x ∈R ，y ∈R,3x －2y ＋1≥04．解析：∵x ∈R ＋，∴2x ＋1x≥22，∵命题为真，∴a ＜2 2. 答案：(－∞，22)5．解析：当a ＝0时，不等式为1>0，对∀x ∈R,1>0成立．当a ≠0时，若∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋1>0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1.综上，a 的取值范围为[0,1)． 答案：[0,1)6．解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题．(1)∵z x ＞0(z >0)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝－1，x 2＝1，x 1＜x 2，但1x 1<1x 2， ∴命题(2)是假命题．(3)当α＝π3时，sin(α＋π3)＝sin α成立， ∴命题(3)为真命题．(4)对任意x ∈R ，x 2＋1＞0，∴命题(4)是假命题．7．解：(1)法一：当x ∈R 时，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34>12，所以该命题是真命题．法二：x 2－x ＋1>12⇔x 2－x ＋12>0，由于Δ＝1－4×12＝－1<0，所以不等式x 2－x ＋1>12的解集是R ，所以该命题是真命题．(2)当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝cos π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝22，此时cos (α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题． (3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∉N ，所以该命题是假命题．(4)当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，即∃x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3，所以该命题是真命题．8．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R .∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－ 2. 又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立．∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R .∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2， 2 ]， 又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解．∴只要m <2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．课时跟踪训练(六) 含有一个量词的命题的否定1．(重庆高考改编)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是______________．2．命题“∃x ∈∁R Q ，x 3∈Q ”的否定是________________．3．命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0”的否定是_________________________________．4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是___________________．5．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．6．设语句q (x )：cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x ： (1)写出q ⎝⎛⎭⎫π2，并判定它是不是真命题；(2)写出“∀a ∈R ，q (a )”，并判断它是不是真命题．7．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)r：等圆的面积相等，周长相等．8．∀x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围．答案1．解析：因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2<0”．答案：存在x∈R，使得x2<02．解析：存在性命题的否定是全称命题．答案：∀x∈∁R Q，x3∉Q3．解析：全称命题的否定是存在性命题．答案：∃x∈R，x2－x＋3≤04．解析：此命题是一个全称命题，全称命题的否定是存在性命题．故该命题的否定是：“存在能被2整除的整数不是偶数”．答案：存在能被2整除的整数不是偶数5．解析：该命题p的否定是綈p：“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”，即关于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1>0的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3，所以实数a 的取值范围是(－1,3)．答案：(－1,3)6．解：(1)q ⎝⎛⎭⎫π2：cos ⎝⎛⎭⎫π2－π2＝sin π2， 因为cos 0＝1，sin π2＝1， 所以q ⎝⎛⎭⎫π2是真命题．(2)∀a ∈R ，q (a )：cos ⎝⎛⎭⎫a －π2＝sin a ， 因为cos ⎝⎛⎭⎫a －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－a ＝sin a ， 所以“∀a ∈R ，q (a )”是真命题．7．解：(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题． (2)这一命题的否定形式是綈q ：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1>0.利用配方法可以验证綈q 是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r ：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r 是一个假命题．8．解：已知不等式化为22x －2·2x ＋2－a <0.①令t ＝2x ，∵x ∈[－1,2]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，则不等式①化为：t 2－2t ＋2－a <0，即a >t 2－2t ＋2，原命题等价于：∀t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，a >t 2－2t ＋2恒成立，令y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，当t∈⎣⎡⎦⎤12，4时，y max ＝10.所以只须a >10即可．即所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)．课时跟踪训练(七) 圆锥曲线1．平面内到一定点F 和到一定直线l (F 在l 上)的距离相等的点的轨迹是________________________．2．设F 1、F 2为定点，PF 1－PF 2＝5，F 1F 2＝8，则动点P 的轨迹是________．3．以F 1、F 2为焦点作椭圆，椭圆上一点P 1到F 1、F 2的距离之和为10，椭圆上另一点P 2满足P 2F 1＝P 2F 2，则P 2F 1＝________.4．平面内动点P 到两定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离之差为m ，若动点P 的轨迹是双曲线，则m 的取值范围是________．5．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1、F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________．6．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过F 作直线与抛物线相交于A 、B 两点，试判断以AB 为直径的圆与l 的位置关系．7．动点P (x ，y )的坐标满足(x －2)2＋y 2＋(x ＋2)2＋y 2＝8.试确定点P 的轨迹．8．在相距1 600 m 的两个哨所A ，B ，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时间早3 s ．试判断爆炸点在怎样的曲线上？答 案1．过点F 且垂直于l 的直线2．解析：∵5＜8，满足双曲线的定义，∴轨迹是双曲线．答案：双曲线3．解析：∵P 2在椭圆上，∴P 2F 1＋P 2F 2＝10，又∵P 2F 1＝P 2F 2，∴P 2F 1＝5.答案：54．解析：由题意可知，|m |＜4，且m ≠0，∴－4<m <4，且m ≠0.答案：(－4,0)∪(0,4)5．解析：∵PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝(202)2＝100.答案：1006．解：如图，取AB 的中点O2，过A 、B 、O 2分别作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，O 2O 1⊥l ，根据抛物线的定义，知AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，∴O 2O 1＝AA 1＋BB 12＝AF ＋BF 2＝AB 2＝R (R 为圆的半径)， ∴以AB 为直径的圆与l 相切．7．解：设A (2,0)，B (－2,0)， 则(x －2)2＋y 2表示P A ，(x ＋2)2＋y 2表示PB ，又AB ＝4，∴P A ＋PB ＝8＞4，∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．8．解：由题意可知点P 离B 比离A 远，且PB －P A ＝340×3＝1 020 m ，而AB ＝1 600 m ＞1 020 m ，满足双曲线的定义，∴爆炸点应在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近A 的一支上．课时跟踪训练(八) 椭圆的标准方程1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．2．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.5．已知P 为椭圆x 225＋4y 275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)．7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．答 案1．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c 2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±320. 答案：⎝⎛⎭⎫0，±320 3．解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°， 即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.① 由椭圆的定义，得10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34. 答案：25 346．解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． ∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5.∴b 2＝a 2－c 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1. (2)法一：由9x 2＋5y 2＝45，得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43，所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1. 法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)， 将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧ x P＝x ，y P ＝54y . ∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25. 即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1. 8．解：设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.课时跟踪训练(九) 椭圆的几何性质1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________________________________________________________________________．3．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．5．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．6．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32，－2)，求椭圆的标准方程．7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．答 案1．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：332．解析：依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x 24＋y 23＝13．解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4.故两条曲线有相同的焦距． 答案：焦距4．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2.所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－135．解析：设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c .在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a 2－c ＝c .∴e ＝c a ＝34.答案：346．解：设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则754a 2＋4b 2＝1.① 由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2＝1625a 2.②把②代入①，得754a 2＋4×2516a 2＝1，解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为x 225＋y 216＝1.7．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3.∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 8．解：令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a.设P (－c ，b 2a )，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－ba，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.课时跟踪训练(十) 双曲线的标准方程1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．2．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.3．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．4．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF ·2MF ＝0，|1MF |·|2MF |＝2，则该双曲线的方程是__________． 6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．8．如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．答 案1．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF1F 2⇒12×PF 2×r＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45. 答案：453．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3.答案：－3<k <34．解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF .∴|1MF |2＋|2MF |2＝40.∴(|1MF |－|2MF |)2＝|1MF |2－2|1MF |·|2MF |＋|2MF |2＝40－2×2＝36.∴||1MF |－|2MF ||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1，∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝⎪⎪⎪⎪(5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2 ＝⎪⎪⎪⎪(414)2－ (94)2＝8，即2a ＝8，则a ＝4. 又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5，由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120° 即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2 ∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33.8．解：以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sinC ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．课时跟踪训练(十一) 双曲线的几何性质1．(陕西高考)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54.则m ＝________.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．3．焦点为(0,6)，且与双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是___________．4．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为____________________．5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率e 的取值范围是________．6．根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点(154，3)，且一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0.(2)P (0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.7．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)求△F 1MF 2的面积．答 案1．解析：∵a ＝4，b ＝m ，∴c 2＝16＋m ，e ＝ca ＝16＋m 4＝54，∴m ＝9.答案：92．解析：根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则可知b a ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以结果为2或233. 答案：2或2333．解析：由x 22－y 2＝1，得双曲线的渐近线为y ＝±22x .设双曲线方程为：x 22－y 2＝λ(λ<0)，∴x 22λ－y 2λ＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.故双曲线方程为y 212－x 224＝1. 答案：y 212－x 224＝14．解析：∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12，∴y ＝±12x .答案：y ＝±12x5．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，由此解得|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即c ≤2a ，e ＝ca≤2.又e >1，∴离心率e 的取值范围是(1,2]．答案：(1,2]6．解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0， ∴可设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)．∵双曲线经过点⎝⎛⎭⎫154，3，∴19×15216－3216＝λ.即λ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x 轴上， ∵PF 1⊥PF 2，且OP ＝6， ∴2c ＝F 1F 2＝2OP ＝12，∴c ＝6. 又P 与两顶点连线夹角为π3，∴a ＝|OP |·tan π6＝2 3，∴b 2＝c 2－a 2＝24.故所求双曲线的标准方程为x 212－y 224＝1.7．解：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .由PF 2＝QF 2，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|， ∴b 2a ＝2c ，∴b 2＝2ac . 由a 2＋b 2＝c 2， 得c 2－2ac －a 2＝0， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×c a －1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.8．解：(1)∵离心率e ＝2，∴设所求双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，知λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1.(2)若点M (3，m )在双曲线上，则32－m 2＝6，∴m 2＝3. 由双曲线x 2－y 2＝6知，F 1(2 3，0)，F 2(－2 3，0)， ∴MF 1―→·MF 2―→＝(2 3－3，－m )·(－2 3－3，－m ) ＝9－(2 3)2＋m 2＝0.∴MF 1―→⊥MF 2―→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)S △F 1MF 2＝12×2c ×|m |＝c |m |＝2 3×3＝6.课时跟踪训练(十二) 抛物线的标准方程1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是________．2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上的点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为________．3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．4．抛物线x 2＝－ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值是________．5．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为________．6．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5.7．设抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 章末检测试卷 Word版含答案
章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．椭圆x24＋y23＝1的右焦点到直线y ＝33x 的距离是________．答案12解析∵椭圆x24＋y23＝1的右焦点为(1,0)，∴右焦点到直线3x －3y ＝0的距离d ＝33＋9＝12.2．已知F 1，F 2分别是椭圆x2k ＋2＋y2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________．答案12解析△ABF 2的周长为4a ，且4a ＝8，所以a ＝2，得k ＝2，所以b 2＝3， 所以e ＝ca ＝4－32＝12.3．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，AF ＝2，则BF ＝________.答案2解析设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2， 则依题意有焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，∴x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是________．答案32解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.5．已知椭圆x2a2＋y216＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．答案20解析由椭圆定义知，△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5，∴△ABF 2的周长为20.6．已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案44解析由题意，因为双曲线的右焦点(5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，利用双曲线的定义得FP －P A ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，由P A ＋QA ＝PQ ＝2×8＝16，得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.7．已知双曲线x2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．答案y ＝±33x解析∵y 2＝8x 焦点坐标是(2,0)，∴双曲线x2a2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴长b ＝1且a >0，∴a ＝22－12＝3，∴双曲线的渐近线方程是y ＝±33x .8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________________．答案3x 2－y 2＝1解析由题意可得e ＝ca＝2，则c ＝2a ，设其一焦点为F (c,0)，渐近线方程为bx ±ay ＝0，那么d ＝bc b2＋a2＝bcc＝b ＝1， 而c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝13，则所求的双曲线方程为3x 2－y 2＝1.9．已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足PA →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程为________．答案x24＋y22＝1解析设点P (x ，y )，则PA →＝(1－x,1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )．所以PA →·PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y )＝x 2＋y 2－2.由已知得x 2＋y 2－2＝x22，即x24＋y22＝1.10．已知椭圆x225＋y216＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，且椭圆上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则△PF 1F 2的面积为________．答案45解析点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10，不妨记PF 1＝3，则PF 2＝7，又2c ＝6， 所以cos ∠PF 2F 1＝72＋62－322×6×7＝1921，从而可得sin ∠PF 2F 1＝4521，所以＝12×6×7×sin ∠PF 2F 1＝4 5.11．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．答案57解析在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ，所以a ＝7，则e ＝c a ＝57.12．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sinA ＋sinBsinC的值等于________．答案3解析在△ABC 中，由正弦定理得sinA ＋sinB sinC ＝CB ＋CAAB，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sinA ＋sinB sinC ＝2a 2c ＝1e＝3.13．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为________．答案138解析由P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，焦点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴FM ＝2，PQ ＝1＋14＝54，MQ ＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫54＋2×1＝138.14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x23＋y22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线方程是x ＝－18；④双曲线y249－x225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x .其中所有不正确命题的序号是________．答案①②④解析①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝33；③正确；④渐近线方程为y ＝±75x . 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，离心率e ＝223，求椭圆的标准方程．解(1)当焦点在x 轴上时，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．∵离心率e ＝223，∴c a ＝223.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3b . 又∵椭圆经过点P (3,0)，∴9a2＋0b2＝1，∴a 2＝9，b 2＝1. ∴椭圆的标准方程为x29＋y 2＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．同理可得a ＝3b .又∵椭圆经过点P (3,0)，∴0a2＋9b2＝1，∴b 2＝9，∴b ＝3，a ＝9.∴椭圆的标准方程为y281＋x29＝1.综上，椭圆的标准方程为x29＋y 2＝1或y281＋x29＝1.16．(14分)求与椭圆x2144＋y2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解椭圆x2144＋y2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是y24－x221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .17．(14分)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7，求这两条曲线的方程． 解设椭圆的方程为x2a21＋y2b21＝1，双曲线的方程为x2a22－y2b22＝1，焦距2c ＝213，由已知得a 1－a 2＝4，c a1∶ca2＝3∶7，解得a 1＝7，a 2＝3，c ＝13，所以b 21＝36，b 2＝4，所以两条曲线的方程分别为x249＋y236＝1，x29－y24＝1.18．(16分)已知直线y ＝x －4被抛物线y 2＝2mx (m ≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．解设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2mx ，y ＝x －4，得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0，Δ＝4(4＋m )2－64＞0，所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16，所以弦长为错误!＝错误!＝错误!＝2错误!.由2错误!＝6错误!，解得m ＝1或m ＝－9.经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意且满足Δ＞0. 所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x .19．(16分)已知椭圆C 的左，右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标．解(1)因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a2－c2＝1， 所以椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1<t <1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ，x23＋y2＝1得x ＝±错误!，所以圆P 的半径为错误!.当圆P 与x 轴相切时，|t |＝错误!，解得t ＝±错误!，所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，±32.20．(16分)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴的一个端点A 与短轴的一个端点B 的连线AB 平行于OM . (1)求椭圆的离心率；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是椭圆的右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．解(1)依题意知F 1点坐标为(－c,0)，设M 点坐标为(－c ，y )．若A 点坐标为(－a,0)，则B 点坐标为(0，－b )，则直线AB 的斜率k ＝－ba.错误!则有y －c＝－b a ，∴y ＝bc a .①又∵点M 在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，∴c2a2＋y2b2＝1.②由①②得c2a2＝12，∴c a ＝22，即椭圆的离心率为22.(2)设QF 1＝m ，QF 2＝n ，∠F 1QF 2＝θ，则m ＋n ＝2a ，F 1F 2＝2c .在△F 1QF 2中，cos θ＝m2＋n2－4c22mn ＝错误!＝错误!－1≥错误!－1＝0.当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴0≤cos θ＜1，又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2.又当Q 为椭圆的左、右顶点时，θ＝0，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.即∠F 1QF 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 §1.2 第2课时 Word版含答案
第2课时“非”学习目标1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．知识点一逻辑联结词“非”思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根．(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数．答案两组命题中，命题q都是命题p的否定．梳理(1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p 的否定”．(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．知识点二“p∧q”与“p∨q”的否定对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“且”变为“或”．对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“∨”变为“∧”．复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．知识点三命题的否定与否命题思考已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？答案命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定．梳理(1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定．①“綈p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“綈p”与否命题的区别；②p与“綈p”的真假必定相反；③“綈p”必须包含p的所有对立面．(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定．1．命题的否定和否命题是一回事．(×)2．命题“方程x2－3＝0没有有理根”的否定为“方程x2－3＝0有有理根”．(√)3．命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的否定为“若a2＞b2，则|a|＜|b|”．(×)类型一綈p命题及构成形式例1写出下列命题的否定形式．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.引申探究写出本例中所给命题的否命题．解(1)面积不相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2≠0，则实数m，n不全为零．(3)若xy≠0，则x≠0且y≠0.反思与感悟綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等．跟踪训练1写出下列命题的否定形式．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3<2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数．解(1) 綈p：y＝sin x不是周期函数．(2) 綈p：3≥2.(3) 綈p：空集不是集合A的子集．(4) 綈p：5是75的约数．类型二含逻辑联结词的命题的真假判断例2分别判断由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点；q：函数y＝2x是增函数．(2)p：7＞7；q：7＝7.考点綈p形式命题真假性的判断题点判断綈p的真假解(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．引申探究在本例条件不变的前提下，对(1)判断“(綈p)∧q”“(綈q)∨p”的真假；对(2)判断“p∧(綈q)”“p∨(綈q)”“(綈p)∧(綈q)”“(綈p)∨(綈q)”的真假．解(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，即(綈p)∧q为真命题，(綈q)∨p为假命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧(綈q)为假命题，p∨(綈q)为假命题；(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．反思与感悟判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假．跟踪训练2已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①(綈p)∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)．考点“綈p”形式命题真假性的判断题点判断綈p的真假答案④解析由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．类型三命题的否定的真假应用例3已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．解命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 错误!⇔错误!，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0.由于⎩⎪⎨⎪⎧ a>0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a2－4a<0，解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≤－1，a<0或a≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．反思与感悟由真值表可判断p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p ，q 的真假情况．一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集． 跟踪训练3已知命题p ：|x 2－x |≤2，q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“綈p ”同时为假命题，则x 的取值范围为________． 答案{x |－1<x <2且x ≠0,1}解析由p 得－1≤x ≤2，又q ：x ∈Z ，得p ∧q ：x ∈{－1,0,1,2}．綈p ：x <－1或x >2，因为“p ∧q ”与“綈p ”同时为假，所以p 真且q 假，故－1<x <2且x ≠0,1.1．已知命题p ：2＋2＝5，命题q ：3>2，则下列判断正确的是________．(填序号) ①“p ∨q ”为假，“綈q ”为假； ②“p ∨q ”为真，“綈q ”为假； ③“p ∧q ”为假，“綈p ”为假； ④“p ∧q ”为真，“p ∨q ”为假． 答案②解析显然p 假q 真，故“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真，“綈q ”为假，故②正确．2．命题“若a >b ，则3a >3b ”的否命题是________________，命题的否定为________________． 答案若a ≤b ，则3a ≤3b 若a >b ，则3a ≤3b 3．“a ≥5且b ≥2”的否定是________． 答案a <5或b <2解析“p ∨q ”的否定是“(綈p )∧綈q ”，而“p ∧q ”的否定为“(綈p )∨(綈q )”．4．给出命题p ：直线ax ＋3y ＋1＝0与直线2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行的充要条件是a ＝－3，命题q ：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是________．(填序号) ①命题“p ∧q ”为真；②命题“p ∨q ”为假； ③命题“p ∨(綈q )”为真；④命题“p ∧(綈q )”为真． 答案③④解析依题意得命题p 为真命题，命题q 为假命题．故p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∨(綈q )为真，p ∧(綈q )亦为真，只有③④正确． 5．已知a ＞0，且a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q ：抛物线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，若(綈p )∧q 为真命题，则实数a 的取值范围为________________． 考点“非p ”形式命题真假性的判断 题点由“非p ”命题的真假求参数的取值范围答案⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞解析由函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，知0＜a ＜1. 若抛物线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点， 则Δ＝(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.∵(綈p )∧q 为真命题，∴p 为假命题，且q 为真命题，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＜12或a ＞52，∴a ＞52.∴所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．2．“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．一、填空题1．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p 为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(填序号)答案②③解析由不等式性质知：命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q 为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题①p1∨p2，②p1∧p2，③(綈p1)∨p2和④p1∧(綈p2)中，为真命题的是________．(填序号)答案①④解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴①p1∨p2是真命题，②p1∧p2是假命题，∴③(綈p1)∨p2为假命题，④p1∧(綈p2)为真命题．∴为真命题的是①④.4．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)①p假q真；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真；④“非p”为真．答案②解析由(x＋2)(x－3)<0，得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p 真． ∵∅≠{0}，∴q 为假， ∴“p ∨q ”为真．5．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 答案[1,2)解析x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题是假命题， 所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．6．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的________条件． 答案充分不必要解析p ：{x |x >1或x <－3}，q ：{x |2<x <3}． 则綈p ：{x |－3≤x ≤1}，綈q ：{x |x ≥3或x ≤2}． ∴(綈p )⇒(綈q )且(綈q )⇏(綈p )． ∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．7．若命题p ：x ∈{1,2,3,4}，命题q ：x ∈{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则p 是綈q 的____________条件． 答案充分不必要解析∵q ：x ∈{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈q ：x ∈{x |0<x <5，x ∈R }， ∴p ⇒綈q 但綈q ⇒/p .8．已知p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“綈q ”同时为假，则x 的值为________． 答案－1,0,1,2解析∵p 且q 为假，∴p ，q 中至少有一个为假．又“綈q ”为假，∴q 为真，进而可知p 为假．由p 假q真可得⎩⎪⎨⎪⎧ |x2－x|<6，x∈Z，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<3，x∈Z，∴x 的取值为－1,0,1,2.9．命题p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p 是假命题，则a 的取值范围是__________________________________________、_______________________．考点“非p ”形式命题真假性的判断 题点由“非”命题的真假求参数的取值范围 答案(－∞，－3]解析由题意，知－错误!≥4，解得a ≤－3.10．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(x ＋1)]为偶函数；命题q ：函数y ＝ex －1ex ＋1为偶函数，下列说法正确的是________．(填序号)①p ∨q 是假命题；②(綈p )∧q 是假命题；③p ∧q 是真命题；④(綈p )∨q 是真命题． 答案②解析p 中，f (－x )＝ln [(1＋x )(1－x )]＝f (x )，又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p 为真；q 中，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－exex ＋1＝－f (x )，定义域为R ，故函数为奇函数，故q 为假，故(綈p )∧q 为假． 11．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b⊥c ，则a∥c .对以上两个命题，下列结论中：①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案②解析命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面或相交． 二、解答题12．写出下列命题的否定及否命题．(1)若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 全为零； (2)若x <0，则x 2>0.解(1)命题的否定：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0， 则实数m ，n ，x ，y 不全为零． 否命题：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2≠0， 则实数m ，n ，x ，y 不全为零． (2)命题的否定：若x <0，则x 2≤0. 否命题：若x ≥0，则x 2≤0.13已知p ：关于x 的不等式|2x －3|<m (m >0)，q ：x (x －3)<0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解由|2x －3|<m (m >0)，得3－m 2<x <3＋m2.由x (x －3)<0，得0<x <3.若綈p 是綈q 的必要不充分条件， 则q 是p 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，3－m2>0，3＋m 2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m2≥0，3＋m 2＜3，解得0<m <3.故实数m 的取值范围是(0,3)． 三、探究与拓展14．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则下列说法正确的是________．(填序号)①p ∧q 是真命题；②p ∨q 是假命题；③綈p 是假命题；④綈q 是假命题． 考点“p ∨q ”“p ∧q ”形式命题真假性的判断 题点判断“p ∨q ”“p ∨q ”形式命题的真假 答案③解析因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题．因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 是假命题，綈q 是真命题．15．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x －3<0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}． (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若綈p 是綈q 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解(1)A ＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x<94.∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≤12或x≥94，∴(∁UB )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪94≤x<3.(2)由綈p 是綈q 的必要条件，得q 是p 的必要条件， 即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．∴⎩⎪⎨⎪⎧a≤2，a2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1,2]．。
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滚动训练(一)一、填空题1．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为________________________．考点四种命题的概念题点按要求写命题答案△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．2．已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有________个．答案 1解析原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题．当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题．又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题．3．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．真命题的个数是________．答案 2解析①当m＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax2＋2x－1＝0(a≠0)的判别式Δ＝4＋4a，其值不一定大于或等于0，有可能小于0，所以与x轴至少有一个交点不能确定；③④正确．4．给出下列三个命题：①“若x2＋2x－3≠0，则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：∀x∈R,2x＞0，则綈p：∃x∈R,2x≤0.其中正确的个数是________．考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案 1解析①命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”，是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①不正确．②不正确．③根据含量词的命题否定方式，可知命题③正确．5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)?{x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.6．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是________．考点“p∧q”形式命题真假性的判断题点由“p∧q”形式命题的真假求参数的取值范围答案(－2,0)解析由题意可知，若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题．命题p为真命题，则m＜0.命题q为真命题，则m2－4＜0，即－2＜m＜2.所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．7．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是________．考点全称量词的否定题点全称量词的命题的否定答案∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0解析全称命题的否定是存在性命题．全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是存在性命题：∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0.8．已知p：x2＋2x－3＞0；q：13－x＞1.若“(綈q)∧p”为真命题，则x的取值范围是________________________________________________________________________．考点简单逻辑联结词的综合应用题点由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，所以q 假p 真．而当q 为真命题时，有x －2x －3＜0，即2＜x ＜3， 所以当q 为假命题时有x ≥3或x ≤2；当p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2， 解得x ＜－3或1＜x ≤2或x ≥3.9．设命题p ：若e x ＞1，则x ＞0，命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b，则命题p ∧q 为________命题．(填“真”“假”)考点 “p ∧q ”形式命题真假性的判断题点 判断“p ∧q ”形式命题的真假答案 假解析 ∵命题p ：若e x ＞1，则x ＞0，∴可知命题p 是真命题．∵命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a ＞b ，但1a ＞1b ，∴命题q 为假命题，∴命题p ∧q 为假命题．10．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则m 的取值范围是________．考点 存在性命题的真假性判断题点 存在性问题求参数的取值范围答案 (－∞，－2)解析 因为函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象过点(0,1)，所以若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴必在y 轴的右侧，且与x 轴有两个交点，所以Δ＝m 2－4＞0，且－m 2＞0，所以m ＜－2，即m 的取值范围是(－∞，－2)．11．已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：|x －3|≤m ，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的概念及判断题点 由充分、必要条件求取值范围答案 [4，＋∞)解析 由x 2－3x －4≤0，得－1≤x ≤4，设A ＝{x |－1≤x ≤4}，若|x －3|≤m 有解，则m ＞0(m ＝0时不符合已知条件)，则－m ≤x －3≤m ，得3－m ≤x ≤3＋m ，设B ＝{x |3－m ≤x ≤3＋m }．∵綈q 是綈p 的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q 成立，但q ⇒p 不成立，即A ?B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，3－m ＜－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ＞4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＞4，m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ≥4，m ＞1，得m ≥4，故m 的取值范围是[4，＋∞)．二、解答题12．判断下列各题中p 是q 的什么条件．(1)p ：ax 2＋ax ＋1＞0的解集为R ，q ：0＜a ＜4；(2)p ：A ?B ，q ：A ∪B ＝B .考点 充分、必要条件的概念及判断题点 充分、必要条件的判断解 (1)∵当0＜a ＜4时，Δ＝a 2－4a ＜0，∴当0＜a ＜4时，ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，故q ⇒p .而当a ＝0时，ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，∴pD ⇒/q ，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵A ?B ⇒A ∪B ＝B ，∴p ⇒q .而当A ∪B ＝B 时，A ⊆B ，即qD ⇒/p ，∴p 是q 的充分不必要条件．13．设集合A ＝{x |－1≤x ≤7}，B ＝{x |n ＋1≤x ≤2n －3}，若“B 是A 的子集”是真命题，求实数n 的取值范围．考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围解 ①当B ＝∅，即n ＋1＞2n －3时，B ⊆A .此时解得n ＜4.②当B ≠∅时，由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋1≤2n －3，n ＋1≥－1，2n －3≤7，解得4≤n ≤5.综上所述，实数n 的取值范围是(－∞，5]．三、探究与拓展14．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的________________条件． 答案 必要不充分解析 因为0<x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1，得x sin x <1sin x ，而1sin x>1，因此充分性不成立． 15．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0.显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a. 若命题p 为真，∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴|a |≥1.若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 的图象与x 轴只有一个交点．∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}．章末复习 学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．1．命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题，关键是：①为陈述句；②能判断真假．(2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同．(3)四种命题之间的关系如图所示．2．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q 是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．3．简单的逻辑联结词与量词(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(4)含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做存在性命题．1．已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么綈p：∃x＞0，x3≤0.(√)2．命题“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”的否命题是假命题．(√)3．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件．(×)4．“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是真命题．(×)类型一 命题及其关系例1 (1)有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”．其中是真命题的是________．(填序号)考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 ①③(2)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是________．(填序号)①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )．考点 “p ∨q ”形式的命题题点 判断“p ∨q ”形式命题的真假答案 ①解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故①为真命题．反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．(2)“p 与綈p ”一真一假，“p ∨q ”一真即真，“p ∧q ”一假就假．跟踪训练1 (1)命题“若x 2>1，则x <－1或x >1”的逆否命题是________． 考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 若－1≤x ≤1，则x 2≤1(2)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号)①p 为真；②q 为真；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．考点 “p ∧q ”形式的命题题点 判断“p ∧q ”形式命题的真假答案 ③解析 由题意知p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．类型二 充分条件与必要条件例2 已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 由p 得1≤x <3，∵q ：x 2－ax ≤x －a ，∴x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0，即(x －1)(x －a )≤0，①当a <1时，a ≤x ≤1；②当a ＝1时，x ＝1；③当a >1时，1≤x ≤a .∵綈p 是綈q 的充分条件，∴q 是p 的充分条件．设q 对应集合A ，p 对应集合B ，则A ⊆B ，当a <1时，A ⊈B ，不合题意；当a ＝1时，A ⊆B ，符合题意；当a >1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1<a <3.综上所述，a 的取值范围为[1,3)．反思与感悟 若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即q 的充分条件是p ，p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p 的必然结果是q ，q 是p 的必然结果．则p ⇏q 易表述为以下几种说法：p 是q 的不充分条件，q 的不充分条件是p ；q 是p 的不必要条件，p 的不必要条件是q .跟踪训练2 已知命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 由(4x －3)2≤1，得－1≤4x －3≤1，即12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得(x －a )(x －a －1)≤0，即a ≤x ≤a ＋1.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12. 即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12 类型三 等价转化思想的应用例3 已知c >0且c ≠1，设p ：函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求c 的取值范围．解 函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的⇔0<c <1.不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ，∴2c >1且c ≠1，得c >12且c ≠1. 如果p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1，0<c ≤12，解得0<c ≤12； 如果q 真p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＞1，c >12且c ≠1，解得c ＞1. ∴c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．跟踪训练3 已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围． 解 (1)由命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，解得－1≤x ≤5. 命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0)．∵p 是q 的充分条件，∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－1，5≤1＋m ，解得m ≥4， 则实数m 的取值范围为[4，＋∞)． (2)∵m ＝5，∴命题q ：－4≤x ≤6. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， ∴命题p ，q 为一真一假．当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <－4或x ＞6，无解；当q 真p 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >5，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.因此x 的取值范围是[－4，－1)∪(5,6]． 类型四 分类讨论思想的应用例4 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数， ∴3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围 为(－∞，－2]∪[1,2)．反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点．这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系．解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想．跟踪训练4 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围．解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真．p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a ＞52.(1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1.(2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52，∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B ， 故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．设命题p ：∃n ∈N *，n 2>2n ，则綈p 为_______________． 答案 ∀n ∈N *，n 2≤2n解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”．2．已知命题p ：|x ＋1|>2，命题q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 綈p 是綈q 的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，而p ⇏q ，命题p 化简为x >1或x <－3，所以当a ≥1时，q ⇒p .3．给出以下四个判断：①若“p 或q ”为真命题，则p ，q 均为真命题；②命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4且y ＜2”； ③若x ≠300°，则cos x ≠12；④命题“∃x ∈R ，e x ≤0”是假命题． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 命题真假性的判断 题点 命题的真假性判断答案④解析若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题，故①错误；命题“若x≥4且y≥2，则x＋y≥6”的逆否命题为“若x＋y＜6，则x＜4或y＜2”，故②错误；若x≠300°，则cos x≠12，错误，如x＝60°≠300°，但cos 60°＝12；由指数函数的值域可知，命题“∃x∈R，e x≤0”是假命题．4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围答案(－∞，0]解析由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤(x2)min，得a≤0.5．分别指出下列各组命题的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题的真假．(1)p：2>2，q：2＝2；(2)p：∅是{0}的真子集，q：0∈∅；(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．考点“或”“且”“非”的综合问题题点判断复合命题的真假解(1)∵p：2>2，是假命题，q：2＝2，是真命题，∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．(2)∵p：∅是{0}的真子集，是真命题，q：0∈∅，是假命题，∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是假命题．(3)∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，是假命题，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．2．判断命题真假的步骤：确定复合命题的构成形式 ⇒判断其中简单命题的真假 ⇒根据真值表判断复合命题的真假3．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断，如下表：4.含有一个量词的命题的否定：特别提醒：(1)全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题． (2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论．一、填空题1．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，x 2＝x解析 全称命题的否定是存在性命题，所以“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定为“∃x ∈R ，x 2＝x ”．2．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∀x∈R,2x－1>0；②∀x∈N*，(x－1)2>0；③∃x∈R，lg x<1；④∃x∈R，tan x＝2.答案②解析①中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；②中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；③中命题是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；④中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题．3．已知直线l1：ax＋y＝1和直线l2：9x＋ay＝1，则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的________条件．答案充分不必要解析因为两直线平行，所以有a2－9＝0，解得a＝±3，当a＝±3时，显然两条直线平行，故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件．4．下列命题中，为真命题的全称命题是________．(填序号)①对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；②菱形的两条对角线相等；③∃x，x2＝x；④对数函数在定义域上是单调函数．答案④解析①中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；②④在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；③是存在性命题，④正确．5．命题p：若ac＝b，则a，b，c成等比数列，则命题p的否命题是________命题．(填“真”“假”)答案假解析其原命题的否命题是：若ac≠b，则a，b，c不成等比数列．若b＝－ac，则b2＝ac，此时a，b，c也可以成等比数列，故为假命题．6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②a2＝b2；③a2＝a·b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的是________．(填序号)答案①②③解析由a＝b可以推得①，②，③均成立，而由①，②或③都推不出a＝b.7．下列有关命题的叙述，①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．其中错误的个数为________．答案 2解析若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，所以p∧q不一定为真，所以①错误；x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确；根据存在性命题的否定是全称命题知③正确；“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2.8．有下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行；④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．答案 3解析①垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确；②垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，错误；③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行或相交或异面，错误；④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误．9．命题p：若a>0，b>0，则ab＝1是a＋b≥2的必要不充分条件，命题q：函数y＝log2x－3x＋2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则以下四个命题中正确的是________．(填序号)①“p ∨q ”为假；②“p ∧q ”为真；③p 真q 假；④p 假q 真． 答案 ④解析 由命题p ：a >0，b >0，ab ＝1得a ＋b ≥2ab ＝2，所以p 为假命题； 命题q ：由x －3x ＋2>0得x <－2或x >3，所以q 为真命题．10．已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：任意k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交．则下面结论正确的是________．(填序号)①(綈p )∨q 是真命题；②p ∧(綈q )是真命题；③p ∧q 是假命题；④p ∨q 是假命题． 答案 ①解析 命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝0k 2＋1<1，命题q 是真命题．故(綈p )∨q 是真命题．11．定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________．(填序号)①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y )，则x －y <1；③任意x ，y ∈R ，f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )； ④f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )；⑤函数f (x )为奇函数． 答案 ②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立，如x 取1.5；f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )不一定成立，如x 取0；函数f (x )不满足奇函数的关系，如f (1.6)＝2，f (－1.6)＝－1.故答案为②③.二、解答题12．对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2，又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．13．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a ≥2，∴0<a ≤1. 若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p ∧q ”为真命题， ∴命题p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1.三、探究与拓展14．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件．考点 充分、必要条件的概念及判断 题点 充分不必要条件的判断 答案 充分不必要解析 由直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，易知k ≠0，且圆心O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2＜1，所以|AB |＝21－d 2＝21－11＋k2＝2k 21＋k 2. 若k ＝1，则|AB |＝2，d ＝22， 所以△OAB 的面积为12×2×22＝12. 反过来，若△OAB 的面积为12，则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝k 21＋k 2＝12， 解得k ＝±1.故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．15．设命题p ：a ＞1；命题q ：不等式－3x ≤a 对一切正实数x 均成立．(1)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵x ＞0，∴3x ＞1，∴－3x ＜－1，∵－3x ≤a ，∴a ≥－1，∴实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由命题“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，得命题p ，q 一真一假．①当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＜－1，无解； ②当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥－1，解得－1≤a ≤1，∴实数a 的取值范围是[－1,1]．章末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是________．答案 若a ≠0且b ≠0，则ab ≠02．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”的否定是________．答案 ∃x ∈R ，x 2－2x ＋1＜0解析 原命题是全称命题，其否定是存在性命题．3．命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为________．答案 4解析 原命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”是真命题；逆命题“对于正数a ，若lg a >0，则a >1”是真命题．∴否命题与逆否命题也都是真命题．故真命题的个数为4.4．A ＝{x ||x －1|>1，x ∈R }，B ＝{x |log 2x >1，x ∈R }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由题意，得A ＝{x |x <0或x >2}，B ＝{x |x >2}，所以B ⊆A ，所以x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈AD ⇒/x ∈B ，所以“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件．5．“实数a 和b 都不是有理数”的否定为________________________________． 答案 实数a 和b 至少有一个是有理数解析 将“都不是”改成“至少有一个是”．6．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1.若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2.由题意，得若p 假则q 真，若p 真则q 假，即⎩⎨⎧ 0<a ≤1，a >2或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a ≤2，∴1<a ≤2.7．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的________条件．答案 充分不必要解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．8．设有两个命题：①关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；②函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]解析 ①若x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，则Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2；②若f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则5－2a >1，a <2.若①真②假，则a ∈∅；若①假②真，则a ≤－2.9．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 3解析 由已知可得m ≥tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3恒成立． 设f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，显然该函数为增函数， 故f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝tan π3＝3， 由不等式恒成立可得m ≥3，即实数m 的最小值为 3.10．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题p 是真命题；②命题q 是假命题；③命题“(綈p )∧q ”是真命题；④命题“p ∨(綈q )”是假命题．其中正确命题的序号是________．答案 ③④解析 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题；对于q ，因为函数y ＝x 2＋x ＋1的图象开口向上，最小值在x ＝－12处取得，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝34>0，所以命题q 是真命题．由命题p 为假命题和命题q 是真命题，可得命题“(綈p )∧q ”是真命题；命题“p ∨(綈q )”是假命题．故③④正确．11．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的____________条件．答案 充分不必要解析 ∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．12．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b ，则“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的____________条件．答案 充分不必要解析 函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，若1<a <2，则0<a －1<1,1<3－a <2，即横坐标为3的点到对称轴的距离大于横坐标为1的点到对称轴的距离，则f (1)<f (3)．若a ＝0，则函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，满足f (1)<f (3)，但1<a <2不成立．所以“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的充分不必要条件．13．已知命题p ：(x －3)(x ＋1)>0，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．答案 (0,2)解析 p ：(x －3)(x ＋1)>0⇔x <－1或x >3，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0⇒x <－m ＋1或x >m ＋1，它们的取值范围分别用集合A ，B 表示，由题意知A ?B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－1，m ＋1≤3，其中等号不能同时成立， ∴m <2，又m >0，∴0<m <2.14．已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则m ≤－1；若命题q 是真命题，则m 2－4<0，解得－2<m <2，所以p ∧q 是真命题时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，－2<m <2，即－2<m ≤－1，∴p ∧q 为假命题时，m 的取值范围为(－∞，2]∪(－1，＋∞)．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.证明 (1)充分性：∵0<m <13， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m >0，且3m>0， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－12m >0，x 1x 2＝3m >0，解得0<m <13.综合(1)(2)知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.16．(14分)命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2.由已知条件知p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1， 当q 为真，p 为假时有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，实数a 的取值范围为[－2,1)∪(2，＋∞)．17．(14分)已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos2x －1，且给定条件p ：π4≤x ≤π2. (1)求f (x )的最大值及最小值；(2)若给定条件q ：|f (x )－m |<2，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝2⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －23cos2x －1 ＝2sin2x －23cos2x ＋1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. ∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3.∴3≤4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1≤5. ∴f (x )max ＝5，f (x )min ＝3.(2)∵|f (x )－m |<2，∴m －2<f (x )<m ＋2.又∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2<3，m ＋2>5，解得3<m <5. ∴实数m 的取值范围为(3,5)．18．(16分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增，q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．解 ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2在[－2，＋∞)上单调递增， ∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2.即p ：a ≤－1或a ≥2. 由不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，(－a )2－4a <0，解得0≤a <4，∴q ：0≤a <4. ∵p ∧q 假，p ∨q 真，∴p 与q 一真一假，∴p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1或a ≥2，a <0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <2，0≤a <4，∴a ≤－1或a ≥4或0≤a <2.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．19．(16分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 对于x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立时，求a 的取值范围． 解 (1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2，又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2.(2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋1)x .因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以[f (x )＋2]∈⎝⎛⎭⎫0，34. 要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f (x )＋2<log a x 恒成立，显然当a >1时不成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，log a 12≥34，解得344≤a <1. 所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫344，1.20．(16分)已知a >0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b >0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明 (1)由题意知，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1.∵f (x )＝－b ⎝⎛⎭⎫x －a 2b 2＋a 24b， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2b ＝a 24b ≤1. ∵a >0，b >0，∴a ≤2b .(2)必要性：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1⇒f (x )≥－1，∴f (1)≥－1，即a －b ≥－1，∴a ≥b －1.对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1⇒f (x )≤1.∵b >1，∴0＜1b ＜1， 由f (x )≤1知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ≤1，即a ·1b－1≤1， ∴a ≤2b ，∴b －1≤a ≤2b .充分性：∵b >1，a ≥b －1，对任意x ∈[0,1]，可以推出ax －bx 2≥b (x －x 2)－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1.∵b >1，a ≤2b ，对任意x ∈[0,1]，可以推出ax －bx 2≤2bx －bx 2＝－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1b 2≤1，即ax －bx 2≤1， ∵－1≤f (x )≤1，∴|f (x )|≤1.综上可知，当b >1时，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 滚动训练(二)一、填空题。