二次根式的分母有理化
高考数学中的根式化简中的分母有理化
高考数学中的根式化简中的分母有理化高考中的数学根式化简是一项非常重要的考点，而在这个过程中，分母有理化也是一个关键环节。
分母有理化在解题中有着重要的应用，而且不难掌握。
在这篇文章中，我们将深入探讨分母有理化的概念、方法以及实例。
一、分母有理化的概念分母有理化是指将一个分式的分母化为含有有理数的多项式。
有理数是指可以表示成有限小数、无限循环小数和整数的数字。
这个过程可以将分母的无理数转化为有理数，从而方便进行后续的计算和化简。
二、分母有理化的方法在进行分母有理化的过程中，我们需要注意以下几点方法：1.有理数的平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)该公式可以用于分母有理化中，因为它可以将分母中的平方差式进行化简。
例如，对于分式1/(√3-√2)，我们可以通过平方差公式将分母化简：=1/（√3-√2）×（√3+√2）/（√3+√2）=（√3+√2）/（√3²-√2²）=（√3+√2）/（1）=√3+√22.有理化分母当分母中含有双曲函数或其他特殊函数时，我们可以尝试有理化分母。
例如，对于分式1/(sinx-cosx)，我们可以尝试进行有理化分母，得到：=1/（sinx-cosx）×（sinx+cosx）/（sinx+cosx）=（sinx+cosx）/（sinx²-cosx²）=（sinx+cosx）/（sin²x-cos²x）=（sinx+cosx）/（1-2cos²x）3.共轭对于含有二次根式的分母，我们可以使用有理化共轭的方法进行化简。
例如，对于分式2/(3-2√2)，我们可以使用共轭的方法进行分母有理化：=2/（3-2√2）×（3+2√2）/（3+2√2）=2（3+2√2）/（9-8）=2（3+2√2）/1=2（3+2√2）三、分母有理化的实例以下是一些常见的分母有理化实例：1.将分式1/（√5-2）化简：=1/（√5-2）×（√5+2）/（√5+2）=（√5+2）/（5-4）=（√5+2）2.将分式2/（3-√2）化简：=2/（3-√2）×（3+√2）/（3+√2）=2（3+√2）/（9-2）=2（3+√2）/73.将分式1/（sinπ/6-cosπ/6）化简：=1/（sinπ/6-cosπ/6）×（sinπ/6+cosπ/6）/（sinπ/6+cosπ/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（sin²π/6-cos²π/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（1-2cos²π/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（1-√3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/（1-√3）×（1+√3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/（1-3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/-2=（√2/2+√6/2）×（1+√3）/-2=-(√2/2+√6/2)×（1+√3）结语：分母有理化是高中数学中非常重要的考点，也是日常生活中数学运用的一部分。
二次根式 的性质4-分母有理化
成果应用
例1.化去下列各式分母中的根号
1 1
23 1 3
2 3 3 3
6
4 3 2
3 2
2 3 2
3 2 3 2
52 6
2 5
4 12 5
83
15 24
5 3
3 2
3 3 2
3
23
2
3 3 6 7
3 31 6 77
3 1
3 2
3
3
2
2 3
2
3 2
6 3 2
2 33 2
3 22 33 2 2 33 22 33 2
12 5 6 6
2 5 6 6
分母有理化
将分母中的根号化去，叫作分母有理化.
分母有理化
1 2 =
5 1
2 5 =
7 2
解：1 2 = 5 1
2 51
2
= 51 5 1
5 1 4
=
5 1 2
= 51 22
解：2 5 = 7 2
5 7 2 7 2 7 2
5 7 2 =
1
1
1
+
+
+
1
21 3 2 2 3 52 6 5
2 1 + 1 + 1 + 1 + 1
3 1 5 3 7 5 3 7 11 3
解：1 1 + 1 + 1 + 1 + 1
21 3 2 2 3 52 6 5
= 2 1+ 3 2+2 3+ 5 2+ 6 5
= 6 1
2 1 +
1
+
1
二次根式的计算一步一步的详细解说
二次根式的计算一步一步的详细解说
二次根式是指含有平方根的代数式。
其计算可以按以下步骤进行：
1. 化简根式。
即将根号内可简化的因数进行约分，将根号外的因数提出来，变成一个整数与根号的乘积。
比如，√8可以化简为2√2。
2. 合并同类项。
将根号内的同类项进行合并，将根号外的同类项进行合并，使得只剩下一个根号和一个整数。
比如，2√3+3√3可以合并为5√3。
3. 化简分数。
将根号下的分数化简为约分后的整数与根号的乘积。
比如，
√(4/9)可以化简为2/3。
4. 去分母（有理化分母）。
将分母中含有根号的分数转换为不含根号的有理数，使得分母为整数。
具体方法为将根号下的分母乘上根号下的分子，即进行分数乘法。
比如，1/√2可以通过有理化分母变成√2/2。
5. 求解方程。
对于包含二次根式的方程，可以通过有理化分母的方法将其化为不含根号的方程，然后根据正负号进行解方程。
比如，对于方程
√(x+2)+√(x-3)=5，将其有理化分母得到x=10。
以上是二次根式的计算过程。
在进行计算时，需要注意合并同类项、化简分数、有理化分母等步骤，以减少计算错误。
5.2.3 二次根式的有理化
合作交流
1.分母有理化：
把分母中的根号化去,使无理数分母变成 有理数,这个过程叫做分母有理化。
2.有理化因式：
两个含有根式（无理式）的代数式相乘， 如果它们的积为有理数（式），我们说 这两个代数式互为有理化因式.
如 2是 2的有理化式，3 1是 3－1的有理式.
例1.找出下列各式的有理化因式.
(3) a 1
(4) x2 1
(5) 27
(5) 3
(6)5 2 3 5 (6)5 2 3 5
例2.化简下列二次根式：
（1） 3 ，（2）3 2 ，（3） 1（, 4） 1
5 15
27 6
a
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
5
3
a
a-b
例3.把下列各式有理化.
a
a-b
（1） 1 ，（2） 1 ，（3） 1 ，
3－1 3 1
课堂检测
1.写出下列各式的有理化因式：
（1） 3－ 2，（2） 2 5，（3）2 3－5 2.
2.把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 （2）3 2 （3） 5a （4） 2y 2
8
6 27 2a 10ay 2 xy 4xy
-2
（5）
64
，3（6）
12
xy
，（7）
1
.
7－ 11
2 3－3 2
33 2
- 7 - 11
- 2 3 3 2 6
- 1- 2 3
（4）
1
2
, (5)
3－ 5 1-
3 2
55 .
2 3
5 2- 3
47
a b a b a2 a2 a2- a-2
初二上学期二次根式的化简：分母有理化
二次根式化简-----分母有理化导学案授课教师：杨海平学习重点：有理化因式以及分母有理化学校难点：分母有理化学习过程：一、大胆尝试、寻找方法：请你思考：如何化去下列各式中根号中的分母或者分母中的根号？（1）57 （2）)0,0(43>>y x x y （3）52 （4）3325二、文字归纳，形成结论：分母有理化：______________________________________________________________ __________________________________________________________________________思考：如何将ba +2进行分母有理化？互为有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理化因式。
一般常见的有理化因式有：a 的有理化因式为__________b a +的有理化因式为__________b a ±的有理化因式为__________b a ±的有理化因式为__________ b n a m ±的有理化因式为__________三、强化理解，学以致用：例题1、找出下列各式中有理化因式：（1）b a + （2）12 （3）25- （4）25+（5）107- （6）623+ （7）11832- （8）)(22a x a x a >--归纳总结：有理化因式确定方法？例题2、将下列各式分母有理化：（1）62 （2）121 （3）5210（4）)0,0(6492>>y x y x （5）231-（6）3232-+（7）32347++ （8）233232--归纳总结分母有理化的方法与步骤：的值等于多少？则、已知：例x x x 1,2513--=求值：变式、已知：3101,3101-=+=y x22)1(xy y x + 22)2(y xy x +-)12009()200820091231121(+⋅++++++Λ变式：四、当堂训练，热炒热卖：详见<天府前沿P37第10题>五、知识回顾，万源归本：1、本节课主要学习了哪些知识？2、通过本节课的学习，你掌握了哪些技巧？3、通过本节课的学习，你能解决哪些问题？六、课后作业，超越自我：《起航二次根式化简第四课时》1009912313212114++++++++Λ、化简例。
二次根式分母有理化综合训练
二次根式分母有理化综合训练分母有理化： 在进行二次根式的运算时，如遇到132+这样的式子，还需要进一步的化简： ()()()1313)13213)1321313)13213222-=--=--=-+-=+（（（，这种化去分母中根号的运算叫分母有理化.笔记：分母有理化的方法把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含_____________.1、按要求填空： （1）把21分母有理化,分子分母应同时乘以_______,得到________; （2）把531+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （3）把1541+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （4）把2371+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; 注意：()()b a b a b a -=-+ 2、分母中含有根号的二次根式分母有理化： （1）121 （2）231 （3）541（4）52 （5） 812 （6）3273、较为复杂的分母有理化练习：（1）321+ （2）23321- （3）32347++（4）3211-+ （5）ab a b b a - （6）b a b a --4、计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．7、观察以下各式： 343412323112121-=+-=+-=+，， 利用以上规律计算：()12019201820191341231121+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++7、阅读下面问题：12)12)(12()121211-=-+-⨯=+（ 2323)(23(23231-=-+-=+）252)52)(5(25251-=-+-=+ 试求：（1）n n ++11（n 为正整数）的值. （2）利用上面所揭示的规律计算：201620151201520141431321211++++++++++8、阅读下面问题： 12)12)(12()12(1121-=-+-⨯=+； ;23)23)(23(23231-=-+-=+ 34)34)(34(34341-=-+-=+.…… 试求：（1）671+的值；（2）17231+的值；（3）n n ++11（n 为正整数）的值.。
二次根式,分母有理化(可编辑修改word版)
上海市延吉第二初级中学数学拓展教学案年级：八授课教师：丁晓玲授课时间：2013 年9 月日课题1:二次根式分母分子有理化课时 2 第 1 课时（本章总课时：11）课型新授学习目标1.理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化2.能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的元一次方程和一元一次不等式.3.在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。
一（涵盖教学目标的三个维度）教学重点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学难点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学过程教师活动学生活动教学设计说明一、复习引入新课回顾如何将1分母有理化x二、典例讲解、巩固练习一、解答题(共15 道，每道8 分)1.已知a<0，化简—答案：解：原式==∵∴ 从而求得：又∵a<0, ∴a=-1.解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a 的值，代入求解易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算2.若，求答案：解：∴∵0<a<1∴∴从而解题思路：先算的平方，利用完全平方式出现,从而再开方求出结果易错点：完全平方公式，开方的时候判断符号试题难度：三颗星知识点：完全平方公式3.化简：（1）（2）答案：（1）原式= ===（2）原式=====解题思路：将根号下的式子化成完全平方的形式，再进行开方易错点：将根号下的式子化成完全平方的形式试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算4.答案：解：原式===3-1 =2解题思路：把根号下的式子化成完全平方式的形式，然后进行开方得出结果易错点：完全平方式和算术平方根的双重非负性试题难度：三颗星知识点：完全平方公式5. 若a、b 为有理数，且满足等式，求a+b 的值答案：解：∵∴等式右边= 对照等式两端，可得：a3，b=1 ∴a+b=4解题思路：先把根号下的式子写成完全平方的形式，开方后对照系数求出a 和b 的值，从而求出a+b 的值易错点：完全平方公式试题难度：五颗星知识点：实数的综合运算6. 化简：(1) (2)答案：解：（1）原式=| |—==(2)原式==解题思路：求解时从前往后每步按照运算法则求解易错点：分母有理化，算术平方根的双重非负性，最简二次根式试题难度：二颗星知识点：实数的综合运算7.若，求的值答案：解：===|a|-|b|其中，∴原式==2解题思路：先化简，在求值易错点：分母有理化试题难度：三颗星知识点：实数的综合运算8.若，求的值答案：解：对等号左端分子有理化：=由得：已知:从而解出：∴a=5 代入原式得：解题思路：根据已知条件的特点，想到用分子有理化，进而解一个方程组得出 a 的值，从而代入要求解的式子里，用完全平方式得出结果易错点：分子有理化 试题难度：五颗星知识点：完全平方公式9.答案：=解题思路：化简求值，注意观察特点易错点：平方差公式 试题难度：二颗星知识点：平方差公式10. 已知，求 x2y2，答案：解：从而==解题思路：利用分母有理化和完全平方式求解易错点：分母有理化，完全平方公式试题难度：三颗星 知识点：实数的综合运算11. 若,则ab 的值为？答案：解：=解题思路：观察到 b 可以分解为两个因式乘积，从而可以进行约分易错点：因式分解试题难度：二颗星 知识点：因式分解--提取公因式 12. 比较大小：（1）设，则a 、b 、c 之间的大小关系是？（2）（2011 上海）如果 a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A. a ＋c ＞b ＋c B. c －a ＞c －bC. ac ＞bcD. （3）通过估算比较与 1.5 的大小（4）比较与 2.9 的大小答案：解：（1）由,得：a<b<c （2）不妨取 a=1,b=0,c=-1,带入验证可得：A为正确选项（3），其中由于，所以（4）∵29>24.389，∴解题思路：不同类型的数比较大小，要根据其特点选择不同的方法， 第一题可以看到两根号下的数相加和相同，这个时候要想到用同时 n 次方，这里是同时平方； 第二道题是选择题，不需要书写步骤， 用特殊值代入更为简便，还可以保证正确率 第三道题利用形似 法，第四道题利用的同时 n 次方。
分母有理化及最简二次根式
综合练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} - sqrt{6}}$。
解析
首先将分子分母同乘以$sqrt{3} + sqrt{6}$，得到$frac{(sqrt{3} + sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}{(sqrt{3} - sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})} = frac{3 + 2sqrt{18} + 6}{3 - 6} = frac{-9sqrt{2}}{3} = -sqrt{2}$。
04
练习题与解析
基础练习题
题目
化简二次根式$frac{1}{sqrt{2}}$。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
解析
首先将分母有理化，即分子分母同乘以$sqrt{2}$， 得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法
通过乘以共轭式的方法，将分母化为有理数，从而简化根式。
分子有理化法
在分子或分母有理化时，有时需要采用分子有理化的方法，即将分 子或分母同时乘以共轭因子，以简化根式。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{5}}{sqrt{5} + 2sqrt{5}}$。
VS
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9
小结
怎样化去被开方数中的分母 怎样化去分母中的根号 二次根式的最后结果应满足： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(3)分母中不含有根号.
知识象一艘船 让它载着我们
驶向理想的……
化去根号中的分母：
6
3
（1） 3 1
（2）
4
1 33
2
（3）
m m
n
n
(m
n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：
（1） 3 3( 3 1) 3 3
3 1 ( 3 1)( 3 1) 2
（2） 4
1 33
2 (4
(4 33
3 3 2)(4
2) 3 3
4 2)
3 3 30
2
（3）
m m
二次根式的分母 有理化
1
新知探究:
探究（一）
如何去掉 1 中被开方数中的分母呢?
3
分析：
1 1 3 3
3
33 3
2 思考与探索 1.练习题：化简下列各式
(1)
3
3
42
(2) 1 2 2 8 16 4
(3) 1 a
1 a
aa
a a a2 a
由此你能的得到一般结论吗? 3
(3) 2y 2y 3x 6xy 3x 3x 3x 3x
探究（二）
5
1
如何化简
2 1
1
( 2 1)
2 1
2 1 ( 2 1)( 2 1)
1
问题2：如何将
分母有理化有理化？
x y
1
( x y)
x y
x y ( x y )( x y ) x y
n
n
(
(m n)( m n) m n)( m n)
(m n)( m mn
n)
m
n
（第三小题还有其他方法吗？）
三、能力拓展
7
1、（口答）说出下列各式的一个有理化因式：
5 3 2 a b x 1 x 1 x 1 x2
2、化简： （1） 1 2 3
当a≥0,b>0时,怎样化去 a 中的分母? b
a ab b bb
ab b2
ab b2
ab b
化去根号中的分母：
4
(1) 2 (2) 2 1 (3) 2 y (x 0, y 0)
3
3 3x
解:(1) 2 23 6
3 33 3
(2) 2 1 7 7 3 21 3 3 33 3
3 1 2 3
（2） x 1 x x 1 x
x 1 x x 1 x
8
3、计算： 1 1 1 1
1
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
4、已知x 1
，求
x
1
2
4
x
1
4
的值
2 1
x x