有理数的题型总结
有理数各种常见题型
有理数各种题型题型一 绝对值（非负数），平方（非负数）的综合应用 1、已知│x │=3，│y │=7，而xy<0，则x+y 的值是_________ 2、已知，，且＞0，则= 3、│3-a │+│4-b │=0,求a+b 的值4、已知，则=_________。
5、已知0563=-+++-c b a ,求a+b+c 的值。
6、若|m －n |＝n －m ，且|m |＝4，|n |＝3，则(m ＋n )2＝______. 7、若==-+-x y x ，则0)32(22 ，=y 。
8、已知与互为相反数，求的值．+-y 1999-+y 互为相反数，求yx y x -+2的值10.若|x-y+3|+()22013y x -+=0，则yx x2-= .11、若0432=-+-+-c b a ，求c b a ++2的值．12已知2a -＋（b+1）4＝0，求（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的值.题型二 相反数倒数整数的综合应用1、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数（即1cd =-），x 是最小的正整数。
试求220082008()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值2..若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数， m 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则m cd cb a ba +++++ 的值是 ．||3a =||2b =ab a b -()02|4|2=-++b a a b a 2+|1|a +|4|b -b a3．若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，2=m ，=-+⨯+23)(m ab bad c 4．已知a 与b 互为倒数，c 与d 互为相反数，且3=x ，求x d c ab 23+--的值．5.已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3， 求()()()20032001231ab x n m x ab n m x -++++++-的值6. 已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且x 的绝对值是5，试求x －（a+b －cd ）+│（a+b ）－4│+│3－cd│的值． 题型三有理数与裂项结合反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。
有理数经典题型汇编
有理数经典题型汇编一、填空题1、 数的相反数大于它本身； 的倒数等于它本身.2、a 为有理数,且|a|=-a,则a 是 .3、绝对值等于它本身的数是 ；绝对值小于5且大于2的整456789。
=+++2m cd m ba __________。
15、若1=a a，则a _______0，若1-=a a，则a _______0。
（填：“ ”或“ ”） 16、已知每辆汽车要装4个轮胎，则51只轮胎至多能装配 辆汽车。
17. 规定运算：a ☆b=(a ＋b)(a －b),那么（－2）☆（－3）=_________18、某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有“质量为(25±0.1)kg、(25±0.2)kg、(25±0.3)kg”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多能相差 kg；19、17．已知|x| = 3 ，|y| = 4 ，则|x－y| 的值是_________20、在数轴上，与表示数－1的点的距离是2的点表示的数是_________二、选择题1、下列个组数中，数值相等的是………………………………………………（）A、2333322222（A3. 在）（A4A5A.2-6A7、把Aa=0，则一定有（）8、若bA、a=0，b≠0B、b=0，a≠0C、a=0或b=0D、a=b=09.已知a，b是有理数，|ab|=－ab（ab≠0），|a＋b|=|a|－b用数轴上的点来表示a，b下列正确的是( )10、已知｜ab ｜=－ab ≠0 且｜a ｜=｜b ｜，则下列式子中运算结果不正确．．．的是（ ）．A 、a+b=0B 、011=+ba C 、022=+b a D 、033=+b a11、已知不为零的a,b 两数互为相反数，则下列各数不是互为相反数的是（ ）（A ）5 a 与5 b. (B)a 3与b 3. (C)a 1与b 1. (D)a 2与b 2.1213( A 14.A ．15.有和，A 1、（ （4）（7）—34 ， （8）()34-＝ ， （9）()34--＝ 。
有理数知识点及经典题型
有理数知识点及经典题型规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
（如，数轴上的点π不是有理数）3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a可以表示什么数⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=06.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。
专题2 有理数的计算(9大知识点 11大题型 3大易错)-七年级数学上学期期中考点(浙教版2024)
D．1 万（精确到万位）
【变式 10-1】一个整数精确到万位是 30 万，这个数精确前可能是（ B ）
A．294999
B．295786
C．305997
D．309111
【变式 10-2】2023 年杭州亚运会的志愿者，被亲切地称为“小青荷”，总人数约为 37600 人．如
果将这个人数转换为以“万”为单位的数，并保留一位小数，那么志愿者人数大约是 3.8
加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。
考点透视
考点五：除法法则
（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
考点透视
考点六：乘方的定义与运算
定义：求相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在an中，a叫作底数， n叫作指数 运算规则 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0
题型剖析
题型一：有理数加减法运算
【例 1】计算：
(1) −3.5 + +2.8
(2)
−2
7
+
−2 1
3
(3)
−5 3
4
+7 2
5
(4)
−3 5
6
+
+3 5
6
（（11））-02..747 （（22）)--32161231 （3(3）)-1212130.9 （4）0
题型剖析
题型二：有理数加法运算率
【例 2】利用加法运算律简便运算．
考点透视
考点七：有理数的混合运算规则
（1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行 有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。
有理数的题型总结
有理数的题型总结七年级数学有理数题型总结一、知识性专题专题一、正数和负数的意义正数和负数的起源是为了表示两种相反意义的量。
在许多方面，正数和负数被广泛应用，比如表示温度、收支等。
若正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反意义的量。
常见的表示相反意义的量有：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、上升和下降。
例题1：如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）。
A。
-20m。
B。
-40m。
C。
20m。
D。
40m例题2：下列说法中，正确的是（）。
A。
如果“水位上升3米”记作+3米，那么表示其相反意义的量一定为-3米B。
亏损-30元表示亏损30元C。
41.2.1.5.0都是正数D。
-2.-5.-7.0都不是正数例题3：某食品包装袋上标有“净含量386克±4克”，则这包食品的合格净含量范围是（）。
专题二、有理数的有关概念1、数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简abc++。
2、数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点。
如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以盖住的整数点的个数。
1）若2米长的线段的两端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖的整数点有（）个。
2）若2米长的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可以盖住的整数点有（）个。
4、如图所示，a,b为有理数，则下列结论正确的是（）A。
-a>b。
B。
a>-b。
C。
-b>-a。
D。
-b>-a专题三、有理数的有关运算1、下列说法中，正确的有①减去一个数等于加上这个数②减去一个数仍得这个数③有理数减法中，被减数不一定比减数或差大④两个相反数相减得零⑤减去一个正数，差不一定小于被减数⑥减去一个负数，差一定大于被减数A。
2个。
B。
3个。
C。
4个。
D。
5个2、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的有（）①b+c。
有理数的除法题型归纳总结(含答案)
有理数的除法-重难点题型【题型1 有理数除法法则的辨析】【例1】（2020秋•许昌期末）如果a +b ＜0，ab ＞0，那么下列各式中一定正确的是（ ） A ．a ﹣b ＞0B ．ab ＞0C ．b ﹣a ＞0D ．ab＜0【解题思路】直接利用有理数的乘除运算法则以及加减运算法则判断得出答案． 【解答过程】解：∵a +b ＜0，ab ＞0， ∴a ，b 同为负数， ∴ab ＞0，故选：B ．【变式1-1】（2020秋•鼓楼区校级月考）在下列各题中，结论正确的是（ ） A ．若a ＞0，b ＜0，则ba ＞0B ．若a ＞b ，则a ﹣b ＞0C ．若a ＜0，b ＜0，则ab ＜0D ．若a ＞b ，a ＜0，则ba ＜0【解题思路】根据有理数的乘法法则和除法法则进行判断．【解答过程】解：A ．两数相除，异号得负，该选项错误，不符合题意； B ．∵a ＞b ，∴a ﹣b ＞0，该选项正确，符合题意；C ．两数相乘，同号得正，该选项错误，不符合题意；D ．∵a ＞b ，a ＜0，∴1＜ba ，∴ba ＞1，该选项错误，不符合题意．故选：B ．【变式1-2】（2020秋•锦江区校级期中）若a +b ＞0，a ﹣b ＜0，ab ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞b ，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0且|a |＜|b |D ．a ＞0，b ＜0且|a |＞|b |【解题思路】直接利用有理数的除法运算、加法、减法运算法则以及绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答过程】解：∵a ﹣b ＜0， ∴a ＜b ， ∵ab ＜0，∴a ＜0＜b ， ∵a +b ＞0， ∴|a |＜|b |． 故选：C ．【变式1-3】（2020秋•秀峰区校级月考）已知a ，b 为有理数，则下列说法正确的个数为（ ） ①若a +b ＞0，a b ＞0，则a ＞0，b ＞0．②若a +b ＞0，a b ＜0，则a ＞0，b ＜0且|a |＞|b |． ③若a +b ＜0，a b ＞0，则a ＜0，b ＜0．④若a +b ＜0，ab ＜0，则a ＞0，b ＜0且|b |＞|a |． A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据有理数的加法法则以及有理数的除法法则分别分析得出即可． 【解答过程】解：①若a +b ＞0，ab ＞0，则a ＞0，b ＞0，故①结论正确；②若a +b ＞0，a b ＜0，则a ＞0，b ＜0且|a |＞|b |或a ＜0，b ＞0且|a |＜|b |，故②结论错误；③若a +b ＜0，ab＞0，则a ＜0，b ＜0，故③结论正确；④a +b ＜0，ab ＜0，则a ＞0，b ＜0且|b |＞|a |或a ＜0，b ＞0且|b |＜|a |，故斯结论错误．故正确的有2个． 故选：B ．【题型2 有理数乘除法的混合运算】【例2】（2021春•青浦区期中）计算：−1.75÷(−312)×47． 【解题思路】原式从左到右依次计算即可求出值． 【解答过程】解：原式=−74÷（−72）×47 =−74×（−27）×47 =27．【变式2-1】（2021春•杨浦区期中）158÷（﹣10）×（−103）÷（−154） 【解题思路】根据有理数的运算法则即可求出答案． 【解答过程】解：原式=158×−110×10−3×−415=−16【变式2-2】（2020秋•广信区月考）计算： （1）−0.75×0.4×(−123)； （2）916÷(−112)×1924．【解题思路】（1）先把小数化成分数，把带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则求出即可； （2）先把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法则求出即可． 【解答过程】解：（1）原式=34×25×53 =12；（2）原式=916×（−23）×1924=−1964． 【变式2-3】（2020秋•官渡区校级月考）（﹣81）÷94×49÷（﹣16） 【解题思路】根据有理数的混合计算解答即可． 【解答过程】解：（﹣81）÷94×49÷（﹣16） =81×49×49×116 ＝1【题型3 有理数除法的应用（含绝对值）】【例3】（2020秋•南沙区校级期中）若|abc |＝﹣abc ，且abc ≠0，则|a|a+|b|b+|c|c=（ ）A ．1或﹣3B ．﹣1或﹣3C ．±1或±3D ．无法判断【解题思路】利用绝对值的代数意义判断得到a ，b ，c 中负数有一个或三个，即可得到原式的值． 【解答过程】解：∵|abc |＝﹣abc ，且abc ≠0， ∴abc 中负数有一个或三个， 则原式＝1或﹣3， 故选：A ．【变式3-1】（2020秋•句容市期中）已知a 、b 为有理数，且ab ＞0，则a |a|+b |b|+ab |ab|的值是（ ）A ．3B ．﹣1C ．﹣3D ．3或﹣1【解题思路】根据同号得正分a 、b 都是正数和负数两种情况，利用绝对值的性质去掉绝对值号，然后进行计算即可得解．【解答过程】解：∵ab ＞0， ∴a ＞0，b ＞0时，a |a|+b |b|+ab |ab|=a a+b b +ab ab =1+1+1＝3， a ＜0，b ＜0时，a |a|+b|b|+ab |ab|=a−a +b−b+ab ab=−1﹣1+1＝﹣1，综上所述，a|a|+b |b|+ab|ab|的值是3或﹣1．故选：D ．【变式3-2】（2020秋•讷河市期末）若三个非零有理数a ，b ，c 满足|a|a+|b|b+|c|c=1，则|abc|abc= ．【解题思路】由|a|a+|b|b+|c|c=1知，a 、b 、c 中有一个为负数，故能求|abc|abc的值．【解答过程】解：∵|a|a+|b|b+|c|c=1∴a 、b 、c 中有一个为负数，另外两个为正数， ∴|abc|abc=−1故答案为﹣1．【变式3-3】（2020秋•旅顺口区期中）若abc ＜0，a +b +c ＝0，则|b+c|a+|a+c|b+|a+b|c= ．【解题思路】根据有理数的乘法判断出负数的个数，再用两个字母表示出第三个字母，然后求解即可． 【解答过程】解：∵abc ＜0， ∴a 、b 、c 有1个负数或3个负数， ∵a +b +c ＝0，∴a 、b 、c 只有1个负数，∴b +c ＝﹣a ，a +c ＝﹣b ，a +b ＝﹣c ， ∴|b+c|a+|a+c|b+|a+b|c=−1+1+1＝1，故答案为：1．【题型4 有理数除法的应用（新定义）】【例4】（2020秋•平阴县期中）概念学习：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”．一般地，我们把n 个a （a ≠0）相除记作a n ，读作“a 的n 次商”．根据所学概念，求（﹣4）3的值是（ ） A ．﹣12B ．−43C ．14D ．−14【解题思路】利用题中的新定义计算即可求出值．【解答过程】解：根据题意得，（﹣4）3＝（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）＝1÷（﹣4）=−14． 故选：D ．【变式4-1】（2020秋•如皋市期中）有两个正数a ，b ，且a ＜b ，把大于等于a 且小于等于b 的所有数记作[a ，b ]．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．若整数m 在[5，15]内，整数n 在[﹣30，﹣20]内，那么nm 的一切值中属于整数的个数为（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【解题思路】根据已知条件得出5≤m ≤15，﹣30≤n ≤﹣20，再得出nm的范围，即可得出整数的个数．【解答过程】解：∵m 在[5，15]内，n 在[﹣30，﹣20]内， ∴5≤m ≤15，﹣30≤n ≤﹣20， ∴−305≤n m≤−2015，即﹣6≤n m ≤−43，∴n m的一切值中属于整数的有﹣2，﹣3，﹣4，﹣5，﹣6，共5个； 故选：A ．【变式4-2】（2020•白云区一模）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种键盘密码，每个字母与所在按键的数字序号对应（如图），如字母Q 与数字序号0对应，当明文中的字母对应的序号为a 时，将a +7除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“X ”对应密文“W ”． 按上述规定，将密文“TKGDFY ”解密成明文后是（ ）A ．DAISHUB ．TUXINGC ．BAIYUND ．SHUXUE【解题思路】根据“明文”与“密文”的转化规则，由“明文”得出“密文”，反之亦然． 【解答过程】解：由“明文”与“密文”的转换规则可得：故选：C ．【变式4-3】（2020秋•铜梁区校级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两大类：正奇数和正偶数，小明受到启发，按照一个正整数被3整除的余数把正整数分成了3类：如果一个正整数被3整除余数为1，则这个正整数属于A 类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3整除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．（1）2020属于类．（选填A或B或C）（2）①从A类数中任意取两个数，它们的和属于类．（选填A或B或C）②从A类数中任意取8个数，从B类数中任意取9个数，从C类数中任意取10个数，把它们都加起来，则最后的结果属于类（选填A或B或C）；（3）从A类数中任意取出m个数，从B中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则关于下列关于m、n的叙述中正确的是．（填序号）①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于B类；④m、n属于同一类．【解题思路】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从A类数中任意取出8数，从B类数中任意取出9个，从C类数中任意取出10数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．【解答过程】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A；（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；②从A类数中任意取出8数，从B类数中任意取出9数，从C类数中任意取出10数，把它们的余数相加，得（8×1+9×2+10×0）＝26÷3＝8…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；③若m＝1，n＝1，③错误；④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；综上，①④正确．故答案为：①④．【题型5 有理数除法的实际应用题】【例5】（2020秋•吉安期中）气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低大约5℃，我省著名风景区庐山的最高峰高于地面约为1200米，若现在地面温度约为3℃，则山顶气温大约是多少？【解题思路】根据题意列出算式，计算即可求出值．【解答过程】解：根据题意得：3﹣1200÷1000×5＝3﹣6＝﹣3（℃），则山顶气温大约是﹣3℃．【变式5-1】（2021春•南岗区校级月考）温度的变化与高度有关：高度每增加1km，气温大约下降5.8℃．（1）已知地表温度是12℃，则此时高度为3km的山顶温度是多少？（2）如果山顶温度是﹣6.1℃，此时地表温度是20℃，那么这座山的高度是多少？【解题思路】（1）根据题意，列出算式进行计算；（2）先求温度差，利用温度差除以5.8，得高度．【解答过程】解：（1）依题意，得12﹣3×5.8＝12﹣17.4＝﹣5.4（℃）．答：山顶温度为﹣5.4℃．（2）[20﹣（﹣6.1）]÷5.8＝26.1÷5.8＝4.5 （千米）答：这座山的高度为4.5千米．【变式5-2】（2020秋•肇源县期末）在湖北省抗击新冠病毒期间，国家实行“一省帮一市对口”支援，春雨矿泉水厂向武汉市的某地区运送矿泉水，该地区人口约12万，每人每天需2瓶水，24瓶水装成一箱，则该厂每天需要装运多少箱矿泉水？【解题思路】先计算每天需要矿泉水的瓶数，再用总瓶数除以每箱矿泉水的瓶数即可得出答案．【解答过程】解：120000×2÷24＝10000（箱），答：则该厂每天需要装运10000箱矿泉水．【变式5-3】（2020秋•杨浦区校级期中）某中学举行“新冠肺炎”防控知识竞赛，全校一共有100位学生参赛，比赛设一、二、三等奖三个奖项，其中，获得一等奖、二等奖和三等奖的人数情况如下表所示，根据表格回答：奖项 一等奖 二等奖 三等奖 人数101625（1）一等奖人数是三等奖人数的几分之几？（2）一、二等奖人数之和占全校参赛学生人数的几分之几？ （3）三等奖人数比二等奖人数多了几分之几？ 【解题思路】（1）10除以25即可得答案，（2）一、二等奖人数和除以全校参赛学生人数即得答案，（3）三等奖人数减去二等奖人数的差，再除以二等奖人数即是答案． 【解答过程】解：（1）10÷25=25， 答：一等奖人数是三等奖人数的25；（2）（10+16）÷100＝26÷100=1350， 答：一、二等奖人数之和占全校参赛学生人数的1350；（3）（25﹣16）÷16＝9÷16=916， 答：三等奖人数比二等奖人数多了916．【题型6 有理数除法的运算步骤问题】【例6】（2020秋•启东市校级月考）阅读后回答问题： 计算（−52）÷（﹣15）×（−115） 解：原式=−52÷[（﹣15）×（−115）]① =−52÷1 ② =−52③（1）上述的解法是否正确？答： 若有错误，在哪一步？答： （填代号）错误的原因是：（2）这个计算题的正确答案应该是： ．【解题思路】（1）直接利用有理数的乘除运算法则分析即可； （2）直接利用有理数的乘除运算法则计算即可． 【解答过程】解：（1）答：不正确 若有错误，在哪一步？答：①（填代号）错误的原因是：运算顺序不对，或者是同级运算中，没有按照从左到右的顺序进行； （2）原式=−52÷（﹣15）×（−115） =−52×115×115=−190， 这个计算题的正确答案应该是：−190． 故答案为：−190． 【变式6-1】（2021秋•大安市期末）阅读下面的解题过程： 计算（﹣15）÷（13−12）×6解：原式＝（﹣15）÷(−16)×6（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣1）（第二步） ＝﹣15（第三步）回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错误的原因是 ，第二处是第 步，错误的原因是 ．（2）把正确的解题过程写出来．【解题思路】（1）从第一步到第二步，先计算除法，再计算乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是得数错误． （2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可．【解答过程】解：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是得数错误． （2）（﹣15）÷（13−12）×6＝（﹣15）÷(−16)×6＝（﹣15）×（﹣6）×6 ＝90×6 ＝540．故答案为：二、运算顺序错误；三、得数错误．【变式6-2】（2020秋•上蔡县期中）阅读下列材料：计算50÷（13−14+112）．解法一：原式＝50÷13−50÷14+50÷112=50×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（412−312+112）＝50÷212=50×6＝300．解法三：原式的倒数为（13−14+112）÷50＝（13−14+112）×150=13×150−14×150+112×150=1300．故原式＝300．上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题： 计算：（−142）÷（16−314+23−27） 【解题思路】根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案； 根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案． 【解答过程】解：没有除法分配律，故解法一错误； 故答案为：一． 原式＝（−142）÷（56−36） ＝（−142）×3 =−114．【变式6-3】（2020秋•鄂托克旗期末）小华在课外书中看到这样一道题： 计算：136÷（14+112−718−136）+（14+112−718−136）÷136． 她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果． （4）根据以上分析，求出原式的结果． 【解题思路】（1）根据倒数的定义可知：136÷（14+112−718−136）与（14+112−718−136）÷136互为倒数；（2）利用乘法的分配律可求得（14+112−718−136）÷136的值；（3）根据倒数的定义求解即可； （4）最后利用加法法则求解即可．【解答过程】解：（1）前后两部分互为倒数； （2）先计算后一部分比较方便． （14+112−718−136）÷136=（14+112−718−136）×36＝9+3﹣14﹣1＝﹣3； （3）因为前后两部分互为倒数，所以136÷（14+112−718−136）=−13；（4）根据以上分析，可知原式=−13+(−3)=−313．。
有理数(归纳与讲解)(解析版)
专题01 有理数【专题目录】技巧1绝对值的八种常见应用技巧2 有理数中的六种易错类型【题型】一、有理数概念理解【题型】二、用数轴上的点表示有理数【题型】三、求一个数的相反数【题型】四、求一个数的绝对值【题型】五、有理数的加减乘除混合运算【题型】六、科学记数法【考纲要求】1、了解有理数的概念，知道有理数与数轴上的点一一对应．2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．【考点总结】一、有理数【注意】数轴1、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）2、任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
3、数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.【考点总结】二、有理数四则运算【注意】1、有理数的加减混合运算规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算步骤：（1）减法化加法；（2）省略括号和加号；（3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合；（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合； （3）互为相反数的两数相结合； （4）能凑成整数的两数相结合；（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
2、多个有理数相乘的法则及规律：（1） 几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. 注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
【技巧归纳】技巧1：绝对值的六种常见应用【类型】一、已知一个数求这个数的绝对值 1．化简：(1)|－(＋7)|； (2)－|－8|；【类型】二、已知一个数的绝对值求这个数 2.若|a|＝2，则a ＝________.3．若|x|＝|y|，且x ＝－3，则y ＝________. 【类型】三、 绝对值在求字母的取值范围中的应用 4．若|x|＝－x ，则x 的取值范围是________． 5．若|x －2|＝2－x ，则x 的取值范围是________． 【类型】四、绝对值在比较大小中的应用6．把－(－1)，－23，－⎪⎪⎪⎪－45，0，用“>”连接正确的是( ) A ．0>－(－1)>－⎪⎪⎪⎪－45>－23 B ．0>－(－1)>－23>－⎪⎪⎪⎪－45 C ．－(－1)>0>－23>－⎪⎪⎪⎪－45 D ．－(－1)>0>－⎪⎪⎪⎪－45>－23【类型】五、绝对值的非负性在求字母值中的运用 7．若⎪⎪⎪⎪a －12＋⎪⎪⎪⎪b －13＋⎪⎪⎪⎪c －14＝0，求a ＋b －c 的值． 【类型】六、绝对值的非负性在求最值中的应用 8．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：(1)当a ＝________时，|a －4|有最小值，此时最小值为________； 参考答案1．解：(1)原式＝7. (2)原式＝－8. 2．±2 3.±3 4.x≤0 5.x≤2 6.C7．解：由题意知a ＝12，b ＝13，c ＝14，所以a ＋b －c ＝12＋13－14＝712.8．解：(1)4；0(2)因为a ，b 互为相反数，所以b ＝－a.又因为a ＜0，b ＞0. 所以|a －b|＋2a ＋|b|＝|2a|＋2a ＋|b|＝－2a ＋2a ＋b ＝b. 技巧2： 有理数中的六种易错类型【类型】一、对有理数有关概念理解不清造成错误 1．下列说法正确的是( ) A ．最小的正整数是0 B ．－a 是负数C ．符号不同的两个数互为相反数D ．－a 的相反数是a【类型】二、 误认为|a|＝a ，忽略对字母a 分情况讨论 2．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是( ) A ．负数 B ．负数或零 C ．正数或零D ．正数【类型】三、对括号使用不当导致错误 3．计算：2－⎝⎛⎭⎫－15＋14－12. 【类型】四、忽略或不清楚运算顺序4．计算：－5－(－5)×110÷110×(－5)．【类型】五、乘法运算中确定符号与加法运算中的符号规律相混淆5．计算：－36×⎝⎛⎭⎫712－56－1. 【类型】六、除法没有分配律6．计算：24÷⎝⎛⎭⎫13－18－16. 参考答案 1．D 2.C3．解：原式＝2＋15－14＋12＝2920.4．解：原式＝－5－(－5)×110×10×(－5)＝－30.5．解：原式＝－36×712－(－36)×56－(－36)×1＝－21＋30＋36 ＝45.6．解：原式＝24÷⎝⎛⎭⎫824－324－424 ＝24÷124＝576.方法指导：解本题时往往会出现将乘法分配律运用到除法运算中的错误，从而出现“原式＝24÷13－24÷18－24÷16＝72－192－144＝－264”这样的错误．【题型讲解】【题型】一、有理数概念理解例1、在下列实数：2π227、﹣0.0010001中，有理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【提示】由题意根据有理数的定义：整数与分数统称有理数，进行提示即可判断． 【详解】解：34，227，﹣0.0010001是有理数，其它的是无理数．有理数有4个. 故选：D ．【题型】二、用数轴上的点表示有理数例2、如图，数轴上两点,M N 所对应的实数分别为,m n ，则m n -的结果可能是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【提示】根据数轴确定m 和n 的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择． 【详解】解：根据数轴可得0＜m ＜1，2-＜n ＜1-，则1＜m n -＜3。
有理数总复习超级经典必考题型
有理数总复习五个概念：负数、有理数、相反数、绝对值、非负数一个工具：数轴三个符号：负号、绝对值号、乘方符号五种运算：有理数的加、减、乘、除、乘方五条运算律：加法交换律、结合律；乘法交换律，结合律、分配律类型一：考查正负数、相反数、数轴（多以小题形式出现，要搞清楚正负数的意义，相反数的表示方法，以及数轴的一些基本概念，注意多解性。
大题会结合表格来考）例1：我们把零上16°记作+16℃，则零下2℃可记作_______。
例2：若“神舟十号”发射点火前15秒记为-15秒，那么发射点火后10秒应记为________。
例3：如果“盈利10%”记为+10%，那么“亏损6%”记为_______。
例4：下列说法中正确的是（）A、没有最大的正数，但有最大的负数B、没有最小的负数，但有最小的正数C、没有最小的有理数，也没有最大的有理数D、有最小的自然数，也有最小的整数例5：下列说法正确的有（）（1）整数就是正整数和负整数；（2）零是整数，但不是自然数；（3）分数包括正分数、负分数；（4）正数和负数统称为有理数；（5）一个有理数，它不是整数就是分数A 1个B 2个C 3个D 4个例6：数轴上到原点的距离等于4的点所表示的数为________。
例7：已知a，b两数在数轴上的对应点如图所示，则下列结论正确的是（）A A．a-2＞b-2B B．b-a＞0C C．ab＜0 D．2a＜2b例8：若m-4的相反数是-11，求3m+1的值．练1：如果+10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作_____。
练2：汽车向东行驶5千米记作5千米，那么汽车向西行驶5千米记作_____。
练3：如果上升10米记作+10米，那么下降5米记作_____米．练4：在下列选项中，具有相反意义的量是（）A．胜二局与负三局B．盈利3万元与支出3万元C．气温升高3℃与气温为-3℃D．向东行20米和向南行20米练5：数轴上与原点的距离为5的数是_______。
有理数的大小比较(4种题型)(解析版)(浙教版)
有理数的大小比较（4种题型）【知识梳理】1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：要点：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b＜0，a ＜b ；反之成立． 4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．【考点剖析】 题型一：借助数轴直接比较数的大小例1.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，12，－112，4，0.解析：画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较． 解：如图所示：1a b >a b >1a b =a b =1ab<a b <因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－112＜0＜12＜4＜＋5.方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键． 【变式1】在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． 5，1-22，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3）【答案】数轴见详解，1(3)2(1)452−+<−<−−<−<．【分析】将各数表示在数轴上，再用“＜”连接即可． 【详解】解：如图所示：∴用“＜”连接各数为：1(3)2(1)452−+<−<−−<−<；【点睛】此题考查了有理数大小比较，以及数轴，将各数正确表示在数轴上是解本题的关键．【变式2】如图，数轴上依次有四个点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的数互为相反数，则在这四个点中表示的数绝对值最大的点是（ ）A ．MB ．PC ．ND ．Q【答案】D【分析】先利用相反数的定义确定原点为线段MN 的中点，则可判定点Q 到原点的距离最大，然后根据绝对值的定义可判定点Q 表示的数的绝对值最大． 【详解】解：∵点M ，N 表示的数互为相反数， ∴原点为线段MN 的中点， ∴点Q 到原点的距离最大， ∴点Q 表示的数的绝对值最大． 故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．也考查了相反数． 【变式3】（1）在数轴把下列各数表示出来，并比较它们的相反数的大小：－3，0，－13，52，0.25（2）比较下列各组数的大小①35-与34− ②| 5.8|−−与( 5.8)−−【答案】（1）数轴见详解；10.2503523−<−<<<；（2）①3354−>−；② 5.8(5.8)−−<−− 【分析】（1）由数轴的定义画出数轴并标出各数，然后写出它们的相反数并比较大小； （2）由比较大小的法则进行比较，即可得到答案． 【详解】解：（1）数轴如图所示：由题意，3−的相反数是3；0的相反数是0；13−的相反数是13；52的相反数是52−；0.25的相反数是0.25−；∴10.2503523−<−<<<；（2）①∵3354<， ∴3354−>−； ②| 5.8| 5.8−−=−，( 5.8) 5.8−−=， ∴5.8(5.8)−−<−−；【点睛】本题考查了数轴的定义，比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．题型二：借助数轴间接比较数的大小例2.已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示．比较a 、b 、－a 、－b 的大小，正确的是( )A ．a ＜b ＜－a ＜－bB ．b ＜－a ＜－b ＜aC ．－a ＜a ＜b ＜－bD ．－b ＜a ＜－a ＜b解析：由图可得a ＜0＜b ，且|a|＜|b|，则有：－b ＜a ＜－a ＜b.故选D.方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小． 【变式1】下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（ ） A ．2− B ．1.3C ．0.4−D ．0.6【答案】C【分析】离原点最近，即求这四个点对应的实数绝对值的最小值即可．【详解】解：22,1.3 1.3,0.40.4,0.60.6−==−==又2 1.30.60.4>>>∴离原点最近的是0.4−，故选：C ．【点睛】本题考查有理数的大小比较、有理数与数轴的对应关系、绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式2】已知0a <，0ab <，且a b >，那么将a ，b ，a −，b −按照由大到小的顺序排列正确的是（ ） A ．a b b a −>−>> B ．b a a b >>−>− C ．b a a b >−>>− D ．a b b a −>>−>【答案】D【分析】根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答． 【详解】解：∵a ＜0，ab ＜0， ∴b ＞0， 又∵|a|＞|b|，∴设a=-2，b=1，则-a=2，-b=-1 则-2＜-1＜1＜2． 故-a ＞b ＞-b ＞a ． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，比较简单，解答此题的关键是根据条件设出符合条件的数值，再比较大小．题型三：运用法则直接比较大小 例3.比较下列各对数的大小：①－1与－0.01； ②2−−与0； ③－0.3与31−； ④⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−91与101−−。
绝对值贯穿有理数经典题型(八大题型)(原卷版)
专题1.1 绝对值贯穿有理数经典题型（八大题型）【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】 【题型2 根据绝对值的非负性求值】 【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】 【题型4 根据绝对值的定义判断正误】 【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】 【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】 【题型8 绝对值中最值问题】【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】【典例1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上表示﹣c ，|b |．（2）试把﹣c ，b ，0，a ，|b |这五个数从小到大用“＜”连接起来； （3）化简|a +b |﹣|a ﹣c |﹣2|b +c |．【变式1-1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，化简|b +a |+|a +c |+|c ﹣b |的结果是（ ）A ．2b ﹣2cB ．2c ﹣2bC ．2bD ．﹣2c【变式1-2】a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图所示，且|a |＝|b |（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【题型2 根据绝对值的非负性求值】【典例2】已知|a−|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【变式2-1】已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|+3a．【变式2-3】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【变式2-4】已知m，n满足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．【变式2-5】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．（1）求a与b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．【变式2-6】若|a+2|+|b﹣5|＝0，求的值．【变式2-7】若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求++ +……+的值．【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】【典例3】已知1＜a＜4，则|4﹣a|+|1﹣a|的化简结果为（）A．5﹣2a B．﹣3C．2a﹣5D．3【变式3-1】已知1＜x＜2，则|x﹣3|+|1﹣x|等于（）A．﹣2x B．2C．2x D．﹣2【变式3-2】若1＜x＜2，则化简|x+1|﹣|x﹣2|的结果为（）A．3B．﹣3C．2x﹣1D．1﹣2x【变式3-3】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（）A．a﹣2b﹣1B．a+1C．﹣a﹣1D．﹣a+2b+1【变式3-4】若a＜0，则化简|3﹣a|+|2a﹣1|的结果为．【题型4 根据绝对值的定义判断正误】、【典例4】在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b |，②a ＞0，③b ＜0，④c ＜0，正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式4-1】将符号语言“|a |＝a （a ≥0）”转化为文字表达，正确的是（ ） A ．一个数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数C ．非负数的绝对值等于它本身D ．0的绝对值等于0【变式4-2】已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简|a +c |﹣|a +b |的结果是（ ）A ．2a +b +cB ．b ﹣cC ．c ﹣bD ．2a ﹣b ﹣c【变式4-3】下列说法中正确的是（ ） A ．两个负数中，绝对值大的数就大 B ．两个数中，绝对值较小的数就小 C ．0没有绝对值D ．绝对值相等的两个数不一定相等【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】【典例5】若|5﹣x |＝x ﹣5，则x 的取值范围为（ ） A ．x ＞5B ．x ≥5C ．x ＜5D ．x ≤5【变式5-1】已知|a |＝﹣a ，则化简|a ﹣1|﹣|a ﹣2|所得的结果是（ ） A ．﹣1B ．1C ．2a ﹣3D ．3﹣2a【变式5-2】若|1﹣a |＝a ﹣1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1【变式5-3】若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是 ．【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【典例6】计算：（abc ≠0）＝ ．【变式6-1】若n＝，abc＞0，则n的值为．【变式6-2】已知abc＞0，则式子：＝（）A．3B．﹣3或1C．﹣1或3D．1【变式6-3】已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（）A．±5B．0或±1C．0或±5D．±1或±5【变式6-4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．则m 共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4B．3C．2D．1【变式6-5】已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为．【变式6-7】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．【变式6-8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【变式6-9】阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【典例7】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．【变式7-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为．【变式7-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【题型8绝对值中最值问题】【典例8】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝1时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．【变式8-3】阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．。
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七年级数学有理数题型总结
一、知识性专题
专题一、 正数和负数的意义
（1）具有相反意义的量
把0以后的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量，后来正数和负数在许多方面被广泛地应用.比如：零下8C ︒可以表示为8C ︒-，零上8C ︒则可以表示为8C ︒+；收入200元可以表示为＋200元，支出200元则可以表示为－200元等.若正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反意义的量.
常见的表示相反意义的量有：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、上升和下降.
例题1：（2011年南通中考）如果60m 表示“向北走60m ”，那么“向南走40m ”可以表示为（ ）.
A －20m
B －40m
C 20m
D 40m
例题2：下列说法中，正确的是（ ）.
A 如果“水位上升3米”记作＋3米，那么表示其相反意义的量一定为－3米
B 亏损-30元表示亏损30元
C 41,2,1.5,0,33
都是正数 D 2,5,7,0---都不是正数
例题3：某食品包装袋上标有“净含量386克±4克”，则这包食品的合格净含量范围是（ ）.
专题二、有理数的有关概念
1、 数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，化简a b c a b c
++.
2、 数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点，如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以盖住的整数点的个数. （1）若2米长的线段的两端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖的整数点有（ ）个.
（2）若2米长的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可以盖住的整数点有（ ）个.
4、如图所示，,a b 为有理数，则下列结论正确的是（ ）
A a b ->
B a b >-
C b a ->-
D b a ->-
专题三、有理数的有关运算
1、下列说法中，正确的有
① 减去一个数等于加上这个数
② 0减去一个数仍得这个数
③ 有理数减法中，被减数不一定比减数或差大
④ 两个相反数相减得零
⑤ 减去一个正数，差不一定小于被减数
⑥ 减去一个负数，差一定大于被减数
A 2个
B 3个
C 4个
D 5个
2、有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的有（ ）
① 0b c +> ② a b a c +>+ ③ 0a c +< ④ 0a b +>
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
3、已知2x +与3y +互为相反数，求x y +的值.
4、若m 是有理数，则m m +的值（ ）
A 不可能是正数
B 一定是正数
C 不可能是负数
D 可能是正数，也可能是负数
5、计算12345699100-+-+-+--+.
6、计算(78)(77)(76)(75)(100)-+-+-+-+++
7、若x y x y +-中的,x y 都扩大到原来的5倍，则x y x y
+-的值（ ） A 缩小到原来的110
B 不变
C 扩大到原来的五倍
D 缩小到原来的
15 8、若,m n 互为相反数，则1m n -+= .
9、若0,0,ab b <->且a b >，则a b + 0（填“＞”“＜”或“＝”）
10、计算（1）2
1
21(1)()(8)9(1)452-⨯+⨯--÷ （2）211(10.5)2(3)3
⎡⎤⎡⎤--⨯⨯--⎣⎦⎢⎥⎣⎦
专题4、非负数的性质
1、已知2(1)20m n -++=，则m n +的值为（ ）
A 1-
B 3-
C 3
D 不确定
2、若3x +与5y +互为相反数，求x y +的值.
3、已知230m n ++-=，求32m n +的值.
专题5、有理数运算的实际应用
1、某商场在“十一”期间举办优惠促销活动，采取“满一百元送20元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客每消费100元（这里的100元可以是现金，也可以是奖励券，还可以是两者合计的钱数）就送20元奖励券，满200元就送40元奖励券，以此类推.某一天，一位顾客一次性购物花了20000元，那么他可以多买多少元钱的商品？
2、一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了8千米，到达“华能”修理部，又向北走了3.5千米，到达“捷达”修理部，继续向北走了7.5千米，到达“志远”修理部，最后又回到批发部.
专题6、运用绝对值的性质化简求值
1、若()m n m n +=-+，则（ ）
A 0m n +=
B 0m n +>
C 0m n +<
D 0m n +≤
2、34ππ-+-的计算结果是 .
3、已知14,2
x y ==，且0xy <，则x y 的值等于 . 4、已知一个整数与5的差的绝对值大于1999，而小于2001，则这个整数为 .
二、规律方法专题
专题7、有理数的简便运算
1、 计算
11112234950
+++⨯⨯⨯
2、 计算35719211261290110-+-+-+ 类比题：计算15791113151726122030425672-+-+-+-+
3、若“！”是一种运算符号，并且1！＝1, 2！＝1×2，,3！＝1×2×3，…，则2009!2008!
的
A 2008
B 2007
C 2009
D 2008 2009
专题8、探索数字规律
1、某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），经过3小时，这种细菌由一个可分裂为（）
2、课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把它们分别标号为1,2,3）的生成情况进行观察记录，这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（标号为4,5,6,7,8,9）.接下去每天都安这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用下图所示的图形进行形象的记录）.那么标号为100的微生物会出现在（）
A 第三天
B 第四天
C 第五天
D 第六天
3、观察图1—31寻找规律，在“？”处应填上的数字是（）
A 128
B 136
C 162
D 188
4、如图1—32所示的图案是由长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第一个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，，按此规律，拼搭第8个图案需小木棒根.
5、下列给出的一列数：2,5,10,17,26, ，50,仔细观察后回答,缺少的数是.
三、思想方法专题
专题9、数形结合的思想
1、已知有理数,a b在数轴上对应点的位置如图1—33所示，则a a b b a
-+--化简
A 2b a +
B 2b a -
C a
D b
2、比较下列各数的大小
256165,,,0,,,367276
-----
专题10、分类讨论的思想
1、 比较2a 与2a -的大小
专题11、转化的思想
1、计算1773(5
)(1)48124--÷-
课后总结：。