第三节 矩阵的秩
线代第三章矩阵的秩
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
a12 x2 a22 x2 am 2 x2
a1n xn a2 n xn amn xn
b1 b2 bm (1)
a11 a12 a1n a a22 a2 n 为方程组(1)的系数矩阵。 则称矩阵 A 21 am 1 am 2 amn
3 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1
最后一行有 0 x3
1,
可知方程组无解。
x1 2 x2 3 x3 x2 x3 例3：解线性方程组 x1 3 x2 7 x2 3 x3
1 0 解： ( A, b) 1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 1 2 4 2 1 3 7 4 1 4 8 3 1 0 3 4 1 3 1 1 0 1 0
a12 x2 a22 x2 am 2 x2 a1 n xn a2 n xn amn xn 0 0 0 (2)
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。
举例说明消元法具体步骤：
2 x1 例2：解线性方程组 4 x 1 2 x 1
x2 x2
3 x3
1 4 0
2 x2
5 x3 4 x3
1 2 1 3 1 2 1 3 解： A, b ) 4 2 5 4 0 ( 0 1 2 2 1 4 0 0 0 1 1
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。
在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。
但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。
例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z yxv vv t z y x ,,,,,,称为七维向量。
更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。
这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。
§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。
数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。
向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。
向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛na a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。
行向量、列向量都表示同一个n 维向量。
设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。
分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0(若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。
下面讨论n 维向量的运算。
定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。
线性代数第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。
2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。
3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。
3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。
4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。
（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。
矩阵的秩
矩阵的秩: 用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵, 则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩, 记为r（A）。
根据这个定义, 矩阵的秩可以通过初等行变换求得。
需要注意的是, 矩阵的阶梯形并不是唯一的, 但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。
满秩矩阵: 设A是n阶矩阵, 若r（A）= n, 则称A为满秩矩阵。
满秩矩阵是一个很重要的概念, 它是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。
将矩阵做初等行变换后，非零行的个数叫行秩将其进行初等列变换后，非零列的个数叫列秩矩阵的秩是方阵经过初等行变换或者列变换后的行秩或列秩1.方阵A不满秩等价于A有零特征值。
2.A的秩不小于A的非零特征值的个数。
如要构造一个行满秩但不是列满秩的矩阵1.显然这个矩阵的秩等于行数（行满秩）2.已知矩阵的秩无法大于行数or列数并且根据要求，这个矩阵的秩不等于列数（否则列满秩）因此矩阵的秩只能小于列数行满秩矩阵但不是列满秩矩阵比如楼上构造的的这个矩阵1 0 0 00 1 0 00 0 1 1这个矩阵的秩是3 行数是3 列数是4列数4大于秩3因此这个构造的矩阵是我们所要构造的矩阵Matlab 输入矩阵A，并求转置，逆和秩，写出特征值和特征向量悬赏分：0 - 解决时间：2008-7-5 14:21A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]提问者：ruohai6890 - 二级最佳答案》a=[1 0 0;0 1 0;0 0 1],b=a'c=rank(a)b1=inv(a)[v,d]=eig(a)end用MATLAB任意生成两个10阶矩阵A,B求A+B,A-B,A*B逆,特征值,序列式,特征向量。
悬赏分：20 - 提问时间2008-4-6 10:39如题！快快！提问者：zenmemingzi - 一级其他回答共1 条a=magic(10）%(魔方阵)b=rand(10，10）%(随机阵）a+ba-ba*binv(a*b)%逆eig(a*b)%特征值poly(a*b）%特征多项式rank（a*b）%秩det（a*b）%行列式子matlab计算矩阵最大特征值与特征向量悬赏分：20 - 解决时间：2009-5-21 17:09矩阵如下：A=[1 2 1 4 61/2 1 1/2 2 31/2 2 1 1 11/4 1/2 1 1 11/6 1/3 1 1 1]请哪位有matlab的帮我算下，给出编程和结果！不甚感谢！提问者：adamzyz - 一级最佳答案A=[1 2 1 4 61/2 1 1/2 2 31/2 2 1 1 11/4 1/2 1 1 11/6 1/3 1 1 1] ;[x,lumda]=eig(A);r=abs(sum(lumda));n=find(r==max(r));max_lumda=lumda(n,n)max_x=x(:,n)得到结果：max_lumda =5.2386max_x =0.78060.39030.37880.22980.2050矩阵的秩悬赏分：5 - 解决时间：2010-1-16 02:43-2 1 0 3 1 21 1 1 -2 1 00 1 3 0 -2 10 4 5 -1 1 3要过程谢谢提问者：214601038 - 二级最佳答案-2 1 0 3 1 21 1 1 -2 1 00 1 3 0 -2 10 4 5 -1 1 3变为0 3 2 -1 3 2 （第一行加第二行2倍）1 1 1 -2 1 00 1 3 0 -2 10 4 5 -1 1 3变为1 1 1 -2 1 0 （换行）0 1 3 0 -2 10 3 2 -1 3 20 4 5 -1 1 3变为1 1 1 -2 1 00 1 3 0 -2 10 0 -7 -1 9 -1 （第3行减去第2行的3倍）0 0 -7 -1 9 -1 （第4行减去第2行的4倍）变为1 1 1 -2 1 00 1 3 0 -2 10 0 -7 -1 9 -10 0 0 0 0 0所以矩阵秩为3a=magic(10);b=rand(10,10);a+b;a*b;inv(a*b);eig(a*b);poly(a*b);rank(a*b);det(a*b)唯一解的话AX=b，解法：X=A\bA，X，b都是矩阵matlabX=A\bJT=(CT*E)'\E'解答5：四阶R-K求常微分方程初值的C语言编程悬赏分：50 - 解决时间：2009-10-29 12:58y ’（t）=f（t,y)y(a)=y。
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
第三节矩阵的秩
1 0 3 6
1 2 3 4 1 0 5 1
r2 2 r1 r3 2 r1
r4 3 r1
1 0 0 0
2 0 0 0
2 4 2 61 2 1 3r2 2 r3 r 2
r4 3 r2
1 0 0 0 1 0 0 0
1 2 r2 r3 3 0 ~ r1 2 r 2 0 0
0 1 0 0
1 3 2 3 0 0
0 0 1 0
16 9 1 9 , 1 3 0
最后一个行阶梯形矩阵具有下述特性： 每一个非零行的第一个非零元素均为1，且含这些元素的 列的其它元素都为0. 这个矩阵称为矩阵A的行最简形
4 3 1 0
1 1 5 5
4 1 3 0
r1 r4 r2 r4 r3 2 r1 r4 3 r1
1 0 0 0
6 4 12 16
4 3 9 12
1 1 7 8
1 11 12 4
矩阵I称为A的标准形，其特点是：I的左上角是一个r 阶单位阵 ( r R ( A )), 其它元素都是0. 可见若 A ~ B ， 则A与B有相同的标准形.
特别地，当A为n阶方阵且 A 0 时, 可知 R ( A ) n , 故A的标准形为单位阵E，即 A ~ E . 因此称行列式值 不为零的方阵为满秩方阵; 称行列式值为零的方阵为 降秩方阵
从这个行阶梯形矩阵不仅可看出矩阵的秩. 继续施行 初等行变换，还可化为最简单的形式：
1 0 0 0 2 3 0 0 1 2 0 0 0 2 3 0 2 1 1 0
1 1 r2 0 3 ~ 1 r3 3 0 0
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
线性代数课件第三章矩阵的秩
线性方程组的解 与矩阵的秩的关 系
利用矩阵的秩判 断线性方程组是 否有解
利用矩阵的秩求 解线性方程组的 步骤和方法
矩阵的秩在判断向量组线性相关性的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的定义
矩阵的秩在判断向 量组线性相关性中 的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的关系
矩阵的秩在解决实 际问题中的应用
矩阵的秩在求向量空间维数中的应用
汇报人：PPT
PPT,a click to unlimited possibilities汇报人Leabharlann PPT目录矩阵秩的定义
矩阵的秩的概念
矩阵秩的几何意义
矩阵秩的计算方法
矩阵秩的性质和定理
矩阵的秩的计算方法
定义：矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数
计算方法：通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数非零行数或非零列 数
利用初等列变换求矩阵的秩的证明
初等列变换的定义和性质
阶梯形矩阵的秩的计算方法
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利用初等列变换将矩阵化为阶梯形 矩阵
证明利用初等列变换求矩阵的秩的 正确性
零矩阵的秩
零矩阵的定义：所 有元素都为0的矩 阵
零矩阵的秩为0
零矩阵与任何矩阵 相乘都等于0
零矩阵在数学中的 意义和作用
性质：矩阵的秩与行数和列数有关，且不超过行数和列数中的最小值
应用：矩阵的秩在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面有重要应用
矩阵的秩的性质
矩阵的秩等于其行秩或列秩
矩阵的秩是其所有子矩阵的 秩的最大值
矩阵的秩是唯一的
矩阵的秩等于其转置矩阵的 秩
矩阵的秩在解线性方程组中的应用
高中数学矩阵的秩怎么求
【导语】矩阵的秩是线性代数中的⼀个概念。
在线性代数中，⼀个矩阵A的列秩是A的线性独⽴的纵列的极⼤数，通常表⽰为r(A)，rk(A)或rankA。
在线性代数中，⼀个矩阵A的列秩是A的线性独⽴的纵列的极⼤数⽬。
类似地，⾏秩是A的线性⽆关的横⾏的极⼤数⽬。
即如果把矩阵看成⼀个个⾏向量或者列向量，秩就是这些⾏向量或者列向量的秩，也就是极⼤⽆关组中所含向量的个数。
下⾯是分享的⾼中数学矩阵的秩求解⽅法。
欢迎阅读参考！⾼中数学矩阵的秩怎么求 ⼀、矩阵的秩求解⽅法 矩阵的秩计算公式：A=(aij)m×n 矩阵的秩是线性代数中的⼀个概念。
在线性代数中，⼀个矩阵A的列秩是A的线性独⽴的纵列的极⼤数，通常表⽰为r(A)，rk(A)或rankA。
在线性代数中，⼀个矩阵A的列秩是A的线性独⽴的纵列的极⼤数⽬。
类似地，⾏秩是A的线性⽆关的横⾏的极⼤数⽬。
即如果把矩阵看成⼀个个⾏向量或者列向量，秩就是这些⾏向量或者列向量的秩，也就是极⼤⽆关组中所含向量的个数。
⼆、矩阵的秩的本质是什么？ ⼀句话总结:矩阵是⼀种操作。
对谁的操作呢？是对向量的操作。
学习线性代数前，我们⼀直在实数的范畴考虑问题，学习线性代数后，就应该以向量（也就是⼀组数）作为考虑问题的基本单元。
考虑⼆维向量的集合。
可以直观地看到，⼆维平⾯中点的集合就等同于⼆维向量的集合。
矩阵A乘以向量b，可以得到另⼀个向量c。
若向量b,c均是⼆维，矩阵A就可以看做⼀个对⼆维向量的操作。
矩阵不满秩有两种情况（讨论⾏不满秩）： ⼀，某⼀⾏或者列为零。
⼆，某两⾏或者多⾏线性相关。
1：讨论某⾏为零 这时可以发现，如果向量b两个元素全都不是零，⽽矩阵A没有0⾏，则向量c两个元素⼀定都不是0。
如果矩阵A仅有⼀个⾮零⾏，则向量c必有⼀个元素为零，另⼀个⾮零。
如果矩阵A没有⾮零⾏，则向量c为零向量。
这时候，你可以理解为，⼀个有零⾏的矩阵，会对⼀个向量构成⼀种"降维"的操作。
3-3向量组的秩与矩阵的秩
例如 3维行向量组A :
1 1, 2, 1 , 2 2, 3,1 , 3 4,1, 1
易知向量组A是线性相关的. 但向量组1 , 2 或 2 , 3或 3 , 1都是线性无关的, 因而都是 A 的极大无关组.
说明：极大无关组不唯一.
Ir 例如矩阵 A 0
0 0
不难看出矩阵A的行秩为 r, A的列秩也为 r ， A的行秩等于列秩且等于矩阵A的秩. 下面说明任何矩阵A的行秩与列秩都是相等 的,它们都等于A的秩.
9 上一页 下一页 返 回
引理1 两个n维列向量组 α1 ,α2 ,..., αs 与 β1 , β2 ,..., βs ， 若存在可逆的 n n 矩阵P , 使得
T能由A线性表示，而A能由T线性表示显然，因此
极大无关组A与向量组T等价.
上一页 下一页 3 返 回
定理3.9 向量组的极大无关组所含向量个数相同.
证明 因向量组的极大无关组都与向量组本身等价， 由等价的传递性知, 任意两个极大无关组也等价，故 所含向量个数相同.
定理说明向量组的极大无关组所含向量个数与 极大无关组的选取无关，反映了向量组的性质.
定义3.16 向量组T的极大无关组所含向量个数称
为向量组的秩.记为 r(T).
4 上一页 下一页 返 回
定理3.10 等价的向量组具有相同的秩. 定理3.11 如果向量组(I)能由向量组(II)线性表示， 则向量组(I)的秩小于或等于向量组(II)的秩. 证 因为向量组（I）可以由向量组（II）线性表示， 利用定理3.1，所以向量组（I）的极大线性无关组 可以由向量组（II）的极大线性无关组线性表示. 进而由推论3可知，向量组（I）的秩不超过向量 组（II）的秩.
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1 0 0
0.4 0.6 1 1 0.85 0 0 0 0
R( A) 2,
有非零解
x 0.94c y 0.85c z c
x c y z
x 0.4y 0.6z y 0.6x 0.1y 0.2z z 0.4x 0.5y 0.2z
1 0.4 0.6 A 0.9 0.4 0.5
x 0.4 y 0.6 z 0 0.6 x 0.9 y 0.2 z 0 0.4 x 0.5 y 0.8z 0
B2 S3 H2O H3 BO3 H2 S
配平化学方程式
二个方程 解三个未知数 无穷多解
行阶梯形矩阵非零行的行数, 是判断方程组解的关键 .
定义3.1(矩阵的秩定义一)
A mn
行初等变换
行阶梯形矩阵非零行的行数 r 称为矩阵A的行秩.
主元1
行阶 3 A 2 1 1 1 , 求A和 AT 的行秩 3 0 3 2
C3 H8 5O2 3CO2 4H2O
作业 6页 1(3)(4)(7) 2 77页 3(2)(5)
1. 假设一个经济由化工，能源，机械三部分组成，各部分 的分配如图，求平衡价格,使每个部门的总收入等于总支出.
0.1
能源 y
0.4 0.3
0.1
0.8
机械z
0.2
0.5
化工x
0.2
0.4
2. 硫化硼与水剧烈反应生成硼酸和硫化氢气体(臭蛋味)：
A的行秩
1 1 2 3 1 1 2 3 主元2 A 0 3 3 7 0 3 3 7 0 3 37 0 0 0 0
1 1 2 3
A 的行秩
T
AT
2 1 1 1
3 0 3 2
第三节 矩阵的秩
例1 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1
三个方程 解三个未知数 唯一解
例2 2 3 2 1 第三行是矛盾方程 0 1 4 8 0 0 0 5/ 2 无解 例3 1 0 4 5 0 1 3 3 0 0 0 0
在化学反应中，原子既不会消失，也不会被创造，求
x1 , x2 , x3 , x4 , 使两边的碳 (C ) ，氢 ( H ) ，氧 (O) 原子数相等。
解： 碳(C) 氢(H) 氧(O)
3x1 3x1 x3 x3 0 8x1 8 x1 2 x4 2x4 0 2x2 2x3 x4 0 2 x2 2 x3 x4
如果煤炭产出价格是9400万元，电力8500万元，
每个部门都收支平衡。 钢铁1亿元，
例3 化学方程式描述了化学反应的物质消耗和产生的数量。 例如，当丙烷气体燃烧时，丙烷 (C3 H 8 )与氧 (O2 ) 结合生成 二氧化碳 (CO2 ) 和水 ( H 2O) ，按照如下形式的一个方程式：
( x1 )C3 H8 ( x2 )O2 ( x3 )CO2 ( x4 )H2O
定理3.2 n元齐次线性方程组 Ax=0, R( A) r, (1 Ax=0只有零解 (唯一解 R ( A) r n ) ) (2 Ax=0有非零解 (无穷多解) R ( A) r n )
例2 假设一个经济由煤炭，电力，钢铁三部分组成，各部分 的分配如图，1973年诺贝尔经济学奖得主列昂惕夫著名的 “投入—产出”模型结论：存在各部门的总产出的平衡价格， 使每个部门的总收入等于总支出，求平衡价格。
( 增广矩阵Ab) 的 秩 行初等变换
R( A) r ,
线性方程组的秩
高斯消元法
行阶梯形矩阵 非零行行数
线性方程组中 方程的实际个数
(2) 若线性方程组的系数矩阵 A mn , 设方程组有解, R( A) r ,
m: r:
方程组中方程个数 n : 未知数个数, , 行阶梯形矩阵 非零行行数 or 方程组中所含方程实际个数 or 行阶梯形矩阵 主元个数 or 基本变量个数
0.1
电力 y
0.2 0.6
0.5
0.4
钢铁 z
0.2
0.4
煤炭 x
0.6
0.1
电力 y
0.2 0.6
0.5
0.4
钢铁 z 解：
0.2
0.4
煤炭 x
0.6
设 x, y, z 分别表示煤炭,电力,钢铁部门的年度总产出价格，
平衡价格使得每部门的收入=支出
钢铁 电力 煤炭
x 0.4y 0.6z y 0.6x 0.1y 0.2z z 0.4x 0.5y 0.2z
1 0 0 0
2 3 3 3 3 3 7 7
1 0 0 0
2 3 3 3 0 0 0 0
AT的行秩 称为A的列秩
矩阵的行秩和列秩相等. 定义3.2 Amn , A的行秩和列秩统称为矩阵A的秩, 记为: R ( A) r , 显然, R ( A) min(m, n). 注:(1) n元线性方程组 Ax=b,
有非零解
1/ 4 5 / 4 c 3/4 1
R( A) 3 4
x1 (1/ 4)c x2 (5/ 4)c x3 (3/ 4)c x4 c
x1 x2 x3 x4
c 4, x1 1, x2 5, x3 3, x4 4,
基本变量个数 自由变量个数
未知数个数
n n r : 自由变量个数
r
r n, 方程个数=未知数个数 唯一解, r n, , 方程个数<未知数个数 无穷多解.
,
定理3.1 n元线性方程组 Ax=b,
R( A) r ,
R ( A) R( Ab) (1 Ax=b无解 ) Ax=b有唯一解 R ( A) r n (2 ) Ax=b有无穷多解 R ( A) r n (3 )
3x1 x3 0 8x1 2x4 0 2x2 2x3 x4 0
0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 1 0 1 1 0 2 4 0 0 1 1 0 1 1 0 2 2 1 0 0 2 2 1 0 2 2 1 3 0 1 0 2 2 1
x1 (1/ 4) x4 x2 (5/ 4) x4 x3 (3/ 4) x4
3 A 8 0
1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1/ 4 0 2 2 1 0 1 1 1/ 2 1 0 5 / 4 0 0 4 3 0 0 1 3/ 4 0 1 3/ 4
x 0.94 z y 0.85z
0.6 1 0.4 0.6 1 0.4 0.6 0.2 0 0.66 0.56 0 0.66 0.56 0.8 0 0.660.56 0 0 0 0 0.94 1 0.85 0 0