陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 平面向量数量积的有关概念详解示例素材 北师大版必修4

详解示例：平面向量数量积的有关概念
一.两个向量的夹角： 对于非零向量，，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，AOB θ∠=
()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2
π时，，垂直。

二.平面向量的数量积： 如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r 叫做与的数
量积（或内积或点积），记作：•，即•＝cos a b θr r 。

规定：零向量与任一向量的
数量积是0，注意:数量积是一个实数，不再是一个向量。

如
（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→
−BC ，则=⋅BC AB _________ （答：－9）； （2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-r r r r r u r r r ，c r 与d u r 的夹角为4
π，则k 等于____ （答：1）；
（3）已知2,5,3a b a b ===-r r r r g ，则a b +r r 等于____
；
（4）已知,a b r r 是两个非零向量，且a b a b ==-r r r r ，则与a a b +r r r 的夹角为____
（答：30o ）
三.向量b 在向量a 上的投影:
为||cos b θr ，它是一个实数，但不一定大于0。

如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，
则向量→a 在向量→b 上的投影为______ （答：5
12） 四.•的几何意义： 数量积•等于的模||a r 与在上的投影的积。

五.向量数量积的性质： 设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：
(1)0a b a b ⊥⇔•=r r r r ；
(2)当a ，b 同向时，a •b ＝a b r r ，特别地，22,a a a a a =•==r r r r r ；当a 与b 反向时，•＝－a b r r ；当θ为锐角时，•＞0，且 a b r r 、
不同向，θ为锐角可以推出0a b ⋅>r r ,但0a b ⋅>r r 不一定可以推出θ为锐角；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b r r 、不反向，
θ为钝角可以推出0a b ⋅<r r ,但0a b ⋅<r r 不一定可以推出θ为钝角;
(3)非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b a b
θ•=r r r r ；④||||||a b a b •≤r r r r 。

如 ①已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______ （答：43λ<-或0λ>且13
λ≠）； ②已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2
321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________ （答：(,)43
ππ）； ③已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==r r a r 与b r 之间有关系式
,0ka b kb k +=->r r r 其中，①用k 表示a b ⋅r r ；②求a b ⋅r r 的最小值，并求此时a r 与b
r 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +⋅=>r r ；②最小值为12
，60θ=o ） 六.两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？
(1)在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=•→→b a ，不能推出→→=0b .
(2)已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有
→
→→→→→=⇒•=•c a c b b a .
(3)在实数中有)()(c b a c b a ••=••，但是在向量的数量积中
)()(→→→→→→••≠••c b a c b a ，这是因为左边是与→c 共线的向量，而右边是与→
a 共线的向量.
七.向量平行(共线)的充要条件： //a b a b λ⇔=r r r r 22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 1212x y y x ⇔-＝0。

如
(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r ，当x ＝_____时a r 与b r 共线且方向相同
（答：2）；
（2）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r ，则x ＝______
（答：4）；
（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===u u u r u u u r u u u r ，则k ＝_____时，A,B,C 共线
（答：－2或11）.
八、向量垂直的充要条件：
0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-r r r r r r r r 12120x x y y ⇔+=.特别地
()()AB AC AB AC AB AC AB AC
+⊥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 。

如 (1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = （答：32
）； （2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知(,),n a b =r 向量n m ⊥r u r ，且n m =r u r ，则m u r 的坐标是________
（答：(,)(,)b a b a --或）.。