九年级数学浙教版二次函数的应用PPT教学课件
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浙教版初中数学《二次函数》教学课件(共24张PPT)
二 一常 次 次数 项 项项
y=ax2+bx+c 二次函数的一般式
二一 次次 项项 系系 数数
分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数
项。 函数表达式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
y=x2+1
1
0
1
y=－2x2
－2
0
0
y=－3x2+7x－12
－3
7
－12
y==2－x(21－x2x+)2x
这个二次函数的表达式。
解：把x=2，y=3；x=－2，y=2；x=4，y=2代入函数式y=ax²+bx+c
4a 2b c 3 得方程组 4a 2b c 2
16a 4b c 2
解方程组，得
∴这个二次函数的解析式为 y 1 x2 1 x 3
84
当x=1.5cm时，y=2.5 cm2 当x=1cm时，y=3.125 cm2
x(cm) 0.25 0.5
1
1.5 1.75
y(cm2) 3.125 2.5
2
2.5 3.125
1、某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增 长率为x。求该工厂2月份的产值y关于x的函数关系式
为 y 200(1 x) 。
变式1：已知函数 y xk 2 3k 2 kx 1 是二次函
数，则k的值为 0或3 。
k2－3k+2=2 变式2：已知函数 y (k 3)xk 2 3k 2 kx 1 是二
次函数，则k的值为 0 。
k2－3k+2=2且k－3≠0
已知二次函数y=ax²+4x+c，当x=－2时，函数值为 －1，当x=1时，函数值为 5，求这个二次函数的解析式。
y=ax2+bx+c 二次函数的一般式
二一 次次 项项 系系 数数
分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数
项。 函数表达式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
y=x2+1
1
0
1
y=－2x2
－2
0
0
y=－3x2+7x－12
－3
7
－12
y==2－x(21－x2x+)2x
这个二次函数的表达式。
解：把x=2，y=3；x=－2，y=2；x=4，y=2代入函数式y=ax²+bx+c
4a 2b c 3 得方程组 4a 2b c 2
16a 4b c 2
解方程组，得
∴这个二次函数的解析式为 y 1 x2 1 x 3
84
当x=1.5cm时，y=2.5 cm2 当x=1cm时，y=3.125 cm2
x(cm) 0.25 0.5
1
1.5 1.75
y(cm2) 3.125 2.5
2
2.5 3.125
1、某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增 长率为x。求该工厂2月份的产值y关于x的函数关系式
为 y 200(1 x) 。
变式1：已知函数 y xk 2 3k 2 kx 1 是二次函
数，则k的值为 0或3 。
k2－3k+2=2 变式2：已知函数 y (k 3)xk 2 3k 2 kx 1 是二
次函数，则k的值为 0 。
k2－3k+2=2且k－3≠0
已知二次函数y=ax²+4x+c，当x=－2时，函数值为 －1，当x=1时，函数值为 5，求这个二次函数的解析式。
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
九年级上浙教版二次函数的应用课件
01
根据运动物体的速度、加速度、位移等因素，建立时
间与相关变量之间的二次函数关系。
最小值求解
02 通过配方或公式法，求出时间函数的最小值及对应的
变量值。
03
案例分析
结合具体案例，如刹车距离最短、小球落地时间最短
等，进行时间最小化问题的建模与求解。
浙 教 及版 技特 巧色 指题 导型 解 析
填空题和选择题答题技巧
经典例题剖析与思路拓展
经典例题
01
选取具有代表性的二次函数应用问题，进行深入剖析，展
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
示解题思路和技巧。
思路拓展
02
通过一题多解、多题一解等方式，拓展解题思路，提高解
题能力。
举一反三
03
引导学生将所学知识应用到类似问题中，培养迁移能力和
创新思维。
生
活
案 例 分 享
中 二 次 函 数
应
用
体育比赛中成绩预测模型建立
股票投资收益预测 通过分析股票历史价格数据，建立二次函数模型，预测未来股票价格走 势及投资收益。
期货交易策略制定 利用二次函数模型分析期货市场价格波动规律，制定相应的交易策略。
风险评估与管理 在金融市场中，利用二次函数模型对投资组合进行风险评估和管理，以降 低潜在损失。
其他领域（如物理、化学等）应用举例
二次函数性质总结
对称性
二次函数的图像关于对称轴对称。
顶点性
二次函数的图像有一个最高点或最低点，即 顶点。
增减性
与坐标轴交点
当抛物线开口向上时，在对称轴左侧函数值 减小，右侧增大；当抛物线开口向下时，在 对称轴左侧函数值增大，右侧减小。
二次函数图像与$x$轴的交点即为方程的根， 与$y$轴的交点为$(0, c)$。
二次函数的应用 PPT课件 5 浙教版
例4：
一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经 过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动 中，h=v0t－ ½ gt²（v0表示物体运动上弹开始时的速度， g表示重力系数，取g=10m/s²）。问球从弹起至回到地 面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?
h(m)
6
5
练一练
感悟与反思
1、通过这节课的学习活动你 有哪些收获？ 2、对这节课的学习，你还有 什么想法吗？
作业布置：
1、课本第51页作业题A组： 1、 2、 3、 4。
2、作业本(1)第13页 1、 2、 3、 4、 5 。
同学们，再见！
•
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。
4
3
2
1
-2
-1
0
1
地面
2 t(s)
例4：
h(m)
6
5
解：由题意，得h关于t的二次函数 4
解析式为h=10t-5t²
3
取h=0，得一元二次方程
2
10t－5t²=0
1
解方程得t1=0；t2=2
-2
-1
0
1
2 t(s)
球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）
取h=3.75，得一元二次方程10t－5t²=3.75
•
54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。
•
55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。
•
56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
•
57、理想的路总是为有信心的人预备着。
•
58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
二次函数的应用 PPT课件 3 浙教版
•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
•
62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
•
63、彩虹风雨后，成功细节中。
•
64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。
•
65、只要有信心，就能在信念中行走。
•
66、每天告诉自己一次，我真的很不错。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
•
30、经验是由痛苦中粹取出来的。
•
31、绳锯木断，水滴石穿。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。
•
75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒前程。
•
77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。
•
78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。
•
79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。
•
49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。
•
50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。
•
51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。
数学21二次函数课件浙教版九年级上
顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出。顶点的横坐标为$-frac{b}{2a}$，纵坐标为$fleft(frac{b}{2a}right)$。这个公式是由二次函数的性质决定的，顶点的横坐标是使$x^2$的系数为0的$x$值，纵坐标 则是将$x$值代入函数表达式得到的函数值。
几何图形
二次函数可以用来描述各 种几何图形，如抛物线、 椭圆等，并研究它们的性 质和特征。
微积分基础
在学习微积分时，二次函 数是导数和积分的基础， 对于理解更复杂的函数和 概念至关重要。
在科学和工程中的应用
物理学
工程设计
在物理学的运动学、力学等领域，二次 函数经常被用来描述物体运动轨迹、加 速度、速度等物理量之间的关系。
根据二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$，开口方向由系数$a$决定。当$a>0$ 时，开口向上；当$a<0$时，开口向下。
详细描述
二次函数的开口方向取决于系数$a$的正负。如果$a>0$，则抛物线的开口向上； 如果$a<0$，则抛物线的开口向下。这是由抛物线的标准形式决定的，当$a>0$时， 抛物线向上开口；当$a<0$时，抛物线向下开口。
在土木工程、机械工程等领域，二次 函数可以用来进行结构设计、强度分 析、优化设计等方面的工作。
化学
在化学反应动力学中，二次函数可以 用来描述化学反应速率与反应物浓度 的关系。
05 习题与解答
习题
判断题
如果函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像关于$y$轴对称，那么 $a$、$b$、$c$中必有一个偶数。
二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象 浙教版九年级数学上册课件(共14张PPT)
y 1 ( x 2)2 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
2
y 1 ( x 2)2 2
4.5 2 0.5 0 0.5 2
描点和连线
三个函数图象之间： 顶点坐标有什么关系？ 对称轴有什么关系？ 图象之间的位置有什么关系？
y 1 x 22 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
3.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向上 向下 向上 向下
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1, －2 ) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
怎样移动抛物线 y 12就x2可以得到抛物线
y ？12 (x 1)2 1
平移方法1
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 2
向左平移 1个单位
y 1 x2 1 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3
y 1 x2
例题讲解
例 对于二次函数请回答下列问题： （1）把函数y 1 x2的图象作怎样的平移
3
变换，就能得到函数y 1 ( x 4)2 的图象？
3
（2）说出函数 y 1 ( x 4)2的图象的顶点坐标
3
和对称轴.
解 (1) 函数y=－1 x1（x－4）2的图象;
-10
2
一般地，函数y=a（x－m）2+k(a≠0)的图象，可以由函数 y=ax2的图象先向右（当m>0）或向左（当m<0）平移|m|个单位， 再向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位得到，顶点是 （m，k），对称轴是直线x=m.
九年级数学浙教版二次函数的应用PPT教学课件
解: 设其中一条直角边长为x, 则另一条为(2-x), 设斜边长为y,
由勾股定理得,
yx 2 2 x22 x 2 4 x 4
2－x
2 x 2 2 x 1 1 4 2 x 1 2 2
x 0 2 x 0
0 x 2
x
a 20 ,故 y 有 最 小 值 且 xLeabharlann 1 在 0 x2 的 范 围 内
想一想：如果我们把平均每天盈利与降价的函数关系找出来, 那么所求问题就转化为什么问题?
１.发现可以设降价为x元,每天盈利为y元,则y关于x
的函数关系式为y=(40-x)(20+2x),化为 y2x260x800
这是一个二次函数.
２.写出自变量x的取值范围,再求出它的最大值.
2、图中所示的二次函数图像的解析式为：
解:设半圆的半径为r米，如图，矩形的一边长为l米，
根据题意，有：5r+πr+2r+2l=8,
即：l=4－0.5(π+7)r 又因为：l＞0且r ＞0
所以： 4－0.5(π+7)r＞0 则：0＜r＜ 8 π+7
π 故透光面积:S= 2
r2+2rl=
π 2
r2+2r［4－0.5(π+7)r］
π =－( 2
？
又 a 2 b a 8 43 2 0 4 ,在 b 0 8 ,x c 0 3 + 2 2 范 围 内 8－π4+2 x x
答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的截面积最大。
练一练
( 1)已知直角三角形的两直角边的和为2。求斜 边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最 小值时两条直角边的长分别为多少？
最值问题的一般步骤
(浙教版)精编九年级数学上册第一章《二次函数》PPT课件
3
教学目标： 1. 经历二次函数表达式恒等变形的过程. 2. 会根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c， 确定二次函数的开口方向、 对称轴、 顶点坐标. 3. 能运用配方法将y=ax2+bx+c变形成y=a（x-m）2+k的形式. 重难点： ●本节教学的重点是二次函数的一般形式的开口方向、对称轴、 顶点 坐标的确定. ●利用配方法进行函数式的恒等变形， 过程较为复杂， 是本节教学的难 点.
运动员投篮后，篮球运 动的线路是一条怎样的曲 线？怎样计算篮球达到最 高点时的高度？
6.篮球运动员投篮后,球运动的路线为抛物线的一 部分(如图),抛物线的对称轴为直线x＝2.5. 求: (1)球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围. (2)球在运动中离地面的最大高度. (1)设函数表达式为 y = a ( x − 2.5) 2 + k 根据题意,得
练习3 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为 x m，宽为 y m，面积为 S m 2（x＞y）． （2）根据小区的规划要求， 所修建的绿地面积必 须是 18 m 2，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各 为多少 m ？
解：（2） 2 当矩形面积 S矩形 = 18 时，即- x + 9x = 18， 解得 x1 = 3，x2 = 6． 当 x = 3 时，y = 9 - 3 = 6，但 y＞x ，不合题意，舍去． 当 x = 6 时，y = 9 - 6 = 3． 所以当绿地面积为 18 m 2 时，矩形的长为 6 m ，宽为 3 m．
y = 20 (1 + x )
2
y = 20 x 2 + 40 x + 20
探究追问
这三个函数关系式有什么共同点？
二次函数图象 浙教版九年级数学上册课件(共16张PPT)
第1章 二次函数
1.2 第1课时 二次函数y=ax²的图象
(1)一次函数的图象是什么？ 一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？ 列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ 主要工具是函数的图象
铅球推出以后沿着怎样的一 条曲线运动?你能用二次函数的 表达式来描述这条曲线吗?
二次函数 y = x2的图象是一条关于y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的 曲线，像这样的曲线叫做抛物线.
抛物线与它的对称轴的交点叫 做抛物线的顶点。例如，抛物 线y = x2的顶点是坐标原点
y 10
9
8 7
y=
6
x2
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
对于二次函数y=ax2(a ≠0)，是否都有类似的图象呢？ 下面我们在同一直角坐标系中画二次函数y=2x2与y=-2x2 的图象.
（2）对称轴是 y轴 ，开口 向上 .
（3）顶点坐标是 (0,0) ，顶点是抛物线上的 最低点 . 抛物线在x轴的 上 方（除顶点外）.
思维拓展 已知 y =(m+1)xm2+m 是二次函数,且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式
m+1>0 ①
解: 依题意有:
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1 ∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
画法
描点法
以对称轴为中 心对称取点
二次函数 y=ax2的图象
图象
抛物线
轴 对 称 图 形 对称轴为y轴
a>0,开口向上
开口方向
1.2 第1课时 二次函数y=ax²的图象
(1)一次函数的图象是什么？ 一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？ 列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ 主要工具是函数的图象
铅球推出以后沿着怎样的一 条曲线运动?你能用二次函数的 表达式来描述这条曲线吗?
二次函数 y = x2的图象是一条关于y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的 曲线，像这样的曲线叫做抛物线.
抛物线与它的对称轴的交点叫 做抛物线的顶点。例如，抛物 线y = x2的顶点是坐标原点
y 10
9
8 7
y=
6
x2
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
对于二次函数y=ax2(a ≠0)，是否都有类似的图象呢？ 下面我们在同一直角坐标系中画二次函数y=2x2与y=-2x2 的图象.
（2）对称轴是 y轴 ，开口 向上 .
（3）顶点坐标是 (0,0) ，顶点是抛物线上的 最低点 . 抛物线在x轴的 上 方（除顶点外）.
思维拓展 已知 y =(m+1)xm2+m 是二次函数,且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式
m+1>0 ①
解: 依题意有:
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1 ∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
画法
描点法
以对称轴为中 心对称取点
二次函数 y=ax2的图象
图象
抛物线
轴 对 称 图 形 对称轴为y轴
a>0,开口向上
开口方向
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？
又 a 2 b a 8 43 2 0 4 ,在 b 0 8 ,x c 0 3 + 2 2 范 围 内 8－π4+2 x x
答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的截面积最大。
练一练
( 1)已知直角三角形的两直角边的和为2。求斜 边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最 小值时两条直角边的长分别为多少？
2
2
根 据 窗 框 的 长 ， 宽 都 必 须 大 于 零 ， 即
63x x 0
0得 0 x
2
x
a3 0 ,b3 ,c0 ,
又 2b 1 在 0x2 的 范 围 内
答： 当长当 为１x 米 ，2 宽1 a 为时 32 ， 米时y ，最 窗大 户的值 透光 面4 积最a 大c 4 ，a 最大b 面2 积 是32 3 2 平方米
当 x 1 时 ， y最 小 值 2
答 ： 斜 边 长 可 能 达 到 的 最 小 值 为 2 ， 当 斜 边 达 到 最 小 值 时 两 直 角 边 长 均 为 1
解: 设其中一条直角边长为x, 则另一条为(2-x), 设斜边长为y,
由勾股定理得,
yx 2 2 x22 x 2 4 x 4
2－x
2 x 2 2 x 1 1 4 2 x 1 2 2
x 0 2 x 0
0 x 2
x
a 20 ,故 y 有 最 小 值 且 x 1 在 0 x2 的 范 围 内
+7)r2+8r
(0＜r＜ 8 π+7
)
变式与拓展
如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周 长为16米。
⑴求截面积S（米2）关于底部宽x（米）的函数解 析式，及自变量x 的取值范围？
⑵试问：当底部宽x为几米时，隧道的截面积S最 大（结果精确到0.01米）？
解：∵隧道的底部宽为x，周长为16，
y
y=2x2+8x+13
(1)该函数有最 小 值,，该函数的最大值、最小值分别为
4
（ 55 ）、（ 5 ）。
2
(3)又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小值
0
x
-4 -2
2
分别为（ 55 ）、（ 13 ）。
求函数的最值问题，
应注意对称轴是否在自变量的取值范围内。
探究实践 用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，
1 2 0 0 ( 4 0 x ) ( 2 0 2 x )
提出问题
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为 了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措 施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2 件. (2)问每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?最多为多少元?
问长和高各是多少米时，窗户的透光面积
最大？最大面积是多少？
(1)设什么为自变量x? (窗框的长或高)
(2)如果学生设窗框长为x,则高为多少?
面积为多少?
x
63x m2 2
6
3x 2
m
(3)若设透光面积为y,试写出y关于x的函数解析式
y
x
63x 2
(4)这里自变量x的取值范围是什么?根据什么来确定?
想一想：如果我们把平均每天盈利与降价的函数关系找出来, 那么所求问题就转化为什么问题?
１.发现可以设降价为x元,每天盈利为y元,则y关于x
的函数关系式为y=(40-x)(20+2x),化为 y2x260x800
这是一个二次函数.
２.写出自变量x的取值范围,再求出它的最大值.
2、图中所示的二次函数图像的解析式为：
浙教版九年级上册第二章二次函数
2.4 二次函数的应用⑴
提出问题
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20 件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽 快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经 调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均 每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价 多少元?
解:设半圆的半径为r米，如图，矩形的一边长为l米，
根据题意，有：5r+πr+2r+2l=8,
即：l=4－0.5(π+7)r 又因为：l＞0且r ＞0
所以： 4－0.5(π+7)r＞0 则：0＜r＜ 8 π+7
π 故透光面积:S= 2
r2+2rl=
π 2
r2+2r［4－0.5(π+7)r］
π =－( 2
根 据 窗 框 的 长 ， 宽 都 必 须 大 于 零 ， 即
63x x 0
0得 0 x
2
用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问长和高各
是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解：设窗框长为x, 则它的高为 6 3 x ,
2
再设透光面积为y, 由题意得：y x 63x 3 x2 3x
最值问题的一般步骤
(1)列出二次函数的解析式.列解析式时,要根据自变量 的实际意义,确定自变量的取值范围.
(2)在自变量的取值范围内,运用公式或配方法 求出二次函数的最大值或最小值.
探究与建模
3.图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是 矩形.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为8米,那么如何设 计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大?(结果精确到0.01米)
又 a 2 b a 8 43 2 0 4 ,在 b 0 8 ,x c 0 3 + 2 2 范 围 内 8－π4+2 x x
答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的截面积最大。
练一练
( 1)已知直角三角形的两直角边的和为2。求斜 边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最 小值时两条直角边的长分别为多少？
2
2
根 据 窗 框 的 长 ， 宽 都 必 须 大 于 零 ， 即
63x x 0
0得 0 x
2
x
a3 0 ,b3 ,c0 ,
又 2b 1 在 0x2 的 范 围 内
答： 当长当 为１x 米 ，2 宽1 a 为时 32 ， 米时y ，最 窗大 户的值 透光 面4 积最a 大c 4 ，a 最大b 面2 积 是32 3 2 平方米
当 x 1 时 ， y最 小 值 2
答 ： 斜 边 长 可 能 达 到 的 最 小 值 为 2 ， 当 斜 边 达 到 最 小 值 时 两 直 角 边 长 均 为 1
解: 设其中一条直角边长为x, 则另一条为(2-x), 设斜边长为y,
由勾股定理得,
yx 2 2 x22 x 2 4 x 4
2－x
2 x 2 2 x 1 1 4 2 x 1 2 2
x 0 2 x 0
0 x 2
x
a 20 ,故 y 有 最 小 值 且 x 1 在 0 x2 的 范 围 内
+7)r2+8r
(0＜r＜ 8 π+7
)
变式与拓展
如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周 长为16米。
⑴求截面积S（米2）关于底部宽x（米）的函数解 析式，及自变量x 的取值范围？
⑵试问：当底部宽x为几米时，隧道的截面积S最 大（结果精确到0.01米）？
解：∵隧道的底部宽为x，周长为16，
y
y=2x2+8x+13
(1)该函数有最 小 值,，该函数的最大值、最小值分别为
4
（ 55 ）、（ 5 ）。
2
(3)又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小值
0
x
-4 -2
2
分别为（ 55 ）、（ 13 ）。
求函数的最值问题，
应注意对称轴是否在自变量的取值范围内。
探究实践 用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，
1 2 0 0 ( 4 0 x ) ( 2 0 2 x )
提出问题
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为 了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措 施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2 件. (2)问每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?最多为多少元?
问长和高各是多少米时，窗户的透光面积
最大？最大面积是多少？
(1)设什么为自变量x? (窗框的长或高)
(2)如果学生设窗框长为x,则高为多少?
面积为多少?
x
63x m2 2
6
3x 2
m
(3)若设透光面积为y,试写出y关于x的函数解析式
y
x
63x 2
(4)这里自变量x的取值范围是什么?根据什么来确定?
想一想：如果我们把平均每天盈利与降价的函数关系找出来, 那么所求问题就转化为什么问题?
１.发现可以设降价为x元,每天盈利为y元,则y关于x
的函数关系式为y=(40-x)(20+2x),化为 y2x260x800
这是一个二次函数.
２.写出自变量x的取值范围,再求出它的最大值.
2、图中所示的二次函数图像的解析式为：
浙教版九年级上册第二章二次函数
2.4 二次函数的应用⑴
提出问题
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20 件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽 快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经 调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均 每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价 多少元?
解:设半圆的半径为r米，如图，矩形的一边长为l米，
根据题意，有：5r+πr+2r+2l=8,
即：l=4－0.5(π+7)r 又因为：l＞0且r ＞0
所以： 4－0.5(π+7)r＞0 则：0＜r＜ 8 π+7
π 故透光面积:S= 2
r2+2rl=
π 2
r2+2r［4－0.5(π+7)r］
π =－( 2
根 据 窗 框 的 长 ， 宽 都 必 须 大 于 零 ， 即
63x x 0
0得 0 x
2
用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问长和高各
是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解：设窗框长为x, 则它的高为 6 3 x ,
2
再设透光面积为y, 由题意得：y x 63x 3 x2 3x
最值问题的一般步骤
(1)列出二次函数的解析式.列解析式时,要根据自变量 的实际意义,确定自变量的取值范围.
(2)在自变量的取值范围内,运用公式或配方法 求出二次函数的最大值或最小值.
探究与建模
3.图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是 矩形.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为8米,那么如何设 计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大?(结果精确到0.01米)