福建自考拓扑学基础2009年10月历年试卷
拓扑学2010 A答案
研究生试卷 2009─2010学年 第 2 学期拓扑学基础课程试卷(A 卷)答案与评分标准一、（10分）设B A 、都是拓扑空间X 的子集，并且A 是开集，证明：B A B A ⋂⊂⋂. 证：B A x ⋂∈，U 是x 的任一开邻域，则A U ⋂也是x 的开邻域，从而B A U ⋂⋂)(φ≠（因为B x ∈），………………………………………5分)(B A U ⋂⋂φ≠，于是B A x ⋂∈……………………………………………10分二、（10分）设Y X f →：是映射，证明以下条件等价：（1）f 是连续映射；（2）Y 的任一开集在f 下的原像是X 的开集；（3）Y 的任一闭集在f 下的原像是X 的闭集。
证：（1）⇒（2）设V 是Y 的开集，)(1V fU -=.任意V U x ，∈是)(x f 的邻域，由于x f 在连续，U x 是的内点，由x 的任意性，O U U =是开集。
………………………………………3分（2）⇒（3）设F 是Y 的闭集，则c F 是开集，因此)(1C F f -是X 的开集，于是c c F f F f ))(()(11--=是是X 的闭集。
………………………………………6分（3）⇒（1）设V 是)(x f 的邻域，)(1V f U -=,因为c c o o V f V f )))((()(11--=是开集（闭集c o V )(的原像))((1c o V f -是闭集），且U V f x o ⊂∈-)(1，所以U 是x 的邻域，有定义，连续。
在x f ……………10分三、（10分）设R 的子集族B }|){[b a b a <=，生成R 的下极限拓扑τ，证明：)[b a ，在拓扑空间（τ，R ）中既是开集，又是闭集。
证明：)[b a ，∈B ，从而是（τ，R ）中的开集. ………………………………………4分又因为 N n cn b b a n a b a b a ∈+⋃-=∞+⋃-∞=))()([)([)())([，，，，，也是开集，所以)[b a ，是闭集。
拓扑学基础试题及解答
“拓扑学基础”试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设{1,2,3}X =，则下列是X 的拓扑的是【 A 】A 、{,,{1}}X φB 、{,,{1,2},{2,3}}X φC 、{,,{2},{3}}X φD 、{,,{1},{2},{3}}X φ2、下列有关连续映射:f X Y →正确的是【 B 】A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集C 、Y 中的任何一个子集A ，有11()()f A f A --⊂D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射3、设X 和Y 是两个拓扑空间，A 是X 的一个子集，则下列错误的是【 C 】A 、若:f X Y →是连续的，则|:A f A X →也是连续的B 、若:f X Y →是一个同胚，则|:()A f A f A →也是一个同胚。
C 、:()f X f X →是一个连续映射，则:f X Y →不一定是一个连续映射D 、若X 可嵌入Y ，则X 的任何一个子空间也可嵌入Y4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=【 D 】A 、A A -'⋂B 、00A A ''⋃C 、0()A ∂D 、()X A ∂-5、下列有关连通性的命题正确的是【 C 】A 、若A 和B 是拓扑空间X 中的两个隔离子集，且X A B =⋃，则X 是不连通的。
B 、有理数集Q 作为实数空间子空间是一个连通空间C 、若12,Y Y 均为X 的连通子集，且12Y Y φ⋂≠，则12Y Y ⋃也是X 的一个连通子集D 、设Y 是X 的一个连通子集，Z X ⊂，若Y Z ⊂，则Z 也是X 的一个连通子集6、下列拓扑性质中，没有继承性的是【 D 】A 、1T 空间B 、2T 空间C 、3T 空间D 、4T 空间7、下列有关命题，正确的是【 B 】A 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是局部连通的B 、若拓扑空间X 是道路连通的，则X 一定是连通的C 、若拓扑空间X 是局部连通的，则X 一定是道路连通的D 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是道路连通的8、下列有关实数空间，不正确的是【 D 】A 、它满足第一可数性公理B 、它满足第二可数性公理C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理D 、它的任何一个子空间都是连通的9、下列有关Lindel öff 空间的描述正确的是【 A 】A 、任何一个满足第二可数性公理的空间都是Linde öff 空间B 、任何一个Lindel öff 空间都是第二可数性空间C 、Lindel öff 空间的子空间还是Linde öff 空间D 、满足第一可数性公理的空间的每一个子空间都是Linde öff 空间10、设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是【 C 】A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-=B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ=C 、对x A ∀∈，且有(,)B x A εφ⋂≠，则A 为X 中的一个开集D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ=二、填空题（每空2分，共20分）请将答案写在横线上。
拓扑学基础试题及答案
拓扑学基础试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，以下哪个概念不是基本的？A. 开集B. 闭集C. 连续函数D. 距离函数答案：D2. 以下哪个选项不是拓扑空间的性质？A. 空集和整个空间是开集B. 任意开集的并集是开集C. 有限个开集的交集是开集D. 任意集合的补集是闭集答案：D3. 在拓扑学中，两个拓扑空间之间的映射被称为？A. 同胚B. 连续映射C. 同伦D. 同调答案：B4. 拓扑空间中的邻域系统是指？A. 包含某点的所有开集的集合B. 包含某点的任意集合的集合C. 包含某点的有限个开集的交集D. 包含某点的任意开集答案：A5. 拓扑空间中的连通性是指？A. 空间不能被分割成两个不相交的非空开集B. 空间中的任意两点都可以通过连续路径相连C. 空间中的任意两点都可以通过直线相连D. 空间中的任意两点都可以通过曲线相连答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果拓扑空间中任意两个不同的点都存在不相交的邻域，则称该空间为________。
答案：豪斯多夫空间2. 拓扑空间中的紧致性是指该空间的任意开覆盖都有________。
答案：有限子覆盖3. 拓扑空间中的连通空间是指不能表示为两个不相交的非空开集的并集的空间，这种性质也称为________。
答案：不可分割性4. 拓扑空间中的基是指由开集构成的集合，使得空间中的每一个开集都可以表示为基中集合的________。
答案：并集5. 拓扑空间中的同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射的连续映射，并且其逆映射也是连续的，这种映射也称为________。
答案：同胚映射三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述拓扑空间中闭集的定义。
答案：在拓扑空间中，如果一个集合的补集是开集，则称该集合为闭集。
2. 请解释什么是拓扑空间中的同伦等价。
答案：如果存在两个拓扑空间之间的连续映射，使得这两个映射的复合与各自空间上的恒等映射是同伦的，则称这两个空间是同伦等价的。
2009年10月全国自考数据结构真题及答案
更多优质自考资料尽在百度贴吧自考乐园俱乐部（/club/5346389）欢迎❤加入...欢迎❤交流...止不住的惊喜等着你.........2009年10月全国自考数据结构真题一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.按值可否分解，数据类型通常可分为两类，它们是()A.静态类型和动态类型B.原子类型和表类型C.原子类型和结构类型D.数组类型和指针类型答案：C2.A. AB. BC. CD. D答案：C3.指针p、q和r依次指向某循环链表中三个相邻的结点，交换结点*q和结点*r在表中次序的程序段是()A.p->next=r；q->next=r->next；r->next=q；B.p->next=r；r->next=q；q->next=r->next；C.r->next=q；q->next=r->next；p->next=r；D.r->next=q；p->next=r；q->next=r->next；答案：A4.若进栈次序为a，b，c，且进栈和出栈可以穿插进行，则可能出现的含3个元素的出栈序列个数是()A. 3B. 5C. 6D.7答案：B5.假设以数组A［n］存放循环队列的元素，其头指针front指向队头元素的前一个位置、尾指针rear指向队尾元素所在的存储位置，则在少用一个元素空间的前提下，队列满的判定条件为()A.rear==frontB.(front+1)％n==rearC.rear+1==frontD.(rear+1)％n==front答案：D6.串的操作函数str定义为：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C7.二维数组A［10］［6］采用行优先的存储方法，若每个元素占4个存储单元，已知元素A［3］［4］的存储地址为1000，则元素A［4］［3］的存储地址为()A.1020B.1024C.1036D.1240答案：A8.对广义表L= (a，())执行操作tail(L)的结果是()A.()B.(())C. aD.(a)答案：B9.已知二叉树的中序序列和后序序列均为ABCDEF，则该二叉树的先序序列为()A.FEDCBAB.ABCDEFC.FDECBAD.FBDCEA答案：A10.已知森林F={T1，T2，T3，T4，T5}，各棵树Ti(i=1，2，3，4，5)中所含结点的个数分别为7，3，5，1，2，则与F对应的二叉树的右子树中的结点个数为()A. 2B. 3C.8D.11答案：D11.若非连通无向图G含有21条边，则G的顶点个数至少为()A.7B.8C.21D.22答案：B12.如图所示的有向图的拓扑序列是()A.c，d，b，a，eB.c，a，d，b，eC.c，d，e，a，bD.c，a，b，d，e答案：B13.对关键字序列(6，1，4，3，7，2，8，5)进行快速排序时，以第1个元素为基准的一次划分的结果为()A.(5，1，4，3，6，2，8，7)B.(5，1，4，3，2，6，7，8)C.(5，1，4，3，2，6，8，7)D.(8，7，6，5，4，3，2，1)答案：C14.分块查找方法将表分为多块，并要求()A.块内有序B.块间有序C.各块等长D.链式存储答案：B15.便于进行布尔查询的文件组织方式是()A.顺序文件B.索引文件C.散列文件D.多关键字文件答案：二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，若有两个空格，每个空格1分，共20分）请在每个空格中填上正确答案。
拓扑学基础答案
拓扑学基础（数学教育本科）试卷参考答案一、单项选择题1、C2、A3、B4、A5、A6、C7、D 8、A 9、B 10、D二、填空题11、满射 12、同胚 13、A 的补集A '是一个开集 14 、Y B 15、可分 16、一 17、x 和y 连通18、X ，)(x f 19、Y 中每一个开集U 的原象)(1U f -是X 中的一个开集三、名词解释题1、如果存在一个从集合X 到正整数集Z +的单射，则称集合X 是一个可数集。
2、设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族，如果T 满足如下条件：（1）∈φ,X T ，（2）若A ，∈B T ，则∈B A T ，（3）若T ⊂1T ，则1A ∈∈ T T ，则称T 是X 的一个拓扑。
偶对（X ，T ）是一个拓扑空间。
3、设X 和Y 是两个拓扑空间，如果f:X →Y 是一个一一映射，并且f 和f -1:Y →X 都是连续的，则称f 是一个同胚映射。
4、设X 是一个拓扑空间，如果对于任何x 、y ，存在X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），则称X 是一个道路连通空间。
5、一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个A 1空间。
6、一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个A 2空间。
7、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindel öff 空间。
8、设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交，则称拓朴空间X 是一个正则空间。
9、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。
10、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间。
四、判断题1、√2、√3、×4、×5、√6、×7、√ 8、× 9、√ 10、× 11、√ 12、×五、解答与证明题1、解：（1）1T 不是X 的拓扑，这是因为∈},{b a 1T ，∈},{d b 1T ，但∈/=}{},{},{b d b b a 1T（2）2T 是X 的拓扑，满足拓扑的定义2、证∵()()()()A B A B d A B A B d A d B ==B A B d B A d A ==))(())((3、证：∵B B A A B A ⊂⊂ ,，故A B A ⊂ ，B B A ⊂∴B A B A ⊂5、设Y 是紧致空间X 中的一个闭子集，如果A 是Y 的一个覆盖，它由X 中的开集构成，则B =A {Y '}是X 的一个开覆盖，设1B 是2B 的一个有限子族并且覆盖X ，则1B }{Y '-便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，这说明Y 是X 的一个紧致子集。
上学期拓扑学考试试卷及答案
大学拓扑学考试试卷参考答案（A ）一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=TB. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=TC. {,,{},{,}}X a a b φ=TD. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43、在实数空间中，整数集Z 的内部Z o 是（ ）A. φB. ZC. R -ZD. R4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）A. 若A φ=,则d A φ=B. 若0{}A x =,则d A X =C. 若A={12,x x },则d A X A =-D. 若12{,}A x x =,则d A A =5、平庸空间的任一非空真子集为( )A. 开集B. 闭集C. 既开又闭D. 非开非闭二、简答题（每题3分，共15分）1、2 A 空间2、1T 空间：3、不连通空间4、序列紧致空间5、正规空间三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（ ）4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( )四、证明题（共50分）1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明:g f X Z →o 也是连续映射。
拓扑学基础测试卷
拓扑学基础测试题1、叙述拓扑空间的定义。
叙述一点紧化的定义，并验证定义的合理性。
2、叙述邻域的定义。
设W是拓扑空间X的邻域。
证明W是开集当且仅当它是它的每一点的邻域。
3、叙述聚点的定义。
设X={a,b,c},T={X,{a},ф}，A={a}。
求A的聚点。
4、叙述拓扑基以及第二可数空间的定义。
请给出一个不是第二可数空间的例子。
5、叙述并证明粘接引理。
6、叙述T1空间的定义并证明拓扑空间X是T1空间当且仅当X的单点集是闭集。
7、叙述紧致空间的定义并证明紧致空间的闭子集紧致。
8、叙述Hausdorff空间的定义并证明Hausdorff空间的紧致子集是闭集。
9、证明拓扑空间X和Y的乘积空间X ×Y是Hausdorff空间当且仅当X和Y都是Hausdorff空间。
注：此份试卷只做参考，大家低调传阅各位同学：大家好！拓扑学基础试卷已印制完毕，现将试卷结构通报给大家，以期有益于大家的复习。
一、填空共10空，20分二、判断共10题，20分三、计算共三类题，16分四、问答共3题，25分五、证明共3题，19分，其中最后一题5分，与拓扑群相关，想拿高分者可做准备。
提前给大家祝贺新年，最后祝大家考试成功！李彦博拓扑学试卷结构：一、填空，共10空，20分；二、判断，共10题，20分；三、计算，共三类题，16分；四、问答，共3题，25分；五、证明，共3题，19分，其中最后一题5分，与拓扑群相关，想拿高分者可做准备。
考试时间：1月7日下午2点半至4点半，地点G721.考试结束后请同学们留在考场与李彦博老师合影。
时间紧迫，希望大家积极配合，不要耽误老师回家。
拓扑学期末考试题及答案
拓扑学期末考试题及答案一、选择题（共20题，每题2分，共40分）1. 拓扑学的基本研究对象是：A. 点B. 线C. 面D. 拓扑空间答案：D2. 拓扑学中的同胚关系是指：A. 相似但不完全相同的两个拓扑空间B. 可由连续映射建立起来的两个拓扑空间C. 有相同的拓扑结构的两个拓扑空间D. 具有同样的几何性质的两个拓扑空间答案：C3. 拓扑学中的紧集是指：A. 有界闭合集B. 无限集合C. 有限集合D. 开集答案：A4. 拓扑空间中的度量是用来衡量：A. 点的位置关系B. 集合的大小C. 集合的连接性D. 集合中元素之间的距离答案：D5. 拓扑学中的连通性是指：A. 一个集合内部的连接性B. 一个集合外部的连接性C. 一个集合与其他集合的连接性D. 一个集合内部和外部的连接性答案：A6. 拓扑空间中的完备性是指：A. 所有点都能找到相邻点B. 所有点都能找到非相邻点C. 不存在孤立点D. 所有柯西序列都有极限点答案：D7. 拓扑学中的邻域是指：A. 包含某点的开集B. 包含某点的闭集C. 与某点连通的集合D. 与某点不相交的集合答案：A8. 拓扑学中的连续映射是指：A. 映射后保持拓扑结构不变B. 映射后改变拓扑结构C. 映射前后的关系D. 映射的性质答案：A9. 拓扑学中的嵌入是指：A. 一种映射关系B. 一种集合运算C. 一种连通性D. 一种对应关系答案：A10. 拓扑学中的同伦是指：A. 具有相同基本形状的两个拓扑空间B. 可以通过连续变形相互转换的两个拓扑空间C. 有相同拓扑结构但不是同胚的两个拓扑空间D. 具有完全相同性质的两个拓扑空间答案：B11. 拓扑学中的欧拉示性数是指：A. 拓扑空间内部与外部连接性的关系B. 拓扑空间的维数C. 拓扑空间的曲率D. 拓扑空间的性质答案：A12. 拓扑学中的同调是指：A. 研究拓扑空间对某个场的影响B. 研究拓扑空间的连通性C. 研究拓扑空间的变形性质D. 研究拓扑空间的代数性质答案：D13. 拓扑学中的拓扑原则是：A. 基于几何形状的研究方法B. 基于其他学科的交叉研究方法C. 基于代数方程的研究方法D. 基于集合论的研究方法答案：D14. 拓扑学中的Hausdorff空间是指：A. 没有孤立点的拓扑空间B. 具有一定连通性的拓扑空间C. 任意两点都能分离的拓扑空间D. 具有完备性的拓扑空间答案：C15. 拓扑学中的同调群是指：A. 拓扑空间中某类映射的代数群B. 拓扑空间某类覆盖的代数群C. 拓扑空间中某类空间的代数表示D. 拓扑空间中某类链的代数群答案：A16. 拓扑学中的拓扑分类是指：A. 将拓扑空间按照某个特定的分类标准进行归类B. 利用拓扑变换将拓扑空间分类C. 将拓扑空间按照其代数性质进行分类D. 利用大数定律对拓扑空间进行分类答案：A17. 拓扑学中的拓扑基是指：A. 由拓扑空间的子集生成的拓扑结构B. 由拓扑变换生成的拓扑结构C. 由闭集生成的拓扑结构D. 由开集生成的拓扑结构答案：D18. 拓扑学中的拓扑核是指：A. 一种拓扑映射的特殊性质B. 一种拓扑空间的代数性质C. 一种连通性的性质D. 一种闭集的性质答案：A19. 拓扑学中的四色定理是指：A. 任何地图都可以用四种颜色进行染色B. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，但可能会有重叠部分C. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，且相邻区域颜色不同D. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，且相邻区域颜色不同且不重叠答案：D20. 拓扑学在实际应用中的一个重要领域是：A. 计算机科学B. 物理学C. 生物学D. 全部都是答案：D二、填空题（共10题，每题2分，共20分）1. 拓扑学最早由________ 提出。
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2009年10月高等教育自学考试福建省统一命题考试
拓扑学基础试卷
课程代码02008)
一、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1．设A，B是度量空间(X，ρ)的2个紧致子集，则A，B不相交的充分必要条件是_______。
2．T
2
空间的每个子空间都是_______空间。
3．设X为拓扑空间，X的子集A满足A⊂A0的充分必要条件是_______。
4．称拓扑空间的某种性质P具有遗传性指的是：_______。
5．一个拓扑空间的可分性定义为_______。
6．设集合X={0，1}。
给出X上的一个拓扑，要求它不是X上的平庸拓扑，也不是X
上离散拓扑：_______。
7．设B是一个集族，如果B的每一个有限子族都有非空的交，则称B是一个具有
_______的集族。
8．设X=X
1×X
2
× (X)
n。
为拓扑空间X
1
，
X 2， (X)
n
的积空间，X不空。
则X为
紧致空间当且仅当对于每一个j=1，
2，…，n，j
1
为_______。
9．设拓扑空间X存在这样的一个拓扑基，它的每一个元索都是连通的，那么X是
_______空间。
10．一个拓扑空间(X，T)称为可度量化的空间，如果满足_______。
二、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一
个是符合题目要求的，请将其代码填
写在题后的括号内。
错选、多选或未
选均无分。
11．以下哪一性质关于开子空间不是可遗传的【】
A．可分性质
B．Lindelof性质
C．满足第一可数性公理
D．满足第二可数性公理
12．设S和T是集合X上的两个不同的拓扑，则下面正确的命题是【】
A．T⋂S不一定是X上的拓扑
B．T⋃S不一定是X上的拓扑
C．假定w是X上的离散拓扑，则W⊂T D，假定Q是X上的平庸拓扑，则S⊂Q 13．设X为含有无数个元素的集合，则下面不正确的命题是【】
A．X上可以通过定义开集的办法来建立拓扑
B．X上可以先定义闭集全体来建立拓扑 C．X上可以先定义邻域全体来建立拓扑 D．除上述三种办法外，别的办法不可以建立拓扑
14．设X为拓扑空间，下面不正确的命题是【】
A．∅的内部仍然是∅ B．X的内部仍然是X
C．（A⋃B)0：A0⋃B0 D．(A⋂B)0=A0⋂B0
15．下面不正确的命题是【】
A．R n是Lindelof的紧致空间B．R n是可分的正规空间
C．R n是可分的度量空间D．R n是满足第一且第二可数性公理的空间
16．E是拓扑空间X的连通子集，下面正确的结论是【】
A．E作为丑的子空间是一个连通空间
B．E是局部连通的子空间
C．E中存在两个非空的隔离子集P与Q 使得E=P⋃Q
D．E作为X的子空间是弧连通的17．设X为拓扑空间，下面不正确的命题是【】
A．正规空间一定是T
1
空间 B．正
则T
0空间一定是T
1
空间
C．T
3空间一定是正则T
1
空间 D．T
4
一
定是正规T
2
空间
18．设A是度量空间（X，ρ)的子集，若z∈X，ρ (x，A)=0，则正确的结论是【】
A．是A的内点 B．x是A的边界点。
C．x是A'中的点 D．x是A中的点
19．设(X
1，F
1
)，(X
2
，F
2
)为拓扑空问，
关于X
1×X
2
的积拓扑T，则下面不正
确的命题是【】
A．{P×Q：P∈F
1，Q∈F
2
}是积拓扑T
的一个基。
B．若C∈F
1，D∈F
2
则C×D∈T
C．对T中每一个元索形，都存在C∈F
1
，
D∈F
2
，使得W=C×D
D．对T中每一个元素V，都存在C∈F
1
，
D∈F
2
，使得V⊃C×D
20．没X和Y是拓扑空间，映射f：X→Y 是连续开映射，则由此得到不正确的结论是【】
A．映射f不一定是闭映射
B．映射f不一定是同胚映射
C．若f且是满映射，则f一定是同胚映射
D．若f且是一一映射，则X和Y同胚三、简答题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)
21．设X，Y为拓扑空间，假定映设f: X →Y在点x
∈X连续。
证明X中的序
列<x
k
>收敛于x
蕴涵着Y中的序列
<f（x
k
）>收敛于f（x
）
22．设X为拓扑空间，A为X的子集。
证明A是闭集的充分必要条件是A=A。
23．证明：每一个度量空间都满足第一可数性公理。
24．叙述Urysohn引理。
四、反例论证题 (本大题共10分)
25．举例说明存在这样的T
1
，拓扑空间X，
X中的序列{ x
k
}收敛，但极限不唯一。
五、论述题 (本大题共2小题，每小题15分，共30分)
26．证明满足第二可数性公理的空间必定为可分空间。
22．设X，Y为拓扑空间，映射f：X→Y在X连续等价于，Y有一个子基S，使得
对任何U∈S原象f1-(U)都是X的一
个开集。
请证明。