25 第五节 传递函数的定义及基本环节的传递函数
2-4 线性系统的传递函数
0
T
t
11
惯性环节的实例如下图所示。
R C uc
ur
(a)
在图(a)所示的电路中，输出电压uc与输入电 压ur间的微分方程为
du c T + uc = ur dt
式中T=RC，为电路的时间常数。
12
if uf
Rf
Lf
(b)
在图(b)所示的直流电机的激磁电路中，当 以激磁电压uf为输入量、以激磁电流if为输出量 时，其电路方程为
G (s) = R(s) =
m m −1 1 0
a n s + a n −1 s
n
n −1
+ …… + a1 s + a 0
( 2 − 50 )
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出 的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用 下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的， 因此称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条 件下定义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征 系统的动态性能。
+ (a)
C ic uc
ur n θ
(b)
ur 在图(a)中，因为 i c = i = R
容两端电压，所以有
uc = 1 c
而输出电压uc近似等于电
∫ i c dt =
在图(b)中，以电动机的转速n(转/分)为输入量， 以减速齿轮带动负载运动的轴的角位移θ为输出量， 可得微分方程 1
θ (t ) =
§2-4 线性系统的传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性 能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作 用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线 直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构 形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于 对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统 的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结 构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论 中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基 础上建立起来的。
自动控制原理--传递函数的定义及性质和表示形式
传 递 函 数的表示形式
3.时间常数形式（尾1型 ）
G(s)
bm (1s 1)( 2s2
an (T1s 1)(T2s2
22s 1)( is 1) 2T2s 1)(Tjs 1)
m
K bm K * am
(zi )
1 n
称 G(s)的开环增益。
传递函数
传递函数的定义及性质 传 递 函 数的表示形式
传 递 函 数的定义
对于n阶系统，线性微分方程的一般形式为：
a d n c(t) a d n1 c(t) a d c(t) a c(t)
0 dt n
dt1 n1
dt n1
n
b d m r(t) b d m1 r(t) b d r(t) b r(t)
另外实际系统总有惯性，因此实际系统中有n>＝m，n称 为系统的阶数
传递函数的性质
7）传递函数是系统单位脉冲响应的Laplace变换。
定义 g(t) 为系统单位脉冲作用下的系统输出：
当 r(t) (t) 时，系统的输出c(t)称为 g(t)
此时，L[r(t)] L[ (t)] 1 所以：
C(s) G(s)R(s) G(s) c(t) g(t) L1[C(s)] L1[G(s)R(s)] L1[G(s)]
( p j )
1
i ,Tj 称时间常数。
传递函数的性质
G(s)
C(s) R(s)
b0sm a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s an1s
bm an
5）传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。
若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一
传递函数
2.3.6 典型环节及其传递函数
比例环节传递函数
输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。即 则传递函数为
y(t) = K (t) ， x
G(s) =
Y(s) = K ，式中 式中K——放大系数 放大系数 X(s)
惯性环节(非周期环节 惯性环节 非周期环节) 非周期环节
Y(s)=0的根称为零点。 的根称为零点。 的根称为零点 X(s)=0的根称为极点。 的根称为极点。 的根称为极点 零点和极点的数值取决于系统的参数。 零点和极点的数值取决于系统的参数。
G(s)的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性
2.3.5 传递函数的特点
传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。 传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。
2.3.2 传递函数的概念
在零初始条件下，线性定常系统输出象函数Y(s)和输入象函数 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 和输入象函数X(s)之比，称为系统的传 之比， 和输入象函数 之比 递函数， 表示。 递函数，用G(s)表示。即 表示
d2 y(t) dy(t) m 2 +f +ky(t) = x(t) dt dt
2 ωn Y(s) 1 k G(s) = = 2 = 2 2 2 X(s) k s +2 ns +ωn T s +2 Ts +1 ξω ξ
则传递函数为
式中ω
k = n m
—— 无阻尼固有频率； ξ = 无阻尼固有频率；
f 1 —— 阻尼比； 阻尼比； 2 m k
dy(t) T + y(t) = Kx(t) dt
传递函数的定义
2 2s 1)L 2 T2s 1)L
( i s 1)
(Tjs 1)
2 62
其分子、分母各因式中常数项均为1（若不是零）， 式中i, Ti称为各环节的时间常数，因此又称时间 常数表达式。包括以下几种典型的基本环节。
1 放大环节 2 纯微分 3 一阶微分环节 4 二阶微 分环节 5 积分环节 6 惯性环节 7 振荡环节 8 延迟环节
2.3.2 传递函数的性质和含义
1. 传递函数是线性定常系统数学模型的另一种表达形式。 传递函数的形式完全取决于系统本身的结构和参数， 与输入信号的形式无关。它与系统微分方程是一一对 应的，即与微分方程中各导数项的系数相对应，所以 传递函数也是系统的动态数学模型。 对同一系统， 若谈到传递函数，必须首先指明输入量和输出量。否 则，得到的传递函数形式可能不同。
下午4时15分
5. 传递函数可表示成有理分式的形式， 又可写成零、极点表示的形式。
m
G(s)
C(s) R( s )
K
g
s zi
i 1 n
s pj
j 1
2 59
6. 传递函数还可用时间常数的形式来表示。
m1
m2
K
i s 1
(
2 k
s2
2
k
k
s
1)
G(s)
i 1 n1
k 1 n2
若相加点由方框之后移到方框之前，应在移动之路上串入 具有相同传递函数倒数的方框。 若相加点由方框之前移到方框之后，应在移动之路上串入 具有相同传递函数的方框。
（2）分支点的移动和互换
若分支点由方框之后移到方框之前，应在移动之路上串入 具有相同传递函数的方框。 若分支点由方框之前移到方框之后，应在移动之路上串入 具有传递函数倒数的方框。
传递函数模型和传递函数
传递函数模型和传递函数传递函数是控制系统中一个重要的概念，它描述了输入信号经过系统后的输出信号与输入信号之间的关系。
传递函数模型是用来描述连续时间系统的，而传递函数是传递函数模型的具体表达式。
传递函数模型可以简化对系统行为的分析和设计。
通过将系统抽象为一个传递函数，可以忽略系统的具体细节，只关注输入输出之间的关系。
这样一来，我们可以用数学方法来分析系统的稳定性、性能等特性。
传递函数模型通常用拉普拉斯变换来表示。
拉普拉斯变换是一种数学变换，用于将连续时间域中的函数转换为复频域中的函数。
通过拉普拉斯变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化对系统的分析。
传递函数通常表示为H(s)，其中s是复变量，表示频域中的频率。
传递函数的形式可以是分数形式，如H(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是多项式。
传递函数的分子多项式N(s)描述了输入信号对系统的影响，而分母多项式D(s)描述了系统的特性。
传递函数的分母多项式D(s)的根决定了系统的稳定性。
如果分母多项式的根都是负实数或者有负实部的复数，那么系统是稳定的。
反之，如果分母多项式的根有正实数或者纯虚数，那么系统是不稳定的。
传递函数还可以用来描述系统的频率响应。
频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应程度。
通过传递函数，可以计算出系统在不同频率下的增益和相位差。
传递函数模型和传递函数在控制系统的分析和设计中起着重要的作用。
通过传递函数模型，可以对系统进行数学建模和分析。
而通过传递函数，可以计算系统的稳定性、频率响应等特性。
掌握传递函数模型和传递函数的使用方法，对于控制系统的工程师来说是非常重要的。
总之，传递函数模型和传递函数是控制系统分析和设计中常用的工具。
通过传递函数模型，可以对系统进行简化和抽象，忽略系统的具体细节。
而通过传递函数，可以计算系统的稳定性、频率响应等特性。
掌握传递函数模型和传递函数的使用方法，可以帮助我们更好地了解和设计控制系统。
传递函数
一、定义
零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：
G(s) L[ y(t)] Y (s) L[r(t)] R(s)
意义：
R(s) G(s) Y (s)
Y (s) R(s)G(s)
二、传递函数的求法
线性定常系统微分方程式的一般表达式可写为
方框图：
R(s)
n2
Y (s)
s2 2n s n2
【例2.2.6】弹簧—质量—阻尼系统 由【例2.1.1】可得出其微分方程为
振荡环节阶跃响应
m
d2 dt
x
2
f
dx dt
kx
F (t)
它的传递函数为
G(s)
1
F (s) X (s)
ms 2
1 fs k
T 2s2 2Ts 1
n2 s2 2ns n2
微分方程： 传递函数：
方框图：
y(t) r(t)dt
G(s) 1 s
R(s) 1/s Y (s)
特点：输出正比于输入对时间的积分。
【例2.2.5】如图所示积分调节器电路，在单位阶跃输入信号作用下，
求输出量 y(t) 。
解：输入为阶跃信号时，
C
R
R(s) 1 s
r (t )
A
y (t )
Y (s) G(s)R(s)
Gm
(
s)
Ua(s) M c (s)
四、传递函数的一般表达式
1、定义的形式
G(s)
bm s m an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
说明：
1）实际系统传递函数中，分母多项式的阶数n 总是大于分子多项 式的阶数m ，即n m 。
微分方程传递函数的定义
求解微分方程可求出系统的输出响应，但如果方程阶次较高，则计算非常繁琐，因此对系统的设计分析不便，所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算，可使问题分析大大简化。
一、传递函数的概念及意义（1）传递函数的定义：线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。
线性定常系统微分方程的一般表达式:其中x c为系统输出量，x r为系统输入量在初始情况为零时，两端取拉氏变换：移项后得：上式中Xc(s)输出量的拉氏变换；Xr(s)输入量的拉氏变换；W(s) 为系统或环节的传递系数。
（2）传递函数的两种表达形式a.传递函数的零极点表示形式b.传递函数的时间常数表示形式（3）关于传递函数的几点说明a.传递函数的概念只适应于线性定常系统。
b.传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。
c.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。
d.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。
二、典型环节的传递函数及其暂态特性无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。
这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。
把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。
（1）比例环节（放大环节/无惯性环节）特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系（见下图）。
（2）惯性环节特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟（见下图）。
（3）积分环节特点：输出量随时间成正比地无限增加（见下图）。
(4）振荡环节特点：振荡的程度与阻尼系数有关（见下图）。
（5）微分环节特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趁势（见下图）。
实践中，理想的微分环节难以实现。
（6）延迟环节（时滞环节、滞后环节）特点：输出信号经过一段延迟时间τ后，可完全复现输入信号（见下图）。
自动控制原理传递函数
y(t) y kt
S平面 j
x(t) 1(t)
0
t
0 Re
有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ”
表示。K表示比例系数，T称为时间常数。
3/18/2024 2:47:29 AM
20
积分环节实例
积分环节实例：
①
C
R
ui
ui (s) uo (s)
R
1 Cs
uo
uo (s) 1
LCs 2
1 RCs
1
3/18/2024 2:47:28 AM
2
传递函数的定义： 系统初始条件为零时，输出变量的拉普拉
斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比，称为 系统的传递函数。 记做： Y (s) G(s) 或 Y (s) G(s)U (s)
U (s)
U(s)
Y(s)
G(s)
3/18/2024 2:47:28 AM
R2 I2 (s) UO (s)
G(s) U0 (s) 1 1 Ts Ui (s) 1 Ts
T R1R2C R1 R2
R1 R2
R2
3/18/2024 2:47:28 AM
7
复习拉氏变换
②性质：
⑴线性性质：L[f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s)
⑵微分定理：L[ f (t)] sF (s) f (0)
L[ f(t)] s2F (s) sf (0) f (0)
L[ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f (0) ... f (n1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
⑷时滞定理：L[ f (t T )] est f (t T )dt esT f (s) 0
传递函数及方块图剖析
则G(s) = Uo s = RCS
(RC = T
K 1
Ui s RCS + 1
K = 1)
Gs k
4 积分环节
s
时间域方程
xo t k xi t dt
X o s
k
X i s
s
X o s X i s
k s
例9
i2(t)
i1(t) ui(t)
R
A
B
C
_
K0 +
uo(t)
ui (t) = -C duo (t)
传递函数及 典型环节的传递函数
一、传递函数定义：
在初始条件为零时，线性
定常系统输出象函数 Xo s与输 入象函数 Xi s 之比。
Gs
X o s Xi s
Xi s Gs Xo s
设线性定常系统的微分方程为：
a
0
xon
t
a1
x
n1
o
t
a
n1
x
o
t
a
n
x
o
t
b0
x
m
i
t
b1
x
m
i
1
t
bm 1
x i
t
则G(s) = Uo s =
1
Ui s RCS + 1
(RC = T)
例4
弹簧-阻尼系统
K
xi
t
xo
t
D
dxo
dt
t
KXi s KXo s DsXo s
Gs
Xo s Xi s
K Ds
K
D
1 s 1
K
Gs Ks
典型环节的传递函数
变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延
迟。
R(s)
1
C (s)
方块图为:
Ts 1
运动方程为：
T
dc (t) dt
c(t) =
r(t)
传递函数为：
G(s) = C (s) = 1 R ( s ) Ts 1
其中，T ----惯性环节的时间常数。
其他一些惯性环节
L
r(t)
R c(t)
R(s)
G (s) = C( s) = K R(s)
xc
= R2 R1
xr
= Kxr
Xc(s)=KrX (s)
G (s) = X c (s) = K X r (s)
其它一些比例环节
R2
R1 -
r (t )
r1
r2
r (t )
c(t)
+K
c(t) R3
+ Ec
R
ic (t)
ib (t)
R(s)
r2
Cs
r1 r2
(s)=sq(s)
所以，若考虑电压与转角的关系，测速发电机就成为微分 环节，有
G(s)
= Uf( s)
q (s)
=
Kes
其他微分环节
i(t) C
i(t) C
uc (t)
u(t)
R
U c (s)
I (s)
Cs
Cs
U (s)
+ I(s)
1+
R
i(t) L eL (t)
I (s)
EL (s)
Ls
7 一阶微分环节
R(s)
1
C(s)
T 2s2 2V Ts 1
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第五节 传递函数
的定义及基本环节的传递函数
一旦建立起系统的线性化数学模型，就能用拉氏变换这个数学工具对其进行求解，从而得到系统的输出响应。
但这种方法随输入函数的变化而变化显得繁琐，最主要的还是难以从方程本身判断系统的动态特性。
因此引入传递函数的概念，用来描述单输入、单输出系统。
推广之，还可以用传递矩阵描述多输入、多输出系统，进一步深化对系统的认识。
一、传递函数的定义
零初始条件下，系统（元件）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统（元件）的传递函数，有时也称转移函数。
记为。
()G s ()()()
Y s G s X s = 零初始条件含义
1、指输入作用在0t =以后才加入，因此
输入量及其各阶导数在0t =时均为0
（与其本身无关）。
2、输入作用加入前，系统是相对静止的，
因此系统的输出量及其各阶导数在0t =时也全为0。
二、传递函数的特性
()()()
111111n n n n m m m m Y s G s X s a s a s a s a b s b s b s b −−−00−=++++=++++
m n ≥
1、对于线性定常系统，传递函数是的有理分式，且。
对于单独一个元件，可能有。
S m ≥n m n <()G s TS = (微分元件)
2、传递函数是系统（元件）动态规律的固有描述，仅与其结构参数有关，不随输入量变化。
三、系统基本环节的传递函数
一个系统可看作是由许多基本环节组成的，这些基本环节主要有；
1、比例环节（放大环节）——输出量与输入量成正比的环节
()
()
()
()() Y s
G s K Y s KX s
X s
==⇒=
2、惯性环节（非周期环节）
由于有储能元件，故对突变形式的输入
信号，不能立即送出去。
()1K G s TS =+ K —放大系数，T —时间常数 3、
微分环节——输出正比于输入的微分
的环节 ()()y t x t =
()()()()()
Y s Y s SX S G s S X S =⇒== 4、积分环节——输出正比于输入的积分的环节
()()y t x t dt =∫
()()()()()11Y s Y s X S G s S X =⇒=S S
= 5、振荡环节
该环节含有两种储能元件，在信号传递过程中，因能量的转换而使其输出带有振荡的性质。
()22121
G s T S TS ξ=++ 标准形式为：
()2
222n n n w G s S w S w ξ=++ n w ——无阻尼自然频率，ξ ——阻尼比
6、一阶微分环节——输出正比于输入的一阶微分的环节
()1G s TS =+
7、二阶微分环节——输出正比于输入的二阶微分的环节
()22
21G s T S TS ξ=++ 8、延时环节——该环节输出滞后输入时间τ后不失真地复现输入
()()y t x t τ=−
()s
G s e τ−=
例1：齿轮传动，n ，n 转数，是时间的变量。
1
212
Z n n Z =
()()()()()21
12121N s Z Z N s N s G s K Z N s Z =⇒==
2
= 为比例环节 例
轧辊在点形成的厚度要延迟时间
A L
V
τ=后，才能在点检测出来，即在t 时刻测
出的厚度B ()h t 为()t τ−时刻在点形成的厚度。
A ()g h t 所以微分方程为：()(g h t h t )τ=− 应用实位移定理：
()(as
)f t a e F s −⎡⎤−=⎣⎦
()()()()()
s
s
g g H s H s e H s G s e H s ττ−−=⇒==
为延时环节 例
设x y >，由F ma =，对于P 点来说有：
()0K x y By
By Ky Kx −−=⇒+= 则：()()(BSY s KY s KX s )+=
()()()1111
B T K Y s K
G s X s BS B TS S K =⇒==
+==
+⎛⎞
+⎜⎟⎝⎠
K
为惯性环节
i C
1
o u C
=∫idt ②
由：
11
o o o u i C u
C i C u
=⇒=⇒=⋅dt
i ∫ ③ 将③代入①得：
o o RCu
u u i += 拉氏变换
()()(()()())1
111o o i o i T RC
RCSU s U s U s U s G s U s RCS TS =+=⇒==
+=
+ 为惯性环节
()()()()f t Ky t By
t my t −−= ()()()()my
t By t Ky t f t ++=
拉氏变换
()()()()2
mS Y s BSY s KY s F s ++=
推出：
()()()2
21
1Y s G s F s mS BS K
m B K
K S S m m
==K ++=⋅
++
令：n W =
，12B ξ= ()22212n n n
G s K S S ωξωω=⋅++ 为振荡环节。